Aspectos Probabilisticos Resumo

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Aspectos Probabil´ısticos Relativos a Ac¸o˜es Ambientais
SH Sphaier
1 Definic¸o˜es Ba´sicas
Para o estudo da elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar num determinado ponto em relac¸a˜o a um
n´ıvel me´dio de refereˆncia vamos definir algumas grandezas caracter´ısticas (ver figura 1):
- Zero Ascendente (Descendente) - Diz-se que ζ(t) tem um zero ascendente (descendente)
em t, se ζ(t0) = 0 e ζ˙(t) > 0 (< 0)
- Crista (Cava) - Posic¸a˜o de ζ(t) em que ζ˙(t) tem um zero descendente (ascendente).
- Ma´ximos (Mı´nimos) - A ordenada de ζ(t), em relac¸a˜o ao n´ıvel me´dio, quando ζ(t) e´
uma crista (cava).
- Altura de onda cava-crista - diferenc¸a entre o ma´ximo e o mı´nimo precedente Hcc.
- Altura de onda de zero ascendente - Ma´xima diferenc¸a de valores de ζ(t) entre dois zeros
ascendentes consecutivos Hz.
- Per´ıodo de crista - e´ o intervalo de tempo entre duas cristas sucessivas.
- Per´ıodo de zero-ascendente - e´ o intervalo de tempo entre dois zeros ascendentes con-
secutivos.
1.1 Distribuic¸o˜es Associadas ao Comportamento do Navio no Mar
1.1.1 Distribuic¸o˜es de Gauss
Antes de nos atermos ao estudo probabil´ıstico de um registro do mar, vamos introduzir o
que chamamos largura de banda. Um registro de elevac¸o˜es de um ponto do mar ao longo
do tempo pode visto como a composic¸a˜o de va´rias func¸o˜es senos e cossenos, com um par
1
Texto Preliminar, SH Sphaier 21
Figura 1: Definic¸o˜es
Texto Preliminar, SH Sphaier 3
para distintas frequeˆncias e com suas amplitudes. Pode tambe´m ser visto tambe´m como a
composic¸a˜o de cossenos dotados de fases:
ζ(t) =
N∑
n=1
[an cos(σnt) + bn sin(σnt)] =
N∑
n=1
cn cos(σnt+ α)
onde c2n = a
2
n + b
2
n e α = arctan bn/an
Dizemos que o sinal e´ de banda larga de as frequeˆncias σn = 2pi/Tn, onde Tn sa˜o os
per´ıodos teˆm coeficientes cn com intensidade significante para uma grande faixa de per´ıodos.
Caso os valores de cn sejam bem mais intensos em uma pequena faixa de per´ıodos, dizemos
que o sinal e´ de banda estreita.
Nesta mesma linha de racioc´ınio podemos pensar em sinais com concentrac¸a˜o de fortes
intensidade em torno de dois per´ıodos. Dizemos que o mar e´ bimodal. Podemos estender este
conceito para mar trimodal e etc.
De particular importaˆncia e´ a distribuc¸a˜o normal, por ser esta a forma com a qual di-
versos fenoˆmenos da natureza encontram-se distribu´ıdos e particularmente na engenharia na
engenharia oceaˆnica. Deve-se antecipar que ao se estudar a elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar,
verifica-se que esta varia´vel aleato´ria e´ normalmente distribu´ıda.
A distribuic¸a˜o normal e´ dada pela seguinte expressa˜o:
pX(x) =
1√
2piσ
e
−(x− µ)
2
2σ2
e assim
PX(x) =
1√
2piσ
∫ x
−∞
e
−(x− µ)
2
2σ2 dx
onde µ e σ sa˜o os paraˆmetros da distribuic¸a˜o (ver figuras 2 e 3). As principais propriedades
que podemos destacar sa˜o:
1. ∫ ∞
−∞
e−x
2
dx =
√
pi
2. ∫ ∞
−∞
pX(x)dx = 1
3. ∫ ∞
−∞
xpX(x)dx = µ
Texto Preliminar, SH Sphaier 4
Figura 2: Func¸a˜o de densidade de probabilidade de Gauss
4. ∫ ∞
−∞
(x− µ)2pX(x)dx = σ2
Pode-se mostrar que o valor ma´ximo se da´ para x = µ e a curva apresenta pontos de
inflexa˜o para x = µ± σ.
Texto Preliminar, SH Sphaier 5
Figura 3: Func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade de Gauss
Texto Preliminar, SH Sphaier 6
1.1.2 Distribuic¸o˜es de Rayleigh
Outra distribuic¸a˜o importante no estudo de corpos operando no mar e´ a distribuic¸a˜o de
Rayleigh. Esta e´ a distribuic¸a˜o que as varia´veis ma´ximos e alturas cava-crista de um registro
seguem quando o sinal e´ de banda estreita.
As func¸o˜es de densidade e de distribuic¸a˜o pX(x) e PX(x) teˆm a forma:
pX(x) =
x
r
e−x
2/2r
PX(x) = 1− e−x2/2r
onde r e´ o paraˆmetro da distribuic¸a˜o de Rayleigh (ver figura 4). Como veremos adiante,
para os ma´ximos e as alturas de um sinal de banda estreita, o paraˆmetro da distribuic¸a˜o de
Rayleigh r esta´ relacionado com a variaˆncia da varia´vel aleato´ria elevac¸o˜es.
