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Movimento Plano Horizontal

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−X ′uu0 ξ˙
′
+ T
′ − T ′(0) = 0
Assim, o comprimento l0 a ser considerado para a ana´lise deve ser aquele apo´s esta deformac¸a˜o
inicial.
Sob a considerac¸a˜o de a trac¸a˜o no cabo ser uma constante, as equac¸o˜es de equil´ıbrio para
as forc¸as transversais e os momentos em torno do eixo vertical formam um sistema de equac¸o˜es
diferenciais lineares. Caso a componente oscilato´ria seja considerada trata-se de um problema
de excitac¸a˜o parame´trica.
Texto Preliminar, SH Sphaier 37
1.7.3 Estabilidade Linear
As equac¸o˜es de movimento linearizadas em torno da posic¸a˜o de equil´ıbrio do navio podem
ser escritas na forma geral:
(m
′ − Y ′v˙ )η¨
′ − Y ′v η˙
′
+K
′
yyη
′
+ (m
′
x
′
cg − Y
′
r˙ )ψ¨ − (Y
′
r − Y
′
v˙C
′
)ψ˙ +K
′
yψψ = 0 (1.21)
(I
′ −N ′r˙)ψ¨
′
+ (N
′
v˙C
′ −N ′r)ψ˙ +K
′
ψψψ + (m
′
x
′
cg −N
′
v˙)η¨
′ −N ′vη˙
′
+K
′
ψyη
′
= 0 (1.22)
onde:
K
′
yy =
T
′
l′
K
′
ψψ = C
′
N
′
v + a
′
T
′
(1 +
a
′
l′
)
K
′
yψ = C
′
Y
′
v + T
′
(1 +
a
′
l′
)
K
′
ψy = a
′ T
′
l′
Trata-se de um sistema de duas equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem lineares acopladas.
As soluc¸o˜es sa˜o da forma η = η0e
λt e ψ = ψ0e
λt. A substituic¸a˜o dessas expresso˜es nas equac¸o˜es
conduzem a um problema de autovalor com equac¸a˜o caracter´ıstica dada por:
a0λ
4 + a1λ
3 + a2λ
2 + a3λ+ a4 = 0
onde:
1. a0 = (m
′ − Y ′v˙ )(I ′ −N ′r˙)− (m′x′cg − Y ′r˙ )(m′x′cg −N ′v˙)
2. a1 = (m
′ − Y ′v˙ )(N ′v˙C ′ −N ′r)− Y ′v (I ′ −N ′r˙) + (m′x′cg − Y ′r˙ )N ′v + (m′x′cg −N ′v˙)(Y ′r − Y ′v˙C ′)
3. a2 = (m
′ − Y ′v˙ )K ′ψψ +K ′yy(I ′ −N ′r˙)− Y ′v (N ′v˙C ′ −N ′r)− (m′x′cg − Y ′r˙ )K ′ψy −K ′yψ(m′x′cg −
N
′
v˙)−N ′v(Y ′r − Y ′v˙C ′)
4. a3 = −Y ′vK ′ψψ + (N ′v˙C ′ −N ′r)K ′yy +K ′ψy(Y ′r − Y ′v˙C ′) +N ′vK ′yψ
5. a4 = K
′
ψψK
′
yy −K ′ψyK ′yψ
38 Texto Preliminar, SH Sphaier
Determinando-se as quatro soluc¸o˜es teˆm-se os autovalores. Examinando-se a parte real
pode-se dizer se o sistema e´ esta´vel ou na˜o.
Uma outra forma de analisar as soluc¸o˜es sem que elas sejam determinadas e´ aplicar o
procedimento de Routh-Hurwitz. Uma vez que os coeficientes das equac¸o˜es sa˜o determinados
atrave´s de produtos e somas entre as ra´ızes eles estabeleceram relac¸o˜es para que se investigue
se o sistema e´ esta´vel ou na˜o. De acordo com as condic¸o˜es necessa´rias e suficientes de Routh-
Hurwitz o sistema e´ esta´vel se:
1. a1/a0 > 0
2. a3/a0 > 0
3. a4/a0 > 0
4. (a1a2a3 − a0a23 − a21a4)/a30 > 0
5. todos os coeficientes teˆm que ter o mesmo sinal
Como para navios a0 > 0 e a1 > 0, a primeira condic¸a˜o esta´ automaticamente satisfeita e
pela u´ltima condic¸a˜o os outros tambe´m teˆm que ser positivos.
1.7.4 Problema de Autovalor
Definindo-se enta˜o w
′
= η˙
′
e consequentemente w˙
′
= η¨
′
e lembrando que r′ = ψ˙
′
e r˙
′
= ψ¨
′
teˆm-se: 
(m
′ − Y ′v˙ ) (m′x′cg − Y ′r˙ ) 0 0
(m
′
x
′
cg −N ′v˙) I ′ −N ′r˙ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


