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Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

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interpretar (η4, η5, η6) como um vetor.
Uma vez obtido o vetor dos deslocamentos
d =

dx
dy
dz
 (5.33)
podemos obter os vetores das velocidades,
v = iωd (5.34)
v =

vx
vy
vz
 =

iωdx
iωdy
iωdz
 (5.35)
e
a = iωv = −ω2d (5.36)
a =

ax
ay
az
 e v =

iωvx
iωvy
iωvz
 (5.37)
Os RAOS de deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em um ponto qualquer do corpo sa˜o
dados enta˜o por:
|RAOdx(ω)|2 = |dx|2 = dx · d∗x (5.38)
|RAOdy(ω)|2 = |dy|2 = dy · d∗y (5.39)
Texto Preliminar, SH Sphaier 55
|RAOdz(ω)|2 = |dz|2 = dz · d∗z (5.40)
|RAOvx(ω)|2 = |vx|2 = vx · v∗x (5.41)
|RAOvy(ω)|2 = |vy|2 = vy · v∗y (5.42)
|RAOvz(ω)|2 = |vz|2 = vz · v∗z (5.43)
|RAOax(ω)|2 = |ax|2 = ax · a∗x (5.44)
|RAOay(ω)|2 = |ay|2 = ay · a∗y (5.45)
|RAOaz(ω)|2 = |az|2 = az · a∗z (5.46)
Para obtermos os espectros resposta, basta multiplicarmos os quadrados das func¸o˜es de trans-
fereˆncia (RAOs) pelo espectro do mar.
5.5.2 Eventos de Seakeeping
Para operac¸o˜es no mar torna-se importante verificar as seguintes ocorreˆncias:
- embarque de a´gua (green water)
- culapada, entrada da proa na a´gua (slamming)
- culapada tranversal com o movimento de jogo em transporte de estruturas ou mo´dulos
com barcac¸a
- emersa˜o do propulsor
No caso de a´gua no conve´s pesquisa-se a frequeˆncia de ocorreˆncia desta situac¸a˜o para uma
borda livre pre´-determinada ou a borda livre necessa´ria para que uma certa frequeˆncia de
ocorreˆncia de embarque de a´gua na˜o seja ultrapassada.
Determina-se inicialmente o quadrado do RAO de deslocamento vertical relativo corpo-onda
para um ponto no plano longitudinal da embarcac¸a˜o no n´ıvel da linha de a´gua.
O deslocamento vertical de um ponto do navio localizado no eixo Ox, localizado longitudi-
nalmente na posic¸a˜o XL e´ dado por:
ηz(t) = η3(t)−XL · η5(t) (5.47)
O deslocamento relativo superf´ıcie do mar e o ponto acima
ηr(t) = ηz(t)− ζ(t) = η3(t)−XL · η5(t)− ζ(t) = [η3,0eiδ3 −XL · η5,0eiδ5 − ζeik0XL]eiωt (5.48)
56 Texto Preliminar, SH Sphaier
O quadrado do mo´dulo da resposta da distaˆncia relativa e´ dado por:
|ηr,0|2 = ηr,0 · η∗r,0
= [η3,0e
iδ3 −XL · η5,0eiδ5 − ζeik0XL] · [η3,0e−iδ3 −XL · η5,0e−iδ5 − ζe−ik0XL]
= (η23,0 +XL
2 ∗ η25,0 + ζ20 )−XLη3,0η5,0[ei(δ3−δ5) + e−i(δ3−δ5)]+
−η3,0ζ0[ei(δ3−k0·XL) + e−i(δ3−k0·XL)] +XL · η5,0ζ0[ei(δ5−k0·XL) + e−i(δ5−k0·XL)] (5.49)
O quadrado da relac¸a˜o entre a resposta do movimento e a amplitude da onda, isto e´, a resposta
para onda unita´ria e´ o mo´dulo do RAO do deslocamento relativo ao quadrado:
RML = 1 + (XL ∗ η5,0)2 + η23,0 − 2η3,0 cos(δ3,0 − k0XL)− 2XLη3,0η5,0 cos(δ3,0 − δ5,0)
+2XLη5,0 cos(δ5,0 − k0XL) (5.50)
De forma similar ao que foi feito anteriormente, os quadrados dos RAO’s de velocidade e
acelerac¸o˜es relativas sa˜o dados por:
RV L = ω2 ·RML (5.51)
RAL = ω2 ·RV L = ω4 ·RML (5.52)
Os espectros de resposta sa˜o dados por:
SMM = Sζζ ·RML (5.53)
SV V = Sζζ ·RV L (5.54)
SAA = Sζζ ·RAL (5.55)
Como sabido, a a´rea sob a curva da func¸a˜o de densidade espectral fornece a me´dia dos
quadrados do processo em estudo: deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es. Assumindo-
se que o processo e´ de banda estreita o processo estoca´stico dos picos de deslocamentos,
velocidades e acelerac¸o˜es, segue a lei de Rayleigh cuja func¸a˜o de densidade de probabilidade
e´ dada por:
fX(x) =
x
mx
e−x
2/2mx (5.56)
onde mx e´ a variaˆncia do processo da varia´vel X:
mx =
∫ ∞
0
Sxxdω (5.57)
A probabilidade da varia´vel X exceder um certo valor cr´ıtico e´:
P [X > Xcrit] = e
−X2crit
2mx (5.58)
Texto Preliminar, SH Sphaier 57
ou
X2crit = −2mx lnP [X > Xcrit] (5.59)
Esta expressa˜o fornece o deslocamento relativo vertical cr´ıtico para um certo n´ıvel de prob-
abilidade P [X > Xcrit]. Caso conhec¸a-se a frequeˆncia admiss´ıvel de ocorreˆncia de embarque
