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Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

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em que ζ = 1 a expressa˜o (2.28) torna-se
λ = −ωn (2.33)
isto e´, a expressa˜o (2.26) fornece uma u´nica soluc¸a˜o.
s = ae−ωt (2.34)
Temos que providenciar uma segunda soluc¸a˜o. Como sabido do ca´lculo diferencial a soluc¸a˜o
homogeˆnea torna-se enta˜o:
s = (a1 + a2t)e
−ωt (2.35)
Observemos que, de forma geral, em um sistema massa-mola-amortecedor, podemos medir a
massa do corpo e o efeito de mola aplicando-se uma forc¸a e medindo-se a elongac¸a˜o da mola.
Conhecidos estes dois termos da equac¸a˜o diferencial do movimento, falta-nos determinar o
amortecimento do sistema. Atrave´s de uma experieˆncia e, determinando-se o logaritmo natu-
ral da relac¸a˜o entre duas amplitudes sucessivas, e´ poss´ıvel extrair-se o valor do amortecimento.
No caso de um corpo oscilando na superf´ıcie, podemos medir os efeitos de restaurac¸a˜o ou
calcula´-los atrave´s das linhas do corpo. Podemos determinar a massa do corpo, compondo a
massa de cada uma de suas partes, e calcular a massa adicional e o coeficiente de amortec-
imento de ondas atrave´s de me´todos matema´ticos. Na abordagem aqui encaminhada, na˜o
fazemos nenhuma menc¸a˜o a efeitos viscosos, que por efeitos locais, podem ser importantes.
Nestes casos, embora possamos determinar o amortecimento devido a formac¸a˜o de ondas,
e´ fundamental o teste do decremento logar´ıtmico para a determinac¸a˜o precisa dos efeitos
viscosos. Poder-se-ia perguntar enta˜o se sempre ter´ıamos que fazer o teste. Em termos
absolutos sempre seria necessa´rio, entretanto devemos inicialmente verificar se os efeitos vis-
cosos sa˜o importantes ou na˜o, e se os me´todos de ca´lculo das propriedades hidrodinaˆmicas,
massa adicional e amortecimento, para formas semelhantes levam a bons resultados ou na˜o.
Em geral para formas navais, somente o movimento de jogo apresenta efeitos viscosos im-
portantes. Costuma-se desenvolver testes experimentais, acumulando-se informac¸o˜es sobre o
amortecimento na forma de um percentual do amortecimento cr´ıtico do sistema. Isto e´, se o
amortecimento fosse igual ao cr´ıtico este seria dado por (2.23).
Para a determinac¸a˜o do decremento logar´ıtmico, admitamos que a soluc¸a˜o seja dada por:
s = Se−ζωnt
[
sin
(√
1− ζ2ωnt+ α
)]
(2.36)
onde S e α foram obtidos a partir de (2.18) e das condic¸o˜es de deslocamento s(t = 0) e
velocicades s˙(t = 0) iniciais.
Texto Preliminar, SH Sphaier 15
A curva
s = Se−ζωnt (2.37)
tangencia a curva de resposta do sistema pro´ximo aos ma´ximos. O decremento logar´ıtmico
entre duas oscilac¸o˜es sucessivas e´ expresso por
δl = ln
s1
s2
= ln
e−ζωnt1
e−ζωn(t1+T )
= ln eζωnT = ζωnT (2.38)
Como o sistema oscila com frequeˆncia
ω = ωn
√
1− ζ2 (2.39)
o intervalo de tempo entre as duas oscilac¸o˜es sera´
T =
2pi
ωn
√
1− ζ2 (2.40)
e o decremento (ver figura 2.2):
δl =
2piζ√
1− ζ2 (2.41)
Em sistemas pouco amortecidos teremos enta˜o
δl = 2piζ (2.42)
Soluc¸a˜o Particular
Substituindo (2.16) em (2.15) obtemos a amplitude complexa s0 dada por
s0 =
1
ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33F0
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33
(ρ g B − ω2 (m + a33))2 − (i ω b33)2F0
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33
(ρ g B − ω2 (m + a33))2 + (ω b33)2F0 (2.43)
que pode ser escrita em termos do mo´dulo | s0 | e da fase δ por
s0 = (s0,R + i s0,I) e
i ω t = | s0 | e(iω t+ δ) (2.44)
onde:
16 Texto Preliminar, SH Sphaier
freq / freq natural
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
zeta = 0.05
zeta = 0.10
zeta = 0.15
zeta = 0.20
zeta = 0.25
zeta = 0.30
zeta = 0.35
zeta = 0.50
zeta = 0.75
zeta = 1.00
Figura 2.3: Fator de Amplificac¸a˜o, Func¸a˜o de transfereˆncia, Rao
s0,R e´ a parte real da amplitude complexa,
s0,I e´ a parte imagina´ria.
