lista de vetores, professor Marcelo

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PRIMEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS – VETORES
GEOMETRIA ANALI´TICA
Exerc´ıcio 1. Sejam A, B, C, D e E, pontos. Prove que:
(1)
−−→
AB =
−−→
CD =⇒
−→
AC =
−−→
BD (2)
−−→
BC =
−→
AE =⇒
−−→
EC =
−−→
AB
Exerc´ıcio 2. Seja −→u um vetor. Prove que:
(1) − (−−→u ) = −→u . (2) −−→u = −→u =⇒ −→u =
−→
0 .
Exerc´ıcio 3. Sejam A e B, pontos, e −→u e −→u , vetores. Prove que:
(1) (A+−→u ) + (−−→u ) = A.
(2) (A+ (−−→u )) +−→v = A+ (−(−→u +−→v )).
(3) A+−→u = B +−→v =⇒ −→u =
−−→
AB +−→v .
Exerc´ıcio 4. Determine
−−→
AB em func¸a˜o de −→u , sabendo que A+ (−−→u ) = B +−→u .
Exerc´ıcio 5. Determine a relac¸a˜o entre −→u e −→v , sabendo que, para um dado ponto A, (A+−→u )+−→v = A.
Exerc´ıcio 6. Dados os pontos A, B e C, determine X, sabendo que (A+
−−→
AB) +
−−→
CX = C +
−−→
CB.
Exerc´ıcio 7. Prove que, se B = A+
−−→
DC, enta˜o B = C +
−−→
DA.
Exerc´ıcio 8. Prove que
−−→
BC −
−−→
BA =
−→
AC.
Exerc´ıcio 9. Prove que, se
−−→
AB +
−→
AC =
−−→
BC, enta˜o A = B.
Exerc´ıcio 10. Ache a soma pedida em cada figura, justificando sua resposta:
(1) A+
−→
AC +
−→
AE +
−−→
DO
A
B C
D
EF
O
(2) A+
−−→
AB +
−−→
AD +
−→
AE
A B
CD
E F
GH
Exerc´ıcio 11. Sendo ABACDEF um hexa´gono regular de centro O (como o da figura do item 1 da
questa˜o anterior), prove que
−−→
AB +
−→
AC +
−−→
AD +
−→
AE +
−→
AF = 6
−→
AO.
Exerc´ıcio 12. Prove que as diagonais de um paralelogramo teˆm o mesmo ponto me´dio.
Exerc´ıcio 13. Num triaˆngulo △ABC, sejam M,N,P os pontos me´dios dos lados AB, BC e AC,
respectivamente. Mostre que
−−→
AN +
−−→
BP +
−−→
CM =
−→
0 .
Exerc´ıcio 14.
Resolva as equac¸o˜es na inco´gnita −→x :
(1) 2−→x − 3−→u = 10(−→x +−→v )
(2) −→x + 2−→a = −−→x + 7−→a
(3) −→x + 4
−→
i = −(
−→
i −−→x )
(4) −→x −−→v = 1
2
(−→x − 2−→v )
Exerc´ıcio 15. Sejam A, B e C treˆs pontos quaisquer, com A 6= B. Prove que:
X e´ um ponto do segmento AB ⇐⇒
−−→
CX = α
−→
CA+ β
−−→
CB, com α ≥ 0, β ≥ 0 e α+ β = 1.
Exerc´ıcio 16. Considere um triaˆngulo △ABC, e sejam
−→
CA = −→u ,
−−→
CB = −→v e −→w = −→u − 2−→v . Calcule
α real para que o ponto X = C + α−→w pertenc¸a a` reta AB.
Date: 2015.1.
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