Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

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Programa de Engenharia Oceaˆnica
COPPE / UFRJ
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Hidrodinaˆmica IVb
SH Sphaier
Marc¸o de 2008
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o a` Dinaˆmica de Corpos Flutuantes 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sistemas de refereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Considerac¸o˜es F´ısicas sobre o Problema Hidrodinaˆmico . . . . . . . . . . . . . 2
2 Dinaˆmica do Corpo Bidimensional Flutuante 7
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Movimento Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Movimento de Jogo Puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Movimento Lateral Puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Movimentos Simultaˆneos Lateral e de Jogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Hipo´tese de Froude-Krylov para o Ca´lculo de Forc¸a de Onda . . . . . . . . . . 21
2.6.1 Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares . . . . . . . . . . 22
2.6.2 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em um Retaˆngulo . . . . . . 26
2.6.3 Extensa˜o da expressa˜o de Froude-Krylov para o caso de um Navio com
fundo plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.4 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas Semisub-
mers´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Dinaˆmica de um Corpo Tridimensional Esbelto em Ondas 31
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Movimentos vertical e de rotac¸a˜o em torno do eixo lateral . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Equac¸o˜es dos Movimentos Acoplados de Heave e Pitch . . . . . . . . . 33
3.2.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Movimentos lateral, de rotac¸a˜o em torno do eixo Oz e de jogo . . . . . . . . . 36
3.3.1 Equac¸o˜es de movimento no plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Generalizac¸a˜o do Problema Dinaˆmico 41
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Corpos com Geometria Qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
i
ii Texto Preliminar, SH Sphaier
4.3 Um Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Navio em Mar Irregular 49
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Transformada de Fourier da Equac¸a˜o de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 O Espectro de Resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Espectro de Resposta de um Sistema Oceaˆnico em um Mar Irregular . . . . . 51
5.5 Movimentos de um Corpo Flutuante no Mar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5.1 Deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em um ponto do corpo . . . . 53
5.5.2 Eventos de Seakeeping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6 Resumo Esquema´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Hidrodinaˆmica de Corpos Flutuantes Estaciona´rios 65
6.1 Aspectos F´ısicos: Leis e Princ´ıpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Formulac¸a˜o hidrodinaˆmica: Leis e Princ´ıpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Forc¸as Atuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.1 Forc¸as hidrodinaˆmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.2 Forc¸a de excitac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.3 Forc¸a de radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3.4 Quantidades de Movimento Linear e Angular da Massa do Corpo . . . 82
6.3.5 Restaurac¸a˜o: Ac¸a˜o das forc¸as hidrosta´ticas e das forc¸as de corpo . . . . 87
6.4 Equac¸o˜es de Movimento no Domı´nio da Frequeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . 92
Lista de Figuras
1.1 Onda Incidente e sua Difrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Radiac¸a˜o e Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Forc¸a de Restaurac¸a˜o Vertical Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Decremento Logar´ıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Fator de Amplificac¸a˜o, Func¸a˜o de transfereˆncia, Rao . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Aˆngulo de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Banda de uma sec¸a˜o naval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Cancelamento em Formas Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Cancelamento em Estruturas Semisubmers´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1 Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional I . . . . . . . . . . 45
4.2 Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional II . . . . . . . . . 46
4.3 Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional III . . . . . . . . . 46
4.4 Forc¸a de Excitac¸a˜o Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 Momento de Excitac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Rao de Heave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.7 Rao de Pitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1 Apresentac¸a˜o Esquema´tica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Apresentac¸a˜o Esquema´tica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Apresentac¸a˜o Esquema´tica III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Apresentac¸a˜o Esquema´tica IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Apresentac¸a˜o Esquema´tica V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
iii
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o a` Dinaˆmica de Corpos
Flutuantes
1.1 Introduc¸a˜o
O estudo do comportamento de corpos flutuantes trata do estudo da dinaˆmica de um corpo
flutuante sujeito a forc¸as hidrodinaˆmicas, hidrosta´ticas e forc¸as de corpo. Neste cap´ıtulo ini-
ciaremos o estudo do problema de um corpo na superf´ıcie livre com liberdade de executar
movimento vertical. Em seguida analisaremos os aspectos hidrodinaˆmicos, pore´m ainda de um
ponto mais descritivo do fenoˆmeno que de um ponto de sua formulac¸a˜o matema´tica. Posteri-
ormente apresentaremos a formulac¸a˜o matema´tica e a soluc¸a˜o para o fenoˆmeno hidrodinaˆmico
de radiac¸a˜o de ondas a partir dos movimentos de um corpo junto a superf´ıcie livre. Por uma
questa˜o de simplicidade de formulac¸a˜o matema´tica analisaremos o caso de um batedor de
ondas do tipo pista˜o. O problema de um corpo fixo em ondas e´ analisado na sec¸a˜o seguinte
para introduzirmos a hipo´tese de Froude-Krylov e o problema de difrac¸a˜o. Finalmente ap-
resentamos o caso de um corpo flutuante em ondas, estabelecendo o problema de valor de
contorno linearizado.
1.2 Sistemas de refereˆncia
Ao longo do texto utilizaremos treˆs sistemas de refereˆncia. Um sistema de coordenadas
OXY Z com o plano Z = 0 sobre a superf´ıcie livre. O eixo OZ aponta verticalmente para
cima.
Um segundo sistema utilizado e´ o sistema o¯x¯y¯z¯ cujo centro, sempre concide com o ponto O,
1
2 Texto Preliminar, SH Sphaier
com eixo o¯x¯ fazendo um aˆngulo β com o eixo OX.
O terceiro sistema aqui considerado e´ o sistema oxyz, o qual se desloca com a velocidade
do navio, sem oscilar. Seu centro esta´ localizado na superf´ıcie livreem repouso e o eixo oz
aponta verticalmente para cima. O ponto o, centro do sistema, esta´ localizado a meio navio.
Muitas vezes e´ mais pra´tico localiza´-lo na vertical passando pelo centro de gravidade.
O navio desloca-se em linha reta com velocidade U na direc¸a˜o do eixo o¯x¯.
As ondas se propagam na direc¸a˜o do eixo OX e o vetor celeridade da onda faz um aˆngulo β
com o vetor velocidade do navio, e consequentemente com o eixo longitudinal do navio.
1.3 Considerac¸o˜es F´ısicas sobre o Problema Hidrodi-
naˆmico
Tentando apresentar uma visualizac¸a˜o do fenoˆmeno e identificac¸a˜o das ac¸o˜es hidrodinaˆmicas
sobre um corpo flutuante deslocando-se em ondas, vamos considerar, para efeito de ana´lise,
que o corpo, inicialmente, se encontra em repouso em a´guas tranquilas sujeito a ac¸a˜o de seu
peso e ao empuxo, resultante da ac¸a˜o das presso˜es hidrosta´ticas sobre a superf´ıcie molhada
do corpo.
A nossa experieˆncia dia´ria nos diz que, incidindo uma onda sobre o corpo, este saira´ da
situac¸a˜o de equil´ıbrio esta´tico executando movimentos no meio fluido.
Inicialmente imaginemos o que se passa sobre uma superf´ıcie fict´ıcia cuja forma e´ igual a
forma do corpo colocado no meio fluido. Se na˜o houvesse ondas, a forc¸a que o fluido, externo
a` superf´ıcie imagina´ria, faria sobre a massa fluida contida em seu interior seria igual ao peso
desta massa fluida. Isto nada mais e´ que o princ´ıpio de Arquimedes. Esta forc¸a pode ser
obtida como resultado da integrac¸a˜o da pressa˜o hidrosta´tica pe,0.
Consideremos agora a ac¸a˜o de ondas. As part´ıculas fluidas atravessam a superf´ıcie ima-
gina´ria e a pressa˜o em cada um de seus pontos varia com o tempo devido a` contribuic¸a˜o
da pressa˜o hidrodinaˆmica das ondas incidentes. Ale´m da forc¸a hidrosta´tica temos uma forc¸a
hidrodinaˆmica devida ao campo de presso˜es decorrente da onda incidente pinc. A esta com-
ponente hidrodinaˆmica de forc¸a chamamos de forc¸a de onda segundo a hipo´tese de Froude-
Krylov, ou de forma abreviada, forc¸a de Froude-Krylov. Trata-se enta˜o de determinar a forc¸a
hidrodinaˆmica devida a` pressa˜o hidrodinaˆmica causada pela onda incidente sobre a superf´ıcie
a ser ocupada pelo contorno do corpo.
Uma segunda componente dinaˆmica de forc¸a aparecera´ devida a` perturbac¸a˜o que o corpo cria
