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Programa de Engenharia Oceaˆnica COPPE / UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro Escoamento em torno de um Cilindro Circular SH Sphaier Julho de 2004 SH Sphaier 2 1 Efeito do Gradiente de Pressa˜o: Separac¸a˜o Quando estudamos escoamentos potenciais planos, determinamos o campo de velocidades para o caso de um escoamento retil´ıneo permanente incidindo sobre um c´ırculo. Conclu´ımos que a velocidade tangencial ao longo do contorno do c´ırculo e´ dada por vθ = −2U sin θ, isto e´, ha´ dois pontos de estagnac¸a˜o um para θ = pi, a montante, e o outro para θ = 0, a juzante. A velocidade ma´xima e´ alcanc¸ada em θ = pi/2 e θ = 3pi/2, e seu valor e´ o dobro da velocidade do escoamento incidente. Utilizando-se a Equac¸a˜o de Bernoulli, tem-se que a pressa˜o e´ dada por pd = pd,∞ + 1 2 (U2 − u2θ) Nos pontos de estagnac¸a˜o a pressa˜o e´ ma´xima pd(θ = pi) = pd(θ = 0) = pd,∞ + 1 2 U2 e nos pontos onde a velocidade e´ ma´xima, a pressa˜o e´ mı´nima: pd(θ = pi/2) = pd(θ = 3pi/2) = pd,∞ + 1 2 (U2 − (2U)2) = pd,∞ − 3 2 U2 Com o efeito da viscosidade, caracterizado pelo aparecimento da camada limite e de sua sep- arac¸a˜o junto ao cilindro, o campo de pressa˜o e´ altamente modificado dependendo do nu´mero de Reynolds. A figura 4 mostra a distribuic¸a˜o de presso˜es para um escoamento potencial, e as dis- tribuic¸o˜es de pressa˜o para dois casos de escoamentos reais para dois nu´meros de Reynolds distintos. Um referente a um escoamento laminar e o outro turbulento. Estes resultados mostram que uma part´ıcula fluindo pro´xima ao c´ırculo, deslocando-se de θ = pi para θ = pi/2, ao passar pelo primeiro ponto de estagnac¸a˜o desloca-se, tendo um gradiente de pressa˜o favora´vel, aumentando assim sua velocidade. Ao passar pelo ponto θ = pi/2 enfrenta um gradiente de pressa˜o desfavora´vel reduzindo sua velocidade. No caso de escoamentos potenciais na˜o ha´ perdas e o ganho de energia cine´tica no segundo quadrante e´ usado para vencer o gradiente adverso de pressa˜o no primeiro quadrante. No caso de escoamentos reais isto na˜o e´ mais poss´ıvel. Os efeitos viscosos por menores que sejam, sa˜o acentuados na camada limite, e nela a velocidade junto a parede e´ nula. Assim, as part´ıculas na camada limite na˜o acumulam energia cine´tica no segundo quadrante para vencer o gradiente adverso do primeiro quadrante. Ha´ a separac¸a˜o do escoamento, transformando a distribuic¸a˜o ao longo do c´ırculo, no primeiro e quarto quadrantes. As distribuic¸o˜es de pressa˜o apresentadas na figura 4 mostram as diferenc¸as acentuadas para os treˆs casos. SH Sphaier 3 Figura 1: Escoamento em torno de um cilindro circular SH Sphaier 4 As distribuic¸o˜es de pressa˜o mostram claramente que os pontos de mı´nima pressa˜o esta˜o localizados pro´ximos aos pontos θ = pi/2 e θ = 3pi/2. As regio˜es das esteiras nos escoamentos reais tornam-se regio˜es de baixa pressa˜o, entretanto, sem que fiquem abaixo da pressa˜o dos pontos θ = pi/2 e θ = 3pi/2. Nos treˆs casos apresentados, a distribuic¸a˜o de pressa˜o na face de ataque, pouco se modifica. Enquanto na face de fuga as diferenc¸as sa˜o acentuadas. A integrac¸a˜o das presso˜es fornecem as forc¸as atuando sobre o c´ırculo. Com as distribuic¸o˜es de pressa˜o observa-se que no caso de escoamento de fluido inv´ıscito, a forc¸a resultante (devida a`s presso˜es) e´ nula, enquanto, para fluido real, devido a` separac¸a˜o do escoamento, essa forc¸a e´ diferente de zero. Na realidade esta contribuic¸a˜o de forc¸a, na˜o somente e´ diferente de zero, como supera bastante a contribuic¸ao das tenso˜es cisalhantes na camada limite. Como vimos no caso do escoamento de Couette e Poisseuille, a superposic¸a˜o de um gradi- ente de pressa˜o desfavora´vel ao efeito viscoso, aparece um retorno no escoamento. Observemos que no caso da camada limite temos o efeito viscoso causando a reduc¸a˜o da velocidade, e uma distribuic¸a˜o de pressa˜o que so´ dependera´ da situac¸a˜o externa a` camada limite. Se esta dis- tribuic¸a˜o de pressa˜o externa a` camada limite gerar um gradiente de pressa˜o desfavora´vel