PLANIMETRIA Parte 1

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CET 217 
TOPOGRAFIA BÁSICA 
 
PLANIMETRIA 
Parte 1 
 
2015.1 
 
 
 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
Nos primórdios da civilização, ainda num estágio primitivo, a primeira condição imposta ao homem 
foi a de habitar a Terra. Aos poucos, viu-se diante da necessidade de criar ao seu redor os meios 
indispensáveis para se estabelecer e apoderar-se do ambiente que lhe foi outorgado o direito de subsistir. 
Neste ambiente hostil e desconhecido, instala o seu domínio e se apercebe de imediato e por pura 
intuição, das irregularidades físicas que a superfície terrestre apresenta e, através do conhecimento 
rudimentar que possuía, procurar tirar proveito das vantagens ou vencer as dificuldades que tais aspectos 
do solo constituíam. 
O homem sempre necessitou conhecer o meio em que vive, por questões de sobrevivência, 
orientação, segurança, guerras, navegação, construção, etc. No princípio a representação do espaço 
baseava-se na observação e descrição do meio. Cabe salientar que alguns historiadores dizem que o 
homem já fazia mapas antes mesmo de desenvolver a escrita. Com o tempo surgiram técnicas e 
equipamentos de medição que facilitaram a obtenção de dados para posterior representação. A 
Topografia foi uma das ferramentas utilizadas para realizar estas medições. 
Etimologicamente a palavra TOPOS, em grego, significa lugar e GRAPHEN descrição, assim, de uma 
forma bastante simples, Topografia significa descrição do lugar. A seguir são apresentadas algumas de suas 
definições: 
“A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos e métodos utilizados para 
obter a representação gráfica de uma porção do terreno sobre uma superfície plana” 
DOUBEK (1989). 
“A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa 
de uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura 
resultante da esfericidade terrestre” ESPARTEL (1987). 
O objetivo principal é efetuar o levantamento (executar medições de ângulos, distâncias e 
desníveis) que permita representar uma porção da superfície terrestre em uma escala adequada. Às 
operações efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dados para a posterior representação, 
denomina-se de levantamento topográfico. 
Levantamento Topográfico: Conjunto de operações realizadas em campo e no escritório, utilizando 
processos e instrumentos adequados para a obtenção de todos os elementos necessários à representação 
geométrica de uma determinada extensão do terreno. 
 campo  medição de ângulos e distâncias (instrumentos de mensuração); 
 escritório  cálculo dos dados obtidos em campo, apresentando e distribuindo (se toleráveis) os 
erros angular e linear. 
Obtidas as coordenadas dos pontos, confecciona-se a Planta Topográfica. 
Na Topografia trabalha-se com medidas (lineares e angulares) realizadas sobre a superfície da Terra 
e a partir destas medidas são calculadas coordenadas, áreas, volumes, etc. Além disto, estas grandezas 
poderão ser representadas de forma gráfica através de mapas ou plantas. Para tanto é necessário um 
sólido conhecimento sobre instrumentação, técnicas de medição, métodos de cálculo e estimativa de 
precisão (KAHMEN; FAIG, 1988). 
 
 De acordo com BRINKER e WOLF (1977), o trabalho prático da Topografia pode ser dividido em 
cinco etapas: 
i. Tomada de decisão, onde se relacionam os métodos de levantamento, equipamentos, posições ou 
pontos a serem levantados, etc. 
ii. Trabalho de campo ou aquisição de dados: fazer as medições e gravar os dados. 
iii. Cálculos ou processamento: elaboração dos cálculos baseados nas medidas obtidas para a 
determinação de coordenadas, áreas, volumes, etc. 
iv. Mapeamento ou representação: produzir a planta topográfica a partir dos dados medidos e 
calculados. 
v. Locação. 
 
