Movimento Plano Horizontal

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Programa de Engenharia Oceaˆnica
COPPE / UFRJ
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Movimentos no Plano Horizontal
SH Sphaier
Marc¸o de 2008
Suma´rio
1 Dinaˆmica do Navio no Plano Horizontal 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Equac¸o˜es de Movimento de um Navio no Plano Horizontal . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Formulac¸o˜es para as Forc¸as Hidrodinaˆmicas . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Forma Adimensional das Forc¸as, Velocidades e Acelerac¸o˜es . . . . . . . 7
1.2.3 Aˆngulo de Deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Modelo Linear para Manobras de Navios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Determinac¸a˜o Experimental dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 PMM - Mecanismo de Movimento Planar . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Teste de Reboque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Teste com Brac¸o Rotato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 Puro Sway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.5 Puro Yaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.6 Oscilac¸a˜o Angular Harmoˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.7 Derivadas Hidrodinaˆmicas do Leme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.8 Expresso˜es para Estimativa das Derivadas Hidrodinaˆmicas . . . . . . . 24
1.5 Estabilidade Direcional de Navios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Ana´lise Linear do Movimento do Navio em uma Curva de Giro . . . . . . . . . 29
1.7 Estabilidade de um Navio em SPM ou de um Navio em Reboque . . . . . . . . 31
i
ii Texto Preliminar, SH Sphaier
1.7.1 Sistema de Equac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7.2 Estabilidade de um Navio Alinhado com a Corrente . . . . . . . . . . . 35
1.7.3 Estabilidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.4 Problema de Autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.5 Posic¸a˜o de Equil´ıbrio Esta´tico em SPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Lista de Figuras
1.1 Matriz de Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Esquema de um PMM (Planar Motion Mechanism - Mecanismo de Movimento
Planar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Esquema de Uso do PMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Esquema de Teste de Reboque com Aproamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Teste de Reboque: Forc¸a Longitudinal Adimensional X Aproamento . . . . . . 17
1.6 Teste de Reboque: Forc¸a Lateral Adimensional X Aproamento . . . . . . . . . 18
1.7 Teste de Reboque: Momento Adimensional X Aproamento . . . . . . . . . . . 19
1.8 Esquema Teste com Brac¸o Rotato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Puro Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10 Puro Drift 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 Definic¸o˜es ba´sicas: geometria e forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
iii
Cap´ıtulo 1
Dinaˆmica do Navio no Plano
Horizontal
1.1 Introduc¸a˜o
A formulac¸a˜o das equac¸o˜es de movimento de um navio em manobras, sendo rebocado
por um cabo ou ancorado sujeito a` correnteza segue o cla´ssico modelo de manobras. As
diferenc¸as se da˜o pela ac¸a˜o do leme, do propulsor e de cabos de conexa˜o, e pela ordem das
velocidades. Navios em manobras em velocidades normais sofrem ac¸o˜es fluidas diferentes do
caso em que se encontram ligados a um SPM sob ac¸a˜o de correnteza. Formulamos aqui o
problema enfocando o caso de baixas velocidades. Pore´m, inicialmente, trataremos o problema
de estabilidade direcional em manobras atrave´s de modelac¸a˜o linear. Trata-se de certa forma
de uma introduc¸a˜o ao problema de um navio ancorado em SPM (Single Point Mooring).
Seguindo a modelac¸a˜o cla´ssica de manobras sera˜o enta˜o formuladas as equac¸o˜es de movimento
para um navio amarrado em SPM exposto a uma correnteza. Finalmente apresentamos o caso
de um navio ancorado atrave´s de uma torreta.
1.2 Equac¸o˜es de Movimento de um Navio no Plano
Horizontal
Utilizam-se dois sistemas de coordenadas, um sistema fixo ao navio OXY e um sistema
inercial Oxy. O sistema do navio possui o eixo OX alinhado com a correnteza com sentido
oposto a ela. O sistema de coordenadas solida´rio ao navio tem sua origem localizada no plano
de a´guas tranqu¨ilas com eixo Oz voltado para baixo. No instante inicial o sistema solida´rio
1
2 Texto Preliminar, SH Sphaier
coincide com o sistema inercial.
Conve´m observar que esta notac¸a˜o de eixos difere da notac¸a˜o utilizada quando estuda-se o
comportamento do navio em ondas, por motivo da inversa˜o do eixo vertical, agora apontado
para baixo, e consequentemente do eixo lateral, agora apontado para boreste.
A velocidade da correnteza possui mo´dulo C com um aˆngulo α de incideˆncia. Os eixos
OX e Ox formam um aˆngulo de yaw(ψ) entre eles. Quando tem-se o navio alinhado com a
correnteza e com velocidade de avanc¸o constante, e´ dito que ha´ uma situac¸a˜o de equil´ıbrio,
pois na˜o ha´ acelerac¸a˜o na direc¸a˜o longitudinal nem movimento lateral ou de yaw. Para o
estudo de manobra quando o navio esta´ navegando em velocidade de cruzeiro adota-se que
a velocidade da correnteza e´ nula e a velocidade de avanc¸o e´ constante para a situac¸a˜o de
equil´ıbrio. Em caso de navios amarrados, esta situac¸a˜o de equil´ıbrio se da´ quando a velocidade
absoluta do navio e´ nula. A relac¸a˜o linear entre as componentes da velocidade linear do navio
no sistema inercial Ux e Uy e suas componentes no sistema solida´rio u e v sa˜o dadas por :
Ux − C cos(α) = u cos(ψ)− v sin(ψ)
Uy − C sin(α) = u sin(ψ) + v cos(ψ)
u = (Ux − C cos(α)) cos(ψ) + (Uy − C sin(α)) sin(ψ)
v = −(Ux − C cos(α)) sin(ψ) + (Uy − C sin(α)) cos(ψ)
onde ψ e´ o aˆngulo de yaw. A velocidade de yaw, ”rate of turn”, e´ dada por:
dψ
d t
= r
e e´ a mesma em ambos os sistemas.
Estas expresso˜es acima definem as relac¸o˜es cinema´ticas entre as componentes de veloci-
dades nos dois sitemas.
As componentes das forc¸as externas resultantes no sistema solida´rio Fu e Fv e as compo-
nentes no sistema inercial Fx e Fy teˆm entre si as seguintes relac¸o˜es:
Fu = Fx cosψ + Fy sinψ
Fv = −Fx sinψ + Fy cosψ
com relac¸o˜es inversas:
Fx = Fu cosψ − Fv sinψ
Fy = Fu sinψ + Fv cosψ
Texto Preliminar, SH Sphaier 3
Figura 1.1: Matriz de Rotac¸a˜o
Derivando-se as expresso˜es das componentes de velocidades obtemos as componentes das
acelerac¸o˜es:
U˙x = u˙ cosψ − u sinψψ˙ − v˙ sinψ − v cosψψ˙ (1.1)
U˙y = u˙ sinψ + u cosψψ˙ + v˙ cosψ − v sinψψ˙ (1.2)
4 Texto Preliminar, SH Sphaier
e
u˙ = U˙x cosψ − (Ux − C cosα) sinψψ˙ + U˙y sinψ + (Uy − C sinα) cosψψ˙ (1.3)
v˙ = −U˙x sinψ − (Ux − C cosα) cosψψ˙ + U˙y cosψ − (Uy − C sinα) sinψψ˙ (1.4)
O que fizemos acima foi expressar velocidades e forc¸as nos dois sistemas de coordenadas
definidos, o sistema inercial e o sistema solida´rio, e relacionar as componentes em cada sistema
atrave´s da matriz de rotac¸a˜o utilizando o aˆngulo de aproamento, que nada mais e´ que o aˆngulo
entre os dois sitemas. A segunda lei de Newton para forc¸as e sua extensa˜o para momentos vale
num sistema inercial. Do ponto de vista da expressa˜o das forc¸as atuantes no navio, devidas
a efeitos de ondas, vento e corrente, e´ mais apropriado formularmos o problema no sistema
solida´rio. Assim, de posse das expresso˜es relacionando forc¸as, velocidades e acelerac¸o˜es nos
dois sistemaspodemos aplicar a lei de Newton no sistema inercial e enta˜o transferir a equac¸a˜o
para o sistema solida´rio ao navio com origm fora do centro de gravidade do corpo.
Utilizando-se a segunda lei de Newton teˆm-se:
mU˙xG = Fx mU˙yG = Fy (1.5)
onde:
UG = UxGi+ UyGj = U+ ω × rG
e´ a velocidade absoluta do centro de gravidade do navio, m e´ a massa do navio e Fx e Fy sa˜o
as componentes das forc¸as externas no sistema inercial.
