Movimento Plano Horizontal

′r −m′)
N ′vY
′
δ −N ′δY ′v
e
sin β = δ
N
′
δ(Y
′
r −m′)− Y ′δ (N ′r −m′ x′G)
Y ′v (N
′
r −m′ x′G)−N ′v(Y ′r −m′)
Ao ponto P no eixo longitudinal do navio tal que
xP = R sin β
chama-se ponto de pivotamento.
O numerador da expressa˜o para a determinac¸a˜o do raio de girac¸a˜o e o denominador
da expressa˜o que estabelece o aˆngulo de deriva sa˜o iguais ao coeficiente C que indica o
grau de estabilidade. Caso o navio seja esta´vel tem-se para a aproximac¸a˜o do raio de
giro um valor positivo. Caso contra´rio este valor e´ negativo. Trata-se de uma coereˆncia
matema´tica com o comportamento insta´vel do navio. Do ponto de vista f´ısico e´ uma
confirmac¸a˜o da necessidade de se considerar efeitos na˜o-lineares no modelo.
1.7 Estabilidade de um Navio em SPM ou de um Navio
em Reboque
Vamos aqui estudar o equil´ıbrio de um sistema navio ligado a um ponto fixo do espac¸o
sob a ac¸a˜o de corrente marinha. Este problema corresponde ao caso de um navio rebocado a
velocidade constante.
A sigla SPM vem da expressa˜o em ingles Single Point Mooring, isto e´, ancoragem atrave´s
de um ponto fixo. Ver figura 1.
A ana´lise que vamos realizar aqui objetiva a verificac¸a˜o se ao enfrentar uma corrente
marinha:
32 Texto Preliminar, SH Sphaier
• o navio mante´m-se alinhado com a corrente marinha?
• o navio na˜o consegue manter-se alinhado com a corrente marinha eadota um aˆngulo de
aproamento na˜o nulo ψ 6= 0?
• o navio oscila em torno da posic¸a˜o de equil´ıbrio insta´vel ψ = 0?
Observemos que quando o navio na˜o consegue ficar alinhado com a corrente marinha
adotando um equil´ıbrio para um aˆngulo ψ 6= 0, existem na realidade duas posic¸o˜es de equl´ıbrio,
pois ψ pode ser positivo ou negativo. Nesse caso, a posic¸a˜o de equil´ıbrio para ψ = 0 pode ser
mantida, mas na˜o suporta perturbac¸o˜es. O navio comporta-se como um peˆndulo invertido.
Ao ser perturbado desloca-se ate´ encontrar uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio.
O estudo feito para o navio em SPM sujeito a` correnteza equivale tambe´m ao estudo do
navio em reboque.
No caso do navio que oscila em torno da posic¸a˜o ψ = 0 trata-se de uma posic¸a˜o de
equil´ıbrio insta´vel.
Para auxiliar a descric¸a˜o do problema construimos 3 figuras sobre as definic¸o˜es utilizadas
nos problemas.
Observem as figuras 1, 2 e 3. Nelas l e´ o comprimento do cabo de reboque (hawser), a e´
a distaˆncia do centro do sistema ate´ o ponto de conexa˜o do hawser.
A figura 2 mostra as forc¸as hidrodinaˆmicas na busca por uma posic¸a˜o de equilibrio. Sob
a ac¸a˜o da correnteza o navio tenta equilibrar Tu = Fu, Tv = Fv e N = a Tv
1.7.1 Sistema de Equac¸o˜es
Considerando somente os efeitos da correnteza e do hawser, as equac¸o˜es de movimento,
para a formulac¸a˜o quadra´tica de forc¸as hidrodinaˆmicas, sa˜o dadas por:
(m
′ −X ′u˙)u˙
′ −m′x′cgr
′2 −m′v′r′ = X ′uu0u
′
+X
′
v|r|v
′|r′|+ T ′u
(m
′ − Y ′v˙ )v˙
′ − Y ′r˙ r˙
′
+m
′
x
′
cgr˙
′
+m
′
u
′
r
′
= Y
′
vv
′
+ Y
′
r r
′
+ Y
′
v|v|v
′|v′|+ Y ′r|r|r
′|r′|+ T ′v
(I
′ −N ′r˙)r˙
′ −N ′v˙v˙
′
+m
′
x
′
cgr
′
u
′
+m
′
x
′
cgv˙
′
= N
′
vv
′
+N
′
rr
′
+N
′
v|v|v
′ |v′|+N ′r|r|r
′|r′|+ a′ ∗ T ′v
Neste sistema as inco´gnitas sa˜o u˙
′
, v˙
′
, r˙
′
, u
′
, v
′
, r
′
, T
′
u e T
′
v.
Onde:
u˙
′
=
du
′
dt
Texto Preliminar, SH Sphaier 33
Figura 1.11: Definic¸o˜es ba´sicas: geometria e forc¸as
34 Texto Preliminar, SH Sphaier
v˙
′
=
dv
′
dt
e
r˙
′
=
dr
′
dt
As relac¸o˜es para as trac¸o˜es devidas ao hawser e a geometria do sistema sa˜o:
T
′
u = T
′
h cos(ψ − γ)
T
′
v = −T
′
h sin(ψ − γ)
onde a trac¸a˜o no hawser T
′
h e´ dada por sua elongac¸a˜o vezes um coeficiente de mola.
T
′
h = k
′
(l − l0)
para l− l0 > 0. Observemos que o hawser se destende sob a ac¸a˜o da correnteza. Quando na˜o
esta´ alongado, a forc¸a de trac¸a˜o e´ nula.
