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Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

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constantes, na˜o homogeˆnea. Sua soluc¸a˜o e´ a soma de uma soluc¸a˜o
homogeˆnea e uma soluc¸a˜o particular. Admitindo que a contribuic¸a˜o da soluc¸a˜o homogeˆnea
decai rapidamente, o corpo executara´ movimento harmoˆnico na mesma frequeˆncia das ondas
incidentes. Todo o desenvolvimento utilizado na soluc¸a˜o do movimento vertical e´ aplicado
diretamente, pois as equac¸o˜es diferenciais sa˜o correspondentes.
20 Texto Preliminar, SH Sphaier
2.4 Movimento Lateral Puro
As equac¸o˜es diferenciais que descrevem os movimentos de oscilac¸a˜o vertical e angular sa˜o
semelhantes. Em ambos os movimentos temos inclusive termos de restaurac¸a˜o. Ja´ no movi-
mento horizontal tal comportamento na˜o se da´. Na˜o ha´ restaurac¸a˜o. Se quisermos utilizar
o conceito de frequeˆncia natural, veremos que esta sera´ nula. Consideremos que a onda
monocroma´tica incidente impo˜e uma forc¸a de excitac¸a˜o harmoˆnica.
Fexc = F0e
iωt = (F0,R + i F0,I)e
iωt (2.62)
O corpo reagindo a esta forc¸a entra em movimento harmoˆnico com a mesma frequeˆncia da
excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem presso˜es sobre
o corpo. A forc¸a de reac¸a˜o hidrodinaˆmica atuando sobre o corpo e´ da forma
Frad = −a22η¨2 − b22η˙2 (2.63)
onde η2 e´ o deslocamento lateral do corpo.
Aplicando a segunda lei de Newton para a condic¸a˜o de conservac¸a˜o do movimento linear
temos:
(m+ a22)η¨2 + b22η˙2 = Fexc (2.64)
Esta e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de segunda ordem a coeficientes constantes, na˜o
homogeˆnea, sendo que e´ nulo o coeficiente do termo de grau zero.
2.5 Movimentos Simultaˆneos Lateral e de Jogo
Consideremos que uma onda monocroma´tica incide sobre a sec¸a˜o impondo uma distribuic¸a˜o de
presso˜es sobre ela. Esta distribuic¸a˜o na˜o ira´ somente induzir forc¸a ou momento de excitac¸a˜o,
pore´m ambos e simultaneamente. Sendo a onda harmoˆnica, a forc¸a e o momento de excitac¸a˜o
sera˜o harmoˆnicos.
Fexc = F0e
iωt = (F0,R + i F0,I)e
iωt (2.65)
Mexc =M0e
iωt = (M0,R + iM0,I)e
iωt (2.66)
O corpo, reagindo a esta forc¸a e este momento, entra em movimento harmoˆnico com a mesma
frequeˆncia da excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem
presso˜es sobre o corpo.
Ao executar um movimento lateral a sec¸a˜o sofre uma reac¸a˜o na forma de uma forc¸a na
direc¸a˜o horizontal e um momento em torno do ponto O. Assim sendo, a sec¸a˜o tendera´ a ter
dois movimentos acoplados. De forma similar, ao executar movimentos em torno do ponto O
Texto Preliminar, SH Sphaier 21
a sec¸a˜o sofre uma reac¸a˜o hidrodinaˆmica na forma de uma forc¸a horizontal e de um momento
em torno do ponto O. Podemos dizer que ao executar os movimentos em conjuntos, atuara˜o
sobre a sec¸a˜o forc¸as e momentos da forma
Frad = −a22η¨2 − b22η˙2 − a24η¨4 − b24η˙4 (2.67)
Mrad = −a42η¨2 − b42η˙2 − a44η¨4 − b44η˙4 (2.68)
onde η2 e η4 sa˜o respectivamente os movimentos lateral e de jogo.
Observando que so´ ha´ momento de restaurac¸a˜o, na˜o ha´ forc¸a de restaurac¸a˜o, da aplicac¸a˜o das
leis de conservac¸a˜o de movimento linear e de movimento angular, segunda lei de Newton, as
equac¸o˜es de movimento sa˜o escritas na forma:
mη¨2 −mZgη¨4 = −a22η¨2 − b22η˙2 − a24η¨4 − b24η˙4 + fexc,2 (2.69)
Ixxη¨4 −mZgη¨2 = −a44η¨4 − b44η˙4 − a42η¨2 − b42η˙2 −mgGMη4 + fexc,4 (2.70)
ou
(m+ a22)η¨2 + b22η˙2 + (a24 −mZg)η¨4 + b24η˙4 = fexc,2 (2.71)
(I+a44)η¨4+b44η˙4+mgGMη4+(a42−mZg)η¨2+b42η˙2 = fexc,4 (2.72)
Este e´ um sistema de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de segunda ordem acopladas a coefi-
cientes constantes, na˜o homogeˆneas.
2.6 Hipo´tese de Froude-Krylov para o Ca´lculo de Forc¸a
de Onda
Vimos acima o problema de radiac¸a˜o. Um corpo oscila junto a` superf´ıcie livre gera ondas
que se propagam carregando energia. Determinamos a soluc¸a˜o para o caso de um batedor de
ondas como exemplo ba´sico. Originalmente na˜o existiam ondas no meio fluido. Vamos agora
estudar o problema da ac¸a˜o de ondas em um corpo fixo junto a` superf´ıcie livre.
