WEB AULA 1 e 2 de Metodos Quantitativos. PDF

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WEB AULA 1
Unidade 1 – INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA E ORGANIZAÇÃO DE
DADOS ESTATÍSTICOS
PALAVRAS-CHAVE: Estatística Descritiva, Dados Estatísticos, População, Amostra,
Variáveis Quantitativas e Qualitativas, Gráficos.
RESUMO: Nesta web aula serão apresentadas algumas definições básicas da
estatística descritiva, os conceitos de população, amostra e as principais formas de
apresentação de dados estatísticos em forma de gráficos que podem representar, de
maneira sintética, as informações sobre o comportamento de variáveis numéricas
levantadas por meio de processos de amostragem.
A) ANÁLISE ESTATÍSTICA DE DADOS
ESTATÍSTICA: A estatística é a ciências dos dados. Ela nos
fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados
para a utilização deles na tomada de decisões. É objetivo da estatística: extrair
informação de um conjunto de dados para obter uma melhor compreensão das
situações que representam.
Para melhor compreendermos os propósitos da Estatística, é necessário conhecermos
as algumas definições básicas:
Estatística Descritiva: Os objetivos da estatística descritiva envolvem coleta,
organização e descrição de um conjunto de dados quantitativos ou qualitativos. Com
a construção de gráficos, tabelas e com o cálculo de medidas com base em uma
coleção de dados numéricos, poderemos compreender melhor o comportamento da
variável expressa na amostra estudada.
População: É a totalidade dos elementos, objetos ou pessoas que estão sendo
considerados inicialmente.
Amostra: É todo subconjunto de unidades retiradas de uma população para obter a
informação desejada. Uma amostra tem que representar e ter as mesmas
características da população original, portanto, a amostra só traz informação sobre a
população da qual foi retirada. Em outras palavras, a amostra é parte da população
que é selecionada para análise. A preocupação central é que a amostra
seja representativa da população inicial.
Atributos: Quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o
levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados
genericamente de estatística de atributo.
Variável: É uma condição ou característica das unidades da população. Por exemplo,
a idade das pessoas residentes no Brasil, ou a classe social são variáveis. As variáveis
são classificadas em dois tipos: Qualitativas e Quantitativas.
Variáveis qualitativas ou por atributos: Quando os dados são distribuídos em
categorias mutuamente exclusivas. Seus valores são expressos por atributos: São
exemplos de variáveis qualitativas: sexo, cor da pele, cidade de nascimento, tipo
sanguíneo (O, A, B, AB), etc. Estas variáveis são classificadas em dois tipos:
Nominal (exemplo: gênero - masculino e feminino);
Ordinal (exemplo: classe social: A, B, C, D, E).
Variáveis quantitativas ou numéricas: Quando os dados são de caráter
nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica.
São exemplos de variáveis quantitativas: idade, estatura, taxa de colesterol, etc. As
variáveis quantitativas ou numéricas são classificadas em dois tipos:
Variável Discreta: A variável discreta só pode assumir apenas valores inteiros.
São exemplos de variáveis discretas: número de filhos (0, 1, 2, 3, etc.), número de
estudantes em uma sala de aula, etc.
Variável Contínua: A variável contínua pode assumir qualquer valor num dado
intervalo. Exemplo de variável contínua: peso de uma pessoa (60,50 Kg).
Dados Brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente
organizados. É difícil formarmos uma ideia exata do comportamento do grupo como
um todo a partir de dados não ordenados ou dados brutos.
Exemplo: 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41, 50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60,
51.
ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados brutos (de forma crescente ou
decrescente).Exemplo: 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57,
58, 58, 60, 60
Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital,
procure pelo livro: LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2ª Edição. São
Paulo: Editora Pearson, 2008 e leia o capítulo 1 da página 2 a 6.
B) APRESENTAÇÃO DE DADOS EM GRÁFICOS
Gráficos ajudam a visualizar a distribuição das variáveis. Nesta etapa serão
apresentadas as formas de apresentar dados em gráficos, seguindo as normas
nacionais ditadas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística (IBGE). Todo gráfico deve apresentar título e escala. O títulodeve ser
colocado abaixo do gráfico. As escalas devem ser crescentes da esquerda para a
direita e de baixo para cima.
WEB AULA 2 – NÚMEROS ÍNDICES
PALAVRAS-CHAVE: números índices; números índices simples, números índices
compostos, deflação de dados.
RESUMO: Esta web aula possui o objetivo de apresentar os
principais conceitos relacionados a números-índices, empregados nas análises de
dados distribuídos sequencialmente no tempo.