Figura 4: Func¸a˜o de densidade de probabilidade de Rayleigh
O valor x1/n da varia´vel aleato´ria X, cuja probabilidade de ser excedido e´ 1/n, e´ dado por
1
n
=
∫ ∞
x1/n
p(x)dx = 1−
∫ x1/n
0
p(x)dx = 1− P (x1/n)
e o valor me´dio de x de 1-ene´simo das mais altas observac¸o˜es e´ dado por
x¯1/n =
∫∞
x1/n
xp(x)dx∫∞
x1/n
p(x)dx
= n
∫ ∞
x1/n
xp(x)dx
Texto Preliminar, SH Sphaier 7
No caso espec´ıfico da varia´vel aleato´ria em estudo ser a varia´vel picos (ma´ximos) x =
ζm, que no caso de um processo de banda estreita pode considerar-se ter distribuic¸a˜o de
probabilidade segundo a lei de Rayleigh, teremos para o valor ζm 1/n
1− P (ζm 1/n) =
∫ ∞
ζm 1/n
x
m0
e−x
2/(2m0) =
1
n
onde m0 = r e´ o paraˆmetro da distribuic¸a˜o de Rayleigh que, como veremos, e´ igual a variaˆncia
do processo das elevac¸o˜es.
Enta˜o ζ2m 1/n = 2m0 lnn
Deve ser entendido que o valor ζm 1/n e´ o valor da varia´vel aleato´ria ζm cuja chance de ser
excedido e´ 1/n.
O valor ζ¯m 1/n e´ a soluc¸a˜o da seguinte integral:
ζ¯m 1/n = n
∫ ∞
ζm 1/n
x2
m0
e−x
2/(2m0)
que nos fornece os seguintes valores importantes:
- valor me´dio 1/n = 1/2
ζ¯m 1/2 = 1.25
√
m0
- valor significativo 1/n = 1/3
ζ¯m 1/3 = 2.0
√
m0
- valor 1/10
ζ¯m 1/10 = 2.55
√
m0
- valor 1/100
ζ¯m 1/100 = 3.34
√
m0
A figura 5 mostra como os valores 1/n podem ser visualizados graficamente.
Outro valor bastante utilizado e´ aquele que corresponde ao valor ζm 1/n para n = 1000,
considerando como valor cr´ıtico. Isto por que adimitindos que o corpo encontra-se sujeito a
um estado de mar cr´ıtico, uma tempestade, com durac¸a˜o me´dia de 3 horas e per´ıodo me´dio
um pouco abaixo de 10 segundos, o que acarretaria uma exposic¸a˜o a um total de cerca de
1000 ciclos. O valor cr´ıtico ζmcrit e´ enta˜o
ζmcrit = ζm 1/1000 =
√
2m0 ln 1000 = 3.72
√
m0 = 1.86ζ¯m 1/3
Texto Preliminar, SH Sphaier 8
Figura 5: Valores estat´ısticos 1/n
Texto Preliminar, SH Sphaier 9
1.1.3 Distribuic¸o˜es de Weibull
A distribuic¸a˜o de Weibull de dois paraˆmetros de uma varia´vel X e´ dada por:
pX(x) =
r
k
(
x
k
)r−1 e−(x/k)
r
PX(x) = 1− e−(x/k)r
onde r e k sa˜o os dois paraˆmetros da distribuic¸a˜o.
Tendo um registro de um sinal, podemos extrair dele todas alturas cava-crista. Se fizermos
a me´dia do terc¸o das maiores alturas, temos a altura significativa Hs, ou altura um-terc¸o H1/3.
Isto e´, cada registro fornece um valor de altura significativa. Se reunirmos va´rios registros e
de cada um retirarmos a altura significatica, teremos uma amostra da varia´vel Hs ( ou H1/3).
Aceita-se que esta varia´vel aleato´ria segue a distribuic¸a˜o de Weibull de 2 paraˆmetros.
Aplicando-se ao caso de uma regia˜o do mar, temos X = Hs. Fazemos diversos registros,
determinamos para cada um deles seu Hs e formamos com o conjunto de valores uma amostra.
Com esta amostra, admitindo que a varia´vel aleato´ria segue a distribuic¸a˜o de Rayleigh, de-
terminamos os paraˆmetros dois paraˆmetros γ = r e H0 = k para a regia˜o onde estamos
observando o mar.
A partir da func¸a˜o de distribuic¸a˜o podemos determinar a probabilidade de excedeˆncia de
um valor de Hs:
1− PHs(Hs) = e−(Hs/H0)
γ
Texto Preliminar, SH Sphaier 10
2 Elevac¸o˜es, Ma´ximos e Alturas
Consideremos que a varia´vel aleato´ria ζ(t) obtida durante um per´ıodo de observac¸a˜o de
cerca de 30 minutos da elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar em relac¸a˜o a posic¸a˜o de repouso, repre-
senta devidamente o mar (estacionariedade e ergodicidade ver apeˆndice) e segue a distribuic¸a˜o
de densidade de probabilidade de Gauss com me´dia zero, isto e´:
pZ(ζ) =
1√
2piσζ
e−ζ
2/2σ2ζ
A partir da distribuic¸a˜odas elevac¸o˜es, podemos obter a distribuic¸a˜o dos ma´ximos e das
alturas de ondas. Essas varia´veis obedecem a lei de Rayleigh, desde que o processo possa ser
considerado de banda estreita.
- picos
p(ζm) =
ζm
m0
e−ζ
2
m/(2m0)
- alturas
p(h) =
h
4m0
e−h
2/(8m0)
Devemos observar que p(h)δh = p(ζm)δζm
Onde m0 e´ igual a variaˆncia do processo estoca´stico estaciona´rio elevac¸a˜o da superf´ıcie do
mar:
m0 =< z
2(t) >= E[z2] = σ2
Estamos introduzindo aqui uma nova forma de expressar a variaˆncia, com m0, pore´m esta
varia´vel obedece a uma definic¸a˜o que veremos mais adiante.