Classicamente a Topografia é dividida em Topologia e Topometria. 
A Topologia tem por objetivo o estudo das formas exteriores do terreno e das leis que regem o seu 
modelado. 
A Topometria estuda os processos clássicos de medição de distâncias, ângulos e desníveis, cujo 
objetivo é a determinação de posições relativas de pontos. Pode ser dividida em planimetria e altimetria. 
Tradicionalmente o levantamento topográfico pode ser divido em duas partes: o levantamento 
planimétrico, onde se procura determinar a posição planimétrica dos pontos (coordenadas X e Y) e o 
levantamento altimétrico, onde o objetivo é determinar a cota ou altitude de um ponto (coordenada Z). 
A realização simultânea dos dois levantamentos dá origem ao chamado levantamento planialtimétrico. 
A figura 1 ilustra o resultado de um levantamento planialtimétrico de uma área. 
 
 
Figura 1 – Desenho representando o resultado de um levantamento planialtimétrico. 
 
As curvas representadas na planta topográfica da figura recebem o nome de curvas de nível. 
Entende-se por curvas de nível o lugar geométrico de todos os pontos que têm a mesma cota ou altitude. 
A Topografia é a base para diversos trabalhos de engenharia, onde o conhecimento das formas e 
dimensões do terreno é importante. Alguns exemplos de aplicação são projetos e execução de estradas, 
grandes obras de engenharia (pontes, portos, viadutos, túneis, etc.), locação de obras, trabalhos de 
terraplenagem, monitoramento de estruturas, planejamento urbano, irrigação e drenagem, 
reflorestamentos, etc. 
Em diversos trabalhos a Topografia está presente na etapa de planejamento e projeto, fornecendo 
informações sobre o terreno; na execução e acompanhamento da obra, realizando locações e fazendo 
verificações métricas; e finalmente no monitoramento da obra após a sua execução, para determinar, por 
exemplo, deslocamentos de estruturas. 
 
 
1.1-a Sistemas de Coordenadas 
Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas de pontos. 
Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas. São utilizados 
basicamente dois tipos de sistemas para definição unívoca da posição tridimensional de pontos: sistemas 
de coordenadas cartesianas e sistemas de coordenadas esféricas. 
 
1.1-b Sistemas de Coordenadas Cartesianas 
Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que atribuindo coordenadas ao 
mesmo. Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a um sistema de coordenadas. Existem 
diversos sistemas de coordenadas, alguns amplamente empregados em Geometria e Trigonometria, por 
exemplo. Estes sistemas normalmente representam um ponto no espaço bidimensional ou tridimensional. 
No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas retangulares 
ou cartesianas. Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas retas orientadas X e Y, 
perpendiculares entre si (figura 2). A origem deste sistema é o cruzamento dos eixos X e Y. 
 
Figura 2 - Sistema de coordenadas cartesianas. 
 
Um ponto é definido neste sistema através de uma coordenada denominada abscissa (coordenada 
X) e outra denominada ordenada (coordenada Y). Uma das notações P(x, y) ou P = (x, y) é utilizada para 
denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y. Na figura 3 apresenta-se um sistema de coordenadas, 
cujas coordenadas da origem são O (0,0). Nele estão representados os pontos A(10,10), B(15,25) e 
C(20,-15). 
 
Figura 3 - Representação de pontos no sistema de coordenadas cartesianas. 
 
 
 
 
 
Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional é caracterizado por 
um conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares, as 
quais se interceptam em um único ponto, denominado de origem. A posição de um ponto neste sistema de 
coordenadas é definida pelas coordenadas cartesianas retangulares (x, y, z) de acordo com a figura 4. 
 
Figura 4 - Sistema de coordenadascartesianas tridimensional. 
 
1.3-c Superfícies de Referência 
Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para a sua representação, 
mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos. 
Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a figura empregada para a 
representação da Terra, mais complexos serão os cálculos sobre esta superfície. 
Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma ESFERA, como no caso da Astronomia. Um ponto 
pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e longitude. 
A Geodésia adota como modelo o ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO. 
Para determinadas aplicações, a Geodésia também adota como forma da Terra o modelo GEOIDAL, que é o 
modelo que mais se aproxima da forma da Terra real. O modelo geoidal é definido teoricamente como 
sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma superfície 
regular e é de difícil tratamento matemático. 
Já na Topografia adota-se o MODELO PLANO. Esse modelo considera a porção da Terra em estudo 
como sendo plana. É a simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos 
limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este 
plano tem suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão 
de 10 a 20 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até 
aproximadamente 80 km. 
 
Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são: 
a) As projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção 
localizado no infinito; 
b) A superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfície terrestre 
considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico o referido Datum vertical 
brasileiro; 
e) A localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeção, se dá 
por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do 
levantamento topográfico; 
f) O eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades do 
levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma 
direção notável do terreno, julgada como importante. 
Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é necessário 
estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos mesmos. Este sistema pode 
ser caracterizado da seguinte forma: 
Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo); 
Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira); 
Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste). 
A figura 5 ilustra este plano. 
 
Figura 5 - Plano em Topografia. 
Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável do terreno, como o 
alinhamento de uma rua, por exemplo, (figura 6). 
 
Figura 6 - Eixos definidos por uma direção notável no terreno. 
 
 
 
1.2 ERROS NAS MEDIÇÕES TOPOGRÁFICAS 
As operações fundamentais da Topografia consistem na medição de ângulos e distâncias, 
elementos necessários à representação dos pontos topográficos, numa planta. 
Porém, a determinação dos valores numéricos de uma grandeza (ângulos, distâncias), por 
observação, não é suscetível de uma exatidão absoluta. Assim, se repetimos várias vezes a mesma medida, 
constatamos que os resultados obtidos nunca serão idênticos, por maior que seja o cuidado utilizado nas 
determinações. 
As discordâncias encontradas nas medições são explicadas, em parte, pelo fato das condições 
operacionais não serem realmente as mesmas, em cada medida, e também por causa da imperfeição dos 
sentidos do homem. Ou seja, as observações, mesmo que repetidas em condições supostamente 
idênticas, se fazem acompanhar dos “inevitáveis erros de medidas”, que podem ser atribuídos à 
falibilidade humana, à imperfeição dos equipamentos ou à influência das condições ambientais. 
1.2.1 PRINCIPAIS FONTES DE ERRO 
Naturais (condições externas): ocasionados por fatores ambientais. Variação dos ventos, temperatura, 
refração atmosférica, umidade, etc. Exemplo: o comprimento de uma trena de aço muda com a 
temperatura. 
Instrumentais: resultam de alguma imperfeição na construção ou ajustamento dos instrumentos, e dos 
movimentos das partes individuais. Exemplo: as graduações pintadas em certa mira podem não ser 
perfeitamente espaçadas, e o mesmo pode acontecer com a graduação do limbo do teodolito. 
Pessoais (operador): inabilidade do operador com relação ao manuseio do equipamento, bem como as 
limitações dos sentidos do homem, como a visão, o tato e audição. Exemplo: há um pequeno erro no valor 
de um ângulo medido, quando o fio vertical do retículo do teodolito não está perfeitamente alinhado com 
o eixo vertical da baliza. 
1.2.2 CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS 
Em Topografia, de modo geral, e de acordo com a modalidade de manifestação dos erros, podemos 
classificá-los em: 
Erros Grosseiros: são aqueles que têm como causa a imperícia ou descuido do operador, como, por 
exemplo, erro de anotação ou leitura de ângulos; ao operar com o aparelho, ele executa uma falsa 
manobra, etc. 
Observações eivadas de erros grosseiros às vezes se constituem em problema, pois a detecção dos 
mesmos é fácil em certos casos (erros muito grandes, por exemplo) e pode tornar-se difícil em outros. 
Muitas vezes somente um teste estatístico pode justificar ou não a rejeição de uma observação suspeita de 
abrigar um erro grosseiro. 
De qualquer forma cabe ao observador cercar-se de precauções, variáveis com a natureza da 
medida, visando evitar a sua ocorrência ou detectar a sua presença. 
Erros Sistemáticos: são erros que se reproduzem regularmente cada vez que a operação é repetida nas 
mesmas condições. As causas desses erros devem ser investigadas, de maneira que a ação possa ser 
eliminada pelo cálculo ou pela própria técnica de obtenção da medida. Eles sempre têm o mesmo sinal, 
mas sua magnitude pode ser constante ou variável, dependendo das condições. São também conhecidos 
como Erros Cumulativos. Podem ser calculados e seus efeitos eliminados pela aplicação de correções. Por 
exemplo, uma trena de 20m, com dois centímetros a mais, introduz mais dois centímetros no comprimento 
de certa medida, toda vez que é utilizada (erros constante). A medida de uma distância horizontal AB com 
uma fita metálica ou equipamento similar dará diferentes comprimentos para o mesmo trecho, 
dependendo da tração aplicada às extremidades do diastímetro (erro variável). 
A reiteração e a pontaria completa (posição direta - PD e posição inversa - PI da luneta do teodolito) 
nas observações angulares são exemplos de planejamento para evitar certas influências sistemáticas. 
Erros Acidentais: são resultantes de inúmeras causas que desconhecemos. São, em geral, erros pequenos, 
com a característica de se distribuírem em positivos e negativos para amostragem grandes. Em virtude de 
sua pequena amplitude e variação, escapam completamente ao controle do operador, estando sempre 
presentes, quaisquer que sejam os operadores, os instrumentos ou os métodos empregados. Como 
exemplo citamos a centralização do teodolito num vértice topográfico. A coincidência do fio de prumo com 
a marca de referência do ponto topográfico pode ter um pequeno desvio imperceptível ao observador. 
Este desvio acarretará um pequeno erro no ângulo a ser determinado. 
Em resumo, eliminados os erros grosseiros e sistemáticos, as observações repetidas sobre a 
mesma grandeza ainda se revelam inconsistentes; as discrepâncias constatadas são atribuídas aos erros 
ditos acidentais ou aleatóriosque, ao contrário dos anteriores, ocorrem ora num ora noutro sentido e 
que não podem ser vinculados a nenhuma causa conhecida. 
Os erros sistemáticos, como a própria denominação sugere, tendem a se acumular; os acidentais, 
por apresentarem distribuição normal (curva de GAUSS, na teoria dos erros conhecida como curva dos 
erros), tendem a se neutralizar quando o número de observações cresce. 
Por isso, antes de iniciar um ajustamento, devemos depurar as observações de todas as 
tendências sistemáticas, uma vez que nossa atenção irá se concentrar nos erros acidentais. 
 