A acelerac¸a˜o absoluta e´ dada por:
U˙G = U˙+ ω˙ × rG + ω × (ω × rG)
cujas componentes no caso presente sa˜o dadas por:
U˙xG = U˙x − yGOψ¨ − xGOψ˙2 U˙yG = U˙y + xGOψ¨ − yGOψ˙2 (1.6)
As componentes do vetor rG no sistema inercial (xGO, yGO, zGO) e no sistema solida´rio (xG, yG, zG)
obedecem as seguintes relac¸o˜es
xGO = xG cosψ − yG sinψ
yGO = xG sinψ + yG cosψ
e
xG = xG0 cosψ + yG0 sinψ
yG = −xG0 sinψ + yG0 cosψ
Utilizando-se as expresso˜es (1.1), (1.2), (1.5) e (1.6) obte´m-se:
m(u˙ cosψ − u sinψψ˙ − v˙ sinψ − v cosψψ˙ − yGOψ¨ − xGOψ˙2) = Fx (1.7)
Texto Preliminar, SH Sphaier 5
m(u˙ sinψ + u cosψψ˙ + v˙ cosψ − v sinψψ˙ + xGOψ¨ − yGOψ˙2) = Fy (1.8)
Multiplicando-se (1.7) por cosψ, (1.8) por sinψ e somando chega-se a:
m[u˙− vψ˙ − yGψ¨ − xGψ˙2] = Fu (1.9)
Multiplicando-se (1.7) por sinψ, (1.8) por cosψ e subtraindo tem-se:
m[v˙ + uψ˙ + xGψ¨ − yGψ˙2] = Fv (1.10)
onde: Fu e Fv sa˜o as componentes das resultantes das forc¸as externas atuando sobre o corpo
no sistema solida´rio.
As equac¸o˜es (1.9) e (1.10) expressam a segunda lei de Newton observada de um sistema
solida´rio ao corpo. Vamos agora formular a equac¸a˜o de momento em termos das velocidades
e acelerac¸o˜es expressas no sistema solida´rio com origem fora do centro de gravidade.
A equac¸a˜o de conservac¸a˜o de quantidade de movimento angular e´ dada por
IGψ¨ = NE,G
onde IG e´ o momento de ine´rcia e NE,G o momento das forc¸as externas em relac¸a˜o ao centro
de gravidade do navio.
A relac¸a˜o entre os momentos das forc¸as externas em relac¸a˜o a um ponto fora do centro de
gravidade e em relac¸a˜o ao centro de gravidade e´ dada por:
NE,G = NE + yGFu − xGFv
Pelo teorema da translac¸a˜o:
I = IG +m(x
2
G + y
2
G)
De posse dessas relac¸o˜es e lembrando que r = ψ˙ tem-se:
Ir˙ +mxG(v˙ + ur)−myG(u˙− vr) = NE (1.11)
Os efeitos hidrodinaˆmicos a serem considerados inicialmente sa˜o aqueles correspondentes
ao movimento relativo casco fluido sem ondas. Posteriormente, podera˜o ser inclu´ıdos os efeitos
de onda, como ac¸o˜es independentes.
Deve-se observar que no caso da equac¸a˜o de momentos, os eixos verticais tanto no sistema
solida´rio quanto no sistema inercial sa˜o coincidentes, haja visto que na˜o consideramos os
movimentos de pitch e de roll.
Reunindo as equac¸o˜es de movimento temos:
6 Texto Preliminar, SH Sphaier
- Equac¸a˜o de forc¸as na direc¸a˜o x:
m[u˙− v ∗ r − yG ∗ r˙ − xG ∗ r2] = XH +XP +XR +XWA +XWI + Tu (1.12)
- Equac¸a˜o de forc¸as na direc¸a˜o y:
m[v˙ + u ∗ r + xG ∗ r˙ − yG ∗ r2] = YH + YP + YR + YWA + YWI + Tv (1.13)
- Equac¸a˜o de momento:
Ir˙ +mxG(v˙ + u · r)−myG(u˙− v · r) = NH +NP +NR +NWA +NWI + TN (1.14)
onde:
- XH , YH e NH representam as forc¸as devidas a velocidade relativa fluido corpo, con-
siderando a correnteza e a velocidade do corpo, que chamaremos aqui de forc¸as de
manobra.
- XP , YP e NP representam as forc¸as devidas ao propulsor
- XR, YR e NR representam as forc¸as devidas ao leme
- XWA, YWA e NWA representam as forc¸as devidas a`s ondas incidentes.
- XWI , YWI e NWI representam as forc¸as devidas a velocidade relativa ar corpo, con-
siderando o vento e a velocidade do corpo.
- Tu, Tv e TN representam as forc¸as e momentos devidos a` ac¸a˜o de um poss´ıvel sistema de
ancoragem, cabos, etc. Por exemplo, para o caso de um cabo amarrado em um ponto
no plano de simetria longitudinal a uma distaˆncia a do ponto de conexa˜o ao centro do
sistema solida´rio ao navio TN = aTv.
1.2.1 Formulac¸o˜es para as Forc¸as Hidrodinaˆmicas
A dificuldade de se conseguir uma formulac¸a˜o teo´rica para a determinac¸a˜o das forc¸as,
levou a estudos experimentais, propondo-se a descrever as forc¸as em func¸a˜o das velocidades
atrave´s de formulac¸o˜es polinomiais como se´ries de poteˆncias truncadas.
As forc¸as obtidas pela teoria potencial apresentam componentes em fase com as acel-
erac¸o˜es, a reac¸a˜o dada pelo produto da massa adicional e das acelerac¸o˜es do corpo, compo-
nentes dadas por diferenc¸as entre massas adicionais multiplicadas por produtos de velocidades,
como por exemplo, e´ o caso do momento de Munk e componentes dadas por massas adicionais
Texto Preliminar, SH Sphaier 7
multiplicadas por produtos de velocidades. Incluindo os termos que conte´m produtos de ve-
locidades junto com as forc¸as de origem viscosa, as forc¸as podem ser escritas atrave´s da soma
de termos em fase com as componentes das acelerac¸o˜es lineares e angular e outro termo func¸a˜o
das velocidades.
No caso do movimento com treˆs graus de liberdade, e´ imposta uma simplificac¸a˜o pela
simetria do corpo. Assim, pode-se escrever:
XH = Xu˙u˙+X(u, v, r)
YH = Yv˙v˙ + Yr˙r˙ + Y (u, v, r)
NH = Nr˙r˙ +Nv˙v˙ +N(u, v, r)
1.2.2 Forma Adimensional das Forc¸as, Velocidades e Acelerac¸o˜es
Introduzindo a adimensionalizac¸a˜o de tal forma que tenham-se:
• para distaˆncias
a
′
=
a
Lpp
l
′
=
l
Lpp
• para as velocidades
v
′
=
v
U
r
′
=
rLpp
U
t
′
=
tU
Lpp
teremos
dr
dt
=
dr
dt′
dt
′
dt
=
U
Lpp
dr
′
dt′
U
Lpp
=
U2
L2pp
dr
′
dt′
• assim para as acelerac¸o˜es:
u˙
′
= u˙Lpp/U
2; v˙
′
= v˙Lpp/U
2; r˙
′
= r˙L2pp/U
2
No caso das forc¸as na literatura da a´rea encontram-se duas formas de adimensionalizac¸a˜o.
Uma utilizando-se o comprimento do navio Lpp e o calado H. A outra forma utiliza somente
o comprimento do navio Lpp. Assim teˆm-se:
8 Texto Preliminar, SH Sphaier
• para as trac¸o˜es:
T
′
u = Tu/(0.5 · ρ · Lpp ·H · U2); T ′v = Tv/(0.5 · ρ · Lpp ·H · U2);
ou a forma
T
′
x = Tx/(0.5 · ρ · L2pp · U2); T ′y = Ty/(0.5 · ρ · L2pp · U2);
• para as forc¸as hidrodinaˆmicas:
F
′
= F/(0.5ρLppHU
2)
ou a forma
F
′
= F/(0.5ρL2ppU
2)
• para os momentos
N
′
= N/(0.5ρL2ppHU
2)
ou a forma
N
′
= N/(0.5ρL3ppU
2)
1.2.3 Aˆngulo de Deriva
Deve-se notar que a velocidade resultante do navio, U =
√
u2 + v2, aponta na direc¸a˜o
tangente a` trajeto´ria do navio, e na˜o necessariamente aponta na direc¸a˜o longitudinal do
navio, que seria o caso quando v = 0. Ao aˆngulo formado pelo plano longitudinal de simetria
do navio com a tangente a` trajeto´ria, direc¸a˜o da velocidade do corpo, da´-se o nome de aˆngulo
de deriva e costuma-se denota´-lo por β.
1.3 Modelo Linear para Manobras de Navios
A equac¸a˜o de movimento na direc¸a˜o longitudinal do sistema solida´rio linearizada, obtida
a partir de (1.12) e´ dada por:
mu˙ = XH +XP +XR
e adotando para XH a expressa˜o:
XH = Xu˙u˙+X(u, v, r) = Xu˙u˙+Xuuu0(u0 + δu)
em que u0 e´ uma velocidade me´dia e u = u0+ δu. A velocidade longitudinal u varia em torno
de u0, que seria a velocidade de avanc¸o se o navio se deslocasse com velocidade constante em
linha reta.