Texto Preliminar, SH Sphaier 11
3 Relac¸a˜o entre as Ana´lises Espectral e Probabil´ıstica
A func¸a˜o de densidade de probabilidade de um sinal gaussiano z(t) e´ dada por:
pZ(z) =
1√
2pim0
e−z
2/(2m0) =
1√
2piσz
e−z
2/(2σ2z) (1)
onde σz e´ a desvio padra˜o e seu quadrado e´ a variaˆncia. No caso particular em que a me´dia
e´ zero
σ2z = vmq = E[z
2]
A partir do registro das elevac¸o˜es, obtemos a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o definida por:
Rzz(τ) = lim
T→∞
1
T
∫ T
0
z(t)z(t+ τ)dt (2)
e aplicando-se a transformada de Fourier podemos obter o espectro do registro do mar
φzz(ω) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
Rzz(τ)e
−iωtdt
Com a transformada inversa temos:
Rzz(τ) =
∫ ∞
−∞
φzz(ω)e
iωtdω (3)
Deve-se observar que a func¸a˜o φzz(ω) e´ bilateral sime´trica em relac¸a˜o a ω = 0
φzz(−ω) = φzz(ω)
e que a frequeˆncia ω varia de −∞ a∞ mas como frequeˆncias negativas na˜o teˆm sentido f´ısico
introduzimos a func¸a˜o unilateral
Szz(ω) = 2φzz(ω) para ω ≥ 0
e
Szz(ω) = 0 para ω < 0
enta˜o
Szz(ω) =
1
pi
∫ ∞
−∞
Rzz(τ)e
−iωtdt
e
Rzz(τ) =
∫ ∞
0
Szz(ω)e
iωtdω
Por outro lado e´ poss´ıvel mostrar que a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o e´ dada por:
Rzz(τ) =
∫ ∞
−∞
lim
T→∞
2pi
T
|GT (ω)|2eiωtdω (4)
Texto Preliminar, SH Sphaier 12
onde GT (ω) e´ uma extensa˜o da transformada de Fourier do sinal z(t)
G(ω) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
z(t) e−iωtdt
A transformada de Fourier filtra a frequeˆncia ω das componentes do sinal. Em princ´ıpio
levaria a integral acima a um valor infinitamente grande, entretanto definindo-se
GT (ω) =
1
2pi
lim
T→∞
∫ T
0
z(t) e−iωtdt
tem-se o limite
lim
T→∞
2pi
T
|GT (ω)|2 = lim
T→∞
2pi
T
GT (ω)GT (ω)
∗
finito, onde GT (ω)
∗ e´ o conjugado de GT (ω)
Das expresso˜es (2) e (3) podemos verificar que
Rzz(0) =
∫ ∞
0
Szz(ω)dω = lim
T→∞
1
T
∫ T
0
z(t)2dt (5)
=< z2(t) >= E[z2] = σ2 = vmq = rms2 = m0
Esta igualdade, va´lida admitindo-se a ergodicidade do processo, permite-nos, a partir do
espectro do registro, fazer previso˜es, uma vez que as elevac¸o˜es seguem a distribuic¸a˜o de
Gauss.
Esta u´ltima igualdade mostra que a partir do espectro de um sinal, podemos obter a
variaˆncia da varia´vel aleato´ria elevac¸o˜es. Como a variaˆncia das elevac¸o˜es e´ o paraˆmetro da
distribuic¸a˜o de Rayleigh dos picos, podemos prever probabilisticamente valores dos processos
de elevac¸o˜es e de ma´ximos (ver sec¸a˜o 1.1.2). Observemos que o espectro tanto pode ser o da
excitac¸a˜o quanto o de uma resposta do sistema. Assim, uma vez obtido o espectro de uma
resposta, determinamos o desvio padra˜o da func¸a˜o de densidade de probabilidade da resposta
e o paraˆmetro da distribuic¸a˜o de picos da resposta.
Texto Preliminar, SH Sphaier 13
4 Modelac¸a˜o de um Estado de Mar
A elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar num determinado ponto em relac¸a˜o a um n´ıvel me´dio de
refereˆncia e´ considerado um processo estoca´stico, e sera´ simbolizado por Z(t).
4.1 Elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar
A elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar e´ modelada probabilisticamente por um processo es-
toca´stico ergo´dico, e desta maneira pode ser representada pela expressa˜o
z(t) =
N→∞∑
n=1
zn(t) =
N→∞∑
n=1
z0n cos(ωnt+ ψn) (6)
onde as frequeˆncias ωn assumem valores no intervalo (0,∞); as fases ψn sa˜o varia´veis aleato´rias
independentes, com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [0, 2pi]; e z0n sa˜o as amplitudes dos
harmoˆnicos zn(t) que constituem o sinal.
Assim z(t) e´ a soma de diversas varia´veis aleato´rias independentes
z(t) = z1 + z2 + ..........+ zn + .....
onde zn = z0n cos(ωnt+ ψn).
Pelo teorema Limite Central podemos concluir que se N tende para o infinito, z(t) e´ uma
varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o normal com valor esperado µz e variaˆncia σ
2
z
µz = E[z(t)] = 0 σ
2
z = E[z
2(t)]
Texto Preliminar, SH Sphaier 14
4.2 Simulac¸a˜o de um Sinal a partir de seu Espectro
Para fins de simulac¸a˜o da elevac¸a˜o do mar por um nu´mero discreto de componentes de
onda conforme (6) temos que determinar as amplitudes das componenetes z0n do sinal.