no meio fluido. Na realidade as part´ıculas fluidas na˜o podem atravessar o corpo. A presenc¸a
Texto Preliminar, SH Sphaier 3
do corpo impo˜e velocidades a`s part´ıculas fluidas de forma a terem componentes normais
junto ao corpo iguais a zero. Sa˜o originadas ondas que se propagam para o fluido, interagem
com a onda incidente anulando as componentes de velocidades das part´ıculas fluidas junto a
superf´ıcie do corpo na direc¸a˜o normal. A este fenoˆmeno chamamos de difrac¸a˜o. Aparecem
ondas de difrac¸a˜o geradas junto ao corpo. Este fenoˆmeno esta´ intimamente ligado a`s ondas
incidentes. A onda incidente ao encontrar o corpo se difrata. A energia que se propaga na
direc¸a˜o da onda incidente espalha-se devido a` presenc¸a do corpo propagando-se em outras
direc¸o˜es. Soma-se a` pressa˜o dinaˆmica da onda incidente uma nova parcela devida a` onda
difratada pdif . De forma semelhante ao problema do escoamento uniforme acelerado em torno
de um c´ırculo em que a forc¸a resultante era composta de duas componentes, uma devida ao
escoamento acelerado, e outra devida a` perturbac¸a˜o que o c´ırculo, representado pelo dipolo
causava no escoamento, no problema de ondas aparecem duas componentes de forc¸a, uma
devida a` onda incidente como se na˜o houvesse corpo (forc¸a de Foude-Krylov) e outra devida
a perturbac¸a˜o que o corpo cria na onda incidente, forc¸a de difrac¸a˜o.
Uma segunda fonte de formac¸a˜o de ondas que se radiam do corpo para o meio deve-se aos
movimentos do corpo. O movimento do corpo induz movimento a`s part´ıculas fluidas junto ao
casco. Este movimento transmite-se a`s outras part´ıculas fluidas, agitando a superf´ıcie livre
gerando ondas que se propagam para o meio. A este fenoˆmeno chamamos de radiac¸a˜o. Estas
ondas tambe´m provocara˜o uma modificac¸a˜o no campo de presso˜es atuantes sobre o casco prad.
Uma u´ltima parcela que contribui para a variac¸a˜o da pressa˜o atuante em um ponto da su-
perf´ıcie do corpo com o tempo e´ sua constante mudanc¸a de posic¸a˜o. A pressa˜o hidrosta´tica
dependera´ da posic¸a˜o inicial do ponto e dos movimentos do corpo. Com os movimentos do
corpo cada ponto de sua superf´ıcie tera´ sua coordenada vertical variando com o tempo. Assim
teremos a coluna de a´gua em um ponto, que rege a pressa˜o hidrosta´tica, variando com o tempo
e a pressa˜o hidrosta´tica total dada pela soma da pressa˜o hidrosta´tica inicial correspondente a
posic¸a˜o de equil´ıbrio esta´tico do corpo, e de uma componente de pressa˜o hidrosta´tica varia´vel
com o tempo, correspondente a` mudanc¸a de posic¸a˜o vertical do ponto pe,t.
Admitindo ser poss´ıvel a superposic¸a˜o dos efeitos acima descritos na forma de um somato´rio
de efeitos a pressa˜o total ptotal seria enta˜o:
ptotal = pe + pd
= pe,0 + pe,t + pinc + pdif + prad
= pe,0 + p(t) (1.1)
onde a pressa˜o dinaˆmica pd e´ dada por
pinc + pdif + prad (1.2)
onde a pressa˜o esta´tica pe e´ dada por
pe,0 + pe,t (1.3)
4 Texto Preliminar, SH Sphaier
e a pressa˜o dependente do tempo p(t) e´ dada por
pe,t + pinc + pdif + prad (1.4)
onde:
• pressa˜o esta´tica pe
• pressa˜o dinaˆmica pd
• pressa˜o dependente do tempo pt
• pressa˜o esta´tica independente do tempo pe,0
• pressa˜o esta´tica dependente do tempo pe,t
• pressa˜o devida a` onda incidente pinc
• pressa˜o devida a` onda difratada pdif
• pressa˜o devida a` onda radiada prad
As forc¸as de origem hidrodinaˆmica seriam obtidas pela integrac¸a˜o destas presso˜es ptotal ao
longo do casco. Ale´m das forc¸as hidrodinaˆmicas atua sobre o corpo a forc¸a de peso. Re-
unindo estas forc¸as externas e utilizando a lei de Newton, temos as equac¸o˜es que va˜o reger o
movimento do corpo.
Atrave´s das figuras 1.1 e 1.2 vemos esquematicamente as diversas contribuic¸o˜es.
Texto Preliminar, SH Sphaier 5
Figura 1.1: Onda Incidente e sua Difrac¸a˜o
6 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.2: Radiac¸a˜o e Empuxo
Cap´ıtulo 2
Dinaˆmica do Corpo Bidimensional
Flutuante
2.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo vamos tratar da dinaˆmica do movimento de um corpo flutuante. Vamos nos
ater ao problema no plano, isto e´, observamos o comportamento de um cilindro, cuja sec¸a˜o
tem uma forma naval, flutuando na superf´ıcie livre. Inicialmente, daremos somente um grau
de liberdade de movimento. Este grau de liberdade sera´ o de movimento vertical, depois o
de movimento de jogo e por u´ltimo o de movimento lateral. Posteriormente analisaremos os
movimentos acoplados de jogo e lateral.
2.2 Movimento Vertical
Analisemos o movimento vertical de um cilindro infinito de sec¸a˜o qualquer, flutuando na
superf´ıcie livre com seu eixo coincidindo com o eixo Ox, e com simetria em relac¸a˜o ao plano
longitudinal. Consideremos que inicialmente se encontra em equil´ıbrio esta´tico. Como trata-se
de um corpo infinito podemos desenvolver uma ana´lise bidimensional (figura 2.1).
Utilizando a segunda lei de Newton temos:
ms¨ = −P + E0 = 0 (2.1)
onde:
s e´ o movimento vertical do corpo,
7
8 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 2.1: Forc¸a de Restaurac¸a˜o Vertical Resultante
m e´ a massa do corpo por unidade de comprimento,
P e´ o peso do corpo por unidade de comprimento,
E0 e´ o empuxo por unidade de comprimento.
Dando um deslocamento vertical ao corpo, havera´ enta˜o um desequil´ıbrio entre o peso e o
empuxo. Caso as u´nicas forc¸as intervenientes fossem o peso P e o empuxo E ter´ıamos P 6= E.
O corpo entraria enta˜o em movimentooscilato´rio.
A lei de Newton fornece
ms¨ = −P + E0 +4E (2.2)
Considerando pequenos movimentos verticais podemos dizer que ∆E = −ρgBs e enta˜o
ms¨ = −ρgBs (2.3)
com s(t = 0) = s0, sendo B a boca do cilindro.
Assim ter´ıamos a seguinte equac¸a˜o diferencial ordina´ria para resolver.
ms¨+ ρgBs = 0 (2.4)
com s(t = 0) = s0 e s˙ = 0.
Trata-se de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria a coeficientes constantes de segunda ordem
homogeˆnea sujeita a uma condic¸a˜o inicial. A soluc¸a˜o e´ da forma
s = s0e
iωnt (2.5)
Texto Preliminar, SH Sphaier 9
com ωn =
√
ρgB/m, frequeˆncia natural, e o corpo permaneceria em movimento harmoˆnico
indefinidamente.
A experieˆncia dia´ria nos diz entretanto que este movimento tem um decremento com o tempo,
e podemos observar o aparecimento de ondas na superf´ıcie livre. Estas ondas propagam-se
do corpo para o infinito carregando consigo energia.
Lembrando as concluso˜es obtidas no estudo do escoamento devido a um c´ırculo acelerado em
um fluido em repouso, sabemos que a pressa˜o dinaˆmica da´ origem a uma forc¸a contra´ria a`
acelerac¸a˜o do corpo. Sem nos preocuparmos aqui com o rigor matema´tico, podemos dizer que
a pressa˜o da´ origem a uma forc¸a na forma
Fhdin = −a33s¨ (2.6)
A lei de Newton agora fornece
ms¨ = −a33s¨− ρgBs (2.7)
ou
(m+ a33)s¨+ ρgBs = 0 (2.8)
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´ semelhante a` soluc¸a˜o do caso anterior, modificando-se somente o
valor de ωn
ωn =
√
ρgB
m+ a33
(2.9)
Isto quer dizer, que o decaimento do movimento que observamos em nossa experieˆncia dia´ria,
na˜o e´ previsto e por conseguinte a energia dissipada na formac¸a˜o de ondas na˜o esta´ sendo
considerada. A expressa˜o acima, representativa da forc¸a hidrodinaˆmica na˜o preve termo
responsa´vel pela formac¸a˜o de ondas e consequentemente pelo decaimento do movimento do
corpo, o que na˜o representa o caso real.
Ocorre que estas forc¸as, devidas a radiac¸a˜o de ondas, na˜o necessariamente esta˜o em fase com
a acelerac¸a˜o do corpo. A forc¸a de radiac¸a˜o resultante esta´ subdividida em duas parcelas,
uma em fase com a acelerac¸a˜o e outra com a velocidade do corpo. Esta segunda parcela e´
responsa´vel pelo constante consumo de energia cine´tica do corpo, transferindo energia para
a massa fluida na forma de ondas, que se transmitem para o infinito, provocando assim um
decaimento no movimento do corpo.
Ao coeficiente de proporcionalidade entre acelerac¸a˜o e a forc¸a em fase com a acelerac¸a˜o
chamamos de coeficiente de massa adicional e, ao coeficiente de proporcionalidade entre ve-
locidade e forc¸a em fase com a velocidade, damos o nome de coeficiente de amortecimento.
Com esta expressa˜o a equac¸a˜o de movimento do corpo apresenta um termo na˜o conservativo
linear, e esta´ intimamente ligado a` energia da onda que, formada pela interac¸a˜o fluido-corpo
junto a superf´ıcie livre se radia para o meio, propagando-se a longas distaˆncias.
10 Texto Preliminar, SH Sphaier
Fhdin = −a33s¨− b33s˙ (2.10)
onde b33 e´ o coeficiente de amortecimento.
A equac¸a˜o de movimento obtida a partir da aplicac¸a˜o da lei de Newton seria agora
ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs (2.11)
ou
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (2.12)
Esta e´ uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea ordina´ria de segunda ordem a coeficientes con-
stantes. Sua soluc¸a˜o e´ da forma exponencial. Este problema corresponde ao de vibrac¸a˜o livre
de um sistema amortecido, sujeito a um deslocamento e uma velocidade iniciais.
Consideremos agora que incide uma onda monocroma´tica que, como descrito acima, introduz
uma forc¸a de excitac¸a˜o harmoˆnica.
Fexc = F0e
iωt = (F0,R + i F0,I)e
iωt (2.13)
onde
F0 e´ a amplitude da forc¸a
ω e´ a frequeˆncia de oscilac¸a˜o.
A lei de Newton fornece enta˜o a seguinte equac¸a˜o de movimento
ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs+ Fexc (2.14)
ou
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = F0e
iωt (2.15)
Texto Preliminar, SH Sphaier 11