Texto Preliminar, SH Sphaier 9
Podemos separar uma equac¸a˜o para a velocidade me´dia:
XP +XR +Xuuu0u0 = 0
e outra para o termo oscilato´rio:
(m−Xu˙)u˙−Xuuu0δu = 0
Para o movimento lateral e de rotac¸a˜o admite-se que as reac¸o˜es hidrodinaˆmicas sa˜o devidas
a efeitos de ine´rcia das part´ıculas fluidas e de asa:
YH = Yv˙v˙ + Yr˙r˙ + Yvv + Yrr = Yv˙v˙ + Yr˙r˙ + Y
∗
v vu0 + Y
∗
r ru0
NH = Nr˙r˙ +Nv˙v˙ +Nvv +Nrr = Nr˙r˙ +Nv˙v˙ +N
∗
v vu0 +N
∗
r ru0ru0
e que a forc¸a lateral e o momento induzidos pelo propulsor sa˜o nulos. Assim as equac¸o˜essa˜o
escritas:
(m− Yv˙)v˙ − Y ∗v vu0 − (Yr˙ −mxG)r˙ − (Y ∗r −m)u0r = YR + YP
(Iz −Nr˙)r˙ − (N∗r −mxG)ru0 − (Nv˙ −mxG)v˙ −N∗v vu0 = NR +NP
onde XR, YR e NR sa˜o a forc¸a lateral e o momento de yaw provocados pela ac¸a˜o do leme;
XP , YP e NP sa˜o as forc¸as logitudinal e lateral e o momento de yaw provocados pela ac¸a˜o do
propulsor
Dividindo por (0.5ρLppHU
2) ou por (0.5ρL2ppU
2) e utilizando as formas adimensionais
descritas acima as equac¸o˜es passam a ser escritas na forma:
(m
′ −X ′u˙)u˙
′ −X ′uuδu
′
= 0 (1.15)
(m
′ − Y ′v˙ )v˙
′ − Y ′vv
′ − (Y ′r˙ −m
′
x
′
G)r˙
′ − (Y ′r −m
′
)r
′
= Y
′
R + Y
′
P (1.16)
−(N ′v˙ −m
′
x
′
G)v˙
′ −N ′vv
′
+ (I
′
z −N
′
r˙)r˙
′ − (N ′r −m
′
x
′
G)r
′
= N
′
R +N
′
P (1.17)
Deve-se observar que estamos supondo que u0/U ≈ 1.
Com essas expresso˜es, veˆ-se que a equac¸a˜o na direc¸a˜o longitudinal e´ indepente das outras
duas, e que as duas u´ltimas formam um sistema de duas equac¸o˜es diferenciais na˜o homogeˆneas
lineares acopladas.
Essas equac¸o˜es constituem a aplicac¸a˜o da segunda lei de Newton para as componentes de
forc¸as e acelerac¸o˜es em duas direc¸o˜es no plano horizontal e a extensa˜o da segunda lei para
o caso do momento em relac¸a˜o a um eixo vertical, perpendicular ao plano dos deslocamen-
tos lineares, em torno do qual o corpo se move. E´ comum denominar-se essas equac¸o˜es de
equac¸o˜es de (ou do) movimento uma vez que atrave´s de suas integrac¸o˜es pode-se obter
a evoluc¸a˜o dos movimentos do corpo com o tempo.
10 Texto Preliminar, SH Sphaier
1.4 Determinac¸a˜o Experimental dos Coeficientes
Vimos, enta˜o, as equac¸o˜es de movimento de um navio no plano horizontal utilizando
aproximac¸o˜es lineares para descrever a variac¸a˜o das forc¸as com as velocidades. Com esta
aproximac¸a˜o linear tem-se oito coeficientes hidrodinaˆmicos a serem determinados para se
poder fazer a avaliac¸a˜o da manobrabilidade de um navio. Em geral, esses coeficientes sa˜o
estimados de duas maneiras. A primeira forma e´ estima´-los atrave´s de expresso˜es emp´ıricas,
levantadas a partir de experimentos com embarcac¸o˜es similares, sistematizando-se as variac¸o˜es
de forma. Outra forma e´ o uso de testes em laborato´rios com modelos reduzidos. Nesta sec¸a˜o
apresentam-se formas de obtenc¸a˜o dos coeficientes atrave´s de testes em laborato´rio. Abaixo
apresentam-se alguns testes cativos, uma vez que o modelo fica preso por mecanismos que
impo˜em movimentos forc¸ados e medem forc¸as e deslocamentos.
1.4.1 PMM - Mecanismo de Movimento Planar
Os testes anteriores permitem que se determine somente quatro das oito derivadas hidrodinaˆmicas
necessa´rias para se fazer a determinac¸a˜o da estabilidade direcional do navio. O PMM e´ um
mecanismo que permite a obtenc¸a˜o de todas as oito derivadas necessa´rias para uma completa
avaliac¸a˜o da estabilidade direcional do navio. A figura(1.3) mostra esquematicamente um
PMM.
Texto Preliminar, SH Sphaier 11
Figura 1.2: Esquema de um PMM (Planar Motion Mechanism - Mecanismo de Movimento
Planar)
Este mecanismo consiste de duas hastes horizontais dispostas transversalmente ao eixo
longitudinal do navio, distando entre si 2b. Duas hastes verticais ligadas cada uma a uma das
hastes horizontais ligam-se ao modelo em dois pontos distintos do eixo longitudinal. Cada
haste vertical ligada a um u´nico ponto, um a vante e outro a re´ do centro de gravidade do
modelo. Cada haste pode movimentar-se de forma independente harmonicamente. Imprime-
se enta˜o os movimentos horizontais na direc¸a˜o lateral do navio da forma
yA = y0 sin(σt+ φA)
yR = y0 sin(σt+ φR)
a cada uma das hastes, a medida que o modelo avanc¸a e mede-se as forc¸as em cada uma
delas YA e YR. De acordo com os aˆngulos de fase dos movimentos, enquanto o modelo avanc¸a
logitudinalmente, pode-se manter o modelo:
caso 1 - paralelo ao eixo longitudinal executando um movimento harmoˆnico tranversal
- puro sway
caso 2 - tangenciando a trajeto´ria executando um movimento harmoˆnico tranversal -
puro yaw
12 Texto Preliminar, SH Sphaier
caso 3 - oscilando periodicamente em torno de um ponto no eixo longitudinal, com este
ponto deslocando-se longitudinalmente sem executar movimento transversal
caso 4 - movimento em linha reta com deflexa˜o do leme para determinar sua influeˆncia.
Figura 1.3: Esquema de Uso do PMM
Texto Preliminar, SH Sphaier 13
1.4.2 Teste de Reboque
Este teste, com diz o pro´prio nome, consiste em se rebocar o modelo com velocidade con-
stante ao longo de um tanque de reboque com velocidade de avanc¸o constante U e mantendo-se
um aˆngulo de aproamento fixo. Diversas corridas do modelo sa˜o executadas variando-se a
velocidade e o aˆngulo de ataque. Como o interesse maior esta´ em manobra de navios em ve-
locidades normais, na˜o ha´ a necessidade de se trabalhar com grandes aˆngulos de aproamento.
Ale´m disto, procura-se as derivadas das func¸o˜es forc¸a lateral e momento de yaw contra o
aˆngulo de ataque em torno da origem, isto e´, para aˆngulos nulos.
Atrave´s deste teste mede-se a forc¸a lateral Y e o momento de yaw N atuantes sobre o
modelo com comprimento L para a velocidade U e o aˆngulo de incideˆncia ψ em um fluido
com massa espec´ıfica ρ e viscosidade µ em presenc¸a de superf´ıcie livre, isto e´, em presenc¸a de
efeitos gravitacionais da acelerac¸a˜o g. Desta forma pode-se escrever:
Y
1/2ρU2L2
= f1(Re, Fr, ψ)
N
1/2ρU2L3
= f2(Re, Fr, ψ)
onde Re = ρUL/µ e Fr = U/
√
gL sa˜o respectivamente os nu´meros de Reynolds e de Froude.
Se for poss´ıvel respeitar as leis de semelhac¸a entre modelo e propo´tipo com
Rem = Rep
Frm = Frp
enta˜o
Y
1/2ρU2L2
|m = Y
1/2ρU2L2
|p
N
1/2ρU2L3
|m = N
1/2ρU2L3
|p
Admitindo-se que as condic¸o˜es ambientais do teste e do modelo sa˜o as mesmas, pode-se
extrapolar os resultados dos testes com modelo para o navio real se:
UL|m = UL|p
U/
√
L|m = U/
√
L|p
o que somente e´ poss´ıvel se Lm = Lp e Um = Up. Este impasse entretanto e´ superado uma vez
que a experieˆncia tem mostrado que os resultados sa˜o independentes do nu´mero de Reynolds.