no sentido da camada limite podera´ haver uma inversa˜o do escoamento. Lembrando que, ao longo do comprimento a camada limite vai engrossando e o aˆngulo que o perfil de velocidades faz com a parede aumenta, e´ poss´ıvel que, sujeito a um gradiente adverso, o escoamento alcance uma situac¸a˜o em que haja um retorno do escoamento. Isto quer dizer que havera´ um ponto de estagnac¸a˜o, e consequentemente um linha diviso´ria de duas regio˜es, uma em que o escoamento tem que avanc¸ar e outra em que ha´ um retorno. Assim, o escoamento que tem que avanc¸ar e´ obrigado a deixar a parede. A esta situac¸a˜o chamamos de separac¸a˜o do escoamento. Devemos lembrar que um escoamento viscoso com alto nu´mero de Reynolds em torno de um corpo, estara´ sujeito a separac¸a˜o, caso haja um gradiente de pressa˜o adverso. No ponto onde a separac¸a˜o do escoamento ocorre a tensa˜o cisalhante e´ nula, e as ve- locidades normal e tangencial a` parede sa˜o nulas. Considerando um sistema de refereˆncia localizado na regia˜o de separac¸a˜o temos: 1 ρ ∂p ∂x = ν( ∂2vx ∂x2 + ∂2vx ∂y2 ) e por outro lado admitindo que a pressa˜o fora da camada limite e´ regida pela caracter´ıstica potencial do escoamento, temos portanto pela Equac¸a˜o de Euler 1 ρ ∂p ∂x = U(x) ∂U ∂x ν( ∂2vx ∂x2 + ∂2vx ∂y2 ) = U(x) ∂U ∂x As figuras 2 e 3 mostram a influeˆncia do gradiente de pressa˜o na separac¸a˜o da camada limite. SH Sphaier 5 Figura 2: Influeˆncia do Gradiente de Pressa˜o na Separac¸a˜oI A seguir sa˜o mostradas as figuras 4, 5 e 6, que mostram os regimes de separac¸a˜o de acordo com o nu´mero de Reynolds, o processo em que um vo´rtice lateral invade o outro lado do cilindro forc¸ando a separac¸a˜o alternada, o nu´mero de Strouhal e o coeficiente de arrasto para um cilindro circular. As figuras 8 e 9 mostram a fotos com a evoluc¸a˜o do escoamento e sua separac¸a˜o, em torno de um cilindro circular com o tempo. 2 Influeˆncia do Nu´mero de Reynolds no Regime do Es- coamento Quando um cilindro circular encontra-se submetido a um escoamento retil´ıneo unidire- cional ha´ efetivamente o aparecimento de uma reac¸a˜o na direc¸a˜o do escoamento fruto da diferenc¸a de presso˜es em torno do cilindro motivada pelo desprendimento de vo´rtices. Uma pequena contribuic¸a˜o adicional existe por causa do atrito. O desprendimento de vo´rtices tem sua origem na separac¸a˜o do escoamento na camada limite, cujo comportamento e´ func¸a˜o do nu´mero de Reynolds. O nu´mero de Reynolds carac- teriza a relac¸a˜o de predominaˆncia de forc¸as viscosas ou inerciais. Obtido atrave´s de estudos de semelhanc¸a entre modelos reduzido e proto´tipo, pela ana´lise dimensional, ou normalizac¸a˜o dos termos da equac¸a˜o de Navier-Stokes, pode-se dizer que quanto maior o seu valor maior a importaˆncia das forc¸as ine´rciais. Contrariamente a`s forc¸as viscosas, que teˆm um cara´ter or- SH Sphaier 6 Figura 3: Influeˆncia do Gradiente de Pressa˜o na Separac¸a˜o II SH Sphaier 7 Figura 4: Escoamento em torno de um cilindro circular: Regimes SH Sphaier 8 Figura 5: Mecanismo de Separac¸a˜o alternada Figura 6: Nu´mero de Strouhal SH Sphaier 9 Figura 7: Coeficiente de Arrasto denador forc¸ando o fluido a escoar em laˆminas, as forc¸as inerciais garantem a possibilidade de transfereˆncia de quantidade de movimento no sentido transversal a`s laˆminas fluidas de forma desordenada. Para valores de Re muito baixos, menores que 5 o escoamento e´ extremamente viscoso e governado pela forc¸as de pressa˜o e as forc¸as viscosas. O regime do escoamento e´ conhecido por escoamento lento ou como conhecidoem ingles creeping flow. Desconsiderando-se o caso de escoamento lento, com Re < 5, existe uma significativa diferenc¸a entre os regimes para nu´meros de Reynolds superiores e inferiores a 40 ∼ 50. Esta diferenc¸a reside no fato de na˜o haver desprendimento de vo´rtices para 5 < Re < 40 ∼ 50 e haver um desprendimento alternado de vo´rtices para Re > 40 ∼ 50. Este desprendimento se da´ de forma alternada fazendo com que a aparec¸a uma forc¸a transversal alternada, excitando oscilac¸o˜es transversais no caso de estruturas cil´ındricas circulares