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Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

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o problema, de forma heur´ıstica, utilizando as concluso˜es obtidas ate´ agora.
O procedimento adotado e´ dividir o corpo em va´rias sec¸o˜es. Contruir uma expressa˜o para
o carregamento em cada sec¸a˜o, levando em considerac¸a˜o a ac¸a˜o da gravidade na massa da
sec¸a˜o, a pressa˜o hidrosta´tica, as presso˜es dinaˆmicas devidas a`s ondas incidente, difratada e
radiada, e a ine´rcia da sec¸a˜o. A seguir aplicamos as leis de conservac¸a˜o da quantidade de
movimento linear (segunda lei de Newton) e de forma similar a de quantidade de movimento
angular. Assim, construimos as equac¸o˜es de movimento descrevendo a dinaˆmica do corpo em
31
32 Texto Preliminar, SH Sphaier
ondas.
3.2 Movimentos vertical e de rotac¸a˜o em torno do eixo
lateral
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear indica:∫
L
δma =
∫
L
δp+
∫
L
δe+
∫
L
δfhidrodinamica (3.1)
onde:
a e´ a acelerac¸a˜o de cada sec¸a˜o, e e´ dada pela composic¸a˜o da acelerac¸a˜o linear, isto e´ a con-
tribuic¸a˜o do movimento vertical η3, e a contribuic¸a˜o do movimento angular de arfagem
η5
a = (η¨3 − xη¨5)k (3.2)
δm e´ a massa da sec¸a˜o
δp e´ o peso da sec¸a˜o
δp = δmgk (3.3)
δe e´ o empuxo da sec¸a˜o
δe = ρgB(η3 − xη5)k+ δe0 (3.4)
δfhidrodinamica e´ a forc¸a hidrodinaˆmica na sec¸a˜o, composta de um termo devido ao fenoˆmeno
de radiac¸a˜o e outro devido a` onda incidente e sua difrac¸a˜o
δfhidrodinamica = −a33(η¨3 − xη¨5)k− b33(η˙3 − xη˙5)k+ ρζ0fexck (3.5)
ζ0 e´ a amplitude da onda incidente.
a forc¸a de excitac¸a˜o e´ a soma da ac¸a˜o da onda incidente somada a` ac¸a˜o da onda difratada
ρζ0fexck = ρζ0fexc + fdifk (3.6)
Texto Preliminar, SH Sphaier 33
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular indica:∫
L
r× δma =
∫
L
r× δp+
∫
L
r× δe+
∫
L
r× δfhidrodinamica (3.7)
onde:
r ≈ xi.
Deve-se observar que δe0 6= δp em cada sec¸a˜o, pore´m∫
L
δe0 =
∫
L
δp (3.8)
∫
L
r× δe0 =
∫
L
r× δp (3.9)
3.2.1 Equac¸o˜es dos Movimentos Acoplados de Heave e Pitch
A partir do deslocamento de uma sec¸a˜o a uma distaˆncia x da origem do sistema pode-se obter
as velocidades e as acelerac¸o˜es da sec¸a˜o:
η(x) = η3 − x sin(η5) ≈ η3 − xη5 (3.10)
˙η(x) = η˙3 − xη˙5 (3.11)
¨η(x) = η¨3 − xη¨5 (3.12)
A partir das forc¸as acima mencionadas e com as expresso˜es dos deslocamentos, das velocidades
e das acelerac¸o˜es, pode-se determinar a carga por sec¸a˜o:
q(x) = −m(x) · η¨ − a33(x) · η¨ − b33(x) · η˙ + p(x) + e0(x)− ρgB(x) · η + ρζ0(finc + fdif )
= −m(x) · (η¨3 − xη¨5)− a33(x) · (η¨3 − xη¨5)− b33(x) · (η˙3 − xη˙5)
+p(x) + e0(x)− ρgB(x) · (η3 − xη5) + ρζ0(finc + fdif ) (3.13)
A integral do carregamento e´ a equac¸a˜o de equil´ıbrio de forc¸as e a integral da cargas mulplicada
pela distaˆncia ao centro e´ a equac¸a˜o de momentos:∫
L
q(x)dx = +
∫
L
[−m(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx
+
∫
L
[−a33(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx+
∫
L
[−b33(x) · (η˙3 − xη˙5)]dx
34 Texto Preliminar, SH Sphaier
+
∫
L
[p(x) + e0(x)]dx+
∫
L
[−ρgB(x) · (η3 − xη5)]dx+
∫
L
ρζ0[finc + fdif ]dx (3.14)∫
L
xq(x)dx = +
∫
L
x[−m(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx
+
∫
L
x[−a33(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx+
∫
L
x[−b33(x) · (η˙3 − xη˙5)]dx
+
∫
L
x[p(x) + e0(x)]dx+
∫
L
x[−ρgB(x) · (η3 − xη5)]dx+
∫
L
xρζ0[finc + fdif ]dx (3.15)
Desenvolvendo as duas equac¸o˜es, obtemos as equac¸o˜es dos movimentos acoplados no plano
vertical:
(A33 +M)η¨3 +B33η˙3 + C33η3 + (A35 −MXg)η¨5 +B35η˙5 + C35η5 = F3 (3.16)
(A53 −MXg)η¨3 +B53η˙3 + C53η3 + (A55 + Iyy)η¨5 +B55η˙5 + C55η5 = F5 (3.17)
onde os coeficientes hidrodinaˆmicos e hidrosta´ticos sa˜o dados por:
A33 =
∫
L
a33dx B33 =
∫
L
b33dx C33 = ρg
∫
L
B(x)dx
A35 = −
∫
L
x a33dx B35 = −
∫
L
x b33dx C35 = −ρg
∫
L
x B(x)dx
A53 = A35 B53 = B35 C53 = C35
A55 =
∫
L
x2 a33dx B55 =
∫
L
x2 b33dx C55 = ρg
∫
L
x2 B(x)dx
As forc¸as de excitac¸a˜o sa˜o dadas por:
F3 = ρζ0
∫
L
fexcdx (3.18)
F5 = ρζ0
∫
L
−xfexcdx (3.19)
onde:
fexc e´ a soma das contribuic¸o˜es devidas a` onda incidente finc e a` onda difratada fdif ,
Xg e´ a posic¸a˜o longitudinal do centro de gravidade.
