Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

adotar a hipo´tese de
fluido ideal e escoamento irrotacional. Supomos tambe´m que o fluido e´ incompress´ıvel. Com
estas hipo´teses pode-se verificar que o escoamento e´ descrito por uma func¸a˜o φ, potencial de
velocidade tal que
v = ∇φ (6.15)
sendo φ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace
∇2φ = 0 (6.16)
Como vimos anteriormente a unicidade da soluc¸a˜o e´ conseguida impondo-se condic¸o˜es de
contorno. Isto e´, nos contornos do meio fluido a func¸a˜o φ devera´ tambe´m satisfazer condic¸o˜es
da forma
αφ+ β
∂φ
∂n
= f (6.17)
onde α, β e f sa˜o conhecidas.
O contorno fluido neste caso e´ composto da superf´ıcie do casco, a superf´ıcie livre, o fundo e
uma superf´ıcie longe do corpo ligando a superf´ıcie livre e o fundo.
Na superf´ıcie do casco devemos ter por exemplo
u · n = ∂φ
∂n
(6.18)
onde u e´ a velocidade de um ponto P do casco, n a normal a superf´ıcie do casco.
Expressando a equac¸a˜o da superf´ıcie do casco na forma
Fc(x, y, z, t) = 0 (6.19)
a condic¸a˜o de contorno acima equivale a:
D
Dt
Fc(x, y, z, t) = 0 (6.20)
Em cada ponto da superf´ıcie livre as componentes das velocidades do perfil da onda usl e da
velocidade da part´ıcula fluida na direc¸a˜o da normal sa˜o iguais.
usl · n = ∂φ
∂n
(6.21)
De forma similar ao que expusemos acima, se Fsl(x, y, z, t) = 0 e´ a equac¸a˜o da superf´ıcie livre
enta˜o
D
Dt
Fsl(x, y, z, t) = 0 (6.22)
Texto Preliminar, SH Sphaier 71
traduzira´ esta condic¸a˜o.
Ale´m desta condic¸a˜o cinema´tica a ser satisfeita na superf´ıcie livre, devemos impor que a
pressa˜o p seja igual a pressa˜o atmosfe´rica patm.
Admitindo a regia˜o fluida infinita temos que impor condic¸o˜es assinto´ticas para pontos dis-
tantes do corpo (condic¸o˜es de radiac¸a˜o). Caso o corpo encontre-se em a´guas com profundidade
finita z = −d devemos ter
∂φ
∂z
(x, y, z = −d, t) = 0 (6.23)
Observando o problema de valor de contorno estabelecido acima e o problema de ondas de
gravidade, vemos que ambos diferem unicamente pela condic¸a˜o de contorno no corpo. Assim,
apo´s linearizac¸a˜o do problema chegamos ao seguinte problema de valor de contorno para o
potencial de velocidades φ
∇2φ = 0 (6.24)
em todo domı´nio fluido
∂φ
∂z
+
1
g
∂2φ
∂t2
= 0 (6.25)
em z = 0
∂φ
∂z
= 0 (6.26)
em z = −d
∂φ
∂n
= un (6.27)
na superf´ıcie do corpo
Resolvendo este problema obtemos a equac¸a˜o da superf´ıcie livre
ζ = −1
g
∂φ(x, y, z = 0, t)
∂t
(6.28)
e a pressa˜o em qualquer ponto do domı´nio
p = −ρgz − ρ∂φ(x, y, z, t)
∂t
(6.29)
De acordo com a descric¸a˜o f´ısica do problema podemos escrever
φ = φinc + φdif + φrad (6.30)
onde φinc potencial de velocidades das ondas incidentes, φdif potencial de velocidades de
difrac¸a˜o das ondas incidentes e φrad potencial de velocidades das ondas de radiac¸a˜o.
O potencial φinc representa as ondas existentes antes da colocac¸a˜o do corpo e φdif o po-
tencial de difrac¸a˜o das ondas incidentes. Representa ondas que sa˜o geradas junto ao corpo
72 Texto Preliminar, SH Sphaier
e se propagam para o meio, isto e´, representa a presenc¸a do corpo como obsta´culo para a
propagac¸a˜o da onda incidente. Traduz o efeito da presenc¸a do corpo diante das ondas inci-
dentes gerando um campo que ”compense a penetrac¸a˜o das ondas atrave´s do corpo”. Assim
sobre o corpo devemos ter
∂φdif
∂n
= −∂φinc
∂n
(6.31)
O potencial de radiac¸a˜o representa as ondas geradas junto ao corpo devidas aos movimentos
do corpo e se propagam para o meio. Assim,
∂φrad
∂n
= un (6.32)
Os treˆs potenciais satisfazem a equac¸a˜o de Laplace e as condic¸o˜es de superf´ıcie livre e de
fundo. Na˜o entraremos neste texto em considerac¸o˜es mais aprofundadas sobre as soluc¸o˜es
dos potencias, mas podemos dizer que os potenciais φdif e φrad devem satisfazer condic¸o˜es
assinto´ticas descrevendo o comportamento a grandes distaˆncias. Este tipo de condic¸a˜o e´
chamada de condic¸a˜o de radiac¸a˜o e foi estabelecida por Sommerfeld.
