A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
98 pág.
Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

Pré-visualização | Página 11 de 16

em
que as as variac¸o˜es das quantidades de movimento sa˜o iguais a`s forc¸as e momentos
externos: ∫
B
d
dt
(u dm) =
∑
Fext (6.1)
65
66 Texto Preliminar, SH Sphaier
∫
B
d
dt
(r× u dm) =
∑
Mext (6.2)
onde:
B e´ o domı´nio que define o corpo
dm e´ a massa de uma parte elementar do corpo
r e´ o raio vetor de cada ponto do corpo em relac¸a˜o a um ponto O.
u e´ o vetor velocidade de cada ponto do corpo
u = U0 +Ω× r (6.3)
U0 e´ o vetor velocidade linear do corpo
Ω e´ o vetor velocidade angular do corpo no ponto O
Fext sa˜o as forc¸as externas atuando sobre o corpo
Mext sa˜o os momentos das forc¸as externas atuando sobre o corpo, em relac¸a˜o ao ponto O.
As forc¸as externas atuantes sobre o corpo sa˜o a forc¸a da gravidade, forc¸a de atrac¸a˜o da Terra,
e a forc¸a devida a ac¸a˜o do fluido junto do corpo. A forc¸a da gravidade e´ do tipo de forc¸a de
corpo e as forc¸as devidas a ac¸a˜o do fluido sa˜o do tipo de forc¸as de superf´ıcie.
∫
B
d
dt
(u dm) = Fc + Fs (6.4)∫
B
d
dt
(r× u dm) =Mc +Ms (6.5)
onde:
Fc e´ a resultante das forc¸as de corpo
Fs e´ a resultante das forc¸as de superf´ıcie.
A forc¸a devida a` atrac¸a˜o da Terra pode ser obtida atrave´s da lei de gravitac¸a˜o universal de
Newton. No caso espec´ıfico do movimento junto a` superf´ıcie da Terra podemos dizer que esta
forc¸a e´ constante, e dada por:
Fc = (
∫
B
dm)g =Mg (6.6)
onde:
Texto Preliminar, SH Sphaier 67
M e´ a massa do corpo
M =
∫
B
dm (6.7)
g e´ o vetor acelerac¸a˜o da gravidade.
As forc¸as de superf´ıcie surgem da ac¸a˜o das part´ıculas fluidas sobre o corpo. Imaginemos
inicialmente que colocamos um corpo em um escoamento retil´ıneo uniforme unidirecional.
A presenc¸a do corpo provoca uma modificac¸a˜o do escoamento fluido. Ao se moverem e
encontrarem o corpo, as part´ıculas fluidas sa˜o aceleradas e desaceleradas. Pela segunda lei
de Newton isto so´ e´ possivel pela ac¸a˜o de uma forc¸a externa. Esta ac¸a˜o externa deve-se a`
interac¸a˜o entre as part´ıculas fluidas e a presenc¸a do corpo. Pela terceira lei de Newton, a` forc¸a
que o corpo exerce sobre uma part´ıcula fluida, correspondera´ uma reac¸a˜o, na forma de uma
forc¸a igual e de sentido contra´rio a` de ac¸a˜o, atuando sobre o corpo. Isto dar-se-a´ junto a cada
parte da superf´ıcie do corpo. Assim, as part´ıculas fluidas sofrera˜o a ac¸a˜o do corpo, na forma
de forc¸as e como reac¸a˜o aparecera˜o sobre o corpo forc¸as locais. Decompondo estas forc¸as em
componentes normal e tangencial, temos as componentes de forc¸a devida a` pressa˜o e a` tensa˜o
cisalhante, respectivamente. Uma vez que estas forc¸as dependem da interac¸a˜o entre o corpo
e o fluido, e´ necessa´rio que determinemos o movimento do fluido para podermos calcular as
forc¸as de superf´ıcie atuando sobre o corpo. E´ enta˜o necessa´rio que estabelec¸amos as equac¸o˜es
de movimento das part´ıculas fluidas, utilizando as leis e os princ´ıpios f´ısicos estabelecidos.
Estes sa˜o mais uma vez as treˆs leis de Newton, a lei de gravitac¸a˜o universal, o princ´ıpio de
conservac¸a˜o da massa e o princ´ıpio de impenetrabilidade.
6.2 Formulac¸a˜o hidrodinaˆmica: Leis e Princ´ıpios
Para o estudo do movimento do corpo utilizamos a descric¸a˜o Lagrangeana. Acompanhamos
o que acontece com o corpo ao longo do tempo, determinando as suas posic¸o˜es. No caso
do escoamento da massa fluida utilizamos a descric¸a˜o Euleriana. Descrevemos o escoamento
atrave´s dos campos de velocidades e presso˜es, sem nos importarmos com que part´ıcula ocupa
cada posic¸a˜o do espac¸o em cada instante. Admitimos tambe´m que o fluido preenche con-
tinuamente todas as posic¸o˜es do espac¸o. Assim, nunca podera´ aparecer um espac¸o vazio no
domı´nio fluido; as part´ıculas que formam uma linha material, sempre estara˜o formando uma
linha fluida, etc... Esta u´ltima afirmac¸a˜o implica em que, as part´ıculas que formam uma
superf´ıcie livre, sempre a formara˜o.