flex´ıveis, como e´ o caso de risers, linhas de trasmissa˜o, estruturas esbeltas, etc. Mesmo na direc¸a˜o do escoamento ha´ uma componente da forc¸a de arraste com cara´ter oscilato´rio com uma frequeˆncia igual ao dobro da frequeˆncia da oscilac¸a˜o transversal. Tratando-se de uma estrutura flex´ıvel, quando a frequeˆncia de desprendimento iguala-se a uma frequeˆncia natural da estrutura, esta esta´ sujeita a um amplificac¸a˜o da vibrac¸a˜o. A figura 4 retirada do livro de Blevins mostra os diversos regimes para diferentes nu´meros de Reynolds. E´ conveniente fazermos algumas observac¸o˜es sobre estas figuras para aumen- tarmos nossa compreensa˜o do fenoˆmeno. Re0 < Re < Re1 Distingui-se os seguintes regimes: • Re < Re0 em que Re0 ≈ 5 e´ o limite de ”creeping flow”. Neste regime observa-se que o SH Sphaier 10 Figura 8: Evoluc¸a˜o do escoamento em torno de um cilindro circular I SH Sphaier 11 Figura 9: Evoluc¸a˜o do escoamento em torno de um cilindro circular II SH Sphaier 12 escoamento na˜o apresenta nenhuma regia˜o recirculac¸a˜o. • Para nu´meros de Reynolds na faixa Re0 < Re < Re1 em que Re1 ≈ 40 dois vo´rtices aparecem na regia˜o a juzante. Este regime circulato´rio e´ esta´vel e na˜o ha´ liberac¸a˜o de vo´rtices. • Faixa de nu´meros de Reynolds entre Re1 < Re < Re2 em que Re2 ≈ 200. Ha´ o desprendimento dos vo´rtices de forma alternada, mas a esteira permanece com compor- tamento laminar. Deve-se salientar a observac¸a˜o feita por Gerrard em trabalho no Journal of Fluid Me- chanics em 1966. Inicialmente vamos discutir a questa˜o da instabilidade da linha diviso´ria entre os dois vo´rtices ”agarrados”ao cilindro manter uma forma em linha reta. Para nu´meros de Reynolds ate´ 40, a linha de separac¸a˜o entre os dois vo´rtices tem veloci- dade igual a zero junto ao corpo, varia´vel ao longo da linha retornando a zero no ponto onde a linha encontra a linha envolvendo os dois vo´rtices. Se fizermos cortes transversais a esta linha veremos que a velocidade varia ao longo destas linhas tranversais. Isto e´, observamos um escoamento com perfil do tipo ”shear flow”(perfil com cisalhamento). Em presenc¸a de viscosidade esta formac¸a˜o tende a estimular a formac¸a˜o de pequenos vo´rtices que, como consequeˆncia, tendem a desestabilizar a manutenc¸a˜o deste perfil de escoamento. Enquanto o nu´mero de Reynolds permanece baixo, as forc¸as viscosas dom- inando as forc¸as inerciais mante´m este quadro. A medida que o nu´mero de Reynolds cresce este quadro tende a desestabilizar e a linha diviso´ria perde seu cara´ter reto ondula e um vo´rtice tende a invadir o outro lado. Isto se da´ para nu´mero de Reynolds entre 40 e 50. Uma vez discutida esta questa˜o, observemos a figura 5 apresentada por Gerrard. Gerrard observou que a medida que um vo´rtice invade a regia˜o ocupada pelo outro vo´rtice ele tranmite vo´rticidade em treˆs trajeto´rias. Podemos observar que o fluxo de vorticidade que a separac¸a˜o da camada limite fornece ao vo´rtice superior tende a ser interrompido pela injec¸a˜o de vorticidade que o vo´rtice inferior realiza nas direc¸o˜es b e c. Uma vez interrompido o fornecimento de vorticidade, o vo´rtice flui atrave´s do escoamento, mas a separac¸a˜o da camada limite continua desprendendo vorticidade para o meio. Um novo vo´rtice vai se formando na parte superior e de forma similar ao que foi exposto acima, vai invadindo a regia˜o inferior ate´ forc¸ar a liberac¸a˜o do vo´rtice inferior e um novo ciclo se inicia. • Faixa de nu´meros de Reynolds entre Re2 < Re < Re3 em que Re2 ≈ 3×105. A camada limite junto ao corpo e´ laminar, existe o desprendimento alternado de vo´rtices, mas o regime da esteira e´ turbulento. SH Sphaier 13 • Faixa de nu´meros de Reynolds entre Re3 < Re < Re4 em que Re4 ≈ 3× 106. Esta e´ a fase de transic¸a˜o do escoamento na camada limite, passando de laminar a turbulento. O desprendimento dos vo´rtices e´ desordenado e a esteira e´ turbulenta. • Faixa de nu´meros de Reynolds entre Re4 < Re A camada limite junto ao corpo e´ turbulenta e volta a existir o desprendimento alternado de vo´rtices. Naturalmente o regime da esteira e´ turbulento. 