A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
98 pág.
Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

Pré-visualização | Página 6 de 16

sin(k0b/2) (2.91)
Podemos observar que a forc¸a vertical e´ regida pelo cosseno de ωt. Isto e´, a forc¸a vertical
passara´ por um ma´ximo sempre que a amplitude da onda passar por um ma´ximo em x0.
Lembrando que em grandes profundidades A(z) = ζ0 g e
k0z/ω enta˜o:
Fd,z = ρ g ζ0e
−k0T ei(ωt−k0x0)
sin(k0b/2)
k0/2
(2.92)
26 Texto Preliminar, SH Sphaier
Multiplicando e dividindo por b obtemos:
Fd,z = ρ g ζ0be
−k0T ei(ωt−k0x0)
sin(k0b/2)
k0b/2
= ρ g b ζ(t, x0) e
−k0T sin(k0b/2)
k0b/2
(2.93)
Esta expressa˜o indica que a forc¸a esta´ em fase com a elevac¸a˜o da onda em x0 e tem uma forma
similar a uma forc¸a hidrosta´tica como se o corpo afundasse o que a onda se eleva corrigida
de:
1. o efeito do decaimento da pressa˜o dinaˆmica com a profundidade
2. da variac¸a˜o da forma da onda e da pressa˜o com o cosseno de k0x
Caso a onda seja muito longa
k0b/2 = 2pib/2/L0 → 0, (2.94)
e−k0T = e−2piT/L0 → 1 (2.95)
e
sin(k0b/2)
k0b/2
=
sin(w)
w
→ 1 (2.96)
Assim,
Fd,z = ρ g ζ0b e
i(ωt−k0x0) = ρ g b ζ(t, x0) (2.97)
e a forc¸a atuante tem uma semelhanc¸a com uma forc¸a hidrosta´tica com variac¸a˜o de afunda-
mento igual a ζ(t) no ponto x0.
2.6.2 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em um Retaˆngulo
Acima obtivemos as seguintes expresso˜es para as forc¸as de Froude-Krylov sobre um retaˆngulo:
Fd,x = ρgb[1− e−k0T ] sin(k0b/2)
(k0b/2)
i ei(ωt−k0x0) (2.98)
Fd,z = ρ g ζ0be
−k0T ei(ωt−k0x0)
sin(k0b/2)
k0b/2
(2.99)
Vemos que ambas expresso˜es conte´m o termo
sin(k0b/2)
k0b/2
(2.100)
Texto Preliminar, SH Sphaier 27
Como
k0b
2
=
2pib
2L0
=
pib
L0
(2.101)
onde L0 e´ o comprimento da onda, a relac¸a˜o entre a boca do retaˆngulo e o comprimento da
onda podera´, por um efeito de forma acarretar que a amplitude da forc¸a seja nula. Assim as
forc¸as horizontal e vertical tera˜o amplitudes nulas se
b
L
= n n = 1, 2, .... (2.102)
2.6.3 Extensa˜o da expressa˜o de Froude-Krylov para o caso de um
Navio com fundo plano horizontal
Digamos que temos agora um navio com fundo chato em que as ondas se propagam na direc¸a˜o
do eixo longitudinal do navio. O problema e´ semelhante ao anterior, pore´m a boca torna-se
o comprimento do navio e ao longo da boca, para um x fixo a pressa˜o e´ constante. O sistema
de refereˆncia agora e´ Oxyz com Ox na direc¸a˜o longitudinal e Oy na direc¸a˜o transversal. O
navio tem boca B e comprimento L. A expressa˜o da forc¸a vertical e´ dada por:
Fd,z = ωρ
∫
S
A(z) ei(ωt−k0x)dxdy (2.103)
como a pressa˜o na˜o varia com a boca
Fd,z = ωρA(−T )B
∫
L
ei(ωt−k0x)dx (2.104)
A exponencial no tempo pode ser retirada da integral e enta˜o:
Fd,z = ωρA(−T ) eiωt
∫
L
B(x) eik0xdx
= ωρA(−T ) eiωt
∫
L
B(x)[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx (2.105)
No caso de um casco em forma de caixa B(x) e´ constante e enta˜o:
Fd,z = ωρA(−T )B eiωt
∫
L
[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx (2.106)
2.6.4 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas
Semisubmers´ıveis
Vimos que e´ poss´ıvel cancelar as forc¸as e ou os momentos hidrodinaˆmicos em estruturas
flutuantes do tipo retangular. Outro tipo de cancelamento se da´ para estruturas em que alguns
28 Texto Preliminar, SH Sphaier
membros afloram da superf´ıcie livre e outros tem suas extremidades localizadas totalmente
no meio fluido, quando as ondas sa˜o longas.
A figura 2.7 apresenta o esquema de uma estrutura semi-submers´ıvel em um plano. As colunas
esta˜o indicadas com C1 e C2 e o pontoon com PON. O fundo da estrutura esta´ na cota z2.
A parte superior do pontoon esta´ na cota z1. As bases das colunas tem comprimento l1 e o
comprimento do pontoon tem comprimento l2.