Da mesma forma que para o corpo, o movimento de uma part´ıcula fluida, sujeita a forc¸as
externas, e´ descrito pela segunda lei de Newton
D
Dt
(vρdV ) =
∑
dFext. (6.8)
68 Texto Preliminar, SH Sphaier
onde:
D/Dt e´ o operador derivada substantiva
ρ e´ a massa espec´ıfica do fluido.
dV e´ o volume elementar da part´ıcula
v representa o campo vetorial das velocidades
dFext sa˜o as forc¸as externas atuando sobre a part´ıcula fluida
A derivada substantiva da velocidade define o campo vetorial que representa as acelerac¸o˜es
das part´ıculas fluidas, a = (D/Dt)v.
As forc¸as externas sa˜o tambe´m, a forc¸a de atrac¸a˜o da Terra e as forc¸as de superf´ıcie. As forc¸as
de superf´ıcie devem-se a` ac¸a˜o das outras part´ıculas que esta˜o em contato, e eventualmente ao
corpo, caso a part´ıcula encontre-se em contato com o corpo.
D
Dt
(vρdV ) = dFc + dFs (6.9)
onde:
dFc e´ a forc¸a de corpo atuando no elemento de fluido
dFs e´ a forc¸a de superf´ıcie atuando no elemento de fluido
Aplicando-se a segunda lei de Newton ao estudo do movimento de um fluido incompress´ıvel,
cuja relac¸a˜o entre tensa˜o cisalhante e movimento siga a equac¸a˜o constitutiva de Newton,
chegamos a equac¸a˜o de Navier-Stokes:
ρa dV = −ρg dV −∇p dV + µ∇2v dV (6.10)
ou
D
Dt
v + g +
∇p
ρ
− ν∇2v = 0 (6.11)
onde:
D
Dt
v =
∂
∂t
v + v · ∇(v)
p e´ a pressa˜o
ν e´ a viscosidade cinema´tica do fluido.
Texto Preliminar, SH Sphaier 69
∇ e´ o operador gradiente
∇2 e´ o laplaceano, ∇2 = ∇ · ∇
O princ´ıpio de conservac¸a˜o da massa e´ dado pela equac¸a˜o da continuidade, que para fluidos
incompress´ıveis e´
∇ · v = 0 (6.12)
onde ∇· e´ o operador divergente
O princ´ıpio da impenetrabilidade define uma relac¸a˜o entre as componentes das velocidades
das part´ıculas fluidas e do corpo na direc¸a˜o da normal ao corpo. No caso de corpos na˜o
porosos essas componentes devem ser iguais
v · n = u · n (6.13)
onde n e´ o vetor normal ao contorno do corpo.
Por ser uma propriedade cinema´tica, esta condic¸a˜o e´ chamada de condic¸a˜o de contorno
cinema´tica.
Ale´m dessa condic¸a˜o, devemos introduzir a condic¸a˜o de adereˆncia das part´ıculas fluidas junto
ao corpo. Se, por razo˜es f´ısicas, podemos supor que na˜o haja deslizamento entre as part´ıculas
fluidas em contato com o corpo e sua superf´ıcie, enta˜o
v · t− u · t = 0 (6.14)
onde t e´ o vetor unita´rio tangente ao contorno do corpo.
Como dissemos, passaremos agora a tratar o problema discutido acima em bases mais formais
do ponto de vista hidrodinaˆmico. Assumindo que as ondas sa˜o de pequenas amplitudes, o
corpo executara´ movimentos de pequenas amplitudes e podemos tratar o problema linear-
mente.
Para tal, relembremos as definic¸o˜es dos sistemas de refereˆncias como fizemos anteriormente.
consideremos um sistema de coordenadas OXY Z com o plano Z = 0 sobre a superf´ıcie livre.
O eixo OZ aponta verticalmente para cima. Consideremos um segundo sistema o¯x¯y¯z¯ cujo
centro, sempre concide com o ponto O, com eixo o¯x¯ fazendo um aˆngulo β com o eixo OX.
O navio tem velocidade desloca-se em linha reta com velocidade U na direc¸a˜o do eixo o¯x¯. As
ondas se propagam na direc¸a˜o do eixo OX e o vetor celeridade da onda faz um aˆngulo β com
o vetor velocidade do navio, e consequentemente com o eixo longitudinal do navio.
Consideremos um terceiro sistema oxyz que se desloca com a velocidade do navio, sem oscilar.
Seu centro esta´ localizado na superf´ıcie livre em repouso e o eixo oz aponta verticalmente para
70 Texto Preliminar, SH Sphaier
cima. O ponto o, centro do sistema, esta´ localizado a meio navio. Muitas vezes e´ mais coˆmodo
localiza´-lo na vertical passando pelo centro de gravidade.
Considerando que os efeitos de viscosidades sa˜o desprez´ıveis podemos