A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
44 pág.
Movimento Plano Horizontal

Pré-visualização | Página 5 de 7

′
x
′
G)λ− (Y
′
r −m
′
)]R = 0
[−(N ′v˙ −m
′
x
′
G)λ−N
′
v]V + [(I
′
z −N
′
r˙)λ− (N
′
r −m
′
x
′
G)]R = 0
essas equac¸o˜es teˆm soluc¸a˜o somente no caso em que o determinante dos coeficientes se anule:∣∣∣∣ (m′ − Y ′v˙ )λ− Y ′v −[(Y ′r˙ −m′ x′G)λ− (Y ′r −m′)]−(N ′v˙ −m′ x′G)λ−N ′v (I ′z −N ′r˙)λ− (N ′r −m′ x′G)
∣∣∣∣ = 0
Texto Preliminar, SH Sphaier 27
isto e´:
((m
′ − Y ′v˙ )(I
′
z −N
′
r˙)− (Y
′
r˙ −m
′
x
′
G)(N
′
v˙ −m
′
x
′
G))λ
2
−((m′ − Y ′v˙ )(N
′
r −m
′
x
′
G) + Y
′
v (I
′
z −N
′
r˙) + (Y
′
r −m
′
)(N
′
v˙ −m
′
x
′
G) +N
′
v(Y
′
r˙ −m
′
x
′
G))λ
+Y
′
v (N
′
r −m
′
x
′
G)− (Y
′
r −m
′
)N
′
v =
Aλ2 +Bλ+ C = 0
e o determinante e´ nulo para:
λ1 (2) =
−B ±√B2 − 4AC
2A
com os valores de σ1 (2) pode-se verificar se o sistema e´ esta´vel ou na˜o. O estudo do com-
portamento das ra´ızes λ1 e λ2 podera´ demonstrar se o sistema e´ ou na˜o esta´vel, ou seja este
sistema retorna a uma posic¸a˜o de equil´ıbrio caso haja perturbac¸a˜o.
O comportamento do navio, apo´s a perturbac¸a˜o e´ dado por:
v
′
= V1e
λ1t + V2e
λ2t
r
′
= R1 e
λ1t +R2e
λ2t
Os valores de V1, V2, R1 e R2 dependem das condic¸o˜es iniciais impostas, mas para a ana´lise
de estabilidade na˜o sa˜o em si importantes. O que determina o comportamento do navio sa˜o
os autovalores do problema, isto e´, λ1 e λ2. Assumindo que a forma dos autovalores e´ dada
por:
λi = µi + iνi
a parte imagina´ria, quando existente, mostra um comportamento per´ıodico de v′ e r′ com o
tempo. A parte real, quando positiva, indica que o as varia´veis v′ e r′ crescem, em mo´dulo,
com o tempo. O navio e´ insta´vel, uma vez que perturbado na˜o amortece este efeito. Se a
parte real e´ negativa, ela indica que os movimentos introduzidos por pequenas perturbac¸o˜es
sa˜o amortecidos com o tempo. Estas soluc¸o˜es representam a reac¸a˜o do navio quando o navio
encontra-se com o leme posicionado a zero graus.
Na teoria de manobras, entretanto faz-se uma ana´lise das contribuic¸o˜es de A, B e C e
chega-se a um crite´rio bem mais simples, em que o valor do coeficiente C define se o navio e´
direcionalmente esta´vel ou na˜o.
Como vimos acima o determinante da equac¸a˜o
Aσ2 +Bσ + C = 0
e´ nulo para:
σ1 (2) =
−B ±√B2 − 4AC
2A
Em termos das poss´ıveis soluc¸o˜es temos as seguintes possibilidades:
28 Texto Preliminar, SH Sphaier
• B2−4AC > 0, AC < 0 - uma raiz real positiva - soluc¸a˜o insta´vel - aumento exponencial
• B2 − 4AC > 0, AC > 0 - duas ra´ızes reais com sinais dependendo de B/A:
1. B/A > 0 - duas ra´ızes reais negativas - soluc¸a˜o esta´vel - decrescimento exponencial
2. B/A < 0 - duas ra´ızes reais positivas - soluc¸a˜o insta´vel - aumento exponencial
• B2 − 4AC = 0 - duas ra´ızes reais com sinais dependendo de B/A:
1. B/A > 0 - duas ra´ızes reais negativas iguais - soluc¸a˜o esta´vel - decrescimento
exponencial
2. B/A < 0 - duas ra´ızes reais positivas iguais - soluc¸a˜o insta´vel - aumento exponencial
• B2 − 4AC < 0
1. B/A > 0 - duas ra´ızes complexas com partes reais negativas - soluc¸a˜o esta´vel -
decre´scimo exponencial com oscilac¸a˜o
2. B/A < 0 - duas ra´ızes complexas com partes reais positiva - soluc¸a˜o insta´vel -
aumento exponencial com oscilac¸a˜o
A conclusa˜o deste quadro e´ que B/A > 0 e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para estabilidade e
AC > 0 e´ uma condic¸a˜o suficiente para estabilidade.
Conve´m agora proceder a uma avaliac¸a˜o das influeˆncias dos coeficientes hidrodinaˆmicos
nos coeficientes para A, B e C para aprofundar um pouco mais a ana´lise.