Introduzindo (6) em (5)
Rzz(0) = lim
T→∞
1
T
∫ T
0
(
N→∞∑
i=1
z0i cos(ωit− ψi))(
N→∞∑
j=1
z0j cos(ωjt+ ψj)dt) =
N→∞∑
i=1
< [z0i cos(ωit+ ψi)]
2 >=
N→∞∑
i=1
< [zi(ωi, t)]
2 >=
N→∞∑
i=1
1
2
z20i(ωi) =
∫ ∞
0
Szz(ω)dω (7)
Considere-se agora uma u´nica frequeˆncia ω = ωk e em torno dela um elemento de frequeˆncia
δω, chegando-se finalmente a` expressa˜o que fornece as amplitudes de cada componente de
onda por frequeˆncia.
1
2
z20k(ωk, t) = Szz(ωk)δω
Assim z(t) e´ a soma de diversas varia´veis aleato´rias independentes
z(t) = z1(t) + z2(t) + ..........+ zi(t) + .....
onde zi(t) = z0i(ωi) cos(ωit+ ψi) com z0i(ωi) =
√
2Szz(ωi)δω.
Texto Preliminar, SH Sphaier 15
5 Espectros emp´ıricos
1. International Towing Tank Conference (I.T.T.C.)
S(ω) =
A
ω5
e−B/ω
4
onde
- A = 8.1× 10−3g2
- B = 3.11/H2s
- com Hs em metros e g em metros por segundos quadrados
2. Pierson - Moskowitz modificado ou do Internacional Ship Strutctures Committee (ISSC)
S(ω) =
A
ω5
e−B/ω
4
onde:
- A = 173H2s/T
4
1
- B = 691/T 41
- Hs = H1/3 e T1 = 2pim0/m1
A figura 6 apresenta o espectro do ISSC, que e´ um forma modificada do espectro de
Pierson-Moskovitz.
Texto Preliminar, SH Sphaier 16
Figura 6: Espectro de ISSC, Pierson-Moskovitz modificado
3. Jonswap (Joint North Sea Wave Project)
O espectro de JONSWAP foi desenvolvido para representar espectros de pista limitada e
depende de cinco paraˆmetros. Entretanto, como mostrado nos anais do Sexto Congresso
do ITTC, pode-se utilizar um espectro me´dio em func¸a˜o de Hs e T1 dado por:
S(ω) = 0.072H2s (
2pi
T1
)4
1
ω5
3.3 e
1
2s2
(1.296T1−1)2 e0.44(
2pi
T1
)4 1
ω−4
s =
{
0.07 para ω < 2pi(1.296T1)
−1
0.09 para ω > 2pi(1.296T1)
−1
Texto Preliminar, SH Sphaier 17
Figura 7: Comparac¸a˜o entre os espectros do ISSC (Pierson-Moskovitz modificado) e Jonswap
Texto Preliminar, SH Sphaier 18
6 Determinac¸a˜o de Condic¸a˜o Extrema para Projeto
A varia´vel aleato´ria elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar, obtida atrave´s dos registros segue a
distribuic¸a˜o de Gauss com me´dia nula e desvio padra˜o σ:
pz(z) =
1√
2piσ
e−z
2/(2σ2)
Admitindo-se que o mar e´ de banda estreita, o processo dos ma´ximos segue a distribuic¸a˜o de
Rayleigh na forma:
pzm(zm) =
zm
m0
e−z
2
m/(2m0)
onde m0 = σ
2, e´ a variaˆncia do processo de elevac¸o˜es, e o processo das alturas (cava-crista)
tambe´m segue a distribuic¸a˜o de Rayleigh
ph(h) =
h
4m0
e−h
2/(8m0)
A hipo´tese de banda estreita exige que a curva do espectro esteja concentrada em torno da
frequeˆncia me´dia
ω0 =
√
m2
m0
onde:
mn =
∫ ∞
0
ωnSzz(ω)dω
Definindo-se agora a altura significativa H1/3 como a me´dia do terc¸o das maiores alturas
H1/3 = [
∫ ∞
h1/3
hp(h)dh]/(1/3)
onde h1/3 e´ definido como o valor de h cuja probabilidade de ser excedido e´ igual a 1/3:
P [h > h1/3] =
∫ ∞
h1/3
p(h)dh =
1
3Ale´m disto, pode-se mostrar que:
H1/3 = 4.0
√
m0 = 4.0σ
Isto nos mostra que para cada registro podemos obter, apo´s a determinac¸a˜o da func¸a˜o de
densidade espectral os valores de H1/3 e T0, altura significativa e per´ıodo me´dio. Com a altura
significativa obtemos a variaˆncia e por conseguinte as distribuic¸o˜es de Gauss e Rayleigh para
elevac¸o˜es alturas e picos. Assim, dentro de um estado de mar podemos estudar a partir de
Texto Preliminar, SH Sphaier 19
seu registro os valores extremos por exemplo. Isto caracteriza um estudo de curto prazo. O
que nos falta e´ avaliar qual e´ o estado de mar para o qual faremos nosso estudo de previsa˜o
de curto prazo.
Nesta linha de racioc´ınio cabe uma questa˜o. Acumulamos va´rios registros e para cada um
deles conhecemos H1/3. Podemos enta˜o fazer um histograma sobre a frequeˆncia de ocorreˆncia
de H1/3 para ajusta´-la a uma distribuic¸a˜o, determinando seus paraˆmetros.