Ha´ todavia que se tomar os devidos cuidados para se ter o escoamento na camada limite
similar, providenciando-se estimuladores de turbuleˆncia.
14 Texto Preliminar, SH Sphaier
Para o presente teste tem-se que:
v = −U sin(ψ)
e
v
′
=
v
U
= − sin(ψ)
Assim pode-se escrever:
Y
′
=
Y
1/2ρU2L2
= f1(Re, Fr, v
′
)
N
′
=
N
1/2ρU2L3
= f2(Re, Fr, v
′
)
Expandindo-se essas func¸o˜es em se´rie de Taylor em torno da posic¸a˜o ψ = 0 e considerando a
aproximac¸a˜o linear tem-se:
Y (v
′
) = Y
′
(0) +
dY
′
dv′
v
′
N(v
′
) = N
′
(0) +
dN
′
dv′
v
′
Utilizando-se a notac¸a˜o Y
′
v para a derivada de Y
′
em relac¸a˜o a` v
′
,
Y
′
v =
dY
′
dv′
=
dY/(1/2ρU2L2)
dv/U
=
1
1/2ρUL2
dY
dv
N
′
v =
dN
′
dv′
=
dN/(1/2ρU2L2)
dv/U
=
1
1/2ρUL2
dN
dv
e como:
dY
dv
= − dY
Udψ
dN
dv
= − dN
Udψ
pode-se obter os valores de Y
′
v e de N
′
v.
1.4.3 Teste com Brac¸o Rotato´rio
Para a execuc¸a˜o deste teste e´ necessa´rio um aparato especial dotado de um longo brac¸o
com dimensa˜o R com uma extremidade fixa a` um ponto e com o modelo fixo na outra
extremidade. O eixo longitudinal do modelo e´ colocado de forma a ficar perpendicular ao
brac¸o. Desta forma, quando o brac¸o gira em torno da extremidade fixa, o modelo esta´ dotado
Texto Preliminar, SH Sphaier 15
de velocidade u 6= 0 e v = 0. Consequentemente v˙ = 0. Como o brac¸o gira com velocidade
constante, enta˜o r˙ = 0. A velocidade tangencial, velocidade de avanc¸o no sistema solida´rio, e´
u = RΩ
onde Ω e´a velocidade angular do sistema, que tambe´m e´ a velocidade de rotac¸a˜o do modelo.
De forma similar a que foi dada no item acima deve-se analisar a dependeˆncia das forc¸as
e momentos nos nu´meros de Reynolds e Froude.
Neste caso manter o nu´mero de Froude constante e´ manter o valor de u constante. Assim,
variando-se R e Ω de forma tal que u permanec¸a constante esta´-se gerando experimentalmente
as func¸o˜es
Y = f1(Ω)
e
N = f2(Ω)
com essas func¸o˜es determina-se suas derivadas para Ω = 0 e tem-se enta˜o as derivadas:
Yr =
dY (Ω)
dΩ
Nr =
dN(Ω)
dΩ
e
dY
′
dr′
=
d
Y
1/2ρU2L2
d
rL
U
=
dY
dr
1
1/2ρUL3
= Yr
1
1/2ρUL3
dN
′
dr′
=
d
N
1/2ρU2L3
d
rL
U
=
dN
dr
1
1/2ρUL4
= Nr
1
1/2ρUL4
16 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.4: Esquema de Teste de Reboque com Aproamento
Texto Preliminar, SH Sphaier 17
Figura 1.5: Teste de Reboque: Forc¸a Longitudinal Adimensional X Aproamento
18 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.6: Teste de Reboque: Forc¸a Lateral Adimensional X Aproamento
Texto Preliminar, SH Sphaier 19
Figura 1.7: Teste de Reboque: Momento Adimensional X Aproamento
20 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.8: Esquema Teste com Brac¸o Rotato´rio
Texto Preliminar, SH Sphaier 21
1.4.4 Puro Sway
Neste caso mante´m-se as duas hastes com movimentos com fases nulas
φA = φR = 0
O centro do sistema move-se com
x = U · t
y = y0 sin(σt)
e descreve o movimento mostrado na figura 1.9
1.4.5 Puro Yaw
Neste caso mante´m-se as duas hastes com movimentos com fases iguais em mo´dulo pore´m
com sinais contra´rios:
φA = −φR = α
O centro do sistema move-se com
x = U · t
y = y0 cos(α) sin(σt)
A tangente a` trajeto´ria do ponto central e´:
dy
dx
=
dy
dt
dt
dx
= y0σ cos(α) cos(σt)
1
U
e a inclinac¸a˜o do eixo longitudinal do navio, seu aproamento ψ, e´ dada atrave´s de:
tan(ψ) =
yA − yR
2b
= y0
sin(σt+ α)− sin(σt+ α)
2b
=
y0
b
sin(α) cos(
σx
U
)
Para que essas inclinac¸o˜es sejam iguais
tan(ψ) =
yA − yR
2b
=
dy
dx
e enta˜o:
y0σ cos(α) cos(σt)
1
U
=
y0
b
sin(α) cos(
σx
U
)
ou
tanα =
σb
U
Como o eixo do navio e´ sempre tangente a trajeto´ria enta˜o v = v˙ = 0.
22 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.9: Puro Drift
Texto Preliminar, SH Sphaier 23
Figura 1.10: Puro Drift 02
24 Texto Preliminar, SH Sphaier
1.4.6 Oscilac¸a˜o Angular Harmoˆnica
Neste teste as hastes movem-se defasadas de 180 graus. Assim, quando uma move-se
no sentido positivo a outra move-se no sentido negativo. O modelo mante´m o ponto centro
do sistema deslocando-se em linha reta ao longo do tanque enquanto tem seu aˆngulo de
aproamento oscilando periodicamente.
Este teste pode ser executado por um ”oscilador harmoˆnico”, outro aparato que dispen-
saria o uso do PMM.
Em qualquer um dos dois casos, medem-se as forc¸as nos sentidos transversal e longitudinal
ao movimento do carrinho que reboca o modelo, e o momento em torno do centro do sistema.
1.4.7 Derivadas Hidrodinaˆmicas do Leme
Para se completar o quadro de coeficientes hidrodinaˆmicos para o estudo de manobras
falta ainda determinar os coeficientes do leme Yδ e Nδ. Estes sa˜o determinados de forma
similar ao que foi realizado no teste de reboque.
O modelo e´ rebocado ao longo do tanque mantendo um aˆngulo de aproamento nulo. Caso
mantenha-se o aˆngulo do leme nulo na˜o havera´ forc¸a lateral nem momento de yaw atuando
sobre o leme. Reboca-se enta˜o o modelo com diferentes aˆngulos do leme e registra-se as forc¸as
lateral e o momento de aproamento. Assim levanta-se as func¸o˜es Y (δ) e N(δ). Obtendo-se as
derivadas destas func¸o˜es em relac¸a˜o ao aˆngulo do leme, tem-se as derivadas hidrodinaˆmicas
da forc¸a lateral e do momento em relac¸a˜o ao aˆngulo do leme na origem, isto e´, para δ = 0
e a aproximac¸a˜o para as forc¸as e momentos devidos a` ac¸a˜o do leme para uma aproximac¸a˜o
linear:
Y (δ) = Yδ(0) · δ = Yδ · δ
N(δ) = Nδ(0) · δ = Nδ · δ
1.4.8 Expresso˜es para Estimativa das Derivadas Hidrodinaˆmicas
Para o uso em estimativas de preliminares em termos do projeto apresenta-se abaixo
algumas expresso˜es dos coeficientes hidrodinaˆmicos propostas por va´rios autores reunidas
por Clarke, Gedling, e Hine. Estas expresso˜es foram obtidas a partir de testes segundo os
procedimentos acima descritos e expresso˜es anal´ıticas.
Inicialmente, em func¸a˜o da Boca, B, do calado T , do comprimento L e do coeficiente de
bloco cb define-se os seguintes fatores: fac1 = pi · ((T/L)2) e fac2 = cb · (B/T )/pi.
Texto Preliminar, SH Sphaier 25
A seguir apresentam-se as expresso˜es propostas:
1. Wagner Smitt, L., Steering and Manoeuvring Full Scale and Model Tests. (Parts 1 and
2): European Shipbuilding 1970(19) no. 6 e 1971 (2) No. 1.
Y ′v = −1.59 · fac1
Y ′r = 0.32 · fac1
Nv = −0.62 · fac1
N ′r = −0.21 · fac1
2. Norrbin, N.H., Theory and Observations on the Use of a Mathematical Model for Ship
Manoeuvring in Deep and Confined Waters. Eigth Symposium on Naval Hydrodynamic,
Pasadena, CA, USA, 1970.