Exatidão X Precisão 
Exatidão: Refere-se ao grau de conformidade de um valor com o valor verdadeiro (absoluto) ou 
aceito como verdadeiro. Também chamado de acurácia. 
Precisão: Refere-se à invariabilidade com que são obtidos os valores de medidas realizadas em 
condições rigorosamente similares. 
Uma analogia utilizada para explicar as diferenças entre precisão e acurácia, é a de um atirador e 
suas tentativas em acertar o centro do alvo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 ARREDONDAMENTO DE DADOS 
Muitas vezes, é necessário ou conveniente suprimir unidades inferiores às de determinada ordem. 
A resolução 886/66 do IBGE determina que: 
 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último algarismo 
a permanecer. 
ex: 53,23 passa a 53,2. 
 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade o 
algarismo a permanecer. 
ex: 42,87 passa a 42,9; 25,08 passa a 25,1; 53,99 passa a 54,0 
 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções: 
a. Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao 
algarismo a permanecer. 
ex: 2,352 passa a 2,4; 25,6501 passa a 25,7; 76,250002 passa a 76,3 
 b. Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser 
conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 
ex: 26,75 passa a 24,8; 26,65 passa a 26,6; 26,75000 passa a 26,8; 24,6500 passa a 26,6. 
 
 
1.4 ATUAÇÃO DA TOPOGRAFIA 
 A Topografia, tendo em vista o restrito campo de operações, abrangendo limitadas porções da 
superfície terrestre, lança mão de uma terceira aproximação: considera-as como planas, isto é, despreza a 
curvatura terrestre, o que constitui o campo topográfico, cuja extensão é representada na figura abaixo. 
 