A) NÚMEROS ÍNDICES
A análise de evolução de preços, quantidades produzidas ou vendidas e valores ao
longo do tempo podem requerer diferentes procedimentos e técnicas. Números-
índices representam medidas estatísticas utilizadas para resumir modificações em
variáveis econômicas, ou um grupo de variáveis, facilitando o estudo da evolução de
dados quantitativos ao longo do tempo, podendo assumir diferentes formas,
como números-índices simples ou compostos, estes últimos empregados na
análise conjunta de diferentes dados.
Alguns números-índices podem ser chamados de índices econômicos quando são
utilizados para medir variações ocorridas ao longo do tempo das variáveis de preços,
quantidade e valor associados ao nível de custo de vida ou de preços praticados em
uma economia. No Brasil, os índices mais conhecidos são o Índice Geral de Preço,
calculado pela Fundação Getúlio Vargas (FGV) e o Índice Nacional de Preços ao
Consumidor (INPC), calculado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE).
NÚMEROS-ÍNDICES SIMPLES
Números-índices simples podem ser de preços, quantidades ou valores, conforme
será discutido a seguir.
Índice Relativo de Preços (Ip): Expressam a relação entre o preço de um único
produto em um período determinado e o de outro período, comumente denominado
período básico ou de referência.
O índice de preço relativo do período b (Pb), em relação ao do período a (Pa) pode
ser definido pela seguinte equação:
Exemplo: Se um produto custava R$ 40,00 em 2008 e passou a custar R$
50,00 em 2009, o índice de preço relativo de preço entre 2009 e 2008 é expresso
como:
Em outro exemplo, considere os preços médios unitários da produção de certo
produto durante os anos de 2004 a 2009 apresentados na Tabela 1. Adotando o ano
de 2004 como base, pode-se determinar os índices de preços relativos
correspondentes aos anos de 2007 e 2008.
Usando a fórmula anterior, pode-se calcular o preço relativo de 2007 e 2008,
adotando o ano de 2004 como base:
Índice Relativo de Quantidades (Iq): Assim como podemos comparar os preços
de bens/produtos, podemos também fazê-lo em relação a quantidades, quer sejam
elas produzidas, vendidas ou consumidas. Se fizermos qb= quantidade de um produto
na época atual e qa= quantidade desse mesmo produto na no ano base, a quantidade
relativa será:
Exemplo: Uma empresa produziu 46 toneladas de aço em 2011 e 69
toneladas em 2012. A quantidade relativa será calculada tomando-se o ano de 2011
como base:
Ou seja, no ano de 2012 esta empresa aumentou sua produção em 50% (150-
100) em relação a 2011 (ano base).
Índice Relativo de Valor (Iv): Se p for o preço de determinada mercadoria em
certa época e q a quantidade produzida, vendida ou consumida desse mesmo produto
na mesma época, então, o produto p x q será denominado valor total de produção
(vt), de vendas ou de consumo. Sendo pte qtrespectivamente, o preço e a quantidade
de um artigona época atual e po e qo, o preço e a quantidade do mesmo artigo no
ano base, definimos como índice relativo de valor (Iv) a razão:
Onde: vt – valor total na data atual, v0 – valor total na data de ano base.
Exemplo: Uma empresa vendeu, em 2010, 1000 unidades de um produto ao preço
unitário de R$ 500,00. Em 2011, vendeu 800 unidades do mesmo produto ao preço
unitário de R$ 600,00. O valor relativo da venda em 2011 foi de:
Em 2011, o valor das vendas foi 4% (96-100) inferior ao de 2010.
Exemplo: Números-índices simples – No final do ano de 2009, certa indústria
estudava a evolução de suas vendas ao longo dos seis últimos anos. As quantidades
vendidas, os preços praticados e o valor das vendas de cada ano podem ser
visualizados na Tabela 2.
Tabela 2 – Vendas Anuais da Empresa Sejam Bem Vindos LTDA.
Fonte: Adaptação de Bruni (2007).
Com base na tabela anterior, a empresa constatou, obviamente, que quantidades,
preços e, principalmente, os valores das vendas cresceram. Porém, gostaria de
aprofundar esta análise, detalhando a evolução relativa dos crescimentos e,
principalmente, o efeito sobre o valor das vendas. Uma solução bastante simples para
facilitar a análise envolveria a construção de números-índices, onde a empresa
poderia analisar a evolução de suas vendas ao longo do tempo.