3 Forc¸a de Arrasto e Transversal A partir de um certo nu´mero de Reynolds observa-se a separac¸a˜o da camada limite com uma liberac¸a˜o alternada de vo´rtices e distribuic¸a˜o de presso˜es flutuante em torno de um valor me´dio. A integrac¸a˜o das presso˜es fornece as forc¸as longitudinal (in-line) e transversal atuando no cilindro. Consequentemente a forc¸a longitudinal tem um valor me´dio diferente de zero em torno do qual ha´ uma flutuac¸a˜o da forc¸a. Ja´ a forc¸a transversal tem valor me´dio nulo e em torno dele oscila. Atrave´s de procedimentos experimentais as forc¸as sa˜o medidas e usando os princ´ıpios da ana´lise dimensional pode-se identificar os principais paraˆmetros intervenientes que carac- terizam o fenoˆmeno e determinar os grupos adimensionais a serem utilizados para conduzir as experieˆncias. Assim, testando-se um cilindro liso de sec¸a˜o circular com comprimento L, diaˆmetro D em um fluido com densidade ρ e viscosidade dinaˆmica µ escoando com velocidade U , as forc¸as, func¸o˜es dos paraˆmetros acima descritos, sa˜o dadas por: FD,L = fD,L(L,D, ρ, µ, U) e sa˜o escritas na forma adimensional: CD,L = FD,L 0.5ρDU2 = gD,L( ρUD µ ,L/D)gD,L(Re, L/D) Utilizando estas concluso˜es, conduz-se a experimentac¸a˜o para obtenc¸a˜o das forc¸as hidrodinaˆmicas de arrasto fD e transversal, ou de sustentac¸a˜o (lift) fL. Com o desprendimento alternado de vo´rtices observa-se uma flutuac¸a˜o nas forc¸as, que dependera´ do paraˆmetro L/D, e as forc¸as sa˜o enta˜o escritas na forma: FD = ρ 2 DU |U |(CD + CˆD sin(2ωs + ψs)) FL = ρ 2 DU |U |(CˆL sin(ωs + φs)) onde: CD - Coeficiente de arrasto me´dio func¸a˜o do nu´mero de Reynolds. SH Sphaier 14 CˆD - Amplitude do coeficiente de arrasto oscilato´rio func¸a˜o do nu´mero de Reynolds. CˆD - Amplitude do coeficiente de sustentac¸a˜o func¸a˜o do nu´mero de Reynolds. ωs - Frequeˆncia de desprendimento de vo´rtices nu´mero de Reynolds. A frequeˆncia de desprendimento depende da forma do corpo e do escoamento, isto e´, da forma do corpo e do nu´mero de Reynolds. Define-se como nu´mero de Strouhal a relac¸a˜o adimensional: St = ωsD 2piU O nu´mero de Strouhal St e´ enta˜o obtido experimentalmente para cilindros circulares em func¸a˜o do nu´mero de Reynolds. A figura 5 apresenta resultados experimentais que indicam uma pequena variac¸a˜o do nu´mero de Strouhal em func¸a˜o do nu´mero de Reynolds Re para o regime subcr´ıtico. No regime cr´ıtico ha´ uma dispersa˜o dos valores enquanto para o regime poscr´ıtico o nu´mero de Strouhal volta a variar pouco com o nu´mero de Reynolds. A figura 7 apresenta a curva de CD em func¸a˜o do Nu´mero de Reynolds para o caso de um cilindro r´ıgido. Observa-se claramente a brusca variac¸a˜o na regia˜o de transic¸a˜o do escoamento. Enquanto para a forc¸a me´dia in-line os resultados apresentados na figura 7 sa˜o ampla- menter aceitos e na˜o apresentam aspectos de dispersa˜o, o mesmo na˜o ocorre com os resultados para a forc¸a transversal. Esta dispersa˜o fica bem caracterizada pela figura 10 compiladapor Pantazopoulos de diversas publicac¸o˜es. Pode-se extrair as seguintes principais concluso˜es: Re < 104 O rms (valor me´dio quadra´tico) do coeficiente de sustentac¸a˜o, CL,rms varia entre 0.4 e 0.6 104 < Re < 105 Acima de 104 ha´ um acre´scimo considera´vel no valor de CL,rms chegando a valores entre 0.4 e 1.3 em torno do regime cr´ıtico 105 < Re < 106 No regime cr´ıtico a liberac¸a˜o de vo´rtices e´ desordenada tendo como consequeˆncia que a forc¸a transversal se torna pequena. O valor me´dio quadra´tico do coeficiente de sus- tentac¸a˜o tem seus valores na faixa 0.05 < CL,rms < 0.3 106 < Re Os poucos resultados experimentais apresentados nesta faixa indicam CL,rms > 0.4 Posteriormente Pantazopoulis separa os resultados obtidos em tunel de vento e em tanque com a´gua. SH Sphaier 15 Figura 10: Coeficientes de forc¸a transversal em um cilindro em escoamento retil´ıneo; Resul- tados reunidos por Pantazopoulis Figura 11: Coeficientes de forc¸as em um cilindro obtidos por Schewe SH Sphaier 16 Ao lado deste conjunto de dados reunidos por Pantazopoulis destaca-se o trabalho con- duzido