Y ′v = −fac1 · (1.69 + 0.08 · fac2)
Y ′r = −fac1 · (−0.65 + 0.38 · fac2)
N ′v = −fac1 · (0.64− 0.04 · fac2)
N ′r = −fac1 · (0.47− 0.18 · fac2)
3. Inoue S., Hirano M. e Kijima, K., Hydrodynamic Derivatives on Ship Manoeuvring,
International Shipbuilding Progress, vol 28, no. 321, 1981.
Y ′v = −fac1 · (1.+ 1.4 · fac2)
Y ′r = −fac1 · (−0.5)
N ′v = −fac1 · (2.0/pi)
N ′r = −fac1 · (1.04/pi − 4. · (T/L)/pi)
4. Clarke, D., Gedling, P. and Hine, G., The Application of Manoeuvring Criteria in Hull
Design, Transaction of RINA, vol 125, 1982.
Y ′v˙ = −fac1 · (1.+ 0.16 · cb · (B/T )− 5.1 · ((B/L)2))
Y ′r˙ = −fac1 · (0.67 · (B/L)− 0.0033 · ((B/T )2))
N ′v˙ = −fac1 · (1.1 · (B/L)− 0.041 · (B/T ))
N ′r˙ = −fac1 · (1./12.+ 0.017 · cb · (B/T )− 0.33 · (B/L))
26 Texto Preliminar, SH Sphaier
Y ′v = −fac1 · (1.+ 0.40 · cb · (B/T ))
Y ′r = −fac1 · (−1./2.+ 2.2 · (B/L)− 0.080 · (B/T ))
N ′v = −fac1 · (1./2.+ 2.4 · (T/L))
N ′r = −fac1 · (1./4.+ 0.039 · (B/T )− 0.56 · (B/L))
1.5 Estabilidade Direcional de Navios
Um primeiro estudo da manobrabilidade de navios pode ser desenvolvido utilizando-se
um modelo linear, e tem como objetivo avaliar a sua estabilidade direcional. Assumimos que
o navio desloca-se em linha reta com velocidades u = u0, v = 0 e r = 0. Atrave´s de uma
perturbac¸a˜o sofre uma pequena alterac¸a˜o nas velocidades. Ale´m disto assumimos que a forc¸a
exercida pelo propulsor equilibra-se com a resisteˆncia do casco e do leme para a velocidade
constante. Neste caso na˜o consideramos a presenc¸a de vento, onda nem a presenc¸a de um
hawser.
A estabilidade direcional de navios e´ feita estudando-se o comportamento da soluc¸a˜o ho-
mogeˆnea das equac¸o˜es diferenciais ordina´rias acopladas. Verifica-se com esta ana´lise se apo´s
uma perturbac¸a˜o no sistema que provoque um aparecimento de δu, v e r, essas velocidades
tendem a diminuir com o tempo, voltando o navio a ter velocidades u = u0, v = 0 e r = 0
apo´s algum tempo.
As equac¸o˜es de movimento linearizadas (1.15), (1.16) e (1.17) sa˜o escritas na forma:
(m
′ −X ′u˙)u˙
′ −X ′uuδu
′
= 0
(m
′ − Y ′v˙ )v˙
′ − Y ′vv
′ − (Y ′r˙ −m
′
x
′
G)r˙
′ − (Y ′r −m
′
)r
′
= Y
′
R
−(N ′v˙ −m
′
x
′
G)v˙
′ −N ′vv
′
+ (I
′
z −N
′
r˙)r˙
′ − (N ′r −m
′
x
′
G)r
′
= N
′
R
Como ja´ comentado acima, as equac¸o˜es de sway e yaw sa˜o acopladas, e por se tratarem
de equac¸o˜es lineares de primeira ordem as soluc¸o˜es sa˜o da forma v = V eλt e r = Reλt.
Substituindo as expresso˜es das soluc¸o˜es nas equac¸o˜es de movimento obte´m-se:
[(m
′ − Y ′v˙ )λ− Y
′
v ]V − [(Y
′
r˙ −m′
x
′
G)λ− (Y
′
r −m
′
)]R = 0
[−(N ′v˙ −m
′
x
′
G)λ−N
′
v]V + [(I
′
z −N
′
r˙)λ− (N
′
r −m
′
x
′
G)]R = 0
essas equac¸o˜es teˆm soluc¸a˜o somente no caso em que o determinante dos coeficientes se anule:∣∣∣∣ (m′ − Y ′v˙ )λ− Y ′v −[(Y ′r˙ −m′ x′G)λ− (Y ′r −m′)]−(N ′v˙ −m′ x′G)λ−N ′v (I ′z −N ′r˙)λ− (N ′r −m′ x′G)
∣∣∣∣ = 0
Texto Preliminar, SH Sphaier 27
isto e´:
((m
′ − Y ′v˙ )(I
′
z −N
′
r˙)− (Y
′
r˙ −m
′
x
′
G)(N
′
v˙ −m
′
x
′
G))λ
2
−((m′ − Y ′v˙ )(N
′
r −m
′
x
′
G) + Y
′
v (I
′
z −N
′
r˙) + (Y
′
r −m
′
)(N
′
v˙ −m
′
x
′
G) +N
′
v(Y
′
r˙ −m
′
x
′
G))λ
+Y
′
v (N
′
r −m
′
x
′
G)− (Y
′
r −m
′
)N
′
v =
Aλ2 +Bλ+ C = 0
e o determinante e´ nulo para:
λ1 (2) =
−B ±√B2 − 4AC
2A
com os valores de σ1 (2) pode-se verificar se o sistema e´ esta´vel ou na˜o. O estudo do com-
portamento das ra´ızes λ1 e λ2 podera´ demonstrar se o sistema e´ ou na˜o esta´vel, ou seja este
sistema retorna a uma posic¸a˜o de equil´ıbrio caso haja perturbac¸a˜o.
O comportamento do navio, apo´s a perturbac¸a˜o e´ dado por:
v
′
= V1e
λ1t + V2e
λ2t
r
′
= R1 e
λ1t +R2e
λ2t
Os valores de V1, V2, R1 e R2 dependem das condic¸o˜es iniciais impostas, mas para a ana´lise
de estabilidade na˜o sa˜o em si importantes. O que determina o comportamento do navio sa˜o
os autovalores do problema, isto e´, λ1 e λ2. Assumindo que a forma dos autovalores e´ dada
por:
λi = µi + iνi
a parte imagina´ria, quando existente, mostra um comportamento per´ıodico de v′ e r′ com o
tempo. A parte real, quando positiva, indica que o as varia´veis v′ e r′ crescem, em mo´dulo,
com o tempo. O navio e´ insta´vel, uma vez que perturbado na˜o amortece este efeito. Se a
parte real e´ negativa, ela indica que os movimentos introduzidos por pequenas perturbac¸o˜es
sa˜o amortecidos com o tempo. Estas soluc¸o˜es representam a reac¸a˜o do navio quando o navio
encontra-se com o leme posicionado a zero graus.
Na teoria de manobras, entretanto faz-se uma ana´lise das contribuic¸o˜es de A, B e C e
chega-se a um crite´rio bem mais simples, em que o valor do coeficiente C define se o navio e´
direcionalmente esta´vel ou na˜o.
Como vimos acima o determinante da equac¸a˜o
Aσ2 +Bσ + C = 0
e´ nulo para:
σ1 (2) =
−B ±√B2 − 4AC
2A
Em termos das poss´ıveis soluc¸o˜es temos as seguintes possibilidades:
28 Texto Preliminar, SH Sphaier
• B2−4AC > 0, AC < 0 - uma raiz real positiva - soluc¸a˜o insta´vel - aumento exponencial
• B2 − 4AC > 0, AC > 0 - duas ra´ızes reais com sinais dependendo de B/A:
1. B/A > 0 - duas ra´ızes reais negativas - soluc¸a˜o esta´vel - decrescimento exponencial
2. B/A < 0 - duas ra´ızes reais positivas - soluc¸a˜o insta´vel - aumento exponencial
• B2 − 4AC = 0 - duas ra´ızes reais com sinais dependendo de B/A:
1. B/A > 0 - duas ra´ızes reais negativas iguais - soluc¸a˜o esta´vel - decrescimento
exponencial
2. B/A < 0 - duas ra´ızes reais positivas iguais - soluc¸a˜o insta´vel - aumento exponencial
• B2 − 4AC < 0
1. B/A > 0 - duas ra´ızes complexas com partes reais negativas - soluc¸a˜o esta´vel -
decre´scimo exponencial com oscilac¸a˜o
2. B/A < 0 - duas ra´ızes complexas com partes reais positiva - soluc¸a˜o insta´vel -
aumento exponencial com oscilac¸a˜o
A conclusa˜o deste quadro e´ que B/A > 0 e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para estabilidade e
AC > 0 e´ uma condic¸a˜o suficiente para estabilidade.
Conve´m agora proceder a uma avaliac¸a˜o das influeˆncias dos coeficientes hidrodinaˆmicos
nos coeficientes para A, B e C para aprofundar um pouco mais a ana´lise.
