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Movimento Plano Horizontal

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sa˜o
escritas:
(m− Yv˙)v˙ − Y ∗v vu0 − (Yr˙ −mxG)r˙ − (Y ∗r −m)u0r = YR + YP
(Iz −Nr˙)r˙ − (N∗r −mxG)ru0 − (Nv˙ −mxG)v˙ −N∗v vu0 = NR +NP
onde XR, YR e NR sa˜o a forc¸a lateral e o momento de yaw provocados pela ac¸a˜o do leme;
XP , YP e NP sa˜o as forc¸as logitudinal e lateral e o momento de yaw provocados pela ac¸a˜o do
propulsor
Dividindo por (0.5ρLppHU
2) ou por (0.5ρL2ppU
2) e utilizando as formas adimensionais
descritas acima as equac¸o˜es passam a ser escritas na forma:
(m
′ −X ′u˙)u˙
′ −X ′uuδu
′
= 0 (1.15)
(m
′ − Y ′v˙ )v˙
′ − Y ′vv
′ − (Y ′r˙ −m
′
x
′
G)r˙
′ − (Y ′r −m
′
)r
′
= Y
′
R + Y
′
P (1.16)
−(N ′v˙ −m
′
x
′
G)v˙
′ −N ′vv
′
+ (I
′
z −N
′
r˙)r˙
′ − (N ′r −m
′
x
′
G)r
′
= N
′
R +N
′
P (1.17)
Deve-se observar que estamos supondo que u0/U ≈ 1.
Com essas expresso˜es, veˆ-se que a equac¸a˜o na direc¸a˜o longitudinal e´ indepente das outras
duas, e que as duas u´ltimas formam um sistema de duas equac¸o˜es diferenciais na˜o homogeˆneas
lineares acopladas.
Essas equac¸o˜es constituem a aplicac¸a˜o da segunda lei de Newton para as componentes de
forc¸as e acelerac¸o˜es em duas direc¸o˜es no plano horizontal e a extensa˜o da segunda lei para
o caso do momento em relac¸a˜o a um eixo vertical, perpendicular ao plano dos deslocamen-
tos lineares, em torno do qual o corpo se move. E´ comum denominar-se essas equac¸o˜es de
equac¸o˜es de (ou do) movimento uma vez que atrave´s de suas integrac¸o˜es pode-se obter
a evoluc¸a˜o dos movimentos do corpo com o tempo.
10 Texto Preliminar, SH Sphaier
1.4 Determinac¸a˜o Experimental dos Coeficientes
Vimos, enta˜o, as equac¸o˜es de movimento de um navio no plano horizontal utilizando
aproximac¸o˜es lineares para descrever a variac¸a˜o das forc¸as com as velocidades. Com esta
aproximac¸a˜o linear tem-se oito coeficientes hidrodinaˆmicos a serem determinados para se
poder fazer a avaliac¸a˜o da manobrabilidade de um navio. Em geral, esses coeficientes sa˜o
estimados de duas maneiras. A primeira forma e´ estima´-los atrave´s de expresso˜es emp´ıricas,
levantadas a partir de experimentos com embarcac¸o˜es similares, sistematizando-se as variac¸o˜es
de forma. Outra forma e´ o uso de testes em laborato´rios com modelos reduzidos. Nesta sec¸a˜o
apresentam-se formas de obtenc¸a˜o dos coeficientes atrave´s de testes em laborato´rio. Abaixo
apresentam-se alguns testes cativos, uma vez que o modelo fica preso por mecanismos que
impo˜em movimentos forc¸ados e medem forc¸as e deslocamentos.
1.4.1 PMM - Mecanismo de Movimento Planar
Os testes anteriores permitem que se determine somente quatro das oito derivadas hidrodinaˆmicas
necessa´rias para se fazer a determinac¸a˜o da estabilidade direcional do navio. O PMM e´ um
mecanismo que permite a obtenc¸a˜o de todas as oito derivadas necessa´rias para uma completa
avaliac¸a˜o da estabilidade direcional do navio. A figura(1.3) mostra esquematicamente um
PMM.
Texto Preliminar, SH Sphaier 11
Figura 1.2: Esquema de um PMM (Planar Motion Mechanism - Mecanismo de Movimento
Planar)
Este mecanismo consiste de duas hastes horizontais dispostas transversalmente ao eixo
longitudinal do navio, distando entre si 2b. Duas hastes verticais ligadas cada uma a uma das
hastes horizontais ligam-se ao modelo em dois pontos distintos do eixo longitudinal. Cada
haste vertical ligada a um u´nico ponto, um a vante e outro a re´ do centro de gravidade do
modelo. Cada haste pode movimentar-se de forma independente harmonicamente. Imprime-
se enta˜o os movimentos horizontais na direc¸a˜o lateral do navio da forma
yA = y0 sin(σt+ φA)
yR = y0 sin(σt+ φR)
a cada uma das hastes, a medida que o modelo avanc¸a e mede-se as forc¸as em cada uma
delas YA e YR. De acordo com os aˆngulos de fase dos movimentos, enquanto o modelo avanc¸a
logitudinalmente, pode-se manter o modelo:
caso 1 - paralelo ao eixo longitudinal executando um movimento harmoˆnico tranversal
- puro sway
caso 2 - tangenciando a trajeto´ria executando um movimento harmoˆnico tranversal -
puro yaw
12 Texto Preliminar, SH Sphaier
caso 3 - oscilando periodicamente em torno de um ponto no eixo longitudinal, com este
ponto deslocando-se longitudinalmente sem executar movimento transversal
caso 4 - movimento em linha reta com deflexa˜o do leme para determinar sua influeˆncia.