Assim, uma forma de analisar a evolução e as variações ocorridas nos dados
apresentados seria construir uma tabela formada por números-índices. Neste caso,
como se trata de analisar a evolução de um único produto, os números-índices são
chamados de números-índices simples.
Para construir as séries para preços, quantidade e valores, basta dividir todos os
valores de uma no escolhido mês base, expressando os valores obtidos em
porcentual, ou seja, multiplicados por 100%.
Por exemplo, empregando o ano de 2004 como ano base, o índice simples de
quantidade (Iq) para o ano de 2005 seria igual a (55/52)*100%, que resulta no
valor de 106%. O índice simples de preço (Ip) para o ano de 2007 seria igual
a (271/222)*100%, que resulta em 122%. No ano base (2004), os valores de
todos os índices seriam iguais a 100%. A Tabela 3 apresenta os números-índices
para os demais dados, obtidos de maneira similar as descritas.
Analisando os valores apresentados na Tabela 3, a indústria facilmente perceberia
que a evolução dos valores de vendas é influenciada pela evolução das quantidades e
preços, sendo mais evidente a evolução das quantidades.
NÚMEROS-ÍNDICES COMPOSTOS
Números-índices compostos devem ser utilizados quando a evolução do preço de
mais de um produto ou serviço precisa ser considerada. Diferentes cálculos com
múltiplos preços, quantidades ou valores podem ser considerados.
Índice de Laspeyres ou método do ano base: Dentre os métodos de números-
índices compostos, o índice de Laspeyres ou método do ano base é um dos
métodos para cálculo de números-índices mais utilizado na área de gestão
coorporativa. Ao aplicar este método, considera-se um dos anos como ano base com
preços apresentados como p0 e quantidades apresentadas como q0. Para o ano
analisado assumem-se preços no ano, apresentados como pn, e quantidades,
apresentadas como qn.Pode ser apresentado como índice de Laspeyres de preços,
quantidades ou valores conforme veremos a seguir.
Índice de preços de Laspeyres (ILp): Analisa a variação ponderada dos preços,
empregando a quantidade do ano base como fator de ponderação, conforme dado
pela fórmula a seguir:
Para ilustrar cálculos com índices de Laspeyres, considere o exemplo das vendas de
quatro produtos distintos apresentados na Tabela 4.
O índice de preços de Laspeyres pondera os cálculos dos valores, empregando a
quantidade de vendas do ano-base. Vejamos o cálculo na Tabela 5.
Portanto, dividindo os somatórios de pn*q0 pelo valor no ano base (SP0 * Q0 = R$
31,00), pode-se calcular os índices de preços de Laspeyres, conforme apresentado
na Tabela 5.
Índice de quantidade de Laspeyres (ILq): O índice de quantidades de Laspeyres
analisa a variação ponderada das quantidades, empregando os preços no ano
base como fator de ponderação.
Os cálculos dos Índices de quantidade de Laspeyres (ILq) para o exemplo
apresentado na Tabela 4 são apresentados na Tabela 6.
Portanto, dividindo os somatórios de p0*qn pelo valor no ano base (SP0 * Q0 = R$
31,00), pode-se calcular os índices de quantidade de Laspeyres conforme
apresentado na Tabela 6.
Índice de valor de Laspeyres (ILv): O índice de valor de Laspeyres analisa a
variação nos valores, comparando o valor do ano em questão com o valor do ano-
base.
Podemos calcular o índice de valor de Laspeyres (ILv) dividindo o valor (V) do ano
de 2013 pelo valor do ano-base 2012, igual a R$31,00, conforme apresentado na
Tabela 7.
WEB AULA 1
Unidade 2 – MEDIDAS ESTATÍSTICAS: MEDIDAS DE TENDÊNCIA
CENTRAL
O nosso objetivo aqui é a determinação e de medidas que ofereçam o posicionamento
da distribuição dos valores de uma variável que desejamos analisar. São os cálculos
estatísticos que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da
distribuição de dados, sendo que as medidas de posição mais utilizadas são: média
aritmética, média ponderada, moda e mediana.
Média Aritmética (): A medida de tendência central mais comum para um conjunto
de dados é amédia aritmética. A média aritmética amostral de um conjunto de
dados é o quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos
valores, conforme indicado pela fórmula abaixo:
Onde: xi são os valores da variável e n o número de valores.
Exemplo 1: Encontrar a média aritmética para um conjunto de observações: 5, 1, 6,
2, 4. Solução:Temos cinco observações (n=5), então:
Quando a amostra é muito grande e os dados são discretos, podem ocorrer valores
repetidos. Nesse caso, é razoável organizar os dados em uma tabela de distribuição
de frequências e trabalharmos comdados agrupados.