Como:
m
′
> 0, I
′
> 0, Y
′
v˙ < 0, N
′
r˙ < 0, Y
′
v < 0, N
′
r < 0, Y
′
r < 0, N
′
v ≥ 0 e Y ′r˙ , N ′v˙, x′G sa˜o
pequenos, enta˜o:
1) O coeficiente A sera´ sempre positivo
A = (m
′ − Y ′v˙ )(I
′
z −N
′
r˙)− (Y
′
r˙ −m
′
x
′
G)(N
′
v˙ −m
′
x
′
G)
A > 0
2) O coeficiente B sera´ sempre positivo
B = −((m′ − Y ′v˙ )(N
′
r −m
′
x
′
G) + Y
′
v (I
′
z −N
′
r˙) + (Y
′
r −m
′
)(N
′
v˙ −m
′
x
′
G) + (Y
′
r˙ −m
′
x
′
G))
B > 0
Texto Preliminar, SH Sphaier 29
3) A relac¸a˜o A/B sera´ sempre positiva
O coeficiente C e´ o u´nico que dependendendo dos valores das derivadas hidrodinaˆmicas
podera´ ser positivo ou negativo. Assim a condic¸a˜o de estabilidade direcional sera´ dada por
C > 0
onde
C = Y
′
v (N
′
r −m
′
x
′
G)− (Y
′
r −m
′
)N
′
v
Esta relac¸a˜o pode ser rearranjada e expressa na seguinte forma:
N
′
r −m′ x′G
Y ′r −m′
− N
′
v
Y ′v
> 0
e a estabilidade passa a ser analisada comparando-se os brac¸os devidos aos momentos ro-
tato´rios e os momentos esta´ticos.
lr =
N
′
r −m′ x′G
Y ′r −m′
ls =
N
′
v
Y ′v
1.6 Ana´lise Linear do Movimento do Navio em uma
Curva de Giro
O navio avanc¸a em uma trajeto´ria retil´ınea quando seu leme e´ movimentado ate´ um aˆngulo
final fixo. A trajeto´ria do navio antes e apo´s esta ac¸a˜o pode ser dividida em quatro fases.
1. fase de aproximac¸a˜o
nesta fase tem-se
v˙ = 0, r˙ = 0, v = 0 e r = 0.
Trata-se da fase de aproximac¸a˜o em que o navio esta´ em sua trajeto´ria em linha reta.
Utilizando-se o modelo linearizado de manobras pode-se estudar o comportamento de
um navio quando realiza sua curva de giro. Os resultados valem qualitativamente de
forma geral. Pode-se estimar o raio da curva de giro que o navio executara´, pore´m os
efeitos na˜o lineares na˜o podem ser desprezados para uma avaliac¸a˜o mais precisa.
30 Texto Preliminar, SH Sphaier
2. primeira fase de giro
Esta fase inicia-se quando o leme do navio e´ acionado e comec¸a a girar e pode terminar
quando o leme alcanc¸a sua ma´xima deflexa˜o. Como no comec¸o desta fase na˜o ha´ uma
efetiva ac¸a˜o do leme, o navio na˜o oferece um aˆngulo de ataque considera´vel em relac¸a˜o
ao fluxo de a´gua, a forc¸a transversal no casco do navio e´ nula.
Nesta fase tem-se
v˙ 6= 0, r˙ 6= 0, v = 0 e r = 0.
As equac¸o˜es de movimento sa˜o:
(m
′ − Y ′v˙ )v˙
′ − (Y ′r˙ −m
′
x
′
G)r˙
′
= Y
′
δ δ
−(N ′v˙ −m
′
x
′
G)v˙
′
+ (I
′
z −N
′
r˙)r˙
′
= N
′
δδ
Deve-se ressaltar que esta fase e´ curta, uma vez que a consequeˆncia imediata de acel-
erac¸o˜es e´ a variac¸a˜o da velocidade.
3. segunda fase de giro
Ao se formar um aˆngulo de ataque entre o navio e o fluxo, aparecera˜o as componentes v
e r. Consequentemente uma forc¸a lateral hidrodinaˆmica passa a atuar sobre o casco em
oposic¸a˜o a` forc¸a do leme. O mo´dulo da acelerac¸a˜o v˙ deixa de crescer ate´ que as forc¸as
se equilibrem. Nesta fase o mo´dulo de r˙ inicialmente cresce, para depois decrescer ate´
que os momentos hidrodinaˆmicos sobre o casco e sobre o leme se equilibrem.
Nesta fase tem-se
v˙ 6= 0, r˙ 6= 0, v 6= 0 e r 6= 0.
O movimento e´ descrito pelas equac¸o˜es completas.
4. terceira fase de giro
Uma vez as forc¸as hidrodinaˆmicas e os momentos se equilibrem as acelerac¸o˜es sa˜o nulas
e entra-se na terceira fase do giro.
Nesta fase tem-se
v˙ = 0, r˙ = 0, v 6= 0 e r 6= 0.
As equac¸o˜es de movimento sa˜o dadas por
−Y ′vv
′ − (Y ′r −m
′
)r
′
= Y
′
δ δ
−N ′vv
′ − (N ′r −m
′
x
′
G)r
′
= N
′
δδ
Texto Preliminar, SH Sphaier 31
A partir delas determinamos a raza˜o de giro e r
′
= rL/U e a velocidade de sway v
′
r
′
= −δ N
′
vY
′
δ −N ′δY ′v
Y ′v (N
′
r −m′ x′G)−N ′v(Y ′r −m′)
e
v
′
= δ
N
′
δ(Y
′
r −m′)− Y ′δ (N ′r −m′ x′G)
Y ′v (N
′
r −m′ x′G)−N ′v(Y ′r −m′)
Lembrando que r
′
= rL/U e o raio de curvatura e´ dado por R = U/r, e que v
′
= U sin β
enta˜o:
R = −L
δ
Y
′
v (N
′
r −m′ x′G)−N ′v(Y′r −m′)
N ′vY
′
δ −N ′δY ′v
e
sin β = δ
N
′
δ(Y
′
r −m′)− Y ′δ (N ′r −m′ x′G)
Y ′v (N
′
r −m′ x′G)−N ′v(Y ′r −m′)
Ao ponto P no eixo longitudinal do navio tal que
xP = R sin β
chama-se ponto de pivotamento.
O numerador da expressa˜o para a determinac¸a˜o do raio de girac¸a˜o e o denominador
da expressa˜o que estabelece o aˆngulo de deriva sa˜o iguais ao coeficiente C que indica o
grau de estabilidade. Caso o navio seja esta´vel tem-se para a aproximac¸a˜o do raio de
giro um valor positivo. Caso contra´rio este valor e´ negativo. Trata-se de uma coereˆncia
matema´tica com o comportamento insta´vel do navio. Do ponto de vista f´ısico e´ uma
confirmac¸a˜o da necessidade de se considerar efeitos na˜o-lineares no modelo.
1.7 Estabilidade de um Navio em SPM ou de um Navio
em Reboque
Vamos aqui estudar o equil´ıbrio de um sistema navio ligado a um ponto fixo do espac¸o
sob a ac¸a˜o de corrente marinha. Este problema corresponde ao caso de um navio rebocado a
velocidade constante.
A sigla SPM vem da expressa˜o em ingles Single Point Mooring, isto e´, ancoragem atrave´s
de um ponto fixo. Ver figura 1.
A ana´lise que vamos realizar aqui objetiva a verificac¸a˜o se ao enfrentar uma corrente
marinha:
32 Texto Preliminar, SH Sphaier
• o navio mante´m-se alinhado com a corrente marinha?
• o navio na˜o consegue manter-se alinhado com a corrente marinha eadota um aˆngulo de
aproamento na˜o nulo ψ 6= 0?
• o navio oscila em torno da posic¸a˜o de equil´ıbrio insta´vel ψ = 0?
Observemos que quando o navio na˜o consegue ficar alinhado com a corrente marinha
adotando um equil´ıbrio para um aˆngulo ψ 6= 0, existem na realidade duas posic¸o˜es de equl´ıbrio,
pois ψ pode ser positivo ou negativo. Nesse caso, a posic¸a˜o de equil´ıbrio para ψ = 0 pode ser
mantida, mas na˜o suporta perturbac¸o˜es. O navio comporta-se como um peˆndulo invertido.
Ao ser perturbado desloca-se ate´ encontrar uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio.
O estudo feito para o navio em SPM sujeito a` correnteza equivale tambe´m ao estudo do
navio em reboque.
No caso do navio que oscila em torno da posic¸a˜o ψ = 0 trata-se de uma posic¸a˜o de
equil´ıbrio insta´vel.
Para auxiliar a descric¸a˜o do problema construimos 3 figuras sobre as definic¸o˜es utilizadas
nos problemas.
