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Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

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na Forma Adimensional III
Texto Preliminar, SH Sphaier 47
Periodos em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15 Força de Excitação
de Heave
Figura 4.4: Forc¸a de Excitac¸a˜o Vertical
Periodos em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018 Momento de Excitação
de Pitch
Figura 4.5: Momento de Excitac¸a˜o
48 Texto Preliminar, SH Sphaier
Periodo em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.25
0.5
0.75
1
RAO de Heave
Figura 4.6: Rao de Heave
Periodo em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
RAO de Pitch
Figura 4.7: Rao de Pitch
Cap´ıtulo 5
Navio em Mar Irregular
5.1 Introduc¸a˜o
Determinamos nos cap´ıtulos anteriores a func¸a˜o de resposta do navio em ondas regulares, que
chamamos de RAOs. As ondas consideradas foram sempre ondas monocroma´ticas. Investi-
garemos agora a resposta do navio em mar irregular.
5.2 Transformada de Fourier da Equac¸a˜o de Movimento
A equac¸a˜o de movimento do navio e´ dada por:
(M + A)x¨+Bx˙+ Cx = f(t) (5.1)
A esta equac¸a˜o aplicamos a transformada de Fourier, definida por:
F{g(t)} ≡ 1
2pi
∫ ∞
−∞
eiωtg(t)dt = G(ω) (5.2)
Entretanto, vamos inicialmente considerar um intervalo T das ondas atuantes. Retiramos do
sinal original ζ(t) a func¸a˜o ζT (t) que e´ igual a ζ(t) no intervalo T e fora deste intervalo e´ nula.
Estas ondas va˜o provocar forc¸as sobre o navio que sera˜o nulas fora do intervalo T e iguais as
forc¸as do mar no intervalo T . A transformada de func¸o˜es neste intervalo e´ dada por:
F{fT (t)} ≡ 1
2pi
∫ ∞
−∞
eiωtfT (t)dt = GT (ω) (5.3)
49
50 Texto Preliminar, SH Sphaier
Ale´m disto, para as derivadas vale:
F{g˙(t)} = iωG(ω) (5.4)
F{g¨(t)} = −ω2G(ω) (5.5)
enta˜o
F{g˙T (t)} = iωGT (ω) (5.6)
F{g¨T (t)} = −ω2GT (ω) (5.7)
Aplicando a` equac¸a˜o do movimento, teremos:
−ω2(M + A)XT + iωBXT + CXT = FT (5.8)
{−ω2(M + A) + iωB + C}XT = FT (5.9)
onde
XT = XR,T + iXI,T (5.10)
FT = FR,T + iFI,T (5.11)
5.3 O Espectro de Resposta
Multiplicando pelo conjugado
{−ω2(M + A) + iωB + C}{−ω2(M + A)− iωB + C}{XR,T + iXI,T}{XR,T − iXI,T}
= {FR,T + iFI,T}{FR,T − iFI,T} (5.12)
X2R,T +X
2
I,T =
F 2R,T + F
2
I,T
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.13)
ou
XTX
∗
T =
FTF
∗
T
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.14)
dividindo pelo tempo T e fazendo o limite quando T →∞ temos:
lim
T→∞
2piXTX
∗
T
T
= lim
T→∞
2piFTF
∗
T
T
1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.15)
pore´m limT→∞
2piXTX
∗
T
T
e´ o espectro da func¸a˜o x(t) e limT→∞
2piFTF
∗
T
T
e´ o espectro das forc¸as.
Enta˜o
Sxx = Sff
1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.16)
Texto Preliminar, SH Sphaier 51
Por outro lado, ha´ uma relac¸a˜o similar entre o espectro das forc¸as e o espectro do sinal
elevac¸a˜o da onda na origem.
Sff = Sζζ |F (ω)|2 (5.17)
logo
Sxx = Sζζ |F (ω)|2 1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.18)
5.4 Espectro de Resposta de um Sistema Oceaˆnico em
um Mar Irregular
A previsa˜o das respostas de um corpo flutuante en ondas, tais como movimentos e´ baseada
na equac¸a˜o 5.18 e o trabalho pioneiro no assunto foi desenvolvido por St. Denis e Pierson em
1953. Desde enta˜o tem sido amplamente aplicado para va´rios problemas de comportamento
de estruturas flutuantes no mar. Entretanto cabe ressaltar em que condic¸o˜es foi desenvolvido:
- As ondas do mar sa˜o consideradas como um processo estoca´stico estaciona´rio, normal-
mente distribu´ıdo com me´dia zero.
- A func¸a˜o de densidade espectral das ondas do mar e das respostas da estrutura sa˜o
consideradas de banda estreita.
- As func¸o˜es de densidade de probabilidade e o espectro de excitac¸a˜o e de respostas sa˜o
consideradas como independentes do tempo.
- O princ´ıpio de superposic¸a˜o e´ aplica´vel para a previsa˜o das respostas em mar irregular.
- As respostas em ondas irregulares podem ser representadas pela soma de respostass da
estrutura em ondas regulares.
Um sistema linear mante´m relac¸o˜es entre respostas e excitac¸a˜o de tal maneira que:
- a resposta do sistema a uma excitac¸a˜o monocroma´tica (onda regular com uma u´nica
frequeˆncia e amplitude constante) e´ monocroma´tica
- se a varia´vel aleato´ria que representa a excitac¸a˜o do sistema segue um processo gaussiano
a resposta tambe´m sera´ um processo gaussiano
- a partir das respostas do sistema para uma onda regular (monocroma´tica) variando
sua frequeˆncia, construimos a func¸a˜o de resposta do sistema (func¸a˜o de transfereˆncia,
fator de amplificac¸a˜o) que e´ a relac¸a˜o entre a amplitude da resposta e a amplitude da
excitac¸a˜o para as va´rias frequeˆncias
52 Texto Preliminar, SH Sphaier
- A func¸a˜o de densidade espectral da resposta pode ser obtida a partir da func¸a˜o de
densidade espectral da excitac¸a˜o atrave´s de:
SY Y (ω) = SXX(ω)|H(ω)|2 (5.19)
onde |H(ω)| e´ a func¸a˜o de resposta do sistema a ondas regulares
Em Engenharia Oceaˆnica |H(ω)| e´ frequentemente chamado de RAO que sa˜o as iniciais
da expressa˜o ingleˆsa Response Amplitude Operator.
5.5 Movimentos de um Corpo Flutuante no Mar
O estudo de um corpo flutuante tem como interesse respostas como movimentos, velocidades
e acelerac¸o˜es de pontos do corpo, ale´m de outras varia´veis que decorrem dos movimentos.
Com os movimentos pode-se calcular as presso˜es sobre o casco, cargas, etc. Inicialmente
consideremos os movimentos do centro do sistema localizado no corpo. Assim, estas respostas
formam um vetor de 6 posic¸o˜es.
η =
{
ηl
ηa
}
(5.20)
onde
ηl =

