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Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

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+ xη¨6 − zm(x)η¨4)j] = k ·
∫
L
r× δfhidrodinamica (3.36)
De acordo com nossa aproximac¸a˜o, em que estamos considerando o corpo esbelto vale r ≈ xi,
e enta˜o
MXgη¨2 + Izzη¨6 − Ixzη¨4 =∫
L
[−a22(xη¨2 + x2η¨6)− b22(xη˙2 + x2η˙6)− a24xη¨4 − b24xη˙4 + ρζ0xfexc,2] dx (3.37)
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular em torno do eixo Oz indica:∫
L
(δIxxη¨4 − δmzgη¨2 − δmxzgη¨6)
= i ·
(∫
L
δmhidrodinamica +
∫
L
δmpeso +
∫
L
δmhidrostatica
)
(3.38)
ou ∫
L
(δIxxη¨4 − δmzgη¨2 − δmxzgη¨6)
=
∫
L
[−a44η¨4−b44η˙4−a42(η¨2+xη¨6)−b42(η˙2+xη˙6)]dx−GM
∫
L
δmgdxη4+
∫
L
fexc,4dx (3.39)
3.3.1 Equac¸o˜es de movimento no plano horizontal
(A22 +M)η¨2 +B22η˙2 + (A24 −MZg)η¨4 +B24η˙4 + (A26 +MXg)η¨6 +B26η˙6 = F2 (3.40)
(A42−MZg)η¨2+B42η˙2+(A44+Ixx)η¨4+B44η˙4+C44η4+(A46−Ixz)η¨6+B46η˙6 = F4 (3.41)
(A62 +MXg)η¨2 +B62η˙2 + (A64 − Ixz)η¨4 +B64η˙4 + (A66 + Izz)η¨6 +B66η˙6 = F6 (3.42)
sendo
38 Texto Preliminar, SH Sphaier
A22 =
∫
L
a22dx B22 =
∫
L
b22dx
A26 = A62 =
∫
L
x a22dx B26 = B62 =
∫
L
x b22dx
A66 =
∫
L
x2 a22dx B66 =
∫
L
x2 b22dx
A24 = A42 =
∫
L
a24dx B24 = B42 =
∫
L
b24dx
A44 =
∫
L
a44dx B44 =
∫
L
b44dx
A46 = A64 =
∫
L
x a24dx B46 = B64 =
∫
L
x b24dx
C044 = ρ g∆ ¯GMT
Iij - momentos e produtos de ine´rcia
M - massa do corpo
(Xg, Yg, Zg) - posic¸a˜o vertical do centro de gravidade
3.3.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento
De forma semelhante ao que foi feito para os movimentos acoplados vertical e de arfagem,
vamos supor que separamos a fase transiente, que ja´ estamos na fase permanente, onde as
ondas tem carater harmoˆnico, as forc¸as e os momentos de excitac¸a˜o tambe´m o tem, e o corpo
executa movimentos harmoˆnicos. Definindo
P = C22 − ω2(A22 +M) + iωB22 (3.43)
Q = C24 − ω2(A24 −MZg) + iωB24 (3.44)
R = C26 − ω2(A26 +MXg) + iωB26 (3.45)
S = C42 − ω2(A42 −MZg) + iωB42 (3.46)
T = C44 − ω2(A44 + Ixx) + iωB44 (3.47)
U = C46 − ω2(A46 − Ixz) + iωB46 (3.48)
V = C62 − ω2(A62 +MXg) + iωB62 (3.49)
W = C64 − ω2(A64 − Ixz) + iωB64 (3.50)
X = C66 − ω2(A66 + Izz) + iωB66 (3.51)
Texto Preliminar, SH Sphaier 39
e das equac¸o˜es de movimento no plano horizontal obtemos:
Pη2,0e
iω +Qη4,0e
iω +Rη6,0e
iω = F2,0e
iω (3.52)
Sη2,0e
iω + Tη4,0e
iω + Uη6,0e
iω = F4,0e
iω (3.53)
V η2,0e
iω +Wη4,0e
iω +Xη6,0e
iω = F6,0e
iω (3.54)
Simplificando o termo eiω e resolvendo o sistema obtemos
η2 = (F2 · T ·X +Q · U · F6 +R · F4 ·W − F2 · T ·R−W · U · F6 −X · F4 ·Q)/DEN (3.55)
η6 = (P · T · F6 +Q · F4 · V + F2 · S ·W − V · T · F2 −W · F4 · P − F6 · S ·Q)/DEN (3.56)
η4 = (P · F4 ·X + F2 · U · V +R · S · F6 − V · F4 ·R− F6 · U · P −X · S · F2)/DEN (3.57)
onde
DEN = P · T ·X +Q · U · V +R · S ·W − V · T ·R−W · U · P −X · S ·Q (3.58)
40 Texto Preliminar, SH Sphaier
Cap´ıtulo 4
Generalizac¸a˜o do Problema Dinaˆmico
4.1 Introduc¸a˜o
Vamos aqui, de forma abreviada, generalizar o problema para corpos de formas quaisquer.
Escreveremos as equac¸o˜es de movimento e posteriormente vamos analisar as simplificac¸o˜es
quando aparecem simetrias.
Posteriormente mostraremos a forma das equac¸o˜es de movimento para um corpo esbelto com
simetria longitudinal e dotado de velocidade de avanc¸o.
4.2 Corpos com Geometria Qualquer
A generalizac¸a˜o do problema com seis graus de liberdade e corpos de qualquer geometria toma
a forma:
([M] + [A])η¨ + [B]η˙ + [C]η = [F] (4.1)
Em que introduzimos
- a matriz de ine´rcia [M] = [Mij], onde seus termos definem a massa, os produtos e os
41
42 Texto Preliminar, SH Sphaier
momentos de ine´rcia
[M] = [Mij] =