Texto Preliminar, SH Sphaier 35
3.2.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento
Inicialmente vamos observar que ate´ enta˜o consideramos o navio como uma se´rie de sec¸o˜es,
calculamos as cargas nas sec¸o˜es e integramos ao longo do comprimento. Para determinac¸a˜o
das cargas detrminamos as massas adicionais, os amortecimentos e as forc¸as de restaurac¸a˜o
e de excitac¸a˜o em cada sec¸a˜o. Podemos fazer o mesmo atrave´s de me´todos tridimensionais.
Assim, A33, B33, C33, A35, B35, C35, A53, B53, C53, A55, B55, C55, F3 e F5 sa˜o calculados por
me´todos tridimensionais integrando-se as presso˜es dinaˆmicas e esta´ticas como anteriormente,
pore´m sobre uma superf´ıcie molhada do corpo na posic¸a˜o me´dia. As presso˜es dinaˆmicas sa˜o
obtidas da soluc¸a˜o de problemas tridimensionais. Obtemos como equac¸o˜es de movimento o
sistema.
(A33 +M)η¨3 +B33η˙3 + C33η3 + (A35 −MXg)η¨5 +B35η˙5 + C35η5 = F3 (3.20)
(A53 −MXg)η¨3 +B53η˙3 +C53η3 + (A55 + Iyy)η¨5 +B55η˙5 +C55η5 = F5 (3.21)
As equac¸o˜es acopladas que regem os movimentos vertical e de arfagem, sa˜o equac¸o˜es diferen-
ciais ordina´rias de segunda ordem a coeficientes constantes. Admitindo que a onda incidente
e´ harmoˆnica, e que a fase transiente ja´ tenha sido superada, o processo entra em regime per-
manente; as ondas difratadas tambe´m o sera˜o harmoˆnicas. As presso˜es atuantes sobre o corpo
tambe´m tera˜o um carater harmoˆnico e consequentemente as forc¸as e momentos de excitac¸a˜o
tera˜o o mesmo comportamento e neste regime permanente a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial,
que rege o movimento e´ descrita pela soluc¸a˜o particular.
Assim, as forc¸as e momentos sa˜o dados por Fi,0e
iω e as soluc¸o˜es por:
ηj = ηj,0e
iωt (3.22)
Substituindo (3.22) nas equac¸o˜es de movimento no plano longitudinal e definindo
P = C33 − ω2(A33 +M) + iωB33 (3.23)
Q = C35 − ω2(A35 −MXg) + iωB35 (3.24)
R = C53 − ω2(A53 −MXg) + iωB53 (3.25)
S = C55 − ω2(A55 + Iyy) + iωB55 (3.26)
obtemos
Pη3,0e
iωt +Qη5,0e
iωt = F3,0e
iωt (3.27)
36 Texto Preliminar, SH Sphaier
Rη3,0e
iωt + Sη5,0e
iωt = F5,0e
iωt (3.28)
Simplificando o termo eiω, temos um sistema de duas equac¸o˜es a duas inco´gnitas, cujas
soluc¸o˜es sa˜o dadas por:
η3,0 = (F3,0 · S − F5,0 ·Q)/DEN (3.29)
η5,0 = (P · F5,0 −R · F3,0)/DEN (3.30)
onde:
DEN = P · S −R ·Q (3.31)
3.3 Movimentos lateral, de rotac¸a˜o em torno do eixo
Oz e de jogo
Vamos equacionar o problema, de forma semelhante ao que fizemos no caso dos movimentos
vertical e de arfagem acoplados. O procedimento adotado e´ dividir o corpo em va´rias sec¸o˜es,
aplicar as leis de conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear (segunda lei de Newton) e
de forma similar a de quantidade de movimento angular para os movimentos de rotac¸a˜o e de
jogo.
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear indica:∫
L
δma =
∫
L
δfhidrodinamica (3.32)
onde:
a e´ a acelerac¸a˜o de cada sec¸a˜o, e e´ dada pela composic¸a˜o da acelerac¸a˜o linear, isto e´ a
contribuic¸a˜o do movimento vertical η2, e a contribuic¸a˜o do movimento de rotac¸a˜o η6
a = (η¨2 + xη¨6)k (3.33)
δm e´ a massa da sec¸a˜o
δfhidrodinamica e´ a forc¸a hidrodinaˆmica na sec¸a˜o, composta de um termo devido ao fenoˆmeno
de radiac¸a˜o e outro devido a` onda incidente e sua difrac¸a˜o
δfhidrodinamica = [−a22(η¨2 + xη¨6)− b22(η˙2 + xη˙6)− a24η¨4 − b24η˙4 + ρζ0fexc,2] j (3.34)
Assim,∫
L
δm(η¨2−Zgη¨4+xη¨6) =
∫
L
(−a22[η¨2+xη¨6]−b22[η˙2+xη˙6]−a24η¨4−b24η˙4+ρζ0fexc,2)dx (3.35)
Texto Preliminar, SH Sphaier 37
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular em torno do eixo Oz indica:
k ·
∫
L
r× [δm(η¨2