O perfil da onda que se propaga no mar e´ dado por
ζ(X, t) = ζ0 cos(ωt− k0X) (6.33)
Para um observador no navio a onda incidente, sera´ dada por
ζ(x, y, t) = ζ0 cos(ωt− k0x cos(β) + k0y cos(β)) (6.34)
e seu potencial de velocidades e´ dado por:
φinc = i
g
ω
ek0zζ0 e
i(ωt−k0x cos(β)+k0y cos(β)) = ϕinc eiωt (6.35)
onde ϕ e´ dado por:
ϕinc = i
g
ω
ek0zζ0 e
i(−k0x cos(β)+k0y cos(β)) (6.36)
Considerac¸o˜es sobre os potenciais de difrac¸a˜o e de radiac¸a˜o
Como dito acima, se imaginarmos um navio colocado no meio das ondas do mar, a superf´ıcie
do casco sera´ invadida pelas part´ıculas fluidas. Isto e´, as ondas va˜o atravessar corpo, o
que na˜o e´ fisicamente aceita´vel. Assim sendo, temos que gerar um escoamento que junto
ao casco neutralize as ondas incidentes. Este e´ o papel do potencial de difrac¸a˜o; vai gerar
velocidades junto ao casco que se contraponham a`s velocidades das ondas incidentes. O
potencial de difrac¸a˜o gera velocidades cujas componentes na direc¸a˜o da normal ao casco
Texto Preliminar, SH Sphaier 73
anulem as componentes das velocidades da onda incidente sobre o casco. Este e´ o sentido da
condic¸a˜o de contorno sobre o corpo:
udif · n = ∂φdif
∂n
= −∂φinc
∂n
= −uinc · n (6.37)
one
udif = ∇φdif (6.38)
uinc = ∇φinc (6.39)
Esses potenciais va˜o gerar presso˜es que variam harmonicamente, uma vez que estamos assu-
mindo que as ondas sa˜o harmoˆnicas. Essas presso˜es va˜o gerar forc¸as harmoˆnicas e o corpo
vai se mover harmonicamente.
Assim, como o corpo, ale´m de impedir a passagem das part´ıculas fluidas atrave´s de si, se
move periodicamente, ele impo˜e movimento a`s part´ıculas fluidas. Tudo se passa como se
forc¸assemos o corpo a se mover em a´guas tranquilas. O corpo gera ondas. Para representa´-
las introduzimos um potencial de velocidades. Este potencial tem que gerar movimento nas
part´ıculas fluidas de tal forma que junto ao corpo, as part´ıculas fluidas acompanhem o corpo.
Pensemos agora em um ponto do corpo. Como as part´ıculas podem deslizar sobre o corpo,
suas componentes de velocidades na direc¸a˜o normal ao corpo no ponto considerado tem que
se igualar a` componente de velocidade do corpo na direc¸a˜o normal ao ponto da superf´ıcie do
corpo.
Assim, este potencial tem que satisfazer:
∂φrad
∂n
= un (6.40)
Pore´m o corpo tem seis movimentos, treˆs lineares ao longo dos eixos do sistema de refereˆncias
colocado no corpo, e treˆs movimentos angulares em torno desses treˆs eixos. Enta˜o podemos
imaginar que cada movimento seja um gerador de movimentos das part´ıculas fluidas. Isolamos
cada um deles e para cada um e´ necessa´rio gerar um potencial de velocidades. Cada um
desses potenciais de velocidades e´ dado pelo produto de uma func¸a˜o, que depende da forma
do corpo e da frequeˆncia do movimento, multiplicada pelo mo´dulo da velocidade do corpo
naquela direc¸a˜o:
φrad = ϕ1η˙1 + ϕ2η˙2 + ϕ3η˙3 + ϕ4η˙4 + ϕ5η˙5 + ϕ6η˙6 (6.41)
74 Texto Preliminar, SH Sphaier
6.3 Forc¸as Atuantes
6.3.1 Forc¸as hidrodinaˆmicas
O conhecimento da func¸a˜o φT , permite que determinemos a pressa˜o e por conseguinte as
forc¸as e momentos hidrodinaˆmicos. Utilizando a segunda lei de Newton para forc¸as e sua
extensa˜o para momentos determinamos os movimentos do corpo.
Para tal vamos inicialmente determinar as presso˜es atuantes sobre o corpo.
Assumimos que o corpo executa pequenas oscilac¸o˜es lineares ηl e angulares ηa, onde:
ηl = η1i+ η2j+ η3k (6.42)
ηa = η4i+ η5j+ η6k (6.43)
η1 movimento linear do corpo na direc¸a˜o longitudinal, eixo Ox
η2 movimento linear do corpo na direc¸a˜o lateral, eixo Oy
η3 movimento linear do corpo na direc¸a˜o vertical, eixo Oz
η4 movimento angular do corpo em torno da direc¸a˜o longitudinal, do eixo Ox
η5 movimento