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Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

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oscilato´rio.
A lei de Newton fornece
ms¨ = −P + E0 +4E (2.2)
Considerando pequenos movimentos verticais podemos dizer que ∆E = −ρgBs e enta˜o
ms¨ = −ρgBs (2.3)
com s(t = 0) = s0, sendo B a boca do cilindro.
Assim ter´ıamos a seguinte equac¸a˜o diferencial ordina´ria para resolver.
ms¨+ ρgBs = 0 (2.4)
com s(t = 0) = s0 e s˙ = 0.
Trata-se de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria a coeficientes constantes de segunda ordem
homogeˆnea sujeita a uma condic¸a˜o inicial. A soluc¸a˜o e´ da forma
s = s0e
iωnt (2.5)
Texto Preliminar, SH Sphaier 9
com ωn =
√
ρgB/m, frequeˆncia natural, e o corpo permaneceria em movimento harmoˆnico
indefinidamente.
A experieˆncia dia´ria nos diz entretanto que este movimento tem um decremento com o tempo,
e podemos observar o aparecimento de ondas na superf´ıcie livre. Estas ondas propagam-se
do corpo para o infinito carregando consigo energia.
Lembrando as concluso˜es obtidas no estudo do escoamento devido a um c´ırculo acelerado em
um fluido em repouso, sabemos que a pressa˜o dinaˆmica da´ origem a uma forc¸a contra´ria a`
acelerac¸a˜o do corpo. Sem nos preocuparmos aqui com o rigor matema´tico, podemos dizer que
a pressa˜o da´ origem a uma forc¸a na forma
Fhdin = −a33s¨ (2.6)
A lei de Newton agora fornece
ms¨ = −a33s¨− ρgBs (2.7)
ou
(m+ a33)s¨+ ρgBs = 0 (2.8)
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´ semelhante a` soluc¸a˜o do caso anterior, modificando-se somente o
valor de ωn
ωn =
√
ρgB
m+ a33
(2.9)
Isto quer dizer, que o decaimento do movimento que observamos em nossa experieˆncia dia´ria,
na˜o e´ previsto e por conseguinte a energia dissipada na formac¸a˜o de ondas na˜o esta´ sendo
considerada. A expressa˜o acima, representativa da forc¸a hidrodinaˆmica na˜o preve termo
responsa´vel pela formac¸a˜o de ondas e consequentemente pelo decaimento do movimento do
corpo, o que na˜o representa o caso real.
Ocorre que estas forc¸as, devidas a radiac¸a˜o de ondas, na˜o necessariamente esta˜o em fase com
a acelerac¸a˜o do corpo. A forc¸a de radiac¸a˜o resultante esta´ subdividida em duas parcelas,
uma em fase com a acelerac¸a˜o e outra com a velocidade do corpo. Esta segunda parcela e´
responsa´vel pelo constante consumo de energia cine´tica do corpo, transferindo energia para
a massa fluida na forma de ondas, que se transmitem para o infinito, provocando assim um
decaimento no movimento do corpo.
Ao coeficiente de proporcionalidade entre acelerac¸a˜o e a forc¸a em fase com a acelerac¸a˜o
chamamos de coeficiente de massa adicional e, ao coeficiente de proporcionalidade entre ve-
locidade e forc¸a em fase com a velocidade, damos o nome de coeficiente de amortecimento.
Com esta expressa˜o a equac¸a˜o de movimento do corpo apresenta um termo na˜o conservativo
linear, e esta´ intimamente ligado a` energia da onda que, formada pela interac¸a˜o fluido-corpo
junto a superf´ıcie livre se radia para o meio, propagando-se a longas distaˆncias.
10 Texto Preliminar, SH Sphaier
Fhdin = −a33s¨− b33s˙ (2.10)
onde b33 e´ o coeficiente de amortecimento.
A equac¸a˜o de movimento obtida a partir da aplicac¸a˜o da lei de Newton seria agora
ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs (2.11)
ou
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (2.12)
Esta e´ uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea ordina´ria de segunda ordem a coeficientes con-
stantes. Sua soluc¸a˜o e´ da forma exponencial. Este problema corresponde ao de vibrac¸a˜o livre
de um sistema amortecido, sujeito a um deslocamento e uma velocidade iniciais.
Consideremos agora que incide uma onda monocroma´tica que, como descrito acima, introduz
uma forc¸a de excitac¸a˜o harmoˆnica.
Fexc = F0e
iωt = (F0,R + i F0,I)e
iωt (2.13)
onde
F0 e´ a amplitude da forc¸a
ω e´ a frequeˆncia de oscilac¸a˜o.