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ a soma da soluc¸a˜o homogeˆnea, que corresponderia ao
movimento apo´s um impulso inicial, mais a soluc¸a˜o particular que seria regida pela carac-
ter´ıstica da forc¸a de excitac¸a˜o. Assim, apo´s algum tempo, a soluc¸a˜o homogeˆnea na˜o mais
interferiria na soluc¸a˜o do problema, isto e´, apo´s a fase transiente o corpo entraria em um
movimento harmoˆnico com frequeˆncia ω
s = s¯0e
i(ωt+δ) = s0e
i(ωt) (2.16)
onde:
s¯0 e´ a amplitude do movimento
s0 e´ a amplitude complexa
δ e´ a fase.
Soluc¸a˜o homogeˆnea
A soluc¸a˜o homogeˆnea e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o:
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (2.17)
e e´ da forma:
s = e−b33/[2(m+a33)] t
(
a1e
t
√
(b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33) + a2e−t
√
(b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33)
)
(2.18)
Para valores de b33 em que [b33/2(m + a33)]
2 − ρ g B/(m + a33) > 0 temos o movimento
decrescendo exponencialmente segundo 2.18.
Para pequenos valores de b33 em que [b33/2(m+a33)]
2−ρ g B/(m+a33) < 0 temos um sistema
pouco amortecido e o argumento das func¸o˜es exponenciais sera´ imagina´rio. A soluc¸a˜o toma
a forma:
s = e−b33/[2(m+a33)] t
(
a1 cos(t
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2
+a2 sin(t
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2
)
(2.19)
Se defirmos ω como frequeˆncia amortecida:
ω =
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2 (2.20)
12 Texto Preliminar, SH Sphaier
enta˜o teremos
s = e−b33/[2(m+a33)] t (a1 cos(ωt) + a2 sin(ωt)) (2.21)
O valor de b33 para o qual
[b33/2(m+ a33)]
2 − ρ g B/(m+ a33) = 0 (2.22)
e´ chamado de amortecimento cr´ıtico.
b33,c = 2(m+ a33)ωn (2.23)
Definimos como ζ a relac¸a˜o entre o amortecimento b33 e o amortecimento cr´ıtico b33,c,
ζ =
b33
b33,c
(2.24)
Observemos que substituindo (2.9), (2.24) e (2.23) em (2.12) obtemos
s¨+ 2ζωns˙+ ω
2
ns = 0 (2.25)
Este e´ um formato compacto da uma equac¸a˜o diferencial que vimos acima. Trata-se de uma
equac¸a˜o ordina´ria a coeficientes constantes. Embora seja totalmente equivalente ao caso visto
acima, vamos aqui desenvolver novamente sua soluc¸a˜o, que e´ da forma
s = aeλt (2.26)
Substituindo esta expressa˜o em (2.29) obtemos, para a determinac¸a˜o de λ, a seguinte equac¸a˜o
do segundo grau:
λ2 + 2ζωnλ+ ω
2
n = 0 (2.27)
Assim, temos duas soluc¸o˜es na forma:
λ = −ζωn ± i
√
1− ζ2ωn (2.28)
Observemos que o crescimento ou decaimento do deslocamento, isto e´, o crescimento ou
decaimento de s ao longo do tempo, depende do fator ζ, relac¸a˜o entre o amortecimento do
sistema e o amortecimento cr´ıtico. Cabe entretanto, conceituar amortecimento cr´ıtico. Antes
pore´m observemos o comportamento da soluc¸a˜o para valores de ζ positivo, nulo e negativo.
Iniciemos abordando o caso em que ζ = 0.
s¨+ ω2ns = 0 (2.29)
Texto Preliminar, SH Sphaier 13
Figura 2.2: Decremento Logar´ıtmico
Esta equac¸a˜o tem soluc¸a˜o na forma
s = a1e
iωnt + a2e
−iωnt (2.30)
Assim vemos que o corpo vai oscilar indefinidamente harmoˆnicamente na chamada frequ¨eˆncia
natural.
Caso ζ < 0, o movimento aumentara´ indefinidamente com o tempo. Trata-se de um sistema
com amortecimento negativo causando uma amplificac¸a˜o do movimento. Caso ζ > 0, o termo
exponencial atuara´ forc¸ando o decaimento do movimento.
Para o caso do amortecimento positivo, isto e´, ζ positivo, devemos distinguir treˆs casos. O
primeiro em que ζ < 1. O termo exponencial atuara´ como um regulador da amplitude do
movimento. Este regulador impo˜e um decaimento do movimento. O corpo oscila com a
frequeˆncia
ω =
√
1− ζ2ωn (2.31)
A figura 2.2 mostra este comportamento.
Para o caso em que ζ > 1 o sistema e´ fortemente amortecido. Na˜o ha´ oscilac¸a˜o. A soluc¸a˜o
14 Texto Preliminar, SH Sphaier
toma a forma
s = a1e
(
−ζ+
√
ζ2−1
)
ωnt + a2e
(
−ζ−
√
ζ2−1
)
ωnt (2.32)
No casoem que ζ = 1 a expressa˜o (2.28) torna-se
λ = −ωn (2.33)
isto e´, a expressa˜o (2.26) fornece uma u´nica soluc¸a˜o.
s = ae−ωt (2.34)
Temos que providenciar uma segunda soluc¸a˜o. Como sabido do ca´lculo diferencial a soluc¸a˜o
homogeˆnea torna-se enta˜o:
s = (a1 + a2t)e
−ωt (2.35)
Observemos que, de forma geral, em um sistema massa-mola-amortecedor, podemos medir a
massa do corpo e o efeito de mola aplicando-se uma forc¸a e medindo-se a elongac¸a˜o da mola.
Conhecidos estes dois termos da equac¸a˜o diferencial do movimento, falta-nos determinar o
amortecimento do sistema. Atrave´s de uma experieˆncia e, determinando-se o logaritmo natu-
ral da relac¸a˜o entre duas amplitudes sucessivas, e´ poss´ıvel extrair-se o valor do amortecimento.
No caso de um corpo oscilando na superf´ıcie, podemos medir os efeitos de restaurac¸a˜o ou
calcula´-los atrave´s das linhas do corpo. Podemos determinar a massa do corpo, compondo a
massa de cada uma de suas partes, e calcular a massa adicional e o coeficiente de amortec-
imento de ondas atrave´s de me´todos matema´ticos. Na abordagem aqui encaminhada, na˜o
fazemos nenhuma menc¸a˜o a efeitos viscosos, que por efeitos locais, podem ser importantes.
Nestes casos, embora possamos determinar o amortecimento devido a formac¸a˜o de ondas,
e´ fundamental o teste do decremento logar´ıtmico para a determinac¸a˜o precisa dos efeitos
viscosos. Poder-se-ia perguntar enta˜o se sempre ter´ıamos que fazer o teste. Em termos
absolutos sempre seria necessa´rio, entretanto devemos inicialmente verificar se os efeitos vis-
cosos sa˜o importantes ou na˜o, e se os me´todos de ca´lculo das propriedades hidrodinaˆmicas,
massa adicional e amortecimento, para formas semelhantes levam a bons resultados ou na˜o.
Em geral para formas navais, somente o movimento de jogo apresenta efeitos viscosos im-
portantes. Costuma-se desenvolver testes experimentais, acumulando-se informac¸o˜es sobre o
amortecimento na forma de um percentual do amortecimento cr´ıtico do sistema. Isto e´, se o
amortecimento fosse igual ao cr´ıtico este seria dado por (2.23).
Para a determinac¸a˜o do decremento logar´ıtmico, admitamos que a soluc¸a˜o seja dada por:
s = Se−ζωnt
[
sin
(√
1− ζ2ωnt+ α
)]
(2.36)
onde S e α foram obtidos a partir de (2.18) e das condic¸o˜es de deslocamento s(t = 0) e
velocicades s˙(t = 0) iniciais.
Texto Preliminar, SH Sphaier 15
A curva
s = Se−ζωnt (2.37)
tangencia a curva de resposta do sistema pro´ximo aos ma´ximos. O decremento logar´ıtmico
entre duas oscilac¸o˜es sucessivas e´ expresso por
δl = ln
s1
s2
= ln
e−ζωnt1
e−ζωn(t1+T )
= ln eζωnT = ζωnT (2.38)
Como o sistema oscila com frequeˆncia
ω = ωn
√
1− ζ2 (2.39)
o intervalo de tempo entre as duas oscilac¸o˜es sera´
T =
2pi
ωn
√
1− ζ2 (2.40)
e o decremento (ver figura 2.2):
δl =
2piζ√
1− ζ2 (2.41)
Em sistemas pouco amortecidos teremos enta˜o
δl = 2piζ (2.42)
Soluc¸a˜o Particular
Substituindo (2.16) em (2.15) obtemos a amplitude complexa s0 dada por
s0 =
1
ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33F0
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33
(ρ g B − ω2 (m + a33))2 − (i ω b33)2F0
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33
(ρ g B − ω2 (m + a33))2 + (ω b33)2F0 (2.43)
que pode ser escrita em termos do mo´dulo | s0 | e da fase δ por
s0 = (s0,R + i s0,I) e
i ω t = | s0 | e(iω t+ δ) (2.44)
onde:
16 Texto Preliminar, SH Sphaier
freq / freq natural
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
zeta = 0.05
zeta = 0.10
zeta = 0.15
zeta = 0.20
zeta = 0.25
zeta = 0.30
zeta = 0.35
zeta = 0.50
zeta = 0.75
zeta = 1.00
Figura 2.3: Fator de Amplificac¸a˜o, Func¸a˜o de transfereˆncia, Rao
s0,R e´ a parte real da amplitude complexa,
s0,I e´ a parte imagina´ria.
Multiplicando s0 pelo seu conjugado s
∗
0 obtemos o mo´dulo da soluc¸a˜o:
| s0 |2= s0 · s∗0
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33(
[ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2
)2 [ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33] | F0 |2
=
1
[ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2
| F0 |2 (2.45)
onde
| F0 |2= F0 · F ∗0 (2.46)
O aˆngulo de fase δ e´ dado por
δ = arctan
F0,R (ρ g B − ω2 (m + a33)) + F0,I (ω b33)
F0,I (ρ g B − ω2 (m + a33)) − F0,R (ω b33) (2.47)
O comportamento da soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ mostrado nas figuras 2.3 e 2.4. Esta
soluc¸a˜o e´ chamada de fator de amplificac¸a˜o, func¸a˜o de transfereˆncia ou RAO (Operador de
Amplitude de Resposta).
Texto Preliminar, SH Sphaier 17
freq / freq natural
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-180
-150
-120
-90
-60
-30
0
zeta = 0.05
zeta = 0.10
zeta = 0.15
zeta = 0.20
zeta = 0.25
zeta = 0.30
zeta = 0.35
zeta = 0.50
zeta = 0.75
zeta = 1.00
Figura 2.4: Aˆngulo de Fase
2.3 Movimento de Jogo Puro
Estudemos agora o problema de oscilac¸a˜o angular de um corpo bidimensional junto a su-
perf´ıcie livre. Consideremos que incide uma onda monocroma´tica que, impo˜e um momento
de excitac¸a˜o harmoˆnico.
Mexc =M0e
iωt = (M0,R + iM0,I)e
iωt (2.48)
O corpo, reagindo a este momento, entra em movimento harmoˆnico com a mesma frequeˆncia
da excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem presso˜es
sobre o corpo. O momento da forc¸a de reac¸a˜o hidrodinaˆmica atuando sobre o corpo, e´ da
forma
Mrad = −a44η¨4 − b44η˙4 (2.49)
Com o deslocamento do corpo de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio, atuara´ sobre ele um momento
restaurador resultante da ac¸a˜o das forc¸as devidas ao peso e a`s presso˜es hidrosta´ticas.
Admitamos que a sec¸a˜o execute uma rotac¸a˜o η4 em torno do ponto O, ver figura 2.5.