Texto Preliminar, SH Sphaier 20
6.1 Distribuic¸a˜o de H1/3
Na literatura encontramos em geral a recomendac¸a˜o de se representar a func¸a˜o de densi-
dade de probabilidade da varia´velH1/3 atrave´s da distribuic¸a˜o de Weibull a de dois paraˆmetros.
Entretanto, encontramos algumas vezes outras recomendac¸o˜es. Assim, apresentaremos aqui
quatro tipos de distribuic¸o˜es empregadas com a finalidade de se fazer um estudo mais com-
pleto. Assumimos a possibilidade de que as alturas significativas possam seguir quatro dis-
tribuic¸o˜es:
- exponencial de dois paraˆmetros λ e H0
P (H1/3) = 1− e−λ(H1/3−H0)
- exponencial de um paraˆmetro λ (H0 = 0)
- Weibull de treˆs paraˆmetros γ, Hc e H0
P (H1/3) = 1− e−(
H1/3−H0
Hc−H0 )
γ
- Weibull de dois paraˆmetros γ e Hc (H0 = 0)
Manipulando-se essas expresso˜es podemos observar que:
- para a distribuic¸a˜o exponencial
P (H1/3) = 1− e−λ(H1/3−H0)
aplicando o logaritmo, temos:
− ln(1− P (H1/3)) = λH1/3 − λH0
ou
y = a0 + a1x
onde: y = − ln(1− P (H1/3)) x = H1/3 a1 = λ a0 = −λH0
- para a distribuic¸a˜o de Weibull
P (H1/3) = 1− e−(
H1/3−H0
Hc−H0 )
γ
aplicando o logaritmo duas vezes temos
ln(− ln(1− P (H1/3))) = γ[ln(H1/3 −H0)− ln(Hc −H0)]
Texto Preliminar, SH Sphaier 21
ou
y = a0 + a1x
onde: y = ln(− ln(1− P (H1/3))) x = ln(H1/3 −H0) a1 = γ a0 = −γ(ln(Hc −
H0))
Utilizando-se os dados de H1/3 e P (H1/3) ajustamos a reta y = a0 + a1x pelo me´todo dos
mı´nimos quadrados:
a0 =
1
n
(
∑
yi − a1
∑
xi)
a1 =
∑
xiyi −
∑
xi
∑
yi/n∑
x2i − (
∑
xi)2/n
Deve-se notar que as distribuic¸o˜es exponencial de um paraˆmetro e Weibull de dois paraˆmetros
sa˜o casos particulares das outras duas.
6.2 Determinac¸a˜o de Condic¸a˜o Cr´ıtica
A presente sec¸a˜o trata do problema de determinac¸a˜o da condic¸a˜o cr´ıtica de projeto para
um sistema no mar.
Pela caracter´ıstica aleato´ria do mar, a descric¸a˜o da ac¸a˜o das ondas sobre uma estrutura
torna-se bastante complexa. Para a determinac¸a˜o da ac¸a˜o das ondas sobre uma estrutura e
suas respostas, para efeito de projeto, pode-se abordar o problema de treˆs maneiras diferentes:
- Determinac¸a˜o das caracter´ısticas das respostas admitindo um modelo linear para repre-
sentar o sistema oceaˆnico, determinando-se o espectro de resposta a partir do espectro
do mar e da func¸a˜o de transfereˆncia do sistema.
O estado de mar ao qual o sistema e´ exposto pode ser obtido como situac¸a˜o extrema,
e neste estado de mar estuda-se os valores extremos das respostas. Trata-se de uma
previsa˜o de curto prazo.
Outra possibilidade e´ determinar-se as respostas para todos os estados de mar e estudar-
se a composic¸a˜o de respostas. Trata-se de uma previsa˜o de longo prazo.
- Determinac¸a˜o das respostas de forma determin´ıstica para uma condic¸a˜o extrema utilizando-
se um modelo na˜o linear.
A condic¸a˜o extrema e´ determinada por uma previsa˜o de longo prazo ou curto prazo.
- Determinac¸a˜o das caracter´ısticas das respostas admitindo um modelo na˜o linear para
representar o sistema oceaˆnico, simulando-se o mar atrave´s de uma superposic¸a˜o de
ondas que componham o espectro do estado de mar de projeto.
Texto Preliminar, SH Sphaier 22
Para a primeira abordagem os espectros das respostas sa˜o obtidos admitindo-se que a
estrutura responde linearmente a` ac¸a˜o das ondas. O espectro das respostas e´ o produto do
espectro do mar multiplicado pelo quadrado da func¸a˜o de transfereˆncia do sistema para cada
resposta.
Como apresentado anteriormente, para curtos intervalos de tempo, podemos considerar a
elevac¸a˜o do mar como um processo ergo´dico e de banda estreita, obedecendo a distribuic¸a˜o de
Gauss com me´dia nula. Assim os processos dos picos das alturas obedecem a lei de distribuic¸a˜o
de Rayleigh. Admitindo que a estrutura responde linearmente a` excitac¸a˜o do mar, as respostas
formam um processo Gaussiano de banda estreita. Por conseguinte, a distribuic¸a˜o de seus
picos e alturas obedecem a lei de Rayleigh.
Assim podemos para cada estado de mar, caracterizado pelos paraˆmetros H1/3 e T , deter-
minar a forma de seu espectro e, compondo com a func¸a˜o de transfereˆncia, obter o espectro
da resposta da estrutura. Uma vez que a a´rea do espectro e´ o valor me´dio quadra´tico, pode-
mos descrever a distribuic¸a˜o das respostas para cada estado de mar, pois os processos das
respostas seguem a distribuic¸a˜o de Gauss com me´dia zero e os paraˆmetros das distribuic¸o˜es
de ma´ximos esta˜o ligados a`s variaˆncias dos processos das respostas. Uma vez conhecendo-se
os paraˆmetros do processo determinamos a condic¸a˜o cr´ıtica para o n´ıvel de probabilidade
desejado correspondente a cada estado de mar.