Figura 1.3: Esquema de Uso do PMM
Texto Preliminar, SH Sphaier 13
1.4.2 Teste de Reboque
Este teste, com diz o pro´prio nome, consiste em se rebocar o modelo com velocidade con-
stante ao longo de um tanque de reboque com velocidade de avanc¸o constante U e mantendo-se
um aˆngulo de aproamento fixo. Diversas corridas do modelo sa˜o executadas variando-se a
velocidade e o aˆngulo de ataque. Como o interesse maior esta´ em manobra de navios em ve-
locidades normais, na˜o ha´ a necessidade de se trabalhar com grandes aˆngulos de aproamento.
Ale´m disto, procura-se as derivadas das func¸o˜es forc¸a lateral e momento de yaw contra o
aˆngulo de ataque em torno da origem, isto e´, para aˆngulos nulos.
Atrave´s deste teste mede-se a forc¸a lateral Y e o momento de yaw N atuantes sobre o
modelo com comprimento L para a velocidade U e o aˆngulo de incideˆncia ψ em um fluido
com massa espec´ıfica ρ e viscosidade µ em presenc¸a de superf´ıcie livre, isto e´, em presenc¸a de
efeitos gravitacionais da acelerac¸a˜o g. Desta forma pode-se escrever:
Y
1/2ρU2L2
= f1(Re, Fr, ψ)
N
1/2ρU2L3
= f2(Re, Fr, ψ)
onde Re = ρUL/µ e Fr = U/
√
gL sa˜o respectivamente os nu´meros de Reynolds e de Froude.
Se for poss´ıvel respeitar as leis de semelhac¸a entre modelo e propo´tipo com
Rem = Rep
Frm = Frp
enta˜o
Y
1/2ρU2L2
|m = Y
1/2ρU2L2
|p
N
1/2ρU2L3
|m = N
1/2ρU2L3
|p
Admitindo-se que as condic¸o˜es ambientais do teste e do modelo sa˜o as mesmas, pode-se
extrapolar os resultados dos testes com modelo para o navio real se:
UL|m = UL|p
U/
√
L|m = U/
√
L|p
o que somente e´ poss´ıvel se Lm = Lp e Um = Up. Este impasse entretanto e´ superado uma vez
que a experieˆncia tem mostrado que os resultados sa˜o independentes do nu´mero de Reynolds.
Ha´ todavia que se tomar os devidos cuidados para se ter o escoamento na camada limite
similar, providenciando-se estimuladores de turbuleˆncia.
14 Texto Preliminar, SH Sphaier
Para o presente teste tem-se que:
v = −U sin(ψ)
e
v
′
=
v
U
= − sin(ψ)
Assim pode-se escrever:
Y
′
=
Y
1/2ρU2L2
= f1(Re, Fr, v
′
)
N
′
=
N
1/2ρU2L3
= f2(Re, Fr, v
′
)
Expandindo-se essas func¸o˜es em se´rie de Taylor em torno da posic¸a˜o ψ = 0 e considerando a
aproximac¸a˜o linear tem-se:
Y (v
′
) = Y
′
(0) +
dY
′
dv′
v
′
N(v
′
) = N
′
(0) +
dN
′
dv′
v
′
Utilizando-se a notac¸a˜o Y
′
v para a derivada de Y
′
em relac¸a˜o a` v
′
,
Y
′
v =
dY
′
dv′
=
dY/(1/2ρU2L2)
dv/U
=
1
1/2ρUL2
dY
dv
N
′
v =
dN
′
dv′
=
dN/(1/2ρU2L2)
dv/U
=
1
1/2ρUL2
dN
dv
e como:
dY
dv
= − dY
Udψ
dN
dv
= − dN
Udψ
pode-se obter os valores de Y
′
v e de N
′
v.
1.4.3 Teste com Brac¸o Rotato´rio
Para a execuc¸a˜o deste teste e´ necessa´rio um aparato especial dotado de um longo brac¸o
com dimensa˜o R com uma extremidade fixa a` um ponto e com o modelo fixo na outra
extremidade. O eixo longitudinal do modelo e´ colocado de forma a ficar perpendicular ao
brac¸o. Desta forma, quando o brac¸o gira em torno da extremidade fixa, o modelo esta´ dotado
Texto Preliminar, SH Sphaier 15
de velocidade u 6= 0 e v = 0. Consequentemente v˙ = 0. Como o brac¸o gira com velocidade
constante, enta˜o r˙ = 0. A velocidade tangencial, velocidade de avanc¸o no sistema solida´rio, e´
u = RΩ
onde Ω e´