Figura 2.7: Cancelamento em Estruturas Semisubmers´ıveis
Texto Preliminar, SH Sphaier 29
A pressa˜o e´ composta por duas parcelas, esta´tica e dinaˆmica. A essas soma-se a pressa˜o
atmosfe´rica, que normalmente e´ assumida ser igual a zero.
p = patm + pest + pdin (2.107)
A pressa˜o esta´tica e´ dada por:
p = ρgz (2.108)
e com ela obte´m-se que a forc¸a de empuxo e´ o peso do volume imerso. Nas colunas a forc¸a
de empuxo e´:
E =
∫
S
pestndS =
∫
S
ρgz2(2l1 + l2)k−
∫
S
ρgz1(l2)k (2.109)
A pressa˜o na parte superior do pontoon e´ menor que na parte inferior. Assim o pontoon sofre
uma forc¸a para cima. A pressa˜o dinaˆmica e´ dada por:
pdin = −ρ∂φ(x, z, t)
∂t
= −ρ∂φ(x, 0, t)
∂t
ek0z (2.110)
e como o perfil da onda e´ dado por:
ζ = −1
g
∂φ(x, 0, t)
∂t
= ζ0 cos(ωt− k0x) (2.111)
enta˜o
∂φ(x, 0, t)
∂t
= −gζ0 cos(ωt− k0x) (2.112)
e
pdin = ρgζ0 cos(ωt− k0x)ek0z (2.113)
[Obs: o mais correto seria trabalhar com a forma exponencial, incluindo a parte imagina´ria
na ana´lise e somente no final pegar o mo´dulo e a fase. Entretanto as concluso˜es seriam as
mesmas]
Na situac¸a˜o em que a crista de uma onda longa passa pelo centro geome´trico da plataforma,
toda a plataforma estara´ sujeita a presso˜es como se estivesse toda ela em situac¸a˜o de crista. A
situac¸a˜o em que a crista passa pelo centro da estrutura localizado na posic¸a˜o x0, corresponde
a
Θ = ωt0 − k0x0 = ωt0 − 2pi
L
x0 = n · 2 · pi (2.114)
onde n e´ um inteiro. Se a onda e´ longa em relac¸a˜o ao tamanho da estrutura, e a crista se
localiza no centro da estrutura, enta˜o
l1 + l2 + l1
L
<< 1 (2.115)
30 Texto Preliminar, SH Sphaier
Θ = ωt− k0x = ωt− k0x0 − 2pix− x0
L
≈ 1− 2pix− x0
L
(2.116)
em toda a regia˜o da estrutura, e
pdin ≈ ρgζ0ek0z(1− 2pix− x0
L
) (2.117)
Com a pressa˜o dinaˆmica determina-se agora as forc¸as nas colunas e no pontoon
fC1 =
∫
l1
pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1 (2.118)
fC2 =
∫
l1
pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1 (2.119)
fPON =
∫
l2
pdin(z2)dx−
∫
l2
pdin(z1)dx ≈ l2ρgζ0(ek0z2 − ek0z1) (2.120)
Como z1 e z2 teˆm valores negativos e o mo´dulo de z2 e´ maior que o de z1 enta˜o a forc¸a
dinaˆmica no pontoon aponta para baixo.
Para efeito de projeto pode-se determinar mais precisamente as cotas e as dimenso˜es da
estrutura resolvendo-se as integrais das presso˜es exatamente. Inicialmente com o volume, a
a´rea de linha da´gua e o formato da estrutura determina-se a massa adicional e a frequeˆncia
natural. Tenta-se fazer com que este o per´ıodo natural na˜o venha a estar contido na faixa de
frequeˆncia de excitac¸a˜o do mar. A seguir determina-se o comprimento da onda cujo per´ıodo
coincida com o per´ıodo natural da estrutura. Para este comprimento ajusta-se as dimenso˜es
principais. Caso as premissas impostas a volume, a´rea de linha da a´gua e formato na˜o sejam
satisfeitas, faz-se um ajuste na geometria e retorna-se ao in´ıcio do problema.
Cap´ıtulo 3
Dinaˆmica de um Corpo Tridimensional
Esbelto em Ondas
3.1 Introduc¸a˜o
No cap´ıtulo anterior analisamos o problema de sec¸o˜es navais oscilando na superf´ıcie livre.
Observamos que as ondas incidentes atuando sobre o corpo se difratam, e as ondas formadas
desta composic¸a˜o, onda incidente e onda difratada, geram forc¸as sobre a sec¸a˜o. Essas forc¸as
obrigam o corpo a oscilar periodicamente e os movimentos oscilato´rios do corpo geram ondas.
Como reac¸a˜o, aparecem forc¸as atuando sobre o corpo dadas pela soma dos produtos: massa
adicional vezes acelerac¸a˜o e amortecimento vezes velocidade. Ale´m disto, os movimentos do
corpo provocam desiquil´ıbrio entre as forc¸as e momentos devidos a` ac¸a˜o da gravidade sobre
a massa do corpo e as presso˜es atuantes sobre a superf´ıcie do casco.
Neste cap´ıtulo vamos estender nossa ana´lise ao problema tridimensional. Vamos nos ater a`
ondas monocroma´ticas e corpos esbeltos.
O objetivo do presente estudo e´ o desenvolvimento das equac¸o˜es de movimento de um corpo
esbelto r´ıgido flutuante em movimento em presenc¸a de ondas.
Vamos equacionar