Estas formas de abordar o problema fazem uma descric¸a˜o das respostas para curtos inter-
valos de tempo caracterizados por seus estados de mar, que teˆm suas pro´prias probabilidades
de ocorrer ao longo do tempo.
Combinando-se a estat´ıstica de longo prazo dos estados de mar e a previsa˜o de curto prazo
em cada estado de mar, podemos fazer previso˜es de condic¸o˜es extremas de longo prazo.
No segundo em que escolhemos uma onda cr´ıtica procedemos de forma semelhante. Pode-
mos escolher um estado de mar cr´ıtico e deste determinar uma onda cr´ıtica. Estamos diante
de uma previsa˜o de onda cr´ıtica baseada em uma previsa˜o de curto prazo. Caso estudemos
a ocorreˆncia de condic¸o˜es cr´ıticas de mar levando em considerac¸a˜o todos os estados de mar,
estamos diante de uma previsa˜o de longo prazo. Para esta condic¸a˜o critica determina-se o
comportamento do sistema oceaˆnico.
Como crite´rios para estudo das condic¸o˜es extremas podemos distinguir duas formas de
abordar o problema:
- previsa˜o de Longo Prazo
Exige-se como n´ıvel de probabilidade para escolha da condic¸a˜o cr´ıtica o inverso do
nu´mero de ciclos de onda que se verifica durante cerca de 2 a 3 vezes a vida u´til da
estrutura, levando-se em considerac¸a˜o todos os estados de mar.
Texto Preliminar, SH Sphaier 23
- previsa˜o de Curto Prazo
Determina-se estado de mar cr´ıtico para um per´ıodo de retorno de 2 a 3 vezes a vida u´til
da estrutura e admite-se que esta situac¸a˜o perdurara´ por cerca de 3 a 4 horas ou que
a estrutura estara´ sujeita a 1000 ciclos de onda nesta condic¸a˜o. Neste caso, de acordo
com o n´ıvel de seguranc¸a pode-se impor um n´ıvel de probabilidade de 10−3 para calcular
a condic¸a˜o extrema, ou fazer um estudo da condic¸a˜o cr´ıtica baseado em estat´ıstica de
extremos.
Deve-se ressaltar que, embora tenhamos usado os nomes curto prazo e longo, estes na˜o
podem ser vistos como opostos. A previsa˜o de curto prazo preocupa-se com o comportamento
da estrutura em um certo estado de mar, que pode ser o mais cr´ıtico. Este devera´ ser obtido
fazendo-se um estudo a longo prazo.
6.2.1 Escolhada onda cr´ıtica com base em previsa˜o de curto prazo
Inicialmente devemos ajustar a distribuic¸a˜o de probabilidade que descreve a varia´vel H1/3
considerando-se a estat´ıstica do mar da regia˜o onde vai operar o sistema.
De acordo com um n´ıvel de probabilidade prescrita escolhe-se enta˜o o estado de mar cr´ıtico,
que se alcanc¸ado o sistema devera´ suportar.
Com os valores de H1/3 e de per´ıodos me´dios associados determinamos o espectro de mar
aos quais o sistema sera´ submetido. Determinamos o espectro das respostas pelo produto do
espectro da excitac¸a˜o e a func¸a˜o de transfereˆncia, com a a´rea debaixo da curva do espectro
temos a variaˆncia do processo e podemos fazer a previsa˜o. O produto das duas probabilidades
de excedeˆncia utilizadas, para escolha de H1/3 e da condic¸a˜o cr´ıtica nos fornecem o n´ıvel de
probabilidade exigido.
No caso em que tenhamos um sistema na˜o linear podemos extrair uma onda cr´ıtica a partir
do estado de mar cr´ıtico e analisar o comportamento do sistema submetido a esta onda.
Ainda para o caso de um sistema na˜o linear, podemos simular a ac¸a˜o das ondas como a
ac¸a˜o das diversas componentes do mar e simular a resposta na˜o linear.
6.2.2 Escolha da onda cr´ıtica com base em previsa˜o de longo prazo
Inicialmente vamos nos ater a` determinac¸a˜o da onda cr´ıtica considerando-se todos os es-
tados de mar poss´ıveis de ocorrerem. Para tal vamos utilizar o conceito de probabilidade
condicionada. A probabilidade de uma certa altura Hc ser ultrapassada em um estado de
Texto Preliminar, SH Sphaier 24
mar com altura significativa H1/3 esta´ condicionada a ocorreˆncia deste estado de mar. As-
sim, a probabilidade de ocorreˆncia simultaˆnea do evento {altura Hc ser ultrapassada
⋂
altura
significativa H1/3 ocorrer} e´ o produto da probabilidade de ocorreˆncia do evento Hc ser ultra-
passada condicionada a estar ocorrendo o estado de mar com altura significativa H1/3, isto e´,
o evento {altura Hc ser ultrapassada / altura significativa H1/3 ocorrer} vezes a probabilidade
de estar ocorrendo o estado de mar com altura significativa H1/3.
dPH(Hc) = P¯Hc(Hc/H1/3)dPH1/3(H1/3)
Considerando a ocorreˆncia de todos os estados de mar temos
PH(Hc) =
∫ ∞
0
P¯Hc(Hc/H1/3)dPH1/3(H1/3)
Assumindo que a varia´vel H1/3 segue a distribuic¸a˜o de Weibul de dois paraˆmetros e a varia´vel
Hc segue a distribuic¸a˜o de Rayleigh
PH1/3(H1/3) = 1− e−(
H1/3
H0
)γ
e
P¯Hc(Hc/H1/3) = 1− e
−2( Hc
H1/3
)2
Nordenstrom desenvolveu esta expressa˜o e apo´s integrac¸a˜o seus resultados foram utilizados
para descrever a expressa˜o para ca´lculo do valor cr´ıtico segundo a norma da DNV.