18 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 2.5: Banda de uma sec¸a˜o naval
O centro de carena, localizado inicialmente no ponto B, desloca-se para o ponto B
′
. A vertical
passando por B
′
encontra o eixo Oz no ponto M , o metacentro. Nesta vertical temos o ponto
B
′
, de forma tal que B′B e´ um segmento horizontal. Valem as relac¸o˜es:
A1C1 = A2C2 =
b
2
tan(η4) (2.50)
GB = BM −GM (2.51)
BB′ = (GM +GB) sin(η4) (2.52)
O deslocamento do centro de carena do ponto B para o ponto B
′
, deve-se ao ganho da a´rea do
triaˆngulo C1OA1 e a` perda de a´rea do triaˆngulo C2OA2. A a´rea de cada uma destas cunhas
e´ dada por
1
2
b
2
b
2
tan(η4) =
1
8
b2 tan(η4) (2.53)
Assim o peso deslocado e´ de ρg 1
8
b2 tan(η4) para cada cunha.
As duas cunhas geram um momento
2ρg
∫ b/2
0
yy tan(η4)dy = 2ρg tan(η4)
∫ b/2
0
y2dy
= 2ρg tan(η4)
y3
3
|b/20 = ρg tan(η4)
b3
12
(2.54)
Texto Preliminar, SH Sphaier 19
Dividindo o momento pelo peso temos o brac¸o de momento igual a b/3.
Considerando o empuxo total ser composto pelo empuxo aplicado em B, somado ao empuxo
devido ao triaˆngulo C1OA1 e subtra´ıdo do empuxo devido ao triaˆngulo C2OA2 teremos os
seguintes momentos atuantes:
M1 = −GB sin(η4)mg (2.55)
M2 = ρg tan(η4)
b3
12
(2.56)
Por outro lado, temos que a distaˆncia horizontal e´ dada por:
BB′′ = (ρg tan(η4)
b3
12
)/mg (2.57)
Assim
(GM +GB) sin(η4) = (ρg tan(η4)
b3
12
)/mg (2.58)
Compondo os dois momentos teremos o momento restaurador Mrest dado por:
Mrest =M1 +M2 = ρg tan(η4)
b3
12
−GBmg sin(η4)
= mg(GM +GB) sin(η4)−GBmg sin(η4) = mgGM sin(η4) (2.59)
A distaˆncia GM e´ chamada de altura metaceˆntrica e mede a capacidade que um corpo tem
para retornar a sua posic¸a˜o de equil´ıbrio.
Admitindo pequenos deslocamentos, sin(η4) ≈ η4, e reunindo todas estas forc¸as, segue da
segunda lei de Newton, para a condic¸a˜o de conservac¸a˜o do movimento angular:
I44η¨4 =Mrad +Mrest +Mexc (2.60)
ou
(I44 + a44)η¨4 + b44η˙4 +mgGMη4 =Mexc (2.61)
Da mesma forma que no movimento vertical, esta e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de se-
gunda ordem a coeficientesconstantes, na˜o homogeˆnea. Sua soluc¸a˜o e´ a soma de uma soluc¸a˜o
homogeˆnea e uma soluc¸a˜o particular. Admitindo que a contribuic¸a˜o da soluc¸a˜o homogeˆnea
decai rapidamente, o corpo executara´ movimento harmoˆnico na mesma frequeˆncia das ondas
incidentes. Todo o desenvolvimento utilizado na soluc¸a˜o do movimento vertical e´ aplicado
diretamente, pois as equac¸o˜es diferenciais sa˜o correspondentes.
20 Texto Preliminar, SH Sphaier
2.4 Movimento Lateral Puro
As equac¸o˜es diferenciais que descrevem os movimentos de oscilac¸a˜o vertical e angular sa˜o
semelhantes. Em ambos os movimentos temos inclusive termos de restaurac¸a˜o. Ja´ no movi-
mento horizontal tal comportamento na˜o se da´. Na˜o ha´ restaurac¸a˜o. Se quisermos utilizar
o conceito de frequeˆncia natural, veremos que esta sera´ nula. Consideremos que a onda
monocroma´tica incidente impo˜e uma forc¸a de excitac¸a˜o harmoˆnica.
Fexc = F0e
iωt = (F0,R + i F0,I)e
iωt (2.62)
O corpo reagindo a esta forc¸a entra em movimento harmoˆnico com a mesma frequeˆncia da
excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem presso˜es sobre
o corpo. A forc¸a de reac¸a˜o hidrodinaˆmica atuando sobre o corpo e´ da forma
Frad = −a22η¨2 − b22η˙2 (2.63)
onde η2 e´ o deslocamento lateral do corpo.
Aplicando a segunda lei de Newton para a condic¸a˜o de conservac¸a˜o do movimento linear
temos:
(m+ a22)η¨2 + b22η˙2 = Fexc (2.64)
Esta e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de segunda ordem a coeficientes constantes, na˜o
homogeˆnea, sendo que e´ nulo o coeficiente do termo de grau zero.
2.5 Movimentos Simultaˆneos Lateral e de Jogo
Consideremos que uma onda monocroma´tica incide sobre a sec¸a˜o impondo uma distribuic¸a˜o de
presso˜es sobre ela. Esta distribuic¸a˜o na˜o ira´ somente induzir forc¸a ou momento de excitac¸a˜o,
pore´m ambos e simultaneamente. Sendo a onda harmoˆnica, a forc¸a e o momento de excitac¸a˜o
sera˜o harmoˆnicos.
Fexc = F0e
iωt = (F0,R + i F0,I)e
iωt (2.65)
Mexc =M0e
iωt = (M0,R + iM0,I)e
iωt (2.66)
O corpo, reagindo a esta forc¸a e este momento, entra em movimento harmoˆnico com a mesma
frequeˆncia da excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem
presso˜es sobre o corpo.
Ao executar um movimento lateral a sec¸a˜o sofre uma reac¸a˜o na forma de uma forc¸a na
direc¸a˜o horizontal e um momento em torno do ponto O. Assim sendo, a sec¸a˜o tendera´ a ter
dois movimentos acoplados. De forma similar, ao executar movimentos em torno do ponto O
Texto Preliminar, SH Sphaier 21
a sec¸a˜o sofre uma reac¸a˜o hidrodinaˆmica na forma de uma forc¸a horizontal e de um momento
em torno do ponto O. Podemos dizer que ao executar os movimentos em conjuntos, atuara˜o
sobre a sec¸a˜o forc¸as e momentos da forma
Frad = −a22η¨2 − b22η˙2 − a24η¨4 − b24η˙4 (2.67)
Mrad = −a42η¨2 − b42η˙2 − a44η¨4 − b44η˙4 (2.68)
onde η2 e η4 sa˜o respectivamente os movimentos lateral e de jogo.
Observando que so´ ha´ momento de restaurac¸a˜o, na˜o ha´ forc¸a de restaurac¸a˜o, da aplicac¸a˜o das
leis de conservac¸a˜o de movimento linear e de movimento angular, segunda lei de Newton, as
equac¸o˜es de movimento sa˜o escritas na forma:
mη¨2 −mZgη¨4 = −a22η¨2 − b22η˙2 − a24η¨4 − b24η˙4 + fexc,2 (2.69)
Ixxη¨4 −mZgη¨2 = −a44η¨4 − b44η˙4 − a42η¨2 − b42η˙2 −mgGMη4 + fexc,4 (2.70)
ou
(m+ a22)η¨2 + b22η˙2 + (a24 −mZg)η¨4 + b24η˙4 = fexc,2 (2.71)
(I+a44)η¨4+b44η˙4+mgGMη4+(a42−mZg)η¨2+b42η˙2 = fexc,4 (2.72)
Este e´ um sistema de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de segunda ordem acopladas a coefi-
cientes constantes, na˜o homogeˆneas.
2.6 Hipo´tese de Froude-Krylov para o Ca´lculo de Forc¸a
de Onda
Vimos acima o problema de radiac¸a˜o. Um corpo oscila junto a` superf´ıcie livre gera ondas
que se propagam carregando energia. Determinamos a soluc¸a˜o para o caso de um batedor de
ondas como exemplo ba´sico. Originalmente na˜o existiam ondas no meio fluido. Vamos agora
estudar o problema da ac¸a˜o de ondas em um corpo fixo junto a` superf´ıcie livre.
Consideremos um retaˆngulo flutuando na superf´ıcie livre e determinemos a forc¸a de onda
atuante sobre ele segundo a hipo´tese de Froude-Krylov, isto e´, a forc¸a devida a onda inci-
dente. Segundo a hipo´tese de Froude-Krylov, as forc¸as hidrodinaˆmicas atuando em um corpo
flutuante devem-se unicamente a` ac¸a˜o da onda incidente. Despreza-se o efeito da difrac¸a˜o das
ondas incidentes.
22 Texto Preliminar, SH Sphaier
A forc¸a hidrodinaˆmica e´ calculada integrando-se as presso˜es devidas a`s ondas in-
cidentes atuando sobre a superf´ıcie imagina´ria dada pela posic¸a˜o instantaˆnea a
ser ocupada pelo corpo.
A pressa˜o e´ dada pela integral da Equac¸a˜o de Euler linearizada
p = −ρ∂φ
∂t
− ρgz (2.73)
e a forc¸a e´ enta˜o
F = Fd + Fe = −ρ
∫
S0
(
∂φ
∂t
+ gz
)
nds (2.74)
onde Fd representa a contribuic¸a˜o dinaˆmica
Fd = −ρ
∫
S0
(
∂φ
∂t
)
nds (2.75)
e Fe representa a contribuic¸a˜o esta´tica
Fe = −ρ
∫
S0
(gz)nds (2.76)
Admitindo que o potencial de velocidades deve-se unicamente a` onda incidente:
φ = φinc = iA(z) e
i(ωt−k0x) (2.77)
onde, para a´guas profundas:
A(z) =
ζ0g
ω
ek0z (2.78)
Enta˜o
pd = −ρ∂φinc
∂t
= −ρiA(z)iωei(ωt−k0x)
= ωρA(z)[cos(ωt− k0x) + i sin(ωt− k0x)] (2.79)
2.6.1 Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares
A figura (2.6) mostra o retaˆngulo na superf´ıcie livre. O centro do retaˆngulo encontra-se
localizado em x0, tem boca b, calado T e pontos extremos A,B,C e D. As normais voltadas
para fora do meio fluido esta˜o indicadas em cada trecho do contorno. O trecho S1 e´ limitado
pelos pontos A e B, S2 e´ limitado pelos pontos B e C e S3 pelos pontos C e D.
Texto Preliminar, SH Sphaier 23
Figura 2.6: Cancelamento em Formas Retangulares
24 Texto Preliminar, SH Sphaier
Observando a figura 2.6 podemos escrever a expressa˜o da forc¸a hidrodinaˆmica na forma
Fd = ωρ
∫ D
A
A(z) ei(ωt−k0x)nds (2.80)
Fd = ωρ
∫ B
A
A(z) ei(ωt−k0x)i(−dz)
+ωρ
∫ C
B
A(z) ei(ωt−k0x)k(dx)
+ωρ
∫ D
C
A(z) ei(ωt−k0x)(−i)(dz) (2.81)
Escrevendo as componentes em x e em z separadamente teremos:
Forc¸a Horizontal
Fd,x = ωρ
{∫ −T
0
A(z) ei[ωt−k0(x0−b/2)](−)dz −
∫ 0
−T
A(z) ei[ωt−k0(x0+b/2)]dz
}
(2.82)
Fd,x = ωρ
{
ei[ωt−k0(x0−b/2)] − ei[ωt−k0(x0+b/2)]
}∫ 0
−T
A(z)dz
= ωρ
{
ei[(ωt−k0x0)+k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)−k0b/2]
}∫ 0
−T
A(z)dz
= ωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0)
{
ei(k0b/2) − e−i(k0b/2)
}
= 2iωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) (2.83)
e assim
Fd,x = 2iωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) (2.84)
Como, para a´guas profundas
A(z) =
ζ0g
ω
ek0z (2.85)
resolvendo a integrac¸a˜o obtemos:
Fd,x = ρgζ0b[1− e−k0T ] sin(k0b/2)
(k0b/2)
[i ei(ωt−k0x0)] (2.86)
Texto Preliminar, SH Sphaier 25
Para ondas longas
[1− e−k0T ]→ 0 (2.87)
e a forc¸a anula-se.
Observemos o caso em que x0 e´ nulo. A forc¸a horizontal tem intensidade:
Fd,x,0 = ρgζ0b[1− e−k0T ] sin(k0b/2)
(k0b/2)
(2.88)
e assim pode ser escrita como:
Fd,x = Fd,x,0 [i e
i(ωt)] = Fd,x,0 e
i(ωt−pi/2) (2.89)
Podemos tambe´m observar que a forc¸a horizontal e´ regida pelo seno de ωt. A forc¸a horizontal
horizontal tem seu ma´ximo defasado do ma´ximo da onda. Vemos que a forc¸a horizontal e´
ma´xima quando temos um no´ com zero descendente em x0.
Forc¸a Vertical
Fd,z = ωρ
∫ C
B
A(z) ei(ωt−k0x)dx = ωρA(−T )
∫ x0+b/2
x0−b/2
ei(ωt−k0x)dx
= ωρA(−T ) i e
i(ωt−k0x)
k0
|x0+b/2x0−b/2
=
ωρA(−T )
k0
i{ ei[ωt−k0(x0+b/2)] − ei[ωt−k0(x0−b/2)]}
=
ωρA(−T )
k0