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência, utilizaremos
a média aritmética dos valores x1, x2, x3,....xn ponderados pelas respectivas
frequência absolutas f1, f2, f3,..., fn, Assim:
“Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado
intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média
aritmética ponderada por meio da fórmula” anterior, onde xi é o ponto médio da
classe (AMAZONAS, 2013, p. 16).
Exemplo (Cálculo da média com intervalos de classes): A Tabela 1 apresenta
uma distribuição de frequência que será utilizada como exemplo de cálculo da média
com dados agrupados em intervalo de classes.
Nos dados da Tabela 01, aplicando a equação anterior, temos que:
O valor obtido indica que a média ponderada da distribuição de frequência indicada
pela Tabela 01 é 61.
Média Aritmética Ponderada (): A média aritmética ponderada também é chamada
de média ponderada. É empregada quando as variáveis têm diferentes importâncias
relativas, ou, ainda, diferentes pesos relativos.
No cálculo da média ponderada, cada valor coletado na série tem uma participação
proporcional ao seu peso, isto é, proporcional à importância relativa no conjunto. A
média ponderada é obtida pela soma das variáveis multiplicadas pelos seus pesos,
dividida pela soma dos pesos de cada variável. Assim:
Onde:
= Média Ponderada
xi = observações ou números da variável em estudo;
pi = ponderações ou pesos da variável.
Exemplo: Calcular a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30
sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5.
RESOLUÇÃO:
Mediana (Md): A mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto de
dados ordenados (ROL), portanto, está localizada na posição central, tal que 50%
dos valores são menores que amediana, e os demais 50% são maiores.
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra
de n elementos dispostos segundo uma ordem(crescente ou decrescente):
“Quando o número de elementos (n) da série estatística for ímpar, haverá
coincidência da mediana com um dos elementos da série” (AMAZONAS, 2013). Neste
caso existirá um único valor de posição central, e esse valor será a mediana. Por
exemplo, no conjunto de dados {2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}, ovalor que divide a esta
série em duas partes iguais é igual a 9, logo a mediana é 9.
Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá
coincidência da mediana com um dos elementos da série de dados. A mediana será
sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série de dados. Por exemplo,
no conjunto de dados {0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6}, a mediana no exemplo será a
média aritmética do 5º e 6º termos da série. Portanto, a mediana será = (2+3) / 2,
ou seja, m = 2,50.
Cálculo da mediana em dados agrupados em intervalos de classe (variáveis
contínuas)
Para se calcular a mediana em dados agrupados, devemos seguir os seguintes
passos:
1º) Determinamos as frequências acumuladas (S Fi = n);
2º) Calculamos n/2; como a variável é contínua, não se preocupe se n é par ou
ímpar.
3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente
superior à S Fi/2. Tal classe será a classe mediana (classe Md);
4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:
Onde:
lMd = limite inferior da classe mediana;
n = tamanho da amostra ou número de elementos;
FAA = é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana.
h = é a amplitude do intervalo da classe mediana.
FMd = é a frequência da classe mediana.
A Tabela 2 apresenta determinada distribuição amostral que será utilizada para
cálculo da mediana de dados agrupados.
1°) Calcula-se n/2. Como n=58, temos que 58/2=29º elemento;
2°) Identifica-se a classe mediana (Md) pela frequência acumulada. Neste caso a
classe mediana é a 3°;
3°) Neste caso: lMd = 55; n = 58; FAA= 17; h = 10; FMd = 18. Aplicando a fórmula
para cálculo da mediana temos:
Moda (Mo): Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda. É o valor
da amostra que mais se repete; ou seja, valor que ocorre com maior frequência.
A Moda quando os dados não estão agrupados: A Moda é facilmente
reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete
(AMAZONAS, 2013, p. 17). Por exemplo, no conjunto de dados {7, 8, 9, 10, 10,
10, 11, 12} a moda é igual a 10.
Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça
mais vezes que outros. Por exemplo, o conjunto de dados {3, 5, 8, 10, 12} não
apresenta moda. A série é amodal.
Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então,
que a série tem dois ou mais valores modais. Por exemplo, o conjunto de dados {2,
3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas: 4 e 7 (AMAZONAS, 2013, p.
17). Neste caso, a série é bimodal.
Distribuições Simples: Quando uma tabela de distribuição de frequência apresenta
grande quantidade de dados. É importante destacar a classe de maior frequência, a
chamada classe modal. Essa classe mostra a área em que os dados estão
concentrados. Assim, para a distribuição:
A moda será 248 (maior frequência - Fi), que será indicada por Moda=248.