por Schewe. Os resultados por ele apresentados esta˜o reunidos nos gra´ficos da figura 11. que dizem respeito a`s variac¸o˜es de CD, St e CL,rms em func¸a˜o do nu´mero de Reynolds. Destes resultados pode-se observar que para Re = 2 × 105 os coeficientes de arrasto e de sustentac¸a˜o valem CD = 1.1 e CL,rms ≈ 0.33. Quando o nu´mero de Reynolds alcanc¸a o valor Re ≈ 4 × 104 ambos coeficientes sofrem um aumento: CL,rms ≈ 0.38 e CD = 1.25. Com o aumento do nu´mero de Reynolds o coefiente de arrasto diminui suavemente ate´ o limite da transic¸a˜o. O coeficiente de sustentac¸a˜o tambe´m apresenta um decre´scimo pore´m mais acentuado. Em toda esta faixa de nu´mero de Re o nu´mero de Strouhal St permanece igual a 0.2. No limite do regime cr´ıtico o nu´mero de Strouhal tem um salto para 0.33. Para este Re a sustentac¸a˜o e´ dada por um valor me´dio distinto de zero e uma contribuic¸a˜o oscilato´ria. Um pequeno aumento no nu´mero de Reynolds faz com que o nu´mero de Strouhal salte para 0.5 e que a forc¸a de sustentac¸a˜o volte a oscilar em torno de zero. O valor me´dio da forc¸a de sustentac¸a˜o diferente de zero no in´ıcio da transic¸a˜o tem sua explicac¸a˜o com base no fato de a camada limite de somente um dos lados entrar na transic¸a˜o. Na faixa de transic¸a˜o os coeficientes de sustentac¸a˜o e de arrasto situam-se em torno de 0.2 e 0.3 respectivamente. Nesta faixa o nu´mero de Strouhal cai desde ≈ 0.5 ate´ 0.4. Apo´s a transic¸a˜o o coeficiente de sustentac¸a˜o cresce ate´ se situar em torno de 0.5. O nu´mero de Strouhal cresce linearmente com o logaritmo do nu´mero de Reynolds ate´ 0.3 para Re = 7× 106. O coeficiente de arrasto chega a 0.55. 4 Escoamento Retil´ıneo Oscilato´rio Esta sec¸a˜o concentra-se no estudo do escoamento em torno de um cilindro circular. Dos cap´ıtulos anteriores pode-se dizer que a forc¸a exercida por um escoamento potencial plano acelerado sobre um cilindro circular e´ dada por: f = CMρ piD2 4 u˙ = (1 + 1)ρ piD2 4 u˙ = (1 + CAD)ρ piD2 4 u˙ = 2ρ piD2 4 u˙ (1) onde: ρ e´ a massa espec´ıfica, D e´ o diaˆmetro do cilindro, u˙ e´ a acelerac¸a˜o das part´ıculas fluidas devida a`s ondas, no centro da sec¸a˜o e |CM | e´ o coeficiente de ine´rcia, e CAD e´ o coeficiente de massa adicional, neste caso igual a 1. Para um escoamento uniforme com velocidade incidente constante a forc¸a e´ dada por f = CD ρ 2 Du|u| (2) onde o coeficiente CD e´ o coeficiente de arrasto e e´ uma func¸a˜o do nu´mero de Reynolds, u e´ a velocidade das part´ıculas fluidas e |u| e´ o seu mo´dulo. Admitindo-se poss´ıvel a superposic¸a˜o desses dois efeitos no caso de um escoamento real com velocidade varia´vel, pode-se esperar que a forc¸a seja expressa pela soma das duas ex- presso˜es, pore´m com alterac¸a˜o dos valores do coeficiente CAD devido aos efeitos viscosos: f = fI + fD (3) SH Sphaier 17 Observando-se os efeitos de camada limite e seu descolamento, as caracter´ısticas do es- coamento potencial ficam consideravelmente modificadas. Pore´m, o efeito da forma do corpo continua causando perturbac¸o˜es na massa fluida fora da regia˜o da camada limite. Da mesma forma que anteriormente, ira´ provocar sobre o corpo presso˜es hidrodinaˆmicas responsa´veis por uma forc¸a resultante diferente de zero. Neste caso, entretanto, essas presso˜es sofrera˜o efeitos da viscosidade e do descolamento da camada limite. Esta interac¸a˜o de efeitos pode ser considerada fazendo CM depender do nu´mero de Reynolds Re, de tal forma que f = CM(Re)ρ piD2 4 u˙+ CD(Re) ρ 2 Du|u| (4) Para a determinac¸a˜o dos valores de CM e CD, para o ca´lculo das forc¸as devidas a`s ondas, outros paraˆmetros devem ser considerados, os quais representam a rugosidade da superf´ıcie do cilindro e o movimento oscilato´rio das part´ıculas fluidas. A expressa˜o acima pode ser aplicada tambe´m para o caso de tubos flex´ıveis, considerando as velocidades e acelerac¸o˜es locais do tubo v e v˙: f = CMρ piD2 4 u˙+ (CM − 1)ρpiD 2 4 v˙ + CD ρ 2 D(u− v)|u− v| (5) Esta abordagem foi proposta em 1950 por Morison et al. para o ca´lculo da forc¸a por unidade de comprimento atuante em um pilar cil´ındrico vertical