i{ ei[(ωt−k0x0)−k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)+k0b/2]}
=
ωρA(−T )
k0
i ei(ωt−k0x0){ e−ik0b/2 − eik0b/2} (2.90)
e finalmente
Fd,z = 2
ωρA(−T )
k0
ei(ωt−k0x0)sin(k0b/2) (2.91)
Podemos observar que a forc¸a vertical e´ regida pelo cosseno de ωt. Isto e´, a forc¸a vertical
passara´ por um ma´ximo sempre que a amplitude da onda passar por um ma´ximo em x0.
Lembrando que em grandes profundidades A(z) = ζ0 g e
k0z/ω enta˜o:
Fd,z = ρ g ζ0e
−k0T ei(ωt−k0x0)
sin(k0b/2)
k0/2
(2.92)
26 Texto Preliminar, SH Sphaier
Multiplicando e dividindo por b obtemos:
Fd,z = ρ g ζ0be
−k0T ei(ωt−k0x0)
sin(k0b/2)
k0b/2
= ρ g b ζ(t, x0) e
−k0T sin(k0b/2)
k0b/2
(2.93)
Esta expressa˜o indica que a forc¸a esta´ em fase com a elevac¸a˜o da onda em x0 e tem uma forma
similar a uma forc¸a hidrosta´tica como se o corpo afundasse o que a onda se eleva corrigida
de:
1. o efeito do decaimento da pressa˜o dinaˆmica com a profundidade
2. da variac¸a˜o da forma da onda e da pressa˜o com o cosseno de k0x
Caso a onda seja muito longa
k0b/2 = 2pib/2/L0 → 0, (2.94)
e−k0T = e−2piT/L0 → 1 (2.95)
e
sin(k0b/2)
k0b/2
=
sin(w)
w
→ 1 (2.96)
Assim,
Fd,z = ρ g ζ0b e
i(ωt−k0x0) = ρ g b ζ(t, x0) (2.97)
e a forc¸a atuante tem uma semelhanc¸a com uma forc¸a hidrosta´tica com variac¸a˜o de afunda-
mento igual a ζ(t) no ponto x0.
2.6.2 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em um Retaˆngulo
Acima obtivemos as seguintes expresso˜es para as forc¸as de Froude-Krylov sobre um retaˆngulo:
Fd,x = ρgb[1− e−k0T ] sin(k0b/2)
(k0b/2)
i ei(ωt−k0x0) (2.98)
Fd,z = ρ g ζ0be
−k0T ei(ωt−k0x0)
sin(k0b/2)
k0b/2
(2.99)
Vemos que ambas expresso˜es conte´m o termo
sin(k0b/2)
k0b/2
(2.100)
Texto Preliminar, SH Sphaier 27
Como
k0b
2
=
2pib
2L0
=
pib
L0
(2.101)
onde L0 e´ o comprimento da onda, a relac¸a˜o entre a boca do retaˆngulo e o comprimento da
onda podera´, por um efeito de forma acarretar que a amplitude da forc¸a seja nula. Assim as
forc¸as horizontal e vertical tera˜o amplitudes nulas se
b
L
= n n = 1, 2, .... (2.102)
2.6.3 Extensa˜o da expressa˜o de Froude-Krylov para o caso de um
Navio com fundo plano horizontal
Digamos que temos agora um navio com fundo chato em que as ondas se propagam na direc¸a˜o
do eixo longitudinal do navio. O problema e´ semelhante ao anterior, pore´m a boca torna-se
o comprimento do navio e ao longo da boca, para um x fixo a pressa˜o e´ constante. O sistema
de refereˆncia agora e´ Oxyz com Ox na direc¸a˜o longitudinal e Oy na direc¸a˜o transversal. O
navio tem boca B e comprimento L. A expressa˜o da forc¸a vertical e´ dada por:
Fd,z = ωρ
∫
S
A(z) ei(ωt−k0x)dxdy (2.103)
como a pressa˜o na˜o varia com a boca
Fd,z = ωρA(−T )B
∫
L
ei(ωt−k0x)dx (2.104)
A exponencial no tempo pode ser retirada da integral e enta˜o:
Fd,z = ωρA(−T ) eiωt
∫
L
B(x) eik0xdx
= ωρA(−T ) eiωt
∫
L
B(x)[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx (2.105)
No caso de um casco em forma de caixa B(x) e´ constante e enta˜o:
Fd,z = ωρA(−T )B eiωt
∫
L
[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx (2.106)
2.6.4 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas
Semisubmers´ıveis
Vimos que e´ poss´ıvel cancelar as forc¸as e ou os momentos hidrodinaˆmicos em estruturas
flutuantes do tipo retangular. Outro tipo de cancelamento se da´ para estruturas em que alguns
28 Texto Preliminar, SH Sphaier
membros afloram da superf´ıcie livre e outros tem suas extremidades localizadas totalmente
no meio fluido, quando as ondas sa˜o longas.
A figura 2.7 apresenta o esquema de uma estrutura semi-submers´ıvel em um plano. As colunas
esta˜o indicadas com C1 e C2 e o pontoon com PON. O fundo da estrutura esta´ na cota z2.
A parte superior do pontoon esta´ na cota z1. As bases das colunas tem comprimento l1 e o
comprimento do pontoon tem comprimento l2.
Figura 2.7: Cancelamento em Estruturas Semisubmers´ıveis
Texto Preliminar, SH Sphaier 29
A pressa˜o e´ composta por duas parcelas, esta´tica e dinaˆmica. A essas soma-se a pressa˜o
atmosfe´rica, que normalmente e´ assumida ser igual a zero.
p = patm + pest + pdin (2.107)
A pressa˜o esta´tica e´ dada por:
p = ρgz (2.108)
e com ela obte´m-se que a forc¸a de empuxo e´ o peso do volume imerso. Nas colunas a forc¸a
de empuxo e´:
E =
∫
S
pestndS =
∫
S
ρgz2(2l1 + l2)k−
∫
S
ρgz1(l2)k (2.109)
A pressa˜o na parte superior do pontoon e´ menor que na parte inferior. Assim o pontoon sofre
uma forc¸a para cima. A pressa˜o dinaˆmica e´ dada por:
pdin = −ρ∂φ(x, z, t)
∂t
= −ρ∂φ(x, 0, t)
∂t
ek0z (2.110)
e como o perfil da onda e´ dado por:
ζ = −1
g
∂φ(x, 0, t)
∂t
= ζ0 cos(ωt− k0x) (2.111)
enta˜o
∂φ(x, 0, t)
∂t
= −gζ0 cos(ωt− k0x) (2.112)
e
pdin = ρgζ0 cos(ωt− k0x)ek0z (2.113)
[Obs: o mais correto seria trabalhar com a forma exponencial, incluindo a parte imagina´ria
na ana´lise e somente no final pegar o mo´dulo e a fase. Entretanto as concluso˜es seriam as
mesmas]
Na situac¸a˜o em que a crista de uma onda longa passa pelo centro geome´trico da plataforma,
toda a plataforma estara´ sujeita a presso˜es como se estivesse toda ela em situac¸a˜o de crista. A
situac¸a˜o em que a crista passa pelo centro da estrutura localizado na posic¸a˜o x0, corresponde
a
Θ = ωt0 − k0x0 = ωt0 − 2pi
L
x0 = n · 2 · pi (2.114)
onde n e´ um inteiro. Se a onda e´ longa em relac¸a˜o ao tamanho da estrutura, e a crista se
localiza no centro da estrutura, enta˜o
l1 + l2 + l1
L
<< 1 (2.115)
30 Texto Preliminar, SH Sphaier
Θ = ωt− k0x = ωt− k0x0 − 2pix− x0
L
≈ 1− 2pix− x0
L
(2.116)
em toda a regia˜o da estrutura, e
pdin ≈ ρgζ0ek0z(1− 2pix− x0
L
) (2.117)
Com a pressa˜o dinaˆmica determina-se agora as forc¸as nas colunas e no pontoon
fC1 =
∫
l1
pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1 (2.118)
fC2 =
∫
l1
pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1 (2.119)
fPON =
∫
l2
pdin(z2)dx−
∫
l2
pdin(z1)dx ≈ l2ρgζ0(ek0z2 − ek0z1) (2.120)
Como z1 e z2 teˆm valores negativos e o mo´dulo de z2 e´ maior que o de z1 enta˜o a forc¸a
dinaˆmica no pontoon aponta para baixo.
Para efeito de projeto pode-se determinar mais precisamente as cotas e as dimenso˜es da
estrutura resolvendo-se as integrais das presso˜es exatamente. Inicialmente com o volume, a
a´rea de linha da´gua e o formato da estrutura determina-se a massa adicional e a frequeˆncia
natural. Tenta-se fazer com que este o per´ıodo natural na˜o venha a estar contido na faixa de
frequeˆncia de excitac¸a˜o do mar. A seguir determina-se o comprimento da onda cujo per´ıodo
coincida com o per´ıodo natural da estrutura. Para este comprimento ajusta-se as dimenso˜es
principais. Caso as premissas impostas a volume, a´rea de linha da a´gua e formato na˜o sejam
satisfeitas, faz-se um ajuste na geometria e retorna-se ao in´ıcio do problema.
Cap´ıtulo 3
Dinaˆmica de um Corpo Tridimensional
Esbelto em Ondas
3.1 Introduc¸a˜o
No cap´ıtulo anterior analisamos o problema de sec¸o˜es navais oscilando na superf´ıcie livre.
Observamos que as ondas incidentes atuando sobre o corpo se difratam, e as ondas formadas
desta composic¸a˜o, onda incidente e onda difratada, geram forc¸as sobre a sec¸a˜o. Essas forc¸as
obrigam o corpo a oscilar periodicamente e os movimentos oscilato´rios do corpo geram ondas.
Como reac¸a˜o, aparecem forc¸as atuando sobre o corpo dadas pela soma dos produtos: massa
adicional vezes acelerac¸a˜o e amortecimento vezes velocidade. Ale´m disto, os movimentos do
corpo provocam desiquil´ıbrio entre as forc¸as e momentos devidos a` ac¸a˜o da gravidade sobre
a massa do corpo e as presso˜es atuantes sobre a superf´ıcie do casco.
Neste cap´ıtulo vamos estender nossa ana´lise ao problema tridimensional. Vamos nos ater a`
ondas monocroma´ticas e corpos esbeltos.
O objetivo do presente estudo e´ o desenvolvimento das equac¸o˜es de movimento de um corpo
esbelto r´ıgido flutuante em movimento em presenc¸a de ondas.
Vamos equacionaro problema, de forma heur´ıstica, utilizando as concluso˜es obtidas ate´ agora.
O procedimento adotado e´ dividir o corpo em va´rias sec¸o˜es. Contruir uma expressa˜o para
o carregamento em cada sec¸a˜o, levando em considerac¸a˜o a ac¸a˜o da gravidade na massa da
sec¸a˜o, a pressa˜o hidrosta´tica, as presso˜es dinaˆmicas devidas a`s ondas incidente, difratada e
radiada, e a ine´rcia da sec¸a˜o. A seguir aplicamos as leis de conservac¸a˜o da quantidade de
movimento linear (segunda lei de Newton) e de forma similar a de quantidade de movimento
angular. Assim, construimos as equac¸o˜es de movimento descrevendo a dinaˆmica do corpo em
31
32 Texto Preliminar, SH Sphaier
ondas.
3.2 Movimentos vertical e de rotac¸a˜o em torno do eixo
lateral
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear indica:∫
L
δma =
∫
L
δp+
∫
L
δe+
∫
L
δfhidrodinamica (3.1)
onde:
a e´ a acelerac¸a˜o de cada sec¸a˜o, e e´ dada pela composic¸a˜o da acelerac¸a˜o linear, isto e´ a con-
tribuic¸a˜o do movimento vertical η3, e a contribuic¸a˜o do movimento angular de arfagem
η5
a = (η¨3 − xη¨5)k (3.2)
δm e´ a massa da sec¸a˜o
δp e´ o peso da sec¸a˜o
δp = δmgk (3.3)
δe e´ o empuxo da sec¸a˜o
δe = ρgB(η3 − xη5)k+ δe0 (3.4)
δfhidrodinamica e´ a forc¸a hidrodinaˆmica na sec¸a˜o, composta de um termo devido ao fenoˆmeno
de radiac¸a˜o e outro devido a` onda incidente e sua difrac¸a˜o
δfhidrodinamica = −a33(η¨3 − xη¨5)k− b33(η˙3 − xη˙5)k+ ρζ0fexck (3.5)
ζ0 e´ a amplitude da onda incidente.
a forc¸a de excitac¸a˜o e´ a soma da ac¸a˜o da onda incidente somada a` ac¸a˜o da onda difratada
ρζ0fexck = ρζ0fexc + fdifk (3.6)
Texto Preliminar, SH Sphaier 33