 
 
PLANO TOPOGRÁFICO: É um plano horizontal tangente à superfície da esfera terrestre e de dimensões 
limitadas ao campo topográfico. 
CAMPO TOPOGRÁFICO: Limite de atuação da topografia, onde é possível desprezar o erro causado pela 
curvatura da Terra sem que haja prejuízo de precisão do levantamento topográfico. 
 Dentro do seu campo de atuação a Topografia adota em seus levantamentos regras e princípios 
matemáticos que permitem obter a representação gráfica de uma porção da superfície terrestre, projetada 
sobre um plano horizontal, com a exatidão e os detalhes necessários ao fim a que se destina. Estas regras e 
princípios estabelecem os métodos gerais de levantamentos topográficos que relacionam entre si as 
medidas de ângulos e distâncias, com o propósito de definir, com o rigor exigido, a representação 
pretendida. 
 Dentre os diversos métodos topográficos, o das coordenadas retangulares e o das irradiações são 
os mais indicados para o levantamento dos detalhes, enquanto o método do caminhamento e das 
intersecções servem ao levantamento do conjunto. De todos, o que oferece maior precisão é o da 
triangulação, por isso é sempre recomendado para o levantamento do conjunto, pelas vantagens que 
oferece na fixação mais rigorosa das posições dos vários pontos (vértices dos triângulos) dentro da área a 
ser levantada. 
 
1.5 OBJETO DE ESTUDO E PROBLEMA DA TOPOGRAFIA 
“A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma 
porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura resultante da esfericidade 
terrestre” (Espartel, 1975, pág. 3). 
Genericamente, o objetivo da Topografia é a obtenção da planta topográfica. Para tal, entretanto, é 
necessário a medida de distâncias e ângulos. Necessário se faz, também, a determinação de orientação e 
de coordenadas topográficas (X,Y) de pontos, além da adoção de um sistema de projeção. A partir do 
conhecimento destas variáveis, é possível determinar e representar o contorno, a dimensão e a posição 
relativa de partes da superfície terrestre, com todos os detalhes necessários. 
Entretanto, o geóide (modelo físico utilizado em substituição a verdadeira forma da Terra) é uma 
superfície curva, implicando em uma primeira dificuldade a ser vencida: transformar em um plano uma 
superfície cuja forma geral muito se aproxima da esfera. Por outro lado, a representação do relevo se 
apresenta como outro obstáculo a ser vencido. 
Portanto, está delineado o problema da Topografia: representar em um plano a superfície do 
terreno, de configuração aproximadamente esférica, com todos os detalhes existentes, como acidentes 
geográficos, edificações, obras de engenharia, etc. 
A representação gráfica dos pontos que caracterizam os acidentes naturais (detalhes) e de 
todos os demais, de interesse num levantamento topográfico, é conseguida projetando-se 
ortogonalmente todos os pontos sobre um plano horizontal de referência. Tal plano de referência 
é concebido como sendo o plano tangente no ponto médio da região a ser representada. Em 
consequência de não se considerar a curvatura da superfície terrestre, as projetantes (verticais) 
são paralelas entre si e normais (ortogonais) ao referido plano tangente. A esta representação 
gráfica, na qual é mantida uma relação constante entre as dimensões gráficas e as respectivas 
dimensões do terreno, e onde aparecem os acidentes topográficos de interesse, figurados por 
convenções, denomina-se planta topográfica. 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação da distância horizontal (DH) entre dois pontos. 
A trena é um método direto para determinar essa distância em campo. 
 
A extensão da região a ser representada delimita o campo topográfico, isto é, com a abstração da 
curvatura terrestre se faz necessária uma concessão: a adoção de valores “aceitáveis” para os erros, 
compatíveis com a precisão exigida para a mencionada representação. Note-se porém que as dimensões 
da Terra (raio terrestre médio de aproximadamente 6.370 km) são desproporcionais à extensão dos 
levantamentos topográficos comuns (cerca de 10 a 20 km). Nesta linha de raciocínio, dentro de certos 
limites e desde que se adotem medidas especiais, é lícito negligenciar os erros decorrentes da curvatura do 
geoide. 
Face ao exposto, define-se Topografia como a ciência aplicada, baseada na geometria e na 
trigonometria plana, que utiliza medidas de distâncias horizontais, diferenças de nível, ângulos e 
orientação, com o fim de obter a representação, em projeção ortogonal sobre um plano de 
referência, dos pontos que definem a forma, as dimensões e a posição relativa de uma porção 
limitada do terreno, sem considerar a curvatura da Terra.