Observando a figura 3, podemos dizer que, definindo-se o deslocamento absoluto do centro
do sistema solida´rio como ξ
′
e η
′
, teˆm-se as seguintes relac¸o˜es geome´tricas:
ξ
′
+ a
′
cosψ + l
′
cos γ = a
′
+ l
′
0
−η′ − a′ sinψ = l′0 sin γ
As velocidades absolutas sa˜o dadas por:
ξ˙
′
=
dξ
′
dt
= U
′
x
η˙
′
=
dη
′
dt
= U
′
y
e se relacionam com as velocidades relativas observados no sistema solida´rio atrave´s de:
ξ˙
′
= U
′
x = −C
′
+ u
′
cos(ψ)− v′ sin(ψ)
η˙
′
= U
′
y = u
′
sin(ψ) + v
′
cos(ψ)
derivando as equac¸o˜es acima obtemos relac¸o˜es entre as acelerac¸o˜es:
u˙
′
= ξ¨
′
cosψ − (ξ˙′ + C ′)ψ˙ sinψ + η¨′ sinψ + η˙′ψ˙ cosψ
v˙
′
= −ξ¨′ sinψ − (ξ˙′ + C ′)ψ˙ cosψ + η¨′ cosψ − η˙′ψ˙ sinψ
A ac¸a˜o do hawser sobre o navio no sistema solida´rio na forma adimensional e´ expressa
pelas projec¸o˜es:
T
′
u = T
′
cos(ψ − γ)
T
′
v = −T
′
sin(ψ − γ)
e pelo produto
T
′
ψ = aT
′
v
Texto Preliminar, SH Sphaier 35
1.7.2 Estabilidade de um Navio Alinhado com a Corrente
O estudo da estabilidade linear consiste em assumir que o sistema sofre pequenas per-
turbac¸o˜es, pequenos deslocamentos, em torno da posic¸a˜o ψ = 0. Queremos saber se ele
retorna a posic¸a˜o de equil´ıbrio, ou foge dela.
Se essa posic¸a˜o e´ uma posic¸a˜o de equil´ıbrio esta´vel, o navio retorna a ela apo´s uma pequena
perturbac¸a˜o. Mesmo para um pequeno aˆngulo de aproamento e um pequeno deslocamento
linear, os momentos e forc¸as restauradores impostos pelo hawser vencem os momentos e forc¸as
hidrodinaˆmicos.
Se essa posic¸a˜o e´ uma posic¸a˜o de equil´ıbrio insta´vel ele tenta fugir desta posic¸a˜o. Os
momentos e forc¸as hidrodinaˆmicos vencem os momentos e forc¸as de restaurac¸a˜o impostos
pelo hawser. A medida que o aˆngulo aumenta a situac¸a˜o se inverte e o navio retorna a`
posic¸a˜o de equil´ıbrio.
Passemo agora a fazer a aproximac¸a˜o das equac¸o˜es para pequenos deslocamentos e veri-
fiquemos se o navio se mante´m na posic¸a˜o de equil´ıbrio alinhado com a correnteza.
Admitindo que ψ e´ muito pequeno temos
ξ
′
+ l
′ − l′0 = 0
−η′ − a′ψ = l′0γ
ξ˙
′
= −C ′ + u′ − v′ψ
η˙
′
= u
′
ψ + v
′
u˙
′
= ξ¨
′ − (ξ˙′ + C ′)ψ˙ψ + η¨′ψ + η˙′ψ˙ ≈ ξ¨′
v˙
′
= −ξ¨′ψ − (ξ˙′ + C ′)ψ˙ + η¨′ − η˙′ψ˙ψ ≈ −C ′ψ˙ + η¨′
T
′
u = T
′
T
′
v = −T
′
(ψ − γ)
Lineariza-se o problema e chega-se a:
−γ = η
′
l
′
0
+
a
′
l
′
0
ψ
u
′
= C
′
+ ξ˙
′
v
′
= η˙
′ − C ′ψ
u˙
′
= ξ¨
′
36 Texto Preliminar, SH Sphaier
v˙
′
= η¨
′ − C ′ψ˙
ξ
′
= −∆l′ = l′0 − l
′
isto e´, diante dos pequenos deslocamentos lateral e de rotac¸a˜o, a elongac¸a˜o da corda e´ dada
pelo movimento longitudinal do navio.
Conclui-se que a trac¸a˜o depende exclusivamente do deslocamento longitudinal do navio:
T
′
= k
′
1∆l
′
= −ξ′k′1
Apo´s utilizar essas simplificac¸o˜es nas equac¸o˜es obteˆm-se as equac¸o˜es de movimento lin-
earizadas em torno de ψ = 0:
(m
′ −X ′u˙)ξ¨
′
+ T
′ −X ′uu0(ξ˙
′
+ C
′
) = 0 (1.18)
(m
′ −Y ′v˙ )η¨
′ −Y ′v η˙
′
+
T
′
l′
η
′
+(m
′
x
′
cg−Y
′
r˙ )ψ¨− (Y
′
r −Y
′
v˙C
′
)ψ˙+[C
′
Y
′
v +T
′
(1+
a
′
l′
)]ψ = 0 (1.19)
(I
′−N ′r˙)ψ¨
′
+(Nv˙C
′−N ′r)ψ˙+[C
′
N
′
v+a
′
T
′
(1+
a
′
l′
)]ψ+(m
′
x
′
cg−N
′
v˙)η¨
′−N ′vη˙
′
+a
′ T
′
l′
η
′
= 0 (1.20)
em que a primeira equac¸a˜o e´ independente das outras.
O navio desloca-se da posic¸a˜o inicial ate´ que assuma um deslocamento
ξ
′
(0) =
X
′
uu
k
′
l
tal que a trac¸a˜o e´ dada por:
T
′
0 = ξ
′
(0) ∗ k′l = X
′
uu
em torno desta posic¸a˜o oscila com
(m
′ −X ′u˙)ξ¨
′