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Hidrodinamica de Cilindro

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Pantazopoulos de diversas publicac¸o˜es. Pode-se extrair as seguintes principais concluso˜es:
Re < 104
O rms (valor me´dio quadra´tico) do coeficiente de sustentac¸a˜o, CL,rms varia entre 0.4 e
0.6
104 < Re < 105
Acima de 104 ha´ um acre´scimo considera´vel no valor de CL,rms chegando a valores entre
0.4 e 1.3
em torno do regime cr´ıtico 105 < Re < 106
No regime cr´ıtico a liberac¸a˜o de vo´rtices e´ desordenada tendo como consequeˆncia que
a forc¸a transversal se torna pequena. O valor me´dio quadra´tico do coeficiente de sus-
tentac¸a˜o tem seus valores na faixa 0.05 < CL,rms < 0.3
106 < Re
Os poucos resultados experimentais apresentados nesta faixa indicam CL,rms > 0.4
Posteriormente Pantazopoulis separa os resultados obtidos em tunel de vento e em tanque
com a´gua.
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Figura 10: Coeficientes de forc¸a transversal em um cilindro em escoamento retil´