Outra forma de se chegar a um resultado e´ a utilizac¸a˜o direta dos resultados observados.
Para intervalos de altura significativa temos sua frequeˆncia de ocorreˆncia. Se para cada
altura de onda determinamos a probabilidade de ser ultrapassada em cada estado de mar,
atrave´s do produto da probabilidade de ser ultrapassada em cada estado de mar (probabilidade
condicionada) e a frequeˆncia de ocorreˆncia do estado de mar, ao somarmos esses produtos
estamos determinando a probabilidade desta altura ser ultrapassada qualquer que seja o
estado de mar. Determinamos assim a curva de probabilidade de excedeˆncia de uma altura
levando em conta todos os estados de mar. Introduzindo um n´ıvel de probabilidade como
valor cr´ıtico de projeto, temos a previsa˜o de longo prazo. Em geral esse valor e´ estabelecido
como o inverso do nu´mero esperado de ondulac¸o˜es no mar por um per´ıodo de anos.
Considerando um per´ıodo me´dio de 6.5 segundos o nu´mero de ondas em N anos e´ dado
por:
N =
n(anos) ∗ 365(dias) ∗ 24(horas) ∗ 60(minutos) ∗ 60(segundos)
6.5(periodo em segundos)
6.2.3 Escolha da resposta cr´ıtica
Para a previsa˜o de uma resposta procede-se basicamente da mesma forma que para os casos
de previsa˜o de uma onda cr´ıtica. Pore´m a nossa varia´vel na˜o e´ mais a altura cr´ıtica, sena˜o
Texto Preliminar, SH Sphaier 25
os ma´ximos da resposta em estudo. Consideraremos tambe´m que nosso sistema e´ linear.
Assim, se conhecermos a func¸a˜o de transfereˆncia que relaciona as amplitudes da resposta
com a amplitude da onda incidente em func¸a˜o da frequeˆncia, multiplicamos a func¸a˜o de
densidade espectral (o espectro do mar) pelo quadrado da func¸a˜o de transfereˆncia e obtemos
o espectro da resposta (mais rigorosamente: a func¸a˜o de densidade espectral da resposta).
Apo´s obtermos o espectro calculamos a integral sobre a curva do espectro e passamos a
conhecer a variaˆncia da resposta. Como o processo e´ gaussiano com me´dia zero, conhecemos
a func¸a˜o de densidade de probabilidade. De forma similar ao que fizemos para a elevac¸a˜o
do mar, temos que os ma´ximos da resposta seguem a distribuic¸a˜o de Rayleigh, e podemos
proceder de forma similar ao que fizemos na previsa˜o de ondas para a previsa˜o de respostas.
Seguindo o que foi dito acima, em um estado de mar a resposta e´ obtida fazendo uso do
espectro do mar e da func¸a˜o de resposta do sistema:
SRR(ω, β) = SZZ(ω) ∗ [RAO(ω, β)]2
onde SRR(ω, β) e´ o espectro da resposta do sistema para um estado de mar com espectro
SZZ(ω) e ondas com aˆngulo de incideˆncia β. A func¸a˜o de densidade espectral e´ enta˜o usada
para fornecer a variaˆncia da resposta
σR(β)
2 =
∫ ∞
0
SRR(ω, β)dω
A probabilidade de excedeˆncia de um certo valor de resposta pode enta˜o ser obtido utilizando-
se a distribuic¸a˜o de Rayleigh.
No caso de uma previsa˜o de curto prazo o espectro do mar e´ aquele que representa o mar
cr´ıtico e para este mar vamos determinar a resposta cr´ıtica.
No caso de uma previsa˜o de longo prazo, temos que considerar todos os mares e o aˆngulo
de incideˆncia das ondas em relac¸a˜o a estrutura para a qual estamos analisando a resposta.
Utilizando a frequeˆncia de ocorreˆncia de cada estado de mar podemos obter o probabilidade
de excedeˆncia da resposta para cada direc¸a˜o de incideˆncia:
qijk = qR(rc/(hs,i, Tj, βk)) ∗ qhs,i,Tj(hs,i, Tj) ∗ qβk(βk)
onde:
qR(rc/(hs,i, Tj, βk)) e´ a probabilidade de excedeˆncia do valor rc condicionado ao estado
de mar
qhs,i,Tj(hs,i, Tj) e´ a probabilidade do estado de mar ocorrer sem considerac¸a˜o da in-
cideˆncia.
qβk(βk) e´ a probabilidade do estado de mar ter uma certa incideˆncia.