em ondas, perpendicular ao eixo do cilindro: f = CD ρ 2 Du|u|+ CMρpiD 2 4 u˙ (6) onde: ρ - Massa espec´ıfica D - Diaˆmetro do Pilar u - Velocidade das part´ıculas fluidas devida a`s ondas, no centro da sec¸a˜o u˙ - Acelerac¸a˜o das part´ıculas fluidas devida a`s ondas, no centro da sec¸a˜o |u| - Mo´dulo da velocidade Desde a apresentac¸a˜o da fo´rmula de Morison muitos esforc¸os veˆm sendo desenvolvidos no sentido de se definir esquemas que permitam avaliar valores dos coeficientes CM e CD, para se poder determinar as forc¸as de onda com seguranc¸a. No desenvolvimento original, os resultados obtidos pela fo´rmula de Morison foram com- parados com resultados obtidos experimentalmente para um cilindro vertical, posicionado desde o fundo ate´ a superf´ıcie livre, ultrapassando a crista da onda. O perfil da onda no cilindro, e a forc¸a da onda, foram registrados simultaneamente durante as experieˆncias. As SH Sphaier 18 velocidades e as acelerac¸o˜es das part´ıculas foram avaliadas atrave´s da teoria linear de ondas de gravidade, ou teoria de Airy. Na determinac¸a˜o dos valores dos coeficientes CM e CD, os valores da forc¸a em fase com a acelerac¸a˜o foram medidos para velocidades nulas, e os valores da forc¸a em fase com a velocidade para acelerac¸a˜o nula. Keulegan e Carpenter conduziram algumas experieˆncias para o ca´lculo de forc¸as de onda, atuando em um cilindro, em 1958. O cilindro de teste foi colocado horizontalmente abaixo da superf´ıcie livre numa posic¸a˜o correspondente a um nodo de uma onda estaciona´ria, de comprimento de onda suficientemente grande em comparac¸a˜o com a profundidade. As ex- perieˆncias foram conduzidas para nu´meros de Reynolds variando entre 4 × 103 e 3 × 104, tendo como base a velocidade ma´xima da ”corrente”senoidal gerada, uma vez que d < L. Nessas experieˆncias na˜o foi observada nenhuma correlac¸a˜o entre os valores de CM e CD com o nu´mero de Reynolds. Foi determinada, entretanto, a dependeˆncia de CM e CD com o per´ıodo de oscilac¸a˜o. Os valores me´dios de CM e CD sa˜o func¸o˜es do nu´mero de Keulegan-Carpenter, KC, definido por KC = UmT D (7) onde: Um - e´ a velocidade ma´xima da corrente, T - e´ o per´ıodo da corrente e D - e´ o diaˆmetro do cilindro. Conve´m aqui salientar que a experieˆncia mostra a dependeˆncia dos resultados na relac¸a˜o entre a trajeto´ria das part´ıculas fluidas e o diaˆmetro do cilindro, e na˜o somente com o per´ıododa oscilac¸a˜o. O numerador do nu´mero de Keulegan-Carpenter expressa o deslocamento das part´ıculas fluidas no regime oscilato´rio. Lembrando do escoamento retilineo na˜o oscilato´rio in- cidindo sobre um cilindro, dizemos que o fluxo incide sobre o cilindro, desenvolve-se a camada limite, ha´ enta˜o a separac¸a˜o da camada limite e o consequente desprendimento alternado de vo´rtices. Admitindo que o fluxo e´ oscilato´rio o escoamento que retorna sobre o cilindro na˜o e´ mais retilineo uniforme, pore´m esta´ contaminado por vo´rtices. Se a trajeto´ria oscilato´ria das part´ıculas e´ longa em relac¸a˜o ao diaˆmetro (grande relac¸a˜o amplitude do escoamento / diaˆmetro sem a presenc¸a do cilindro), havera´ um comportamento similar ao do escoamento retil´ıneo pore´m com oscilac¸o˜es que provocara´ uma liberac¸a˜o de vo´rtices alterada, que na˜o necessariamente respeite o nu´mero de Strouhal, podendo gerar forc¸as que oscilam em uma combinac¸a˜o de frequeˆncias, pore´m obedecendo um comportamento regular ao longo das diver- sas oscilac¸o˜es. Este comportamento pode ser bastante alterado se a oscilac¸a˜o do escoamento se da´ com uma trajeto´ria pequena (pequena relac¸a˜o amplitude do escoamento / diaˆmetro sem a presenc¸a do cilindro), o comportamento da forc¸a lateral devera´ ser bastante irregular. Nas experieˆncias o nu´mero de Keulegan-Carpenter variava entre 2 e 120. A comparac¸a˜o de forc¸as me´dias em cilindros calculadas atrave´s da teoria linear indicou uma concordaˆncia SH Sphaier 19 muito boa, exceto para KC = 15, onde foram verificadas diferenc¸as da ordem de 20%. Este comportamento esta´ de acordo com o que se espera quando a amplitude da oscilac¸a˜o do escoamento