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular indica:∫
L
r× δma =
∫
L
r× δp+
∫
L
r× δe+
∫
L
r× δfhidrodinamica (3.7)
onde:
r ≈ xi.
Deve-se observar que δe0 6= δp em cada sec¸a˜o, pore´m∫
L
δe0 =
∫
L
δp (3.8)
∫
L
r× δe0 =
∫
L
r× δp (3.9)
3.2.1 Equac¸o˜es dos Movimentos Acoplados de Heave e Pitch
A partir do deslocamento de uma sec¸a˜o a uma distaˆncia x da origem do sistema pode-se obter
as velocidades e as acelerac¸o˜es da sec¸a˜o:
η(x) = η3 − x sin(η5) ≈ η3 − xη5 (3.10)
˙η(x) = η˙3 − xη˙5 (3.11)
¨η(x) = η¨3 − xη¨5 (3.12)
A partir das forc¸as acima mencionadas e com as expresso˜es dos deslocamentos, das velocidades
e das acelerac¸o˜es, pode-se determinar a carga por sec¸a˜o:
q(x) = −m(x) · η¨ − a33(x) · η¨ − b33(x) · η˙ + p(x) + e0(x)− ρgB(x) · η + ρζ0(finc + fdif )
= −m(x) · (η¨3 − xη¨5)− a33(x) · (η¨3 − xη¨5)− b33(x) · (η˙3 − xη˙5)
+p(x) + e0(x)− ρgB(x) · (η3 − xη5) + ρζ0(finc + fdif ) (3.13)
A integral do carregamento e´ a equac¸a˜o de equil´ıbrio de forc¸as e a integral da cargas mulplicada
pela distaˆncia ao centro e´ a equac¸a˜o de momentos:∫
L
q(x)dx = +
∫
L
[−m(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx
+
∫
L
[−a33(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx+
∫
L
[−b33(x) · (η˙3 − xη˙5)]dx
34 Texto Preliminar, SH Sphaier
+
∫
L
[p(x) + e0(x)]dx+
∫
L
[−ρgB(x) · (η3 − xη5)]dx+
∫
L
ρζ0[finc + fdif ]dx (3.14)∫
L
xq(x)dx = +
∫
L
x[−m(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx
+
∫
L
x[−a33(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx+
∫
L
x[−b33(x) · (η˙3 − xη˙5)]dx
+
∫
L
x[p(x) + e0(x)]dx+
∫
L
x[−ρgB(x) · (η3 − xη5)]dx+
∫
L
xρζ0[finc + fdif ]dx (3.15)
Desenvolvendo as duas equac¸o˜es, obtemos as equac¸o˜es dos movimentos acoplados no plano
vertical:
(A33 +M)η¨3 +B33η˙3 + C33η3 + (A35 −MXg)η¨5 +B35η˙5 + C35η5 = F3 (3.16)
(A53 −MXg)η¨3 +B53η˙3 + C53η3 + (A55 + Iyy)η¨5 +B55η˙5 + C55η5 = F5 (3.17)
onde os coeficientes hidrodinaˆmicos e hidrosta´ticos sa˜o dados por:
A33 =
∫
L
a33dx B33 =
∫
L
b33dx C33 = ρg
∫
L
B(x)dx
A35 = −
∫
L
x a33dx B35 = −
∫
L
x b33dx C35 = −ρg
∫
L
x B(x)dx
A53 = A35 B53 = B35 C53 = C35
A55 =
∫
L
x2 a33dx B55 =
∫
L
x2 b33dx C55 = ρg
∫
L
x2 B(x)dx
As forc¸as de excitac¸a˜o sa˜o dadas por:
F3 = ρζ0
∫
L
fexcdx (3.18)
F5 = ρζ0
∫
L
−xfexcdx (3.19)
onde:
fexc e´ a soma das contribuic¸o˜es devidas a` onda incidente finc e a` onda difratada fdif ,
Xg e´ a posic¸a˜o longitudinal do centro de gravidade.
Texto Preliminar, SH Sphaier 35
3.2.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento
Inicialmente vamos observar que ate´ enta˜o consideramos o navio como uma se´rie de sec¸o˜es,
calculamos as cargas nas sec¸o˜es e integramos ao longo do comprimento. Para determinac¸a˜o
das cargas detrminamos as massas adicionais, os amortecimentos e as forc¸as de restaurac¸a˜o
e de excitac¸a˜o em cada sec¸a˜o. Podemos fazer o mesmo atrave´s de me´todos tridimensionais.
Assim, A33, B33, C33, A35, B35, C35, A53, B53, C53, A55, B55, C55, F3 e F5 sa˜o calculados por
me´todos tridimensionais integrando-se as presso˜es dinaˆmicas e esta´ticas como anteriormente,
pore´m sobre uma superf´ıcie molhada do corpo na posic¸a˜o me´dia. As presso˜es dinaˆmicas sa˜o
obtidas da soluc¸a˜o de problemas tridimensionais. Obtemos como equac¸o˜es de movimento o
sistema.
(A33 +M)η¨3 +B33η˙3 + C33η3 + (A35 −MXg)η¨5 +B35η˙5 + C35η5 = F3 (3.20)
(A53 −MXg)η¨3 +B53η˙3 +C53η3 + (A55 + Iyy)η¨5 +B55η˙5 +C55η5 = F5 (3.21)
As equac¸o˜es acopladas que regem os movimentos vertical e de arfagem, sa˜o equac¸o˜es diferen-
ciais ordina´rias de segunda ordem a coeficientes constantes. Admitindo que a onda incidente
e´ harmoˆnica, e que a fase transiente ja´ tenha sido superada, o processo entra em regime per-
manente; as ondas difratadas tambe´m o sera˜o harmoˆnicas. As presso˜es atuantes sobre o corpo
tambe´m tera˜o um carater harmoˆnico e consequentemente as forc¸as e momentos de excitac¸a˜o
tera˜o o mesmo comportamento e neste regime permanente a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial,
que rege o movimento e´ descrita pela soluc¸a˜o particular.
Assim, as forc¸as e momentos sa˜o dados por Fi,0e
iω e as soluc¸o˜es por:
ηj = ηj,0e
iωt (3.22)
Substituindo (3.22) nas equac¸o˜es de movimento no plano longitudinal e definindo
P = C33 − ω2(A33 +M) + iωB33 (3.23)
Q = C35 − ω2(A35 −MXg) + iωB35 (3.24)
R = C53 − ω2(A53 −MXg) + iωB53 (3.25)
S = C55 − ω2(A55 + Iyy) + iωB55 (3.26)
obtemos
Pη3,0e
iωt +Qη5,0e
iωt = F3,0e
iωt (3.27)
36 Texto Preliminar, SH Sphaier
Rη3,0e
iωt + Sη5,0e
iωt = F5,0e
iωt (3.28)
Simplificando o termo eiω, temos um sistema de duas equac¸o˜es a duas inco´gnitas, cujas
soluc¸o˜es sa˜o dadas por:
η3,0 = (F3,0 · S − F5,0 ·Q)/DEN (3.29)
η5,0 = (P · F5,0 −R · F3,0)/DEN (3.30)
onde:
DEN = P · S −R ·Q (3.31)
3.3 Movimentos lateral, de rotac¸a˜o em torno do eixo
Oz e de jogo
Vamos equacionar o problema, de forma semelhante ao que fizemos no caso dos movimentos
vertical e de arfagem acoplados. O procedimento adotado e´ dividir o corpo em va´rias sec¸o˜es,
aplicar as leis de conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear (segunda lei de Newton) e
de forma similar a de quantidade de movimento angular para os movimentos de rotac¸a˜o e de
jogo.
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear indica:∫
L
δma =
∫
L
δfhidrodinamica (3.32)
onde:
a e´ a acelerac¸a˜o de cada sec¸a˜o, e e´ dada pela composic¸a˜o da acelerac¸a˜o linear, isto e´ a
contribuic¸a˜o do movimento vertical η2, e a contribuic¸a˜o do movimento de rotac¸a˜o η6
a = (η¨2 + xη¨6)k (3.33)
δm e´ a massa da sec¸a˜o
δfhidrodinamica e´ a forc¸a hidrodinaˆmica na sec¸a˜o, composta de um termo devido ao fenoˆmeno
de radiac¸a˜o e outro devido a` onda incidente e sua difrac¸a˜o
δfhidrodinamica = [−a22(η¨2 + xη¨6)− b22(η˙2 + xη˙6)− a24η¨4 − b24η˙4 + ρζ0fexc,2] j (3.34)
Assim,∫
L
δm(η¨2−Zgη¨4+xη¨6) =
∫
L
(−a22[η¨2+xη¨6]−b22[η˙2+xη˙6]−a24η¨4−b24η˙4+ρζ0fexc,2)dx (3.35)
Texto Preliminar, SH Sphaier 37
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular em torno do eixo Oz indica:
k ·
∫
L
r× [δm(η¨2+ xη¨6 − zm(x)η¨4)j] = k ·
∫
L
r× δfhidrodinamica (3.36)
De acordo com nossa aproximac¸a˜o, em que estamos considerando o corpo esbelto vale r ≈ xi,
e enta˜o
MXgη¨2 + Izzη¨6 − Ixzη¨4 =∫
L
[−a22(xη¨2 + x2η¨6)− b22(xη˙2 + x2η˙6)− a24xη¨4 − b24xη˙4 + ρζ0xfexc,2] dx (3.37)
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular em torno do eixo Oz indica:∫
L
(δIxxη¨4 − δmzgη¨2 − δmxzgη¨6)
= i ·
(∫
L
δmhidrodinamica +
∫
L
δmpeso +
∫
L
δmhidrostatica
)
(3.38)
ou ∫
L
(δIxxη¨4 − δmzgη¨2 − δmxzgη¨6)
=
∫
L
[−a44η¨4−b44η˙4−a42(η¨2+xη¨6)−b42(η˙2+xη˙6)]dx−GM
∫
L
δmgdxη4+
∫
L
fexc,4dx (3.39)
3.3.1 Equac¸o˜es de movimento no plano horizontal
(A22 +M)η¨2 +B22η˙2 + (A24 −MZg)η¨4 +B24η˙4 + (A26 +MXg)η¨6 +B26η˙6 = F2 (3.40)
(A42−MZg)η¨2+B42η˙2+(A44+Ixx)η¨4+B44η˙4+C44η4+(A46−Ixz)η¨6+B46η˙6 = F4 (3.41)
(A62 +MXg)η¨2 +B62η˙2 + (A64 − Ixz)η¨4 +B64η˙4 + (A66 + Izz)η¨6 +B66η˙6 = F6 (3.42)
sendo
38 Texto Preliminar, SH Sphaier
A22 =
∫
L
a22dx B22 =
∫
L
b22dx
A26 = A62 =
∫
L
x a22dx B26 = B62 =
∫
L
x b22dx
A66 =
∫
L
x2 a22dx B66 =
∫
L
x2 b22dx
A24 = A42 =
∫
L
a24dx B24 = B42 =
∫
L
b24dx
A44 =
∫
L
a44dx B44 =
∫
L
b44dx
A46 = A64 =
∫
L
x a24dx B46 = B64 =
∫
L
x b24dx
C044 = ρ g∆ ¯GMT
Iij - momentos e produtos de ine´rcia
M - massa do corpo
(Xg, Yg, Zg) - posic¸a˜o vertical do centro de gravidade
3.3.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento
De forma semelhante ao que foi feito para os movimentos acoplados vertical e de arfagem,
vamos supor que separamos a fase transiente, que ja´ estamos na fase permanente, onde as
ondas tem carater harmoˆnico, as forc¸as e os momentos de excitac¸a˜o tambe´m o tem, e o corpo
executa movimentos harmoˆnicos. Definindo
P = C22 − ω2(A22 +M) + iωB22 (3.43)
Q = C24 − ω2(A24 −MZg) + iωB24 (3.44)
R = C26 − ω2(A26 +MXg) + iωB26 (3.45)
S = C42 − ω2(A42 −MZg) + iωB42 (3.46)
T = C44 − ω2(A44 + Ixx) + iωB44 (3.47)
U = C46 − ω2(A46 − Ixz) + iωB46 (3.48)
V = C62 − ω2(A62 +MXg) + iωB62 (3.49)
W = C64 − ω2(A64 − Ixz) + iωB64 (3.50)
X = C66 − ω2(A66 + Izz) + iωB66 (3.51)
Texto Preliminar, SH Sphaier 39
e das equac¸o˜es de movimento no plano horizontal obtemos:
Pη2,0e
iω +Qη4,0e
iω +Rη6,0e
iω = F2,0e
iω (3.52)
Sη2,0e
iω + Tη4,0e
iω + Uη6,0e
iω = F4,0e
iω (3.53)
V η2,0e
iω +Wη4,0e
iω +Xη6,0e
iω = F6,0e
iω (3.54)
Simplificando o termo eiω e resolvendo o sistema obtemos
η2 = (F2 · T ·X +Q · U · F6 +R · F4 ·W − F2 · T ·R−W · U · F6 −X · F4 ·Q)/DEN (3.55)
η6 = (P · T · F6 +Q · F4 · V + F2 · S ·W − V · T · F2 −W · F4 · P − F6 · S ·Q)/DEN (3.56)
η4 = (P · F4 ·X + F2 · U · V +R · S · F6 − V · F4 ·R− F6 · U · P −X · S · F2)/DEN (3.57)
onde
DEN = P · T ·X +Q · U · V +R · S ·W − V · T ·R−W · U · P −X · S ·Q (3.58)
40 Texto Preliminar, SH Sphaier
Cap´ıtulo 4
Generalizac¸a˜o do Problema Dinaˆmico
4.1 Introduc¸a˜o
Vamos aqui, de forma abreviada, generalizar o problema para corpos de formas quaisquer.
Escreveremos as equac¸o˜es de movimento e posteriormente vamos analisar as simplificac¸o˜es
quando aparecem simetrias.
Posteriormente mostraremos a forma das equac¸o˜es de movimento para um corpo esbelto com
simetria longitudinal e dotado de velocidade de avanc¸o.
4.2 Corpos com Geometria Qualquer
A generalizac¸a˜o do problema com seis graus de liberdade e corpos de qualquer geometria toma
a forma:
([M] + [A])η¨ + [B]η˙ + [C]η = [F] (4.1)
Em que introduzimos
- a matriz de ine´rcia [M] = [Mij], onde seus termos definem a massa, os produtos e os
41
42 Texto Preliminar, SH Sphaier
momentos de ine´rcia
[M] = [Mij] =