M 0 0 0 MZg −MYg
0 M 0 −MZg 0 MXg
0 0 M MYg −MXg 0
0 −MZg MYg I44 −I45 −I46
MZg 0 −MXg −I54 I55 −I56
−MYg MXg 0 −I64 −I65 I66
 (4.2)
- a matriz de massa adicional [A] = [Aij]
[A] = [Aij] =

A11 A12 A13 A13 A15 A16
A21 A22 A23 A24 A25 A26
A31 A32 A33 A34 A35 A36
A41 A42 A43 A44 A45 A46
A51 A52 A53 A54 A55 A56
A61 A62 A63 A64 A65 A66
 (4.3)
- a matriz de amortecimento [B] = [Bij]
[B] = [Bij] =

B11 B12 B13 B13 B15 B16
B21 B22 B23 B24 B25 B26
B31 B32 B33 B34 B35 B36
B41 B42 B43 B44 B45 B46
B51 B52 B53 B54 B55 B56
B61 B62 B63 B64 B65 B66
 (4.4)
- a matriz de restaurac¸a˜o [C] = [Cij],
[C] = [Cij] =

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 C33 C34 C35 0
0 0 C43 C44 C45 0
0 0 C53 C54 C55 0
0 0 0 0 0 0
 (4.5)
com:
C33 = ρgSw (4.6)
C34 = C43 = ρgSy (4.7)
C35 = C53 = ρgSx (4.8)
C44 =Mg(zb − zg) + ρgSyy (4.9)
Texto Preliminar, SH Sphaier 43
C45 = C54 = ρgSxy (4.10)
C55 =Mg(zb − zg) + ρgSxx (4.11)
observando que os coeficientes restantes Cij sa˜o nulos, e
Sx =
∫
Sw
xdxdy (4.12)
Sy =
∫
Sw
ydxdy (4.13)
Sxx =
∫
Sw
x2dxdy (4.14)
Syy =
∫
Sw
y2dxdy (4.15)
Sxy =
∫
Sw
xydxdy (4.16)
zg - posic¸a˜o vertical do centro de gravidade
zb - posic¸a˜o vertical do centro de carena
- o vetor forc¸a de excitac¸a˜o generalizado, composto de treˆs componentes de forc¸a e treˆs
componentes de momentos, [F] = [Fi]
Deve ser observado que para corpos sem simetria as matrizes de massa adicional e deamortec-
imento sa˜o cheias.
Para corpos com simetria longitudinal, como navios, as matrizes de massa adicional e de
amortecimento sa˜o dadas por:
[A] = [Aij] =