A lei de Newton fornece enta˜o a seguinte equac¸a˜o de movimento
ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs+ Fexc (2.14)
ou
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = F0e
iωt (2.15)
Texto Preliminar, SH Sphaier 11
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ a soma da soluc¸a˜o homogeˆnea, que corresponderia ao
movimento apo´s um impulso inicial, mais a soluc¸a˜o particular que seria regida pela carac-
ter´ıstica da forc¸a de excitac¸a˜o. Assim, apo´s algum tempo, a soluc¸a˜o homogeˆnea na˜o mais
interferiria na soluc¸a˜o do problema, isto e´, apo´s a fase transiente o corpo entraria em um
movimento harmoˆnico com frequeˆncia ω
s = s¯0e
i(ωt+δ) = s0e
i(ωt) (2.16)
onde:
s¯0 e´ a amplitude do movimento
s0 e´ a amplitude complexa
δ e´ a fase.
Soluc¸a˜o homogeˆnea
A soluc¸a˜o homogeˆnea e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o:
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (2.17)
e e´ da forma:
s = e−b33/[2(m+a33)] t
(
a1e
t
√
(b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33) + a2e−t
√
(b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33)
)
(2.18)
Para valores de b33 em que [b33/2(m + a33)]
2 − ρ g B/(m + a33) > 0 temos o movimento
decrescendo exponencialmente segundo 2.18.
Para pequenos valores de b33 em que [b33/2(m+a33)]
2−ρ g B/(m+a33) < 0 temos um sistema
pouco amortecido e o argumento das func¸o˜es exponenciais sera´ imagina´rio. A soluc¸a˜o toma
a forma:
s = e−b33/[2(m+a33)] t
(
a1 cos(t
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2
+a2 sin(t
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2
)
(2.19)
Se defirmos ω como frequeˆncia amortecida:
ω =
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2 (2.20)
12 Texto Preliminar, SH Sphaier
enta˜o teremos
s = e−b33/[2(m+a33)] t (a1 cos(ωt) + a2 sin(ωt)) (2.21)
O valor de b33 para o qual
[b33/2(m+ a33)]
2 − ρ g B/(m+ a33) = 0 (2.22)
e´ chamado de amortecimento cr´ıtico.
b33,c = 2(m+ a33)ωn (2.23)
Definimos como ζ a relac¸a˜o entre o amortecimento b33 e o amortecimento cr´ıtico b33,c,
ζ =
b33
b33,c
(2.24)
Observemos que substituindo (2.9), (2.24) e (2.23) em (2.12) obtemos
s¨+ 2ζωns˙+ ω
2
ns = 0 (2.25)
Este e´ um formato compacto da uma equac¸a˜o diferencial que vimos acima. Trata-se de uma
equac¸a˜o ordina´ria a coeficientes constantes. Embora seja totalmente equivalente ao caso visto
acima, vamos aqui desenvolver novamente sua soluc¸a˜o, que e´ da forma
s = aeλt (2.26)
Substituindo esta expressa˜o em (2.29) obtemos, para a determinac¸a˜o de λ, a seguinte equac¸a˜o
do segundo grau:
λ2 + 2ζωnλ+ ω
2
n = 0 (2.27)
Assim, temos duas soluc¸o˜es na forma:
λ = −ζωn ± i
√
1− ζ2ωn (2.28)
Observemos que o crescimento ou decaimento do deslocamento, isto e´, o crescimento ou
decaimento de s ao longo do tempo, depende do fator ζ, relac¸a˜o entre o amortecimento do
sistema e o amortecimento cr´ıtico. Cabe entretanto, conceituar amortecimento cr´ıtico. Antes
pore´m observemos o comportamento da soluc¸a˜o para valores de ζ positivo, nulo e negativo.
Iniciemos abordando o caso em que ζ = 0.
s¨+ ω2ns = 0 (2.29)
Texto Preliminar, SH Sphaier 13
Figura 2.2: Decremento Logar´ıtmico
Esta equac¸a˜o tem soluc¸a˜o na forma
s = a1e
iωnt + a2e
−iωnt (2.30)
Assim vemos que o corpo vai oscilar indefinidamente harmoˆnicamente na chamada frequ¨eˆncia
natural.
Caso ζ < 0, o movimento aumentara´ indefinidamente com o tempo. Trata-se de um sistema
com amortecimento negativo causando uma amplificac¸a˜o do movimento. Caso ζ > 0, o termo
exponencial atuara´ forc¸ando o decaimento do movimento.
Para o caso do amortecimento positivo, isto e´, ζ positivo, devemos distinguir treˆs casos. O
primeiro em que ζ < 1. O termo exponencial atuara´ como um regulador da amplitude do
movimento. Este regulador impo˜e um decaimento do movimento. O corpo oscila com a
frequeˆncia
ω =
√
1− ζ2ωn (2.31)
A figura 2.2 mostra este comportamento.
Para o caso em que ζ > 1 o sistema e´ fortemente amortecido. Na˜o ha´ oscilac¸a˜o. A soluc¸a˜o
14 Texto Preliminar, SH Sphaier
toma a forma
s = a1e
(
−ζ+
√
ζ2−1
)
ωnt + a2e
(
−ζ−
√
ζ2−1
)
ωnt (2.32)
No caso