Observem as figuras 1, 2 e 3. Nelas l e´ o comprimento do cabo de reboque (hawser), a e´
a distaˆncia do centro do sistema ate´ o ponto de conexa˜o do hawser.
A figura 2 mostra as forc¸as hidrodinaˆmicas na busca por uma posic¸a˜o de equilibrio. Sob
a ac¸a˜o da correnteza o navio tenta equilibrar Tu = Fu, Tv = Fv e N = a Tv
1.7.1 Sistema de Equac¸o˜es
Considerando somente os efeitos da correnteza e do hawser, as equac¸o˜es de movimento,
para a formulac¸a˜o quadra´tica de forc¸as hidrodinaˆmicas, sa˜o dadas por:
(m
′ −X ′u˙)u˙
′ −m′x′cgr
′2 −m′v′r′ = X ′uu0u
′
+X
′
v|r|v
′|r′|+ T ′u
(m
′ − Y ′v˙ )v˙
′ − Y ′r˙ r˙
′
+m
′
x
′
cgr˙
′
+m
′
u
′
r
′
= Y
′
vv
′
+ Y
′
r r
′
+ Y
′
v|v|v
′|v′|+ Y ′r|r|r
′|r′|+ T ′v
(I
′ −N ′r˙)r˙
′ −N ′v˙v˙
′
+m
′
x
′
cgr
′
u
′
+m
′
x
′
cgv˙
′
= N
′
vv
′
+N
′
rr
′
+N
′
v|v|v
′ |v′|+N ′r|r|r
′|r′|+ a′ ∗ T ′v
Neste sistema as inco´gnitas sa˜o u˙
′
, v˙
′
, r˙
′
, u
′
, v
′
, r
′
, T
′
u e T
′
v.
Onde:
u˙
′
=
du
′
dt
Texto Preliminar, SH Sphaier 33
Figura 1.11: Definic¸o˜es ba´sicas: geometria e forc¸as
34 Texto Preliminar, SH Sphaier
v˙
′
=
dv
′
dt
e
r˙
′
=
dr
′
dt
As relac¸o˜es para as trac¸o˜es devidas ao hawser e a geometria do sistema sa˜o:
T
′
u = T
′
h cos(ψ − γ)
T
′
v = −T
′
h sin(ψ − γ)
onde a trac¸a˜o no hawser T
′
h e´ dada por sua elongac¸a˜o vezes um coeficiente de mola.
T
′
h = k
′
(l − l0)
para l− l0 > 0. Observemos que o hawser se destende sob a ac¸a˜o da correnteza. Quando na˜o
esta´ alongado, a forc¸a de trac¸a˜o e´ nula.
Observando a figura 3, podemos dizer que, definindo-se o deslocamento absoluto do centro
do sistema solida´rio como ξ
′
e η
′
, teˆm-se as seguintes relac¸o˜es geome´tricas:
ξ
′
+ a
′
cosψ + l
′
cos γ = a
′
+ l
′
0
−η′ − a′ sinψ = l′0 sin γ
As velocidades absolutas sa˜o dadas por:
ξ˙
′
=
dξ
′
dt
= U
′
x
η˙
′
=
dη
′
dt
= U
′
y
e se relacionam com as velocidades relativas observados no sistema solida´rio atrave´s de:
ξ˙
′
= U
′
x = −C
′
+ u
′
cos(ψ)− v′ sin(ψ)
η˙
′
= U
′
y = u
′
sin(ψ) + v
′
cos(ψ)
derivando as equac¸o˜es acima obtemos relac¸o˜es entre as acelerac¸o˜es:
u˙
′
= ξ¨
′
cosψ − (ξ˙′ + C ′)ψ˙ sinψ + η¨′ sinψ + η˙′ψ˙ cosψ
v˙
′
= −ξ¨′ sinψ − (ξ˙′ + C ′)ψ˙ cosψ + η¨′ cosψ − η˙′ψ˙ sinψ
A ac¸a˜o do hawser sobre o navio no sistema solida´rio na forma adimensional e´ expressa
pelas projec¸o˜es:
T
′
u = T
′
cos(ψ − γ)
T
′
v = −T
′
sin(ψ − γ)
e pelo produto
T
′
ψ = aT
′
v
Texto Preliminar, SH Sphaier 35
1.7.2 Estabilidade de um Navio Alinhado com a Corrente
O estudo da estabilidade linear consiste em assumir que o sistema sofre pequenas per-
turbac¸o˜es, pequenos deslocamentos, em torno da posic¸a˜o ψ = 0. Queremos saber se ele
retorna a posic¸a˜o de equil´ıbrio, ou foge dela.
Se essa posic¸a˜o e´ uma posic¸a˜o de equil´ıbrio esta´vel, o navio retorna a ela apo´s uma pequena
perturbac¸a˜o. Mesmo para um pequeno aˆngulo de aproamento e um pequeno deslocamento
linear, os momentos e forc¸as restauradores impostos pelo hawser vencem os momentos e forc¸as
hidrodinaˆmicos.
Se essa posic¸a˜o e´ uma posic¸a˜o de equil´ıbrio insta´vel ele tenta fugir desta posic¸a˜o. Os
momentos e forc¸as hidrodinaˆmicos vencem os momentos e forc¸as de restaurac¸a˜o impostos
pelo hawser. A medida que o aˆngulo aumenta a situac¸a˜o se inverte e o navio retorna a`
posic¸a˜o de equil´ıbrio.
Passemo agora a fazer a aproximac¸a˜o das equac¸o˜es para pequenos deslocamentos e veri-
fiquemos se o navio se mante´m na posic¸a˜o de equil´ıbrio alinhado com a correnteza.
Admitindo que ψ e´ muito pequeno temos
ξ
′
+ l
′ − l′0 = 0
−η′ − a′ψ = l′0γ
ξ˙
′
= −C ′ + u′ − v′ψ
η˙
′
= u
′
ψ + v
′
u˙
′
= ξ¨
′ − (ξ˙′ + C ′)ψ˙ψ + η¨′ψ + η˙′ψ˙ ≈ ξ¨′
v˙
′
= −ξ¨′ψ − (ξ˙′ + C ′)ψ˙ + η¨′ − η˙′ψ˙ψ ≈ −C ′ψ˙ + η¨′
T
′
u = T
′
T
′
v = −T
′
(ψ − γ)
Lineariza-se o problema e chega-se a:
−γ = η
′
l
′
0
+
a
′
l
′
0
ψ
u
′
= C
′
+ ξ˙
′
v
′
= η˙
′ − C ′ψ
u˙
′
= ξ¨
′
36 Texto Preliminar, SH Sphaier
v˙
′
= η¨
′ − C ′ψ˙
ξ
′
= −∆l′ = l′0 − l
′
isto e´, diante dos pequenos deslocamentos lateral e de rotac¸a˜o, a elongac¸a˜o da corda e´ dada
pelo movimento longitudinal do navio.
Conclui-se que a trac¸a˜o depende exclusivamente do deslocamento longitudinal do navio:
T
′
= k
′
1∆l
′
= −ξ′k′1
Apo´s utilizar essas simplificac¸o˜es nas equac¸o˜es obteˆm-se as equac¸o˜es de movimento lin-
earizadas em torno de ψ = 0:
(m
′ −X ′u˙)ξ¨
′
+ T
′ −X ′uu0(ξ˙
′
+ C
′
) = 0 (1.18)
(m
′ −Y ′v˙ )η¨
′ −Y ′v η˙
′
+
T
′
l′
η
′
+(m
′
x
′
cg−Y
′
r˙ )ψ¨− (Y
′
r −Y
′
v˙C
′
)ψ˙+[C
′
Y
′
v +T
′
(1+
a
′
l′
)]ψ = 0 (1.19)
(I
′−N ′r˙)ψ¨
′
+(Nv˙C
′−N ′r)ψ˙+[C
′
N
′
v+a
′
T
′
(1+
a
′
l′
)]ψ+(m
′
x
′
cg−N
′
v˙)η¨
′−N ′vη˙
′
+a
′ T
′
l′
η
′
= 0 (1.20)
em que a primeira equac¸a˜o e´ independente das outras.
O navio desloca-se da posic¸a˜o inicial ate´ que assuma um deslocamento
ξ
′
(0) =
X
′
uu
k
′
l
tal que a trac¸a˜o e´ dada por:
T
′
0 = ξ
′
(0) ∗ k′l = X
′
uu
em torno desta posic¸a˜o oscila com
(m
′ −X ′u˙)ξ¨
′−X ′uu0 ξ˙
′
+ T
′ − T ′(0) = 0
Assim, o comprimento l0 a ser considerado para a ana´lise deve ser aquele apo´s esta deformac¸a˜o
inicial.
Sob a considerac¸a˜o de a trac¸a˜o no cabo ser uma constante, as equac¸o˜es de equil´ıbrio para
as forc¸as transversais e os momentos em torno do eixo vertical formam um sistema de equac¸o˜es
diferenciais lineares. Caso a componente oscilato´ria seja considerada trata-se de um problema
de excitac¸a˜o parame´trica.