A11 0 A13 0 A15 0
0 A22 0 A24 0 A26
A31 0 A33 0 A35 0
0 A42 0 A44 0 A46
A51 0 A53 0 A55 0
0 A62 0 A64 0 A66
 (4.17)
[B] = [Bij] =

B11 0 B13 0 B15 0
0 B22 0 B24 0 B26
B31 0 B33 0 B35 0
0 B42 0 B44 0 B46
B51 0 B53 0 B55 0
0 B62 0 B64 0 B66
 (4.18)
44 Texto Preliminar, SH Sphaier
em que
Aij = Aji (4.19)
Bij = Bji (4.20)
Alem disto, para corpos com simetria em relac¸a˜o ao plano longitudinal:
C34 = C43 = 0 (4.21)
No caso de corpos alongados, como navios, podemos assumir que o acoplamento do movimento
longitudinal, na direc¸a˜o 1, com os movimentos nas direc¸o˜es 3 e 5 seja pequeno e as matrizes
de massa adicional e de amortecimento tomam a forma:
[A] = [Aij] =

A11 0 0 0 0 0
0 A22 0 A24 0 A26
0 0 A33 0 A35 0
0 A42 0 A44 0 A46
0 0 A53 0 A55 0
0 A62 0 A64 0 A66
 (4.22)
[B] = [Bij] =

B11 0 0 0 0 0
0 B22 0 B24 0 B26
0 0 B33 0 B35 0
0 B42 0 B44 0 B46
0 0 B53 0 B55 0
0 B62 0 B64 0 B66
 (4.23)
e retornamos a`s equac¸o˜es obtidas anteriormente.
4.3 Um Exemplo
Como exemplo apresentamos nas figuras 4.1, 4.2, 4.3, 4.44.54.6 e 4.7 as ine´rcias adicionais, os
amortecimentos, as forc¸as de excitac¸a˜o e os RAOs, em forma adimensional para os movimentos
3 (heave) e 5 (pitch) de um VLCC, calculados por um me´todo tridimensional:
Â33 = A33/(ρL
3
pp) (4.24)
B̂33 = B33/(ωρL
3
pp) (4.25)
Texto Preliminar, SH Sphaier 45
Periodos em Segundos
25 50 75 100
0
0.0025
0.005
0.0075
0.01
0.0125
0.015
0.0175
0.02
A33
B33
A33, B33
VLCC
Figura 4.1: Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional I
Â35 = A35/(ρL
4
pp) (4.26)
B̂35 = B35/(ωρL
4
pp) (4.27)
Â55 = A55/(ρL
5
pp) (4.28)
B̂55 = B55/(ωρL
5
pp) (4.29)
F̂3 = F3/(ρgL
2
pp) (4.30)
F̂5 = F5/(ρgL
3
pp) (4.31)
A soluc¸a˜o deste problema para diversas frequeˆncias de onda gera as seis func¸o˜es de trans-
fereˆncia para os deslocamentos do corpo. E´ comum chamarmos de RAO (Operador de Am-
plitude de Resposta), como ja´ citamos anteriormente.
46 Texto Preliminar, SH Sphaier
Periodos em Segundos
25 50 75 100
A35
B35
A35, B35
VLCC
Figura 4.2: Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional II
Periodos em Segundos
25 50 75 100
A55
B55
A55, B55
VLCC
Figura 4.3: Ine´rcia Adicional e Amortecimento