Texto Preliminar, SH Sphaier 26
x 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 total
00 73 168 6 6 1 1 1 1 257
01 8 803 91 18 4 1 2 20 947
02 19 2248 845 168 40 22 1 2 1 14 3360
03 9 1097 1684 421 95 9 14 2 1 3332
04 8 179 747 402 97 33 15 1481
05 2 29 160 193 77 19 16 1 497
06 2 24 44 37 10 4 1 122
07 3 8 11 13 4 1 40
08 1 4 5 1 1 1 12
09 2 2 1 1 6
11 5 5
12 1 1
14 2 2
total 119 4535 3572 1270 367 99 52 8 1 3 36 10062
Tabela 1: Frequeˆncia de Ocorreˆncia de Altura Visual e Per´ıodo Me´dio Area 33 da Costa
Brasileira (Hogben e Lumb) Linhas: Per´ıodos; Colunas: Alturas
Superpondo todos os estados de mar e todas as incideˆncias temos:
Q(r) =
∑
i
∑
j
∑
k
qijk
De forma similar, introduzindo uma func¸a˜o de espalhamento, o modelo apresentado pode ser
extendido para o caso de estados de mar com espalhamento.
A seguir sa˜o apresentadas tabelas de alturas visuais para regio˜es da costa brasileira obtidas
das tabelas apresentadas por Hogben e Lumb. Estes dados esta˜o desatualizados, mas para
fins dida´ticos podem servir como exemplo.
Reunindo os resultados de ocorreˆncia de alturas para qualquer per´ıodos nas diversas a´reas
teˆm-se a tabela que pode ser utilizada para previso˜es de estado de mar cr´ıtico.
Texto Preliminar, SH Sphaier 27
x 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 total
00 103 290 7 4 6 1 1 6 419
01 12 1115 77 14 5 1 2 25 1251
02 18 2472 867 201 48 23 1 2 1 23 3656
03 9 889 1414 360 84 25 11 6 1 1 2800
04 1 146 533 29472 21 11 2 1080
05 3 26 124 185 73 16 11 1 439
06 3 29 49 27 8 1 117
07 3 11 14 8 6 1 43
08 7 4 5 1 1 18
09 2 1 1 1 1 6
11 1 1 2
13 5 2 1 8
14 2 1 3
15 2 2
total 146 4952 3077 1127 330 102 37 10 5 8 50 9844
Tabela 2: Frequeˆncia de Ocorreˆncia de Altura Visual e Per´ıodo Me´dio Area 37 da Costa
Brasileira (Hogben e Lumb) Linhas: Per´ıodos; Colunas: Alturas
Texto Preliminar, SH Sphaier 28
x 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 total
00 143 155 5 6 1 3 6 1 318
01 12 545 43 19 7 1 15 642
02 19 1136 415 161 25 6 1 1 20 1739
03 10 534 812 269 52 15 2 1 1695
04 6 100 465 283 77 26 7 1 965
05 4 25 169 176 78 24 8 1 1 486
06 4 9 51 69 45 10 8 3 199
07 9 18 31 34 20 4 1 117
08 1 1 18 7 15 6 2 1 1 52
09 1 3 12 13 6 3 3 2 1 44
10 5 1 6
11 1 1 1 4 7
12 1 1 1 3
13 1 2 3
14 1 1
15 1 1 2
16 1 1
17 2 2
18 1 4 1 6
19 1 1
total 200 2513 2002 991 355 123 44 11 4 9 37 6289
Tabela 3: Frequeˆncia de Ocorreˆncia de Altura Visual e Per´ıodo Me´dio Area 40 da Costa
Brasileira (Hogben e Lumb) Linhas: Per´ıodos; Colunas: Alturas
Texto Preliminar, SH Sphaier 29
x 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 total
00 86 150 6 8 3 3 2 258
01 6 334 42 8 4 1 1 18 414
02 16 710 224 69 9 4 1 3 1036
03 14 384 500 137 27 10 3 1 1076
04 3 90 305 294 72 21 11 2 1080
05 4 41 127 116 55 8 4 355
06 4 16 49 81 25 8 3 1 187
07 2 31 29 28 8 8 2 108
08 1 3 20 17 12 7 4 3 1 68
09 1 3 12 16 7 1 6 46
10 2 1 1 2 6
11 1 3 2 2 1 9
12 1 3 4 1 3 1 1 14
13 4 2 1 2 1 10
14 2 2
15 3 2 5
19 1 1
total 135 1735 1330 674 215 75 37 10 2 4 26 4243
Tabela 4: Frequeˆncia de Ocorreˆncia de Altura Visual e Per´ıodo Me´dio Area 44 da Costa
Brasileira (Hogben e Lumb) Linhas: Per´ıodos; Colunas: Alturas
Wave Period Wave Period Wave Height Wave Height
Code Seconds Code Feet Meters
x Calm or Period 00 1 0.25
Undetermined 01 1.5 0.5
2 5 or Less 02 3 1
3 6 or 7 03 5 1.5
4 8 or 9 04 6.5 2
5 10 or 11 05 8 2.5
6 12 or 13 06 9.5 3
7 14 or 15 07 11 3.5
8 16 or 17 08 13 4
9 18 or 19 09 14 4.5
0 20 or 21 10 16 5
1 Over 21 11 17.5 5.5
12 19 6
13 21 6.5
14 22.5 7
Texto Preliminar, SH Sphaier 30
Altura Area 27 Area 33 Area 37 Area 40 Area 44
0.25 73 257 419 318 258
0.50 245 947 1251 642 414
1.00 757 5360 3656 1739 1036
1.50 689 3332 2800 1695 1076
2.00 332 1481 1080 965 648
2.50 154 497 439 486 355
3.00 74 122 117 199 187
3.50 21 40 43 117 108
4.00 10 12 18 52 68
4.50 4 6 6 44 46
5.00 2 - - 6 6
5.50 2 5 2 7 9
6.00 3 1 - 3 14
6.50 2 - 8 3 10
7.00 - 2 3 1 2
7.50 1 2 2 5
8.00 - 1 -
8.50 - 2 -
9.00 - 6 -
9.50 - 1 1
Totais 2369 10062 9844 6289 4243