e´ pequena em relac¸a˜o ao diaˆmetro do cilindro, pequeno nu´mero de Keulegan- Carpenter, pequeno numerador em relac¸a˜o ao denominador. Outros trabalhos de interesse foram elaborados atrave´s de experieˆncias de laborato´rios para nu´meros de Reynolds baixos, apontando para a dependeˆncia dos coeficientes CM e CD no nu´mero de Keulegan-Carpenter. Como as medic¸o˜es em laborato´rio e no campo estavam associadas a presenc¸a de ondas os resultados de CM e CD dependiam da teoria de onda utilizada para representar os campos de velocidade e acelerac¸a˜o. Ale´m disto, na˜o se conseguia varrer uma faixa significativa de nu´meros de Reynolds e de Keulegan-Carpenter. Tentando eliminar estes problemas Sarpkaya e va´rios colaboradores desenvolveram ex- perieˆncias em laborato´rio para cilindros com va´rias rugosidades colocadas em escoamento os- cilato´rio, utilizando tubos em U, verticais. Nestas experieˆncias foi feita uma ampla variac¸a˜o dos nu´meros de Reynolds, de 104 a 7 x 105 e de Keulegan-Carpenter, de 0 a 200. Os resulta- dos obtidos para CM e CD mostram pouca dispersa˜o. CM varia entre 0.7 e 2.1, sendo func¸a˜o do nu´mero de Reynolds, do nu´mero de Keulegan-Carpenter, e da rugosidade relativa. CD e´ func¸a˜o dos mesmos nu´meros adimensionais, e alcanc¸a valores ate´ 2.1. As forc¸as calculadas mostram excelente concordaˆncia com medic¸o˜es, a menos de valores compreendidos entre 10 e 20, para o nu´mero de Keulegan-Carpenter. SH Sphaier 20 Figura 12: Regio˜es de Validade da Formulac¸a˜o de Morison SH Sphaier 21 Figura 13: Cm e Cd de uma Sec¸a˜o Circular para Baixos Nu´meros de Reynolds em um Escoamento Oscilato´rio SH Sphaier 22 Figura 14: Cd de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilato´rio SH Sphaier 23 Figura 15: Cm de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilato´rio SH Sphaier 24 Figura 16: Cd de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 60 em um Escoamento Oscilato´rio SH Sphaier 25 Figura 17: Cm de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 60 em um Escoamento Oscilato´rio SH Sphaier 26 Figura 18: Cd de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 100 em um Escoamento Oscilato´rio SH Sphaier 27 Figura 19: Cm de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 100 em um Escoamento Oscilato´rio A figura mostra um esquema das regio˜es de aplicac¸a˜o da formulac¸a˜o de Morison. As figuras 4 a 19 apresentam alguns resultados experimentais obtidos por Sarpkaya e seus colaboradores para os coeficientes Cm e CD. 5 Escoamento Incidindo sobre Cilindro com Base Ela´stica Acima foi dito que o desprendimento de forma alternada provoca uma forc¸a transversal al- ternada, excitando oscilac¸o˜es transversais no caso de estruturas cil´ındricas circulares flex´ıveis, como e´ o caso de risers, linhas de trasmissa˜o, estruturas esbeltas, etc. No sentido de se ter um maior conhecimento do fenoˆmeno e´ interessante relatar a experieˆncia realizada por Feng. Um cilindro de sec¸a˜o circular com eixo colocado no plano horizontal foi submetido a um escoamento na direc¸a˜o perpendicular a seu eixo. Uma mola tranversal ao eixo do cilindro SH Sphaier 28 foi utilizada para liga´-lo ao solo permitindo. A velocidade foi aumentada gradativamente. A figura 20 mostra um esquema da experieˆncia desenvolvida. Observou-se que a medida que a velocidade aumentava a frequeˆncia de desprendimento de vo´rtices aumentava mantendo-se o nu´mero de Strouhal constante em torno de 2. Quando a frequeˆncia de desprendimento de vo´rtices alcanc¸ava a frequeˆncia natural de vibrac¸a˜o da estrutura esta apresentava uma amplificac¸a˜o do movimento e mesmo aumentando-se a velocidade do escoamento a frequeˆncia de desprendimento de vo´rtices deixava de crescer sintonizando-se na frequeˆncia da estrutura. Conve´m ressaltar que no caso de estruturas r´ıgidas a frequeˆncia de desprendimento continuaria a aumentar mantendo-se o nu´mero de Strouhal em torno de 2. A figura 21 mostra os resultados da experieˆncia de Feng indicando a amplificac¸a˜o nos valores de CD com a variac¸a˜o da velocidade reduzida. A velocidade reduzida e´ dada pela