Multiplicando s0 pelo seu conjugado s
∗
0 obtemos o mo´dulo da soluc¸a˜o:
| s0 |2= s0 · s∗0
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33(
[ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2
)2 [ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33] | F0 |2
=
1
[ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2
| F0 |2 (2.45)
onde
| F0 |2= F0 · F ∗0 (2.46)
O aˆngulo de fase δ e´ dado por
δ = arctan
F0,R (ρ g B − ω2 (m + a33)) + F0,I (ω b33)
F0,I (ρ g B − ω2 (m + a33)) − F0,R (ω b33) (2.47)
O comportamento da soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ mostrado nas figuras 2.3 e 2.4. Esta
soluc¸a˜o e´ chamada de fator de amplificac¸a˜o, func¸a˜o de transfereˆncia ou RAO (Operador de
Amplitude de Resposta).
Texto Preliminar, SH Sphaier 17
freq / freq natural
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-180
-150
-120
-90
-60
-30
0
zeta = 0.05
zeta = 0.10
zeta = 0.15
zeta = 0.20
zeta = 0.25
zeta = 0.30
zeta = 0.35
zeta = 0.50
zeta = 0.75
zeta = 1.00
Figura 2.4: Aˆngulo de Fase
2.3 Movimento de Jogo Puro
Estudemos agora o problema de oscilac¸a˜o angular de um corpo bidimensional junto a su-
perf´ıcie livre. Consideremos que incide uma onda monocroma´tica que, impo˜e um momento
de excitac¸a˜o harmoˆnico.
Mexc =M0e
iωt = (M0,R + iM0,I)e
iωt (2.48)
O corpo, reagindo a este momento, entra em movimento harmoˆnico com a mesma frequeˆncia
da excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem presso˜es
sobre o corpo. O momento da forc¸a de reac¸a˜o hidrodinaˆmica atuando sobre o corpo, e´ da
forma
Mrad = −a44η¨4 − b44η˙4 (2.49)
Com o deslocamento do corpo de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio, atuara´ sobre ele um momento
restaurador resultante da ac¸a˜o das forc¸as devidas ao peso e a`s presso˜es hidrosta´ticas.
Admitamos que a sec¸a˜o execute uma rotac¸a˜o η4 em torno do ponto O, ver figura 2.5.
18 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 2.5: Banda de uma sec¸a˜o naval
O centro de carena, localizado inicialmente no ponto B, desloca-se para o ponto B
′
. A vertical
passando por B
′
encontra o eixo Oz no ponto M , o metacentro. Nesta vertical temos o ponto
B
′
, de forma tal que B′B e´ um segmento horizontal. Valem as relac¸o˜es:
A1C1 = A2C2 =
b
2
tan(η4) (2.50)
GB = BM −GM (2.51)
BB′ = (GM +GB) sin(η4) (2.52)
O deslocamento do centro de carena do ponto B para o ponto B
′
, deve-se ao ganho da a´rea do
triaˆngulo C1OA1 e a` perda de a´rea do triaˆngulo C2OA2. A a´rea de cada uma destas cunhas
e´ dada por
1
2
b
2
b
2
tan(η4) =
1
8
b2 tan(η4) (2.53)
Assim o peso deslocado e´ de ρg 1
8
b2 tan(η4) para cada cunha.
As duas cunhas geram um momento
2ρg
∫ b/2
0
yy tan(η4)dy = 2ρg tan(η4)
∫ b/2
0
y2dy
= 2ρg tan(η4)
y3
3
|b/20 = ρg tan(η4)
b3
12
(2.54)
Texto Preliminar, SH Sphaier 19
Dividindo o momento pelo peso temos o brac¸o de momento igual a b/3.
Considerando o empuxo total ser composto pelo empuxo aplicado em B, somado ao empuxo
devido ao triaˆngulo C1OA1 e subtra´ıdo do empuxo devido ao triaˆngulo C2OA2 teremos os
seguintes momentos atuantes:
M1 = −GB sin(η4)mg (2.55)
M2 = ρg tan(η4)
b3
12
(2.56)
Por outro lado, temos que a distaˆncia horizontal e´ dada por:
BB′′ = (ρg tan(η4)
b3
12
)/mg (2.57)
Assim
(GM +GB) sin(η4) = (ρg tan(η4)
b3
12
)/mg (2.58)
Compondo os dois momentos teremos o momento restaurador Mrest dado por:
Mrest =M1 +M2 = ρg tan(η4)
b3
12
−GBmg sin(η4)
= mg(GM +GB) sin(η4)−GBmg sin(η4) = mgGM sin(η4) (2.59)
A distaˆncia GM e´ chamada de altura metaceˆntrica e mede a capacidade que um corpo tem
para retornar a sua posic¸a˜o de equil´ıbrio.
Admitindo pequenos deslocamentos, sin(η4) ≈ η4, e reunindo todas estas forc¸as, segue da
segunda lei de Newton, para a condic¸a˜o de conservac¸a˜o do movimento angular:
I44η¨4 =Mrad +Mrest +Mexc (2.60)
ou
(I44 + a44)η¨4 + b44η˙4 +mgGMη4 =Mexc (2.61)
Da mesma forma que no movimento vertical, esta e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de se-
gunda ordem a coeficientes