η1
η2
η3
 e ηa =

η4
η5
η6
 (5.21)
- η1,2,3 movimentos lineares (surge, sway, heave)
- η4,5,6 movimentos angulares (roll, pitch yaw) e
- ηi = ηi,0 e
iδi
- ηi,0 amplitude do movimento i
- δi aˆngulo de fase do movimento i
Uma vez que a excitac¸a˜o em mar regular e´ harmoˆnica e da forma F = F0 e
iωt e o modelo,
todas as respostas tambe´m o sera˜o:
η = η¯ eiωt = η0 e
iδ eiωt (5.22)
Assim:
Texto Preliminar, SH Sphaier 53
- velocidade = (d/dt) (deslocamento)
v =
d
dt
η = η˙ = iωη = v¯ eiωt (5.23)
- acelerac¸a˜o = (d/dt) (velocidade)
a =
d2
dt2
η = η¨ = −ω2η = a¯ eiωt (5.24)
Passemos agora a partir dessas respostas a` determinac¸a˜o de espectros de deslocamentos,
velocidades e acelerac¸o˜es e ao estudo de eventos de seakeeping. Os espectros de deslocamentos,
velocidades e acelerac¸o˜es em mar irregular sera˜o da forma
SXX(ω) = |RAOX(ω)|2Sζζ(ω) = X¯X¯∗Sζζ(ω) (5.25)
SX˙X˙(ω) = |RAOX˙(ω)|2Sζζ(ω) = ¯˙X ¯˙X∗Sζζ(ω) = V¯ V¯ ∗Sζζ(ω) = ω2|RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) (5.26)
SX¨X¨(ω) = |RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) = ¯¨X ¯¨X∗Sζζ(ω) = A¯A¯∗Sζζ(ω) = ω4|RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) (5.27)
onde: V¯ = ¯˙X, A¯ = ¯¨X, ¯˙X∗ = V¯ ∗ e ¯¨X∗ = A¯∗, e X¯∗, V¯ ∗ e A¯∗ sa˜o os conjugados de X¯, V¯ e A¯
respectivamente.
5.5.1 Deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em um ponto do
corpo
Da mecaˆnica sabemos que o deslocamento de um ponto qualquer de um corpo pode ser
obtido se conhecemos o deslocamento linear de um ponto e a rotac¸a˜o em torno daquele ponto.
Admitindo pequenos deslocamentos esta expressa˜o e´ da forma:
d = ηl + ηa ×R (5.28)
onde
d =

dx
dy
dz
 (5.29)
e´ o vetor dos deslocamentos do ponto
ηl =

η1
η2
η3
 (5.30)
54 Texto Preliminar, SH Sphaier
e´ o vetor dos deslocamentos lineares, isto e´, ”surge”, ”sway”e ”heave”
ηa =

η4
η5
η6
 (5.31)
e´ o vetor dos deslocamentos angulares, isto e´, ”roll”, ”pitch”e ”yaw”
d =

x
y
z
 (5.32)
sa˜o as coordenadas do ponto em selec¸a˜o ao sistema fixo no corpo,
A hipo´tese de pequenos deslocamentos permite-nos