Como:
m
′
> 0, I
′
> 0, Y
′
v˙ < 0, N
′
r˙ < 0, Y
′
v < 0, N
′
r < 0, Y
′
r < 0, N
′
v ≥ 0 e Y ′r˙ , N ′v˙, x′G sa˜o
pequenos, enta˜o:
1) O coeficiente A sera´ sempre positivo
A = (m
′ − Y ′v˙ )(I
′
z −N
′
r˙)− (Y
′
r˙ −m
′
x
′
G)(N
′
v˙ −m
′
x
′
G)
A > 0
2) O coeficiente B sera´ sempre positivo
B = −((m′ − Y ′v˙ )(N
′
r −m
′
x
′
G) + Y
′
v (I
′
z −N
′
r˙) + (Y
′
r −m
′
)(N
′
v˙ −m
′
x
′
G) + (Y
′
r˙ −m
′
x
′
G))
B > 0
Texto Preliminar, SH Sphaier 29
3) A relac¸a˜o A/B sera´ sempre positiva
O coeficiente C e´ o u´nico que dependendendo dos valores das derivadas hidrodinaˆmicas
podera´ ser positivo ou negativo. Assim a condic¸a˜o de estabilidade direcional sera´ dada por
C > 0
onde
C = Y
′
v (N
′
r −m
′
x
′
G)− (Y
′
r −m
′
)N
′
v
Esta relac¸a˜o pode ser rearranjada e expressa na seguinte forma:
N
′
r −m′ x′G
Y ′r −m′
− N
′
v
Y ′v
> 0
e a estabilidade passa a ser analisada comparando-se os brac¸os devidos aos momentos ro-
tato´rios e os momentos esta´ticos.
lr =
N
′
r −m′ x′G
Y ′r −m′
ls =
N
′
v
Y ′v
1.6 Ana´lise Linear do Movimento do Navio em uma
Curva de Giro
O navio avanc¸a em uma trajeto´ria retil´ınea quando seu leme e´ movimentado ate´ um aˆngulo
final fixo. A trajeto´ria do navio antes e apo´s esta ac¸a˜o pode ser dividida em quatro fases.
1. fase de aproximac¸a˜o
nesta fase tem-se
v˙ = 0, r˙ = 0, v = 0 e r = 0.
Trata-se da fase de aproximac¸a˜o em que o navio esta´ em sua trajeto´ria em linha reta.
Utilizando-se o modelo linearizado de manobras pode-se estudar o comportamento de
um navio quando realiza sua curva de giro. Os resultados valem qualitativamente de
forma geral. Pode-se estimar o raio da curva de giro que o navio executara´, pore´m os
efeitos na˜o lineares na˜o podem ser desprezados para uma avaliac¸a˜o mais precisa.
30 Texto Preliminar, SH Sphaier
2. primeira fase de giro
Esta fase inicia-se quando o leme do navio e´ acionado e comec¸a a girar e pode terminar
quando o leme alcanc¸a sua ma´xima deflexa˜o. Como no comec¸o desta fase na˜o ha´ uma
efetiva ac¸a˜o do leme, o navio na˜o oferece um aˆngulo de ataque considera´vel em relac¸a˜o
ao fluxo de a´gua, a forc¸a transversal no casco do navio e´ nula.
Nesta fase tem-se
v˙ 6= 0, r˙ 6= 0, v = 0 e r = 0.
As equac¸o˜es de movimento sa˜o:
(m
′ − Y ′v˙ )v˙
′ − (Y ′r˙ −m
′
x
′
G)r˙
′
= Y
′
δ δ
−(N ′v˙ −m
′
x
′
G)v˙
′
+ (I
′
z −N
′
r˙)r˙
′
= N
′
δδ
Deve-se ressaltar que esta fase e´ curta, uma vez que a consequeˆncia imediata de acel-
erac¸o˜es e´ a variac¸a˜o da velocidade.
3. segunda fase de giro
Ao se formar um aˆngulo de ataque entre o navio e o fluxo, aparecera˜o as componentes v
e r. Consequentemente uma forc¸a lateral hidrodinaˆmica passa a atuar sobre o casco em
oposic¸a˜o a` forc¸a do leme. O mo´dulo da acelerac¸a˜o v˙ deixa de crescer ate´ que as forc¸as
se equilibrem. Nesta fase o mo´dulo de r˙ inicialmente cresce, para depois decrescer ate´
que os momentos hidrodinaˆmicos sobre o casco e sobre o leme se equilibrem.
Nesta fase tem-se
v˙ 6= 0, r˙ 6= 0, v 6= 0 e r 6= 0.
O movimento e´ descrito pelas equac¸o˜es completas.
4. terceira fase de giro
Uma vez as forc¸as hidrodinaˆmicas e os momentos se equilibrem as acelerac¸o˜es sa˜o nulas
e entra-se na terceira fase do giro.
Nesta fase tem-se
v˙ = 0, r˙ = 0, v 6= 0 e r 6= 0.
As equac¸o˜es de movimento sa˜o dadas por
−Y ′vv
′ − (Y ′r −m
′
)r
′
= Y
′
δ δ
−N ′vv
′ − (N ′r −m
′
x
′
G)r
′
= N
′
δδ
Texto Preliminar, SH Sphaier 31
A partir delas determinamos a raza˜o de giro e r
′
= rL/U e a velocidade de sway v
′
r
′
= −δ N
′
vY
′
δ −N ′δY ′v
Y ′v (N
′
r −m′ x′G)−N ′v(Y ′r −m′)
e
v
′
= δ
N
′
δ(Y
′
r −m′)− Y ′δ (N ′r −m′ x′G)
Y ′v (N
′
r −m′ x′G)−N ′v(Y ′r −m′)
Lembrando que r
′
= rL/U e o raio de curvatura e´ dado por R = U/r, e que v
′
= U sin β
enta˜o:
R = −L
δ
Y
′
v (N
′
r −m′ x′G)−N ′v(Y