Consideremos um retaˆngulo flutuando na superf´ıcie livre e determinemos a forc¸a de onda
atuante sobre ele segundo a hipo´tese de Froude-Krylov, isto e´, a forc¸a devida a onda inci-
dente. Segundo a hipo´tese de Froude-Krylov, as forc¸as hidrodinaˆmicas atuando em um corpo
flutuante devem-se unicamente a` ac¸a˜o da onda incidente. Despreza-se o efeito da difrac¸a˜o das
ondas incidentes.
22 Texto Preliminar, SH Sphaier
A forc¸a hidrodinaˆmica e´ calculada integrando-se as presso˜es devidas a`s ondas in-
cidentes atuando sobre a superf´ıcie imagina´ria dada pela posic¸a˜o instantaˆnea a
ser ocupada pelo corpo.
A pressa˜o e´ dada pela integral da Equac¸a˜o de Euler linearizada
p = −ρ∂φ
∂t
− ρgz (2.73)
e a forc¸a e´ enta˜o
F = Fd + Fe = −ρ
∫
S0
(
∂φ
∂t
+ gz
)
nds (2.74)
onde Fd representa a contribuic¸a˜o dinaˆmica
Fd = −ρ
∫
S0
(
∂φ
∂t
)
nds (2.75)
e Fe representa a contribuic¸a˜o esta´tica
Fe = −ρ
∫
S0
(gz)nds (2.76)
Admitindo que o potencial de velocidades deve-se unicamente a` onda incidente:
φ = φinc = iA(z) e
i(ωt−k0x) (2.77)
onde, para a´guas profundas:
A(z) =
ζ0g
ω
ek0z (2.78)
Enta˜o
pd = −ρ∂φinc
∂t
= −ρiA(z)iωei(ωt−k0x)
= ωρA(z)[cos(ωt− k0x) + i sin(ωt− k0x)] (2.79)
2.6.1 Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares
A figura (2.6) mostra o retaˆngulo na superf´ıcie livre. O centro do retaˆngulo encontra-se
localizado em x0, tem boca b, calado T e pontos extremos A,B,C e D. As normais voltadas
para fora do meio fluido esta˜o indicadas em cada trecho do contorno. O trecho S1 e´ limitado
pelos pontos A e B, S2 e´ limitado pelos pontos B e C e S3 pelos pontos C e D.
Texto Preliminar, SH Sphaier 23
Figura 2.6: Cancelamento em Formas Retangulares
24 Texto Preliminar, SH Sphaier
Observando a figura 2.6 podemos escrever a expressa˜o da forc¸a hidrodinaˆmica na forma
Fd = ωρ
∫ D
A
A(z) ei(ωt−k0x)nds (2.80)
Fd = ωρ
∫ B
A
A(z) ei(ωt−k0x)i(−dz)
+ωρ
∫ C
B
A(z) ei(ωt−k0x)k(dx)
+ωρ
∫ D
C
A(z) ei(ωt−k0x)(−i)(dz) (2.81)
Escrevendo as componentes em x e em z separadamente teremos:
Forc¸a Horizontal
Fd,x = ωρ
{∫ −T
0
A(z) ei[ωt−k0(x0−b/2)](−)dz −
∫ 0
−T
A(z) ei[ωt−k0(x0+b/2)]dz
}
(2.82)
Fd,x = ωρ
{
ei[ωt−k0(x0−b/2)] − ei[ωt−k0(x0+b/2)]
}∫ 0
−T
A(z)dz
= ωρ
{
ei[(ωt−k0x0)+k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)−k0b/2]
}∫ 0
−T
A(z)dz
= ωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0)
{
ei(k0b/2) − e−i(k0b/2)
}
= 2iωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) (2.83)
e assim
Fd,x = 2iωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) (2.84)
Como, para a´guas profundas
A(z) =
ζ0g
ω
ek0z (2.85)
resolvendo a integrac¸a˜o obtemos:
Fd,x = ρgζ0b[1− e−k0T ] sin(k0b/2)
(k0b/2)
[i ei(ωt−k0x0)] (2.86)
Texto Preliminar, SH Sphaier 25
Para ondas longas
[1− e−k0T ]→ 0 (2.87)
e a forc¸a anula-se.
Observemos o caso em que x0 e´ nulo. A forc¸a horizontal tem intensidade:
Fd,x,0 = ρgζ0b[1− e−k0T ] sin(k0b/2)
(k0b/2)
(2.88)
e assim pode ser escrita como:
Fd,x = Fd,x,0 [i e
i(ωt)] = Fd,x,0 e
i(ωt−pi/2) (2.89)
Podemos tambe´m observar que a forc¸a horizontal e´ regida pelo seno de ωt. A forc¸a horizontal
horizontal tem seu ma´ximo defasado do ma´ximo da onda. Vemos que a forc¸a horizontal e´
ma´xima quando temos um no´ com zero descendente em x0.
Forc¸a Vertical
Fd,z = ωρ
∫ C
B
A(z) ei(ωt−k0x)dx = ωρA(−T )
∫ x0+b/2
x0−b/2
ei(ωt−k0x)dx
= ωρA(−T ) i e
i(ωt−k0x)
k0
|x0+b/2x0−b/2
=
ωρA(−T )
k0
i{ ei[ωt−k0(x0+b/2)] − ei[ωt−k0(x0−b/2)]}
=
ωρA(−T )
k0
i{ ei[(ωt−k0x0)−k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)+k0b/2]}
=
ωρA(−T )
k0
i ei(ωt−k0x0){ e−ik0b/2 − eik0b/2} (2.90)
e finalmente
Fd,z = 2
ωρA(−T )
k0
ei(ωt−k0x0)