w˙
′
r˙
′
η˙
′
ψ˙
′

+

−Y ′v −(Y ′r − Y ′v˙C ′) K ′yy K ′yψ
−N ′v (N ′v˙C ′ −N ′r) K ′ψy K ′ψψ
−1 0 0 0
0 −1 0 0


w
′
r
′
η
′
ψ
 = 0
Este sistema pode ser escrito como:
Ax˙+Bx = 0
ou
x˙ = −A−1Bx = Cx
Texto Preliminar, SH Sphaier 39
com soluc¸a˜o da forma x˙ = λx, isto e´, trata-se de um problema de autovalor:
[λI−C]x = 0
em que se determinam os valores λ com
|λI−C| = 0
e enta˜o analisa-se a estabilidade do sistema.
Deve-se observar que a medida que o sistema flutuante for composto de mais corpos a
equac¸a˜o caracter´ıstica torna-se de mais alto grau e utilizar o segundo procedimento e´ mais
simples e direto.
1.7.5 Posic¸a˜o de Equil´ıbrio Esta´tico em SPM
Analisa-se aqui as expresso˜es das equac¸o˜es de movimento para situac¸o˜es de equil´ıbrio,
quando o navio esta´ sujeito a uma correnteza sem que linearizemos o problema.
Nessa condic¸a˜o u˙ = v˙ = r˙ = r = 0, e as equac¸o˜es de movimento sa˜o reduzidas a`:
N
′
vv
′
+N
′
v|v|v
′|v′|+ T ′v ∗ a
′
= 0 (1.23)
Y
′
vv
′
+ Y
′
v|v|v
′|v′ |+ T ′v = 0 (1.24)
Lembramos aqui que a velocidade adimensional v
′
e´ a relac¸a˜o entre a componente da
velocidade relativa v e o mo´dulo da velocidade relativa total do corpo u0, e que no caso em
que um navio encontra-se em equil´ıbrio esta´tico, sua velocidade absoluta e´ nula. Admitindo-se
que a correnteza incide com um aˆngulo de 180 graus, isto e´, para ψ nulo a correnteza entra
pela proa. Enta˜o, se a partir desta posic¸a˜o o navio adotar aˆngulos de aproamento ψ na˜o
nulos, vale:
v = −C sin(ψ)
Assim as equac¸o˜es de movimento tornam-se:
T
′
va
′
= N
′
v sin(ψ) +N
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)| (1.25)
T
′
v = Y
′
v sin(ψ) + Y
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)| (1.26)
Deve-se observar que a equac¸a˜o (1.25) representa o confronto entre o momento restaurador
devido a` forc¸a aplicada pelo cabo, dada por (1.26) multiplicada pelo brac¸o a
′
e o momento
hidrodinaˆmico desestabilizador. Ao variar-se o ponto de conexa˜o pode-se concluir que para
certa faixa de valores de a
′
o momento restaurador predomina sobre o momento hidrodinaˆmico.
40 Texto Preliminar, SH Sphaier
Caso, por exemplo, o momento restaurador predomine sobre o momento hidrodinaˆmico, sig-
nifica que na˜o existe ψ diferente de zero que satisfac¸a as equac¸o˜es acima. Fisicamente significa
que se deslocarmos o navio da posic¸a˜o ψ = 0 ele retornara´ para esta posic¸a˜o. Ja´ se para qual-
quer a
′
sempre haja um ψ 6= 0 tal que o momento momento hidrodinaˆmico supere o momento
restaurador, significa que na˜o existe ψ diferente de zero que satisfac¸a as equac¸o˜es acima. Surge
enta˜o outra questa˜o: qual e´ o valor cr´ıtico do ponto de conexa˜o para que se tenha um aˆngulo
de aproamento diferente de zero. Trata-se de um problema limite para o qual busca-se qual
o maior valor de a
′
, chamado valor cr´ıtico a
′
crit, em que:
lim
ψ→0
(Y
′
v sin(ψ) + Y
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)|) · a
′ ≤ N ′v sin(ψ) +N
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)|
isto e´:
a
′
crit = lim
ψ→0
N
′
v sin(ψ) +N
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)|
Y ′v sin(ψ) + Y
′
v|v| sin(ψ)| sin(ψ)|
e enta˜o:
a
′
crit =
N
′
v
Y ′v
Para que o navio esteja alinhado com a correnteza e em equilibrio esta´tico, e´ necessa´rio que o
ponto de conexa˜o se situe avante do chamado ponto cr´ıtico. Para pontos de conexa˜o aque´m
do valor cr´ıtico, o navio assume um aˆngulo de aproamento
| sinψ| = a
′
Y
′
v −N ′v
N
′
v|v| − a′Y ′v|v|
(1.27)