Resposta para Excitação Irregular

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Resposta para Excitac¸a˜o Irregular
SH Sphaier
Janeiro de 2008
1 Transformada de Fourier de um Sinal
Consideremos as func¸o˜es ζ(t), x(t) e f(t) como as func¸o˜es que descrevem a elevac¸a˜o da
superf´ıcie do mar devida a` onda em um certo ponto, o movimento de um corpo flutuante e
a forc¸a que e´ exercida pelas ondas sobre este corpo. A essas func¸o˜es vamos aplicar a trans-
formada de Fourier. Vamos generalizar o problema, utilizando a func¸a˜o g(t) para representar
qualquer uma das treˆs func¸o˜es acima.
Inicialmente, apliquemos a transformada de Fourier a` func¸a˜o g(t), definida por:
F{g(t)} ≡ 1
2pi
∫ ∞
−∞
e −iωtg(t)dt = G(ω) (1)
Deve ser observado que a func¸a˜o G(ω) = F{g(t)} e´ obtida mediante a integrac¸a˜o do
produto de g(t) e −iωt. Isto funciona como um filtro que extrai de g(t) a contribuic¸a˜o da
ondulac¸a˜o com frequeˆncia ω.
Para observarmos esta caracter´ıstica fac¸amos uma analogia com a Se´rie de Fourier ad-
mitindo que a func¸a˜o g(t) e´ perio´dica, com per´ıodo T . Esta func¸a˜o pode ser representada
pela se´rie de Fourier:
g(t) =
1
2
A0 +
∞∑
n=1
[An cos(nω0t) +Bn sin(nω0t)] (2)
onde:
- ω0 e´ a frequeˆncia fundamental:
ω0 =
2pi
T
(3)
- os coeficientes An, para n = 0, 1, 2, ... sa˜o dados por:
An =
2
T
∫ T/2
−T/2
g(t) cos(nω0t)dt (4)
1
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- os coeficientes Bn, para n = 1, 2, ... sa˜o dados por:
Bn =
2
T
∫ T/2
−T/2
g(t) sin(nω0t)dt (5)
Na forma complexa
g(t) =
∞∑
n=−∞
gn e
inω0t (6)
onde:
- entre os coeficientes gn, An e Bn temos as seguintes relac¸o˜es
gn =
1
2
(An − iBn) (7)
g−n =
1
2
(An + iBn) (8)
- os coeficientes gn para n = 0,±1, ±2, ..., sa˜o dados por:
gn =
1
T
∫ T/2
−T/2
g(t) e −inω0tdt (9)
Observando esta u´ltima expressa˜o, podemos dizer que a integrac¸a˜o do produto da func¸a˜o
g(t) com a func¸a˜o e −inω0t retira a contribuic¸a˜o da frequeˆncia nω0 contida no sinal, fornecendo
uma amplitude complexa.
Se o per´ıodo fundamental vai para infinito, ω0 vai para δω e o produto nδω, com n variando
de −∞ ate´ ∞, varre o valor de ω no conjunto dos reais de −∞ ate´ ∞.
Os limites de integrac¸a˜o tornam-se −∞ e ∞.
A menos do fator 2pi e da divisa˜o por T , tendemos para a expressa˜o da transformada de
Fourier apresentada acima com ω = nδω.
A questa˜o da divisa˜o por T sera´ ultrapassada, quando introduzirmos o conceito de espectro
de uma variavel como g(t).
Observando uma vez mais a expressa˜o da Transformada de Fourier de uma func¸a˜o
F{gT (t)} ≡ 1
2pi
∫ ∞
−∞
e −iωtgT (t)dt = GT (ω) (10)
temos que, para as derivadas valem:
F{g˙(t)} = −iωG(ω) (11)
F{g¨(t)} = −ω2G(ω) (12)
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F{g˙T (t)} = −iωGT (ω) (13)
F{g¨T (t)} = −ω2GT (ω) (14)
Como dissemos acima a integrac¸a˜o do produto da func¸a˜o g(t) com a func¸a˜o e −inω0t retira
a contribuic¸a˜o da frequeˆncia nω0 contida no sinal. Fornece um fator relacionado com a
componente da onda na frequeˆncia ω, pore´m na forma complexa. Se multiplicarmos pelo
conjugado obtemos o mo´dulo.
Finalmente introduzimos a definic¸a˜o de espectro de uma func¸a˜o g(t), bilateral
Φgg(ω) = lim
T→∞
2pigTg
∗
T/T (15)
com −∞ < ω <∞. Como na˜o ha´ sentido em separarmos as frequeˆncias em contribuic¸a˜o neg-
ativa e contribuic¸a˜o positiva, pois fisicamente seria a mesma coisa, o que fazemos e´ introduzir
o espectro unilateral
Sgg(ω) = 2Φgg(ω) (16)
para 0 ≤ ω <∞.
2 Transformada de Fourier da Equac¸a˜o de Movimento
A equac¸a˜o de movimento do navio e´ dada por:
(M + A)x¨+Bx˙+ Cx = f(t) (17)
Vamos inicialmente considerar o sinal da onda atuante em um intervalo T . Retiramos do
sinal original ζ(t) a func¸a˜o ζT (t) que e´ igual a ζ(t) no intervalo T e fora deste intervalo e´ nula.