Texto Preliminar, SH Sphaier 37
1.7.3 Estabilidade Linear
As equac¸o˜es de movimento linearizadas em torno da posic¸a˜o de equil´ıbrio do navio podem
ser escritas na forma geral:
(m
′ − Y ′v˙ )η¨
′ − Y ′v η˙
′
+K
′
yyη
′
+ (m
′
x
′
cg − Y
′
r˙ )ψ¨ − (Y
′
r − Y
′
v˙C
′
)ψ˙ +K
′
yψψ = 0 (1.21)
(I
′ −N ′r˙)ψ¨
′
+ (N
′
v˙C
′ −N ′r)ψ˙ +K
′
ψψψ + (m
′
x
′
cg −N
′
v˙)η¨
′ −N ′vη˙
′
+K
′
ψyη
′
= 0 (1.22)
onde:
K
′
yy =
T
′
l′
K
′
ψψ = C
′
N
′
v + a
′
T
′
(1 +
a
′
l′
)
K
′
yψ = C
′
Y
′
v + T
′
(1 +
a
′
l′
)
K
′
ψy = a
′ T
′
l′
Trata-se de um sistema de duas equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem lineares acopladas.
As soluc¸o˜es sa˜o da forma η = η0e
λt e ψ = ψ0e
λt. A substituic¸a˜o dessas expresso˜es nas equac¸o˜es
conduzem a um problema de autovalor com equac¸a˜o caracter´ıstica dada por:
a0λ
4 + a1λ
3 + a2λ
2 + a3λ+ a4 = 0
onde:
1. a0 = (m
′ − Y ′v˙ )(I ′ −N ′r˙)− (m′x′cg − Y ′r˙ )(m′x′cg −N ′v˙)
2. a1 = (m
′ − Y ′v˙ )(N ′v˙C ′ −N ′r)− Y ′v (I ′ −N ′r˙) + (m′x′cg − Y ′r˙ )N ′v + (m′x′cg −N ′v˙)(Y ′r − Y ′v˙C ′)
3. a2 = (m
′ − Y ′v˙ )K ′ψψ +K ′yy(I ′ −N ′r˙)− Y ′v (N ′v˙C ′ −N ′r)− (m′x′cg − Y ′r˙ )K ′ψy −K ′yψ(m′x′cg −
N
′
v˙)−N ′v(Y ′r − Y ′v˙C ′)
4. a3 = −Y ′vK ′ψψ + (N ′v˙C ′ −N ′r)K ′yy +K ′ψy(Y ′r − Y ′v˙C ′) +N ′vK ′yψ
5. a4 = K
′
ψψK
′
yy −K ′ψyK ′yψ
38 Texto Preliminar, SH Sphaier
Determinando-se as quatro soluc¸o˜es teˆm-se os autovalores. Examinando-se a parte real
pode-se dizer se o sistema e´ esta´vel ou na˜o.
Uma outra forma de analisar as soluc¸o˜es sem que elas sejam determinadas e´ aplicar o
procedimento de Routh-Hurwitz. Uma vez que os coeficientes das equac¸o˜es sa˜o determinados
atrave´s de produtos e somas entre as ra´ızes eles estabeleceram relac¸o˜es para que se investigue
se o sistema e´ esta´vel ou na˜o. De acordo com as condic¸o˜es necessa´rias e suficientes de Routh-
Hurwitz o sistema e´ esta´vel se:
1. a1/a0 > 0
2. a3/a0 > 0
3. a4/a0 > 0
4. (a1a2a3 − a0a23 − a21a4)/a30 > 0
5. todos os coeficientes teˆm que ter o mesmo sinal
Como para navios a0 > 0 e a1 > 0, a primeira condic¸a˜o esta´ automaticamente satisfeita e
pela u´ltima condic¸a˜o os outros tambe´m teˆm que ser positivos.
1.7.4 Problema de Autovalor
Definindo-se enta˜o w
′
= η˙
′
e consequentemente w˙
′
= η¨
′
e lembrando que r′ = ψ˙
′
e r˙
′
= ψ¨
′
teˆm-se: 
(m
′ − Y ′v˙ ) (m′x′cg − Y ′r˙ ) 0 0
(m
′
x
′
cg −N ′v˙) I ′ −N ′r˙ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


w˙
′
r˙
′
η˙
′
ψ˙
′

+

−Y ′v −(Y ′r − Y ′v˙C ′) K ′yy K ′yψ
−N ′v (N ′v˙C ′ −N ′r) K ′ψy K ′ψψ
−1 0 0 0
0 −1 0 0


w
′
r
′
η
′
ψ
 = 0
Este sistema pode ser escrito como:
Ax˙+Bx = 0
ou
x˙ = −A−1Bx = Cx
Texto Preliminar, SH Sphaier 39
com soluc¸a˜o da forma x˙ = λx, isto e´, trata-se de um problema de autovalor:
[λI−C]x = 0
em que se determinam os valores λ com
|λI−C| = 0
e enta˜o analisa-se a estabilidade do sistema.
Deve-se observar que a medida que o sistema flutuante for composto de mais corpos a
equac¸a˜o caracter´ıstica torna-se de mais alto grau e utilizar o segundo procedimento e´ mais
simples e direto.
1.7.5 Posic¸a˜o de Equil´ıbrio Esta´tico em SPM
Analisa-se aqui as expresso˜es das equac¸o˜es de movimento para situac¸o˜es de equil´ıbrio,
quando o navio esta´ sujeito a uma correnteza sem que linearizemos o problema.
Nessa condic¸a˜o u˙ = v˙ = r˙ = r = 0, e as equac¸o˜es de movimento sa˜o reduzidas a`:
N
′
vv
′
+N
′
v|v|v
′|v′|+ T ′v ∗ a
′
= 0 (1.23)
Y
′
vv
′
+ Y
′
v|v|v
′|v′ |+ T ′v = 0 (1.24)
Lembramos aqui que a velocidade adimensional v
′
e´ a relac¸a˜o entre a componente da
velocidade relativa v e o mo´dulo da velocidade relativa total do corpo u0, e que no caso em
que um navio encontra-se em equil´ıbrio esta´tico, sua velocidade absoluta e´ nula. Admitindo-se
que a correnteza incide com um aˆngulo de 180 graus, isto e´, para ψ nulo a correnteza entra
pela proa. Enta˜o, se a partir desta posic¸a˜o o navio adotar aˆngulos de aproamento ψ na˜o
nulos, vale:
v = −C sin(ψ)
Assim as equac¸o˜es de movimento tornam-se:
T
′
va
′
= N
′
v sin(ψ) +N
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)| (1.25)
T
′
v = Y
′
v sin(ψ) + Y
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)| (1.26)
Deve-se observar que a equac¸a˜o (1.25) representa o confronto entre o momento restaurador
devido a` forc¸a aplicada pelo cabo, dada por (1.26) multiplicada pelo brac¸o a
′
e o momento
hidrodinaˆmico desestabilizador. Ao variar-se o ponto de conexa˜o pode-se concluir que para
certa faixa de valores de a
′
o momento restaurador predomina sobre o momento hidrodinaˆmico.
40 Texto Preliminar, SH Sphaier
Caso, por exemplo, o momento restaurador predomine sobre o momento hidrodinaˆmico, sig-
nifica que na˜o existe ψ diferente de zero que satisfac¸a as equac¸o˜es acima. Fisicamente significa
que se deslocarmos o navio da posic¸a˜o ψ = 0 ele retornara´ para esta posic¸a˜o. Ja´ se para qual-
quer a
′
sempre haja um ψ 6= 0 tal que o momento momento hidrodinaˆmico supere o momento
restaurador, significa que na˜o existe ψ diferente de zero que satisfac¸a as equac¸o˜es acima. Surge
enta˜o outra questa˜o: qual e´ o valor cr´ıtico do ponto de conexa˜o para que se tenha um aˆngulo
de aproamento diferente de zero. Trata-se de um problema limite para o qual busca-se qual
o maior valor de a
′
, chamado valor cr´ıtico a
′
crit, em que:
lim
ψ→0
(Y
′
v sin(ψ) + Y
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)|) · a
′ ≤ N ′v sin(ψ) +N
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)|
isto e´:
a
′
crit = lim
ψ→0
N
′
v sin(ψ) +N
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)|
Y ′v sin(ψ) + Y
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)|
e enta˜o:
a
′
crit =
N
′
v
Y ′v
Para que o navio esteja alinhado com a correnteza e em equilibrio esta´tico, e´ necessa´rio que o
ponto de conexa˜o se situe avante do chamado ponto cr´ıtico. Para pontos de conexa˜o aque´m
do valor cr´ıtico, o navio assume um aˆngulo de aproamento
| sinψ| = a
′
Y
′
v −N ′v
N
′
v|v| − a′Y ′v|v|
(1.27)