Cálculo da Moda em valores agrupados em intervalos de classe: A classe que
apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos
afirmar que a Moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre
os limites da classe modal. Um dos métodos para determinação da moda é a
aplicação da fórmula de CZUBER:
1°) Identifique a classe modal (aquela que possuir maior frequência).
2°)Aplicar a fórmula:
Onde:
l = limite inferior da classe modal
d1 = frequência da classe modal – frequência da classe anterior à da classe modal
d2 = frequência da classe modal – frequência da classe posterior à da classe modal
h = amplitude da classe modal
A Tabela 03 apresenta determinada distribuição amostral que será utilizada para
cálculo da moda de dados agrupados.
1°) Identifica-se a classe modal. Neste caso, trata-se da 3° classe 2 I- 3.
2°) Neste caso: l = 2; d1=17-10=7; d2=17-8=9; h = 1. Aplicando a fórmula para
cálculo da moda (fórmula de CZUBER) temos:
Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital,
procure pelos livros:
- LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2ª Edição. São
Paulo: Editora Pearson, 2008, e leia o capítulo 2 da página 47 a 57.
WEB AULA 2 – MEDIDAS DE DISPERSÃO
Devido à variabilidade, as medidas de tendência central, ainda que consideradas
como números que têm a finalidade de representar uma série de dados, não podem
por si mesmas destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe
entre os valores que compõem o conjunto, e, portanto não bastam para descrever um
conjunto de dados. As medidas de tendência central são tanto mais descritivas de um
conjunto de dados quanto menor for a variabilidade. Então, quando apresentamos
medidas de tendência central para descrever um conjunto de dados, devemos indicar
também uma medida de variabilidade ou dispersão.
Medidas de Dispersão Absoluta – Amplitude Total (A)
É a diferença entre o maior e o menor valor observado no conjunto de dados,
conforme segue:
Exemplo: Para a série: 10,12,20,22,25,33,38, a amplitude total é dada por:
Variância populacional (s2) e amostral (S2)
“A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva,
porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de
amostras” (AMAZONAS, 2013, p. 24). A definição de variância populacional (s2) é
dada por:
Onde:
s2 indica variância populacional e lê-se “sigma” ao quadrado;
= média
Fi = frequência
N = tamanho da população
Para o caso do cálculo da variância amostral (s2) é conveniente o uso da seguinte
fórmula:
Onde: = média amostral, n = tamanho da amostra.
Desvio Padrão populacional (s) e amostral (s)
O desvio padrão é a “medida de dispersão mais geralmente empregada, pois leva em
consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de
variabilidade bastante estável” (AMAZONAS, 2013, p. 22).
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Assim temos:
Exemplo 1: Calcular a variância amostral (s2) e o desvio-padrão amostral (s) da
seguinte distribuição amostral.
Resolução (Exemplo 1):
a) Cálculo da Média: Primeiramente precisamos calcular o valor da média, conforme
vimos anteriormente. O cálculo detalhado da média é apresentado na Tabela 4.
Portanto a média é:
b) Cálculo da Variância Amostral (s2):
Para calcularmos a variância amostral (s2) é preciso encontrar o valor de ådi2Fi. Para
tanto, uma nova coluna deverá ser considerada na tabela anterior conforme indicado
na Tabela 05.
Portanto, a variância amostral (s2) é dada por:
c) Cálculo Desvio-Padrão Amostral (s): , logo:
Resumindo: A distribuição possui média 8,06. Isto é, seus valores estão em torno
de 8,06 e seu grau de dispersão é de 1,69, dado pelo desvio-padrão amostral.
Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital,
procure pelo livro GARCIA, R. - UNOPAR. Estatística. São Paulo: Editora: Pearson
Education do Brasil, 2009, e leia a unidade 3 - da página 62 a 64 e 76 a 83.
Medida de Dispersão Relativa: Coeficiente de Variação (CV) Trata-se de uma
medida relativa de dispersão útil para comparação em termos relativos do grau de
dispersão em torno da média de séries distintas. É dado por:
Onde: s = desvio-padrão amostral e = média
Exemplo 2: Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4000,00 com
desvio padrão de R$ 1500,00, e os das mulheres é em média de R$ 3800,00 com
desvio padrão de R$ 1200,00. Então:
Logo, podemos concluir que, nesta empresa, os salários dos homens apresentam
maior dispersão relativa que o salário das mulheres.WEB AULA 1 e 2 de Metodos Quantitativos.pdf