Estas ondas va˜o provocar forc¸as sobre o navio que sera˜o nulas fora do intervalo T e iguais
as forc¸as do mar no intervalo T .
A func¸a˜o que representa as forc¸as e´ definida como fT (t). A transformada de func¸o˜es neste
intervalo e´ dada por:
F{fT (t)} ≡ 1
2pi
∫ ∞
−∞
e −iωtfT (t)dt = GT (ω) (18)
Ale´m disto, para as derivadas vale:
F{g˙(t)} = −iωG(ω) (19)
F{g¨(t)} = −ω2G(ω) (20)
enta˜o
F{g˙T (t)} = −iωGT (ω) (21)
F{g¨T (t)} = −ω2GT (ω) (22)
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Aplicando a` equac¸a˜o do movimento, teremos:
−ω2(M + A)XT (ω)− iωBXT (ω) + CXT (ω) = FT (ω) (23)
{−ω2(M + A)− iωB + C}XT (ω) = FT (ω) (24)
onde
XT (ω) = XR,T (ω) + iXI,T (ω) (25)
FT (ω) = FR,T (ω) + iFI,T (ω) (26)
Multiplicando pelo conjugado
{−ω2(M+A)−iωB+C}{−ω2(M+A)+iωB+C}{XR,T (ω)+iXI,T (ω)}{XR,T (ω)−iXI,T (ω)}
(27)
= {FR,T (ω) + iFI,T (ω)}{FR,T (ω)− iFI,T (ω)} (28)
XR,T (ω)
2 +XI,T (ω)
2 =
FR,T (ω)
2 + FI,T (ω)
2
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (29)
ou
XT (ω)X
∗
T (ω) =
FT (ω)F
∗
T (ω)
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (30)
dividindo pelo tempo T e fazendo o limite quando T →∞ temos:
lim
T→∞
2piXT (ω)X
∗
T (ω)
T
= lim
T→∞
2piFT (ω)F
∗
T (ω)
T
1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (31)
Observemos que limT→∞ 2piXT (ω)X∗T (ω)/T e´ o espectro da func¸a˜o x(t) e limT→∞ 2piFT (ω)F
∗
T (ω)/T
e´ o espectro das forc¸as.
Enta˜o
Sxx(ω) = Sff (ω)
1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (32)
Por outro lado, ha´ uma relac¸a˜o similar entre o espectro das forc¸as e o espectro do sinal
elevac¸a˜o da onda na origem.
Sff (ω) = Sζζ(ω)|F (ω)|2 (33)
em que F (ω) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia entre onda e forc¸a. Logo
Sxx(ω) = Sζζ(ω)|F (ω)|2 1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (34)
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3 Espectro de Resposta de um Sistema Oceaˆnico em
um Mar Irregular
A previsa˜o das respostas de um corpo flutuante em ondas, tais como movimentos, tenso˜es,
cortantes, momentos fletores, acelerac¸o˜es, etc, e´ baseada na equac¸a˜o 34 e o trabalho pioneiro
no assunto foi desenvolvido por St. Denis e Pierson em 1953. Desde enta˜o tem sido ampla-
mente aplicado para va´rios problemas de comportamento de estruturas flutuantes no mar.
Cabe ressaltar alguns pontos deste desenvolvimento e da sua aplicac¸a˜o:
- As ondas do mar sa˜o consideradas como um processo estoca´stico estaciona´rio, normal-
mente distribu´ıdo (distribuic¸a˜o de Gauss para a varia´vel elevac¸a˜o do mar, ou onda) com
me´dia zero.
- O sistema e´ considerado linear
- O princ´ıpio de superposic¸a˜o e´ aplica´vel para a previsa˜o das respostas em mar irregular.
- A onda irregular do mar e´ considerada com a superposic¸a˜o de uma infinidade de ondas
monocroma´ticas regulares (senoidais)
- A resposta do sistema a uma excitac¸a˜o monocroma´tica (onda regular com uma u´nica
frequeˆncia e amplitude constante) e´ monocroma´tica, O sistema flutuante responde a
cada uma das ondas monocroma´tica na mesma frequeˆncia da onda, com amplitudes que
dependem do fator de amplificac¸a˜o (ou func¸a˜o de transfereˆncia, ou RAO)
- Essas respostas se superpo˜em formando uma resposta irregular
- Se a varia´vel aleato´ria que representa a excitac¸a˜o do sistema segue um processo gaussiano
a resposta tambe´m sera´ um processo gaussiano.
- A partir das respostas do sistema para uma onda regular (monocroma´tica) variando
sua frequeˆncia, construimos a func¸a˜o de resposta do sistema (func¸a˜o de transfereˆncia,
fator de amplificac¸a˜o) que e´ a relac¸a˜o entre a amplitude da resposta e a amplitude da
excitac¸a˜o para as va´rias frequeˆncias
- A func¸a˜o de densidade espectral da resposta pode ser obtida a partir da func¸a˜o de
densidade espectral da excitac¸a˜o atrave´s de:
Sxx(ω) = Sζζ(ω)|H(ω)|2 (35)
onde |H(ω)| e´ a func¸a˜o de resposta do sistema a ondas regulares
|H(ω)| = |F (ω)|2 1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (36)
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Em Engenharia Oceaˆnica |H(ω)| e´ frequentemente chamado de RAO que sa˜o as iniciais
da expressa˜o ingleˆsa Response Amplitude Operator.