de a´gua no conve´s pode-se obter a borda livre necessa´ria
BL =
√
−2mx lnP [X > Xcrit] (5.60)
Se, por exemplo, a probabilidade de excedeˆncia for de 1/25 obteˆm-se uma borda livre
BL = 2.54
√
mx (5.61)
No caso em que a borda livre e´ dada e se quer verificar a incideˆncia de ocorreˆncia de a´gua no
conve´s tem-se:
P [X > BL] = e−BL
2/(2mx) (5.62)
e, determinando-se o nu´mero de oscilac¸o˜es por hora
Nosc = 3600 · (ciclos por segundo) = 3600σmedio/(2pi) = 3600
√
mv/mx/(2pi) (5.63)
pode-se calcular o nu´mero de vezes em me´dia esperado de ocorreˆncia de a´gua no conve´s:
N = Nosc ∗ P [X > BL] = 3600
√
mv/mxe
−BL2/(2mx)/(2pi) (5.64)
No caso de emersa˜o do propulsor o procedimento e´ similar. Determina-se qual a probabilidade
da pa´ do propulsor deixar a a´gua, isto e´, quer-se que a distaˆncia entre a onda e a posic¸a˜o da
pa´ do propulsor na˜o se torne nula.
Para as previso˜es de slamming longitudinal e transversal a situac¸a˜o e´ relativamente similar.
Deve-se determinar a probabilidade do deslocamento, dada pela diferenc¸a entre a cota do
fundo do corpo flutuante e a linha de a´guas tranquilas, exceder uma distaˆncia limite pre´-
estabelecida. Entretanto um outro fator e´ tambe´m importante que e´ a velocidade de imersa˜o.
Se a velocidade for baixa na˜o ha´ risco. Entretanto se ela exceder um certo valor a entrada na
a´gua e´ feita com risco de dano estrutural.
A probabilidade de ocorrer simultaneamente emersa˜o do propulsor e excedeˆncia da velocidade
cr´ıtica e´ dado por:
P [ocorreˆncia de slamming] = P [excedeˆncia do deslocamento] · P [excedeˆncia da velocidade]
(5.65)
onde
P [excedeˆncia do deslocamento] = e−DIST
2/(2mx) (5.66)
P [excedeˆncia da velocidade] = e−V TL
2/(2mx) (5.67)
58 Texto Preliminar, SH Sphaier
DIST - e´ a distaˆncia entre o n´ıvel de a´guas tranquilas e o ponto de interesse.
VTL - e´ a velocidade cr´ıtica a partir da qual pode haver danos estruturais. Recomenda-
se utilizar um valor em torno de 0.1
√
gLpp
Com este resultado pode-se calcular o nu´mero de vezes em me´dia esperado de ocorreˆncia de
slamming:
N = P [ocorreˆncia de slamming]3600
√
mv/mx/(2pi) (5.68)
Texto Preliminar, SH Sphaier 59
5.6 Resumo Esquema´tico
Figura 5.1: Apresentac¸a˜o Esquema´tica I
60 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 5.2: Apresentac¸a˜o Esquema´tica II
Texto Preliminar, SH Sphaier 61
Figura 5.3: Apresentac¸a˜o Esquema´tica III
62 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 5.4: Apresentac¸a˜o Esquema´tica IV
Texto Preliminar, SH Sphaier 63
Figura 5.5: Apresentac¸a˜o Esquema´tica V
64 Texto Preliminar, SH Sphaier
Cap´ıtulo 6
Hidrodinaˆmica de Corpos Flutuantes
Estaciona´rios
6.1 Aspectos F´ısicos: Leis e Princ´ıpios
Passaremos agora a tratar o problema discutido acima em bases mais formais do ponto de vista
hidrodinaˆmico. Vamos assumir que as ondas sa˜o de pequenas amplitudes, o corpo executara´
movimentos de pequenas amplitudes e podemos tratar o problema linearmente.
Nosso objetivo e´ o estudo do comportamento de corpos flutuantes, isto e´, corpos r´ıgidos
movendo-se, semi-imersos em um fluido em movimento. Como sabemos o movimento de um
corpo e´ regido pelas leis da mecaˆnica, que sa˜o as treˆs leis de Newton e a lei de gravitac¸a˜o
universal. Ale´m disto temos que satisfazer aos princ´ıpios de conservac¸a˜o da massa e da
impenetrabilidade dos corpos.
No caso espec´ıfico do corpo, sua massa e´ considerada imuta´vel, estando assim, automatica-
mente satisfeito o princ´ıpio de conservac¸a˜o da massa.
O princ´ıpio da impenetrabilidade nos diz que os movimentos do corpo e das part´ıculas fluidas
sa˜o tais que as part´ıculas na˜o podem penetrar no corpo, nem tampouco uma part´ıcula fluida
podera´ penetrar no corpo ou em outra part´ıcula fluida.
O movimento de um corpo sujeito a forc¸a externas e´ descrito pela segunda lei de Newton,