relac¸a˜o U/(f ·D) onde U e´ a velocidade do escoamento incidente, f e´ a frequeˆncia de oscilac¸a˜o do cilindro e D e´ o diaˆmetro. A experieˆncia de Feng, associada a outras similares, destaca algumas questo˜es interessantes que merecem ser comentadas: 1. O cilindro tem sua oscilac¸a˜o transversal amplificada a medida que a frequeˆncia de de- sprendimento de vo´rtices iguala-se a sua frequeˆncia de oscilac¸a˜o. A esta ocorreˆncia de sintonizac¸a˜o da frequeˆncia da´-se o nome de lock-in. Diversas outras expresso˜es sa˜o utilizadas na literatura. Diz-se, por exemplo, que a frequeˆncia da vibrac¸a˜o do cilin- dro captura e controla a frequeˆncia de desprendimento de vo´rtices, passando a reger o fenoˆmeno de desprendimento. 2. As condic¸o˜es de contorno modificam-se junto do cilindro podendo a sequeˆncia de de- sprendimento ser modificada. Observa-se que a frequeˆncia de desprendimento sintoniza na frequeˆncia da oscilac¸a˜o, Embora a velocidade incidente possa variar, ha´ uma variac¸a˜o da frequeˆncia natural pore´m mantendo a frequeˆncia de desprendimento controlada (sin- tonisada). 3. A frequeˆncia de desprendimento na˜o fica sintonizada em um u´nico valor. O fenoˆmeno se da´ para uma faixa de velocidades. Uma vez que a frequeˆncia e´ a raiz quadrada da relac¸a˜o do coeficiente de mola pela soma da massa do corpo mais a massa adicional e a massa adicional e´ uma integrac¸a˜o de presso˜es que dependem das caracter´ısticas do escoamento, a frequeˆncia natural na˜o e´ fixa, e sera´ sens´ıvel a` relac¸a˜o entre a massa adicional e a massa do corpo. E, no caso, a massa adicional depende somente da densidade do fluido, da forma do corpo e da frequeˆncia da oscilac¸a˜o, que influencia no fenoˆmeno de separac¸a˜o, e de certa forma da amplitude da oscilac¸a˜o. 4. A frequeˆncia de liberac¸a˜o de vo´rtices sofre a influeˆncia da sintonizac¸a˜o ou na˜o com a da frequeˆncia natural do cilindro. Para uma estrutura flex´ıvel existe uma se´rie de poss´ıveisfrequeˆncias naturais de vibrac¸a˜o. A cada vez que uma esta´ sintonizada com a frequeˆncia SH Sphaier 29 de liberac¸a˜o de vo´rtices a estrutura tende a ter o modo de vibrac¸a˜o correspondente amplificado. 5. Com a sintonizac¸a˜o da vibrac¸a˜o, ha´ tambe´m um acre´scimo do coeficiente de arrasto o que traz danos estruturais. 6. A sintonizac¸a˜o a frequeˆncia de liberac¸a˜o de vo´rtices na frequeˆncia do movimento transver- sal, no caso a frequeˆncia natural do sistema, esta´ vinculada a` amplitude do movimento transversal. Existe um valor mı´nimo para haver sintonia. Existe um valor a partir do qual a frequeˆncia do movimento na˜o controla a frequeˆncia de liberac¸a˜o de vo´rtices. Figura 20: Cilindro em uma base ela´stica em um escoamento - esquema SH Sphaier 30 Figura 21: Cilindro em uma base ela´stica em um escoamento - Resultados SH Sphaier 31 Figuras Adicionais Figura 22: Distribuic¸a˜o de pressa˜o um Cilindro Circular em Func¸a˜o do Nu´mero de Reynolds - Resultados Mostrados no Livro de Faltinsen SH Sphaier 32 Figura 23: Posic¸a˜o do Ponto de Separac¸a˜o para Distintos Nu´meros de Reynolds - Resultados Mostrados no Livro de Faltinsen SH Sphaier 33 Figura 24: Cd para Cilindro Circular - Resultados Mostrados no Livro de Faltinsen Refereˆncias [1] Blevins, R.D., Flow Induced Vibration; van Norstrand Reinhold Company, 1977, Livro. [2] Feng, C.C. The Measurement of Vortex-Induced Effects in Flow Past Stationary and Oscillating Circulator and D-Section Cylinder, M.Sc. Thesis, University of British Columbia, 1968. [3] Gerrard, J.H. The Mechanics of the formation region of vortices behind bluff bodies, J. Fluid Mechanics, 25, 1966. [4] Keulegan, G.H. e Carpenter L.H., Forces on Cylinders and plates in an oscillating fluid, J. Research of the National Bureau of Standars, 60, Maio 1958. [5] Pantazopoulos, M.S., Vortex, Induced Vibration Parameters: Critical review, OMAE; vol.1 pag 149, 1994. [6] Schewe, G, On the Force Fluctuations Acting on a Circular Cylinder in Cross-flow from Subcritical up to transcritical Reynolds Numbers, J. Fluid Mechanics, 133, 1993.
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