M 0 0 0 MZg −MYg
0 M 0 −MZg 0 MXg
0 0 M MYg −MXg 0
0 −MZg MYg I44 −I45 −I46
MZg 0 −MXg −I54 I55 −I56
−MYg MXg 0 −I64 −I65 I66
 (4.2)
- a matriz de massa adicional [A] = [Aij]
[A] = [Aij] =

A11 A12 A13 A13 A15 A16
A21 A22 A23 A24 A25 A26
A31 A32 A33 A34 A35 A36
A41 A42 A43 A44 A45 A46
A51 A52 A53 A54 A55 A56
A61 A62 A63 A64 A65 A66
 (4.3)
- a matriz de amortecimento [B] = [Bij]
[B] = [Bij] =

B11 B12 B13 B13 B15 B16
B21 B22 B23 B24 B25 B26
B31 B32 B33 B34 B35 B36
B41 B42 B43 B44 B45 B46
B51 B52 B53 B54 B55 B56
B61 B62 B63 B64 B65 B66
 (4.4)
- a matriz de restaurac¸a˜o [C] = [Cij],
[C] = [Cij] =

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 C33 C34 C35 0
0 0 C43 C44 C45 0
0 0 C53 C54 C55 0
0 0 0 0 0 0
 (4.5)
com:
C33 = ρgSw (4.6)
C34 = C43 = ρgSy (4.7)
C35 = C53 = ρgSx (4.8)
C44 =Mg(zb − zg) + ρgSyy (4.9)
Texto Preliminar, SH Sphaier 43
C45 = C54 = ρgSxy (4.10)
C55 =Mg(zb − zg) + ρgSxx (4.11)
observando que os coeficientes restantes Cij sa˜o nulos, e
Sx =
∫
Sw
xdxdy (4.12)
Sy =
∫
Sw
ydxdy (4.13)
Sxx =
∫
Sw
x2dxdy (4.14)
Syy =
∫
Sw
y2dxdy (4.15)
Sxy =
∫
Sw
xydxdy (4.16)
zg - posic¸a˜o vertical do centro de gravidade
zb - posic¸a˜o vertical do centro de carena
- o vetor forc¸a de excitac¸a˜o generalizado, composto de treˆs componentes de forc¸a e treˆs
componentes de momentos, [F] = [Fi]
Deve ser observado que para corpos sem simetria as matrizes de massa adicional e deamortec-
imento sa˜o cheias.
Para corpos com simetria longitudinal, como navios, as matrizes de massa adicional e de
amortecimento sa˜o dadas por:
[A] = [Aij] =

A11 0 A13 0 A15 0
0 A22 0 A24 0 A26
A31 0 A33 0 A35 0
0 A42 0 A44 0 A46
A51 0 A53 0 A55 0
0 A62 0 A64 0 A66
 (4.17)
[B] = [Bij] =

B11 0 B13 0 B15 0
0 B22 0 B24 0 B26
B31 0 B33 0 B35 0
0 B42 0 B44 0 B46
B51 0 B53 0 B55 0
0 B62 0 B64 0 B66
 (4.18)
44 Texto Preliminar, SH Sphaier
em que
Aij = Aji (4.19)
Bij = Bji (4.20)
Alem disto, para corpos com simetria em relac¸a˜o ao plano longitudinal:
C34 = C43 = 0 (4.21)
No caso de corpos alongados, como navios, podemos assumir que o acoplamento do movimento
longitudinal, na direc¸a˜o 1, com os movimentos nas direc¸o˜es 3 e 5 seja pequeno e as matrizes
de massa adicional e de amortecimento tomam a forma:
[A] = [Aij] =

A11 0 0 0 0 0
0 A22 0 A24 0 A26
0 0 A33 0 A35 0
0 A42 0 A44 0 A46
0 0 A53 0 A55 0
0 A62 0 A64 0 A66
 (4.22)
[B] = [Bij] =

B11 0 0 0 0 0
0 B22 0 B24 0 B26
0 0 B33 0 B35 0
0 B42 0 B44 0 B46
0 0 B53 0 B55 0
0 B62 0 B64 0 B66
 (4.23)
e retornamos a`s equac¸o˜es obtidas anteriormente.
4.3 Um Exemplo
Como exemplo apresentamos nas figuras 4.1, 4.2, 4.3, 4.44.54.6 e 4.7 as ine´rcias adicionais, os
amortecimentos, as forc¸as de excitac¸a˜o e os RAOs, em forma adimensional para os movimentos
3 (heave) e 5 (pitch) de um VLCC, calculados por um me´todo tridimensional:
Â33 = A33/(ρL
3
pp) (4.24)
B̂33 = B33/(ωρL
3
pp) (4.25)
Texto Preliminar, SH Sphaier 45
Periodos em Segundos
25 50 75 100
0
0.0025
0.005
0.0075
0.01
0.0125
0.015
0.0175
0.02
A33
B33
A33, B33
VLCC
Figura 4.1: Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional I
Â35 = A35/(ρL
4
pp) (4.26)
B̂35 = B35/(ωρL
4
pp) (4.27)
Â55 = A55/(ρL
5
pp) (4.28)
B̂55 = B55/(ωρL
5
pp) (4.29)
F̂3 = F3/(ρgL
2
pp) (4.30)
F̂5 = F5/(ρgL
3
pp) (4.31)
A soluc¸a˜o deste problema para diversas frequeˆncias de onda gera as seis func¸o˜es de trans-
fereˆncia para os deslocamentos do corpo. E´ comum chamarmos de RAO (Operador de Am-
plitude de Resposta), como ja´ citamos anteriormente.
46 Texto Preliminar, SH Sphaier
Periodos em Segundos
25 50 75 100
A35
B35
A35, B35
VLCC
Figura 4.2: Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional II
Periodos em Segundos
25 50 75 100
A55
B55
A55, B55
VLCC
Figura 4.3: Ine´rcia Adicional e Amortecimentona Forma Adimensional III
Texto Preliminar, SH Sphaier 47
Periodos em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15 Força de Excitação
de Heave
Figura 4.4: Forc¸a de Excitac¸a˜o Vertical
Periodos em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018 Momento de Excitação
de Pitch
Figura 4.5: Momento de Excitac¸a˜o
48 Texto Preliminar, SH Sphaier
Periodo em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.25
0.5
0.75
1
RAO de Heave
Figura 4.6: Rao de Heave
Periodo em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
RAO de Pitch
Figura 4.7: Rao de Pitch
Cap´ıtulo 5
Navio em Mar Irregular
5.1 Introduc¸a˜o
Determinamos nos cap´ıtulos anteriores a func¸a˜o de resposta do navio em ondas regulares, que
chamamos de RAOs. As ondas consideradas foram sempre ondas monocroma´ticas. Investi-
garemos agora a resposta do navio em mar irregular.
5.2 Transformada de Fourier da Equac¸a˜o de Movimento
A equac¸a˜o de movimento do navio e´ dada por:
(M + A)x¨+Bx˙+ Cx = f(t) (5.1)
A esta equac¸a˜o aplicamos a transformada de Fourier, definida por:
F{g(t)} ≡ 1
2pi
∫ ∞
−∞
eiωtg(t)dt = G(ω) (5.2)
Entretanto, vamos inicialmente considerar um intervalo T das ondas atuantes. Retiramos do
sinal original ζ(t) a func¸a˜o ζT (t) que e´ igual a ζ(t) no intervalo T e fora deste intervalo e´ nula.
Estas ondas va˜o provocar forc¸as sobre o navio que sera˜o nulas fora do intervalo T e iguais as
forc¸as do mar no intervalo T . A transformada de func¸o˜es neste intervalo e´ dada por:
F{fT (t)} ≡ 1
2pi
∫ ∞
−∞
eiωtfT (t)dt = GT (ω) (5.3)
49
50 Texto Preliminar, SH Sphaier
Ale´m disto, para as derivadas vale:
F{g˙(t)} = iωG(ω) (5.4)
F{g¨(t)} = −ω2G(ω) (5.5)
enta˜o
F{g˙T (t)} = iωGT (ω) (5.6)
F{g¨T (t)} = −ω2GT (ω) (5.7)
Aplicando a` equac¸a˜o do movimento, teremos:
−ω2(M + A)XT + iωBXT + CXT = FT (5.8)
{−ω2(M + A) + iωB + C}XT = FT (5.9)
onde
XT = XR,T + iXI,T (5.10)
FT = FR,T + iFI,T (5.11)
5.3 O Espectro de Resposta
Multiplicando pelo conjugado
{−ω2(M + A) + iωB + C}{−ω2(M + A)− iωB + C}{XR,T + iXI,T}{XR,T − iXI,T}
= {FR,T + iFI,T}{FR,T − iFI,T} (5.12)
X2R,T +X
2
I,T =
F 2R,T + F
2
I,T
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.13)
ou
XTX
∗
T =
FTF
∗
T
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.14)
dividindo pelo tempo T e fazendo o limite quando T →∞ temos:
lim
T→∞
2piXTX
∗
T
T
= lim
T→∞
2piFTF
∗
T
T
1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.15)
pore´m limT→∞
2piXTX
∗
T
T
e´ o espectro da func¸a˜o x(t) e limT→∞
2piFTF
∗
T
T
e´ o espectro das forc¸as.
Enta˜o
Sxx = Sff
1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.16)
Texto Preliminar, SH Sphaier 51
Por outro lado, ha´ uma relac¸a˜o similar entre o espectro das forc¸as e o espectro do sinal
elevac¸a˜o da onda na origem.
Sff = Sζζ |F (ω)|2 (5.17)
logo
Sxx = Sζζ |F (ω)|2 1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.18)
5.4 Espectro de Resposta de um Sistema Oceaˆnico em
um Mar Irregular
A previsa˜o das respostas de um corpo flutuante en ondas, tais como movimentos e´ baseada
na equac¸a˜o 5.18 e o trabalho pioneiro no assunto foi desenvolvido por St. Denis e Pierson em
1953. Desde enta˜o tem sido amplamente aplicado para va´rios problemas de comportamento
de estruturas flutuantes no mar. Entretanto cabe ressaltar em que condic¸o˜es foi desenvolvido:
- As ondas do mar sa˜o consideradas como um processo estoca´stico estaciona´rio, normal-
mente distribu´ıdo com me´dia zero.
- A func¸a˜o de densidade espectral das ondas do mar e das respostas da estrutura sa˜o
consideradas de banda estreita.
- As func¸o˜es de densidade de probabilidade e o espectro de excitac¸a˜o e de respostas sa˜o
consideradas como independentes do tempo.
- O princ´ıpio de superposic¸a˜o e´ aplica´vel para a previsa˜o das respostas em mar irregular.
- As respostas em ondas irregulares podem ser representadas pela soma de respostass da
estrutura em ondas regulares.
Um sistema linear mante´m relac¸o˜es entre respostas e excitac¸a˜o de tal maneira que:
- a resposta do sistema a uma excitac¸a˜o monocroma´tica (onda regular com uma u´nica
frequeˆncia e amplitude constante) e´ monocroma´tica
- se a varia´vel aleato´ria que representa a excitac¸a˜o do sistema segue um processo gaussiano
a resposta tambe´m sera´ um processo gaussiano
- a partir das respostas do sistema para uma onda regular (monocroma´tica) variando
sua frequeˆncia, construimos a func¸a˜o de resposta do sistema (func¸a˜o de transfereˆncia,
fator de amplificac¸a˜o) que e´ a relac¸a˜o entre a amplitude da resposta e a amplitude da
excitac¸a˜o para as va´rias frequeˆncias
52 Texto Preliminar, SH Sphaier
- A func¸a˜o de densidade espectral da resposta pode ser obtida a partir da func¸a˜o de
densidade espectral da excitac¸a˜o atrave´s de:
SY Y (ω) = SXX(ω)|H(ω)|2 (5.19)
onde |H(ω)| e´ a func¸a˜o de resposta do sistema a ondas regulares
Em Engenharia Oceaˆnica |H(ω)| e´ frequentemente chamado de RAO que sa˜o as iniciais
da expressa˜o ingleˆsa Response Amplitude Operator.
5.5 Movimentos de um Corpo Flutuante no Mar
O estudo de um corpo flutuante tem como interesse respostas como movimentos, velocidades
e acelerac¸o˜es de pontos do corpo, ale´m de outras varia´veis que decorrem dos movimentos.
Com os movimentos pode-se calcular as presso˜es sobre o casco, cargas, etc. Inicialmente
consideremos os movimentos do centro do sistema localizado no corpo. Assim, estas respostas
formam um vetor de 6 posic¸o˜es.
η =
{
ηl
ηa
}
(5.20)
onde
ηl =

η1
η2
η3
 e ηa =

η4
η5
η6
 (5.21)
- η1,2,3 movimentos lineares (surge, sway, heave)
- η4,5,6 movimentos angulares (roll, pitch yaw) e
- ηi = ηi,0 e
iδi
- ηi,0 amplitude do movimento i
- δi aˆngulo de fase do movimento i
Uma vez que a excitac¸a˜o em mar regular e´ harmoˆnica e da forma F = F0 e
iωt e o modelo,
todas as respostas tambe´m o sera˜o:
η = η¯ eiωt = η0 e
iδ eiωt (5.22)
Assim:
Texto Preliminar, SH Sphaier 53
- velocidade = (d/dt) (deslocamento)
v =
d
dt
η = η˙ = iωη = v¯ eiωt (5.23)
- acelerac¸a˜o = (d/dt) (velocidade)
a =
d2
dt2
η = η¨ = −ω2η = a¯ eiωt (5.24)
Passemos agora a partir dessas respostas a` determinac¸a˜o de espectros de deslocamentos,
velocidades e acelerac¸o˜es e ao estudo de eventos de seakeeping. Os espectros de deslocamentos,
velocidades e acelerac¸o˜es em mar irregular sera˜o da forma
SXX(ω) = |RAOX(ω)|2Sζζ(ω) = X¯X¯∗Sζζ(ω) (5.25)
SX˙X˙(ω) = |RAOX˙(ω)|2Sζζ(ω) = ¯˙X ¯˙X∗Sζζ(ω) = V¯ V¯ ∗Sζζ(ω) = ω2|RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) (5.26)
SX¨X¨(ω) = |RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) = ¯¨X ¯¨X∗Sζζ(ω) = A¯A¯∗Sζζ(ω) = ω4|RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) (5.27)
onde: V¯ = ¯˙X, A¯ = ¯¨X, ¯˙X∗ = V¯ ∗ e ¯¨X∗ = A¯∗, e X¯∗, V¯ ∗ e A¯∗ sa˜o os conjugados de X¯, V¯ e A¯
respectivamente.
5.5.1 Deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em um ponto do
corpo
Da mecaˆnica sabemos que o deslocamento de um ponto qualquer de um corpo pode ser
obtido se conhecemos o deslocamento linear de um ponto e a rotac¸a˜o em torno daquele ponto.
Admitindo pequenos deslocamentos esta expressa˜o e´ da forma:
d = ηl + ηa ×R (5.28)
onde
d =

dx
dy
dz
 (5.29)
e´ o vetor dos deslocamentos do ponto
ηl =

η1
η2
η3
 (5.30)
54 Texto Preliminar, SH Sphaier
e´ o vetor dos deslocamentos lineares, isto e´, ”surge”, ”sway”e ”heave”
ηa =

η4
η5
η6
 (5.31)
e´ o vetor dos deslocamentos angulares, isto e´, ”roll”, ”pitch”e ”yaw”
d =

x
y
z
 (5.32)
sa˜o as coordenadas do ponto em selec¸a˜o ao sistema fixo no corpo,
A hipo´tese de pequenos deslocamentos permite-nosinterpretar (η4, η5, η6) como um vetor.
Uma vez obtido o vetor dos deslocamentos
d =

dx
dy
dz
 (5.33)
podemos obter os vetores das velocidades,
v = iωd (5.34)
v =

vx
vy
vz
 =

iωdx
iωdy
iωdz
 (5.35)
e
a = iωv = −ω2d (5.36)
a =

ax
ay
az
 e v =

iωvx
iωvy
iωvz
 (5.37)
Os RAOS de deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em um ponto qualquer do corpo sa˜o
dados enta˜o por:
|RAOdx(ω)|2 = |dx|2 = dx · d∗x (5.38)
|RAOdy(ω)|2 = |dy|2 = dy · d∗y (5.39)
Texto Preliminar, SH Sphaier 55
|RAOdz(ω)|2 = |dz|2 = dz · d∗z (5.40)
|RAOvx(ω)|2 = |vx|2 = vx · v∗x (5.41)
|RAOvy(ω)|2 = |vy|2 = vy · v∗y (5.42)
|RAOvz(ω)|2 = |vz|2 = vz · v∗z (5.43)
|RAOax(ω)|2 = |ax|2 = ax · a∗x (5.44)
|RAOay(ω)|2 = |ay|2 = ay · a∗y (5.45)
|RAOaz(ω)|2 = |az|2 = az · a∗z (5.46)
Para obtermos os espectros resposta, basta multiplicarmos os quadrados das func¸o˜es de trans-
fereˆncia (RAOs) pelo espectro do mar.
5.5.2 Eventos de Seakeeping
Para operac¸o˜es no mar torna-se importante verificar as seguintes ocorreˆncias:
- embarque de a´gua (green water)
- culapada, entrada da proa na a´gua (slamming)
- culapada tranversal com o movimento de jogo em transporte de estruturas ou mo´dulos
com barcac¸a
- emersa˜o do propulsor
No caso de a´gua no conve´s pesquisa-se a frequeˆncia de ocorreˆncia desta situac¸a˜o para uma
borda livre pre´-determinada ou a borda livre necessa´ria para que uma certa frequeˆncia de
ocorreˆncia de embarque de a´gua na˜o seja ultrapassada.
Determina-se inicialmente o quadrado do RAO de deslocamento vertical relativo corpo-onda
para um ponto no plano longitudinal da embarcac¸a˜o no n´ıvel da linha de a´gua.
O deslocamento vertical de um ponto do navio localizado no eixo Ox, localizado longitudi-
nalmente na posic¸a˜o XL e´ dado por:
ηz(t) = η3(t)−XL · η5(t) (5.47)
O deslocamento relativo superf´ıcie do mar e o ponto acima
ηr(t) = ηz(t)− ζ(t) = η3(t)−XL · η5(t)− ζ(t) = [η3,0eiδ3 −XL · η5,0eiδ5 − ζeik0XL]eiωt (5.48)
56 Texto Preliminar, SH Sphaier
O quadrado do mo´dulo da resposta da distaˆncia relativa e´ dado por:
|ηr,0|2 = ηr,0 · η∗r,0
= [η3,0e
iδ3 −XL · η5,0eiδ5 − ζeik0XL] · [η3,0e−iδ3 −XL · η5,0e−iδ5 − ζe−ik0XL]
= (η23,0 +XL
2 ∗ η25,0 + ζ20 )−XLη3,0η5,0[ei(δ3−δ5) + e−i(δ3−δ5)]+
−η3,0ζ0[ei(δ3−k0·XL) + e−i(δ3−k0·XL)] +XL · η5,0ζ0[ei(δ5−k0·XL) + e−i(δ5−k0·XL)] (5.49)
O quadrado da relac¸a˜o entre a resposta do movimento e a amplitude da onda, isto e´, a resposta
para onda unita´ria e´ o mo´dulo do RAO do deslocamento relativo ao quadrado:
RML = 1 + (XL ∗ η5,0)2 + η23,0 − 2η3,0 cos(δ3,0 − k0XL)− 2XLη3,0η5,0 cos(δ3,0 − δ5,0)
+2XLη5,0 cos(δ5,0 − k0XL) (5.50)
De forma similar ao que foi feito anteriormente, os quadrados dos RAO’s de velocidade e
acelerac¸o˜es relativas sa˜o dados por:
RV L = ω2 ·RML (5.51)
RAL = ω2 ·RV L = ω4 ·RML (5.52)
Os espectros de resposta sa˜o dados por:
SMM = Sζζ ·RML (5.53)
SV V = Sζζ ·RV L (5.54)
SAA = Sζζ ·RAL (5.55)
Como sabido, a a´rea sob a curva da func¸a˜o de densidade espectral fornece a me´dia dos
quadrados do processo em estudo: deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es. Assumindo-
se que o processo e´ de banda estreita o processo estoca´stico dos picos de deslocamentos,
velocidades e acelerac¸o˜es, segue a lei de Rayleigh cuja func¸a˜o de densidade de probabilidade
e´ dada por:
fX(x) =
x
mx
e−x
2/2mx (5.56)
onde mx e´ a variaˆncia do processo da varia´vel X:
mx =
∫ ∞
0
Sxxdω (5.57)
A probabilidade da varia´vel X exceder um certo valor cr´ıtico e´:
P [X > Xcrit] = e
−X2crit
2mx (5.58)
Texto Preliminar, SH Sphaier 57
ou
X2crit = −2mx lnP [X > Xcrit] (5.59)
Esta expressa˜o fornece o deslocamento relativo vertical cr´ıtico para um certo n´ıvel de prob-
abilidade P [X > Xcrit]. Caso conhec¸a-se a frequeˆncia admiss´ıvel de ocorreˆncia de embarque
de a´gua no conve´s pode-se obter a borda livre necessa´ria
BL =
√
−2mx lnP [X > Xcrit] (5.60)
Se, por exemplo, a probabilidade de excedeˆncia for de 1/25 obteˆm-se uma borda livre
BL = 2.54
√
mx (5.61)
No caso em que a borda livre e´ dada e se quer verificar a incideˆncia de ocorreˆncia de a´gua no
conve´s tem-se:
P [X > BL] = e−BL
2/(2mx) (5.62)
e, determinando-se o nu´mero de oscilac¸o˜es por hora
Nosc = 3600 · (ciclos por segundo) = 3600σmedio/(2pi) = 3600
√
mv/mx/(2pi) (5.63)
pode-se calcular o nu´mero de vezes em me´dia esperado de ocorreˆncia de a´gua no conve´s:
N = Nosc ∗ P [X > BL] = 3600
√
mv/mxe
−BL2/(2mx)/(2pi) (5.64)
No caso de emersa˜o do propulsor o procedimento e´ similar. Determina-se qual a probabilidade
da pa´ do propulsor deixar a a´gua, isto e´, quer-se que a distaˆncia entre a onda e a posic¸a˜o da
pa´ do propulsor na˜o se torne nula.
Para as previso˜es de slamming longitudinal e transversal a situac¸a˜o e´ relativamente similar.
Deve-se determinar a probabilidade do deslocamento, dada pela diferenc¸a entre a cota do
fundo do corpo flutuante e a linha de a´guas tranquilas, exceder uma distaˆncia limite pre´-
estabelecida. Entretanto um outro fator e´ tambe´m importante que e´ a velocidade de imersa˜o.
Se a velocidade for baixa na˜o ha´ risco. Entretanto se ela exceder um certo valor a entrada na
a´gua e´ feita com risco de dano estrutural.
A probabilidade de ocorrer simultaneamente emersa˜o do propulsor e excedeˆncia da velocidade
cr´ıtica e´ dado por:
P [ocorreˆncia de slamming] = P [excedeˆncia do deslocamento] · P [excedeˆncia da velocidade]
(5.65)
onde
P [excedeˆncia do deslocamento] = e−DIST
2/(2mx) (5.66)
P [excedeˆncia da velocidade] = e−V TL
2/(2mx) (5.67)
58 Texto Preliminar, SH Sphaier
DIST - e´ a distaˆncia entre o n´ıvel de a´guas tranquilas e o ponto de interesse.
VTL - e´ a velocidade cr´ıtica a partir da qual pode haver danos estruturais. Recomenda-
se utilizar um valor em torno de 0.1
√
gLpp
Com este resultado pode-se calcular o nu´mero de vezes em me´dia esperado de ocorreˆncia de
slamming:
N = P [ocorreˆncia de slamming]3600
√
mv/mx/(2pi) (5.68)
Texto Preliminar, SH Sphaier 59
5.6 Resumo Esquema´tico
Figura 5.1: Apresentac¸a˜o Esquema´tica I
60 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 5.2: Apresentac¸a˜o Esquema´tica II
Texto Preliminar, SH Sphaier 61
Figura 5.3: Apresentac¸a˜o Esquema´tica III
62 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 5.4: Apresentac¸a˜o Esquema´tica IV
Texto Preliminar, SH Sphaier 63
Figura 5.5: Apresentac¸a˜o Esquema´tica V
64 Texto Preliminar, SH Sphaier
Cap´ıtulo 6
Hidrodinaˆmica de Corpos Flutuantes
Estaciona´rios
6.1 Aspectos F´ısicos: Leis e Princ´ıpios
Passaremos agora a tratar o problema discutido acima em bases mais formais do ponto de vista
hidrodinaˆmico. Vamos assumir que as ondas sa˜o de pequenas amplitudes, o corpo executara´
movimentos de pequenas amplitudes e podemos tratar o problema linearmente.
Nosso objetivo e´ o estudo do comportamento de corpos flutuantes, isto e´, corpos r´ıgidos
movendo-se, semi-imersos em um fluido em movimento. Como sabemos o movimento de um
corpo e´ regido pelas leis da mecaˆnica, que sa˜o as treˆs leis de Newton e a lei de gravitac¸a˜o
universal. Ale´m disto temos que satisfazer aos princ´ıpios de conservac¸a˜o da massa e da
impenetrabilidade dos corpos.
No caso espec´ıfico do corpo, sua massa e´ considerada imuta´vel, estando assim, automatica-
mente satisfeito o princ´ıpio de conservac¸a˜o da massa.
O princ´ıpio da impenetrabilidade nos diz que os movimentos do corpo e das part´ıculas fluidas
sa˜o tais que as part´ıculas na˜o podem penetrar no corpo, nem tampouco uma part´ıcula fluida
podera´ penetrar no corpo ou em outra part´ıcula fluida.
O movimento de um corpo sujeito a forc¸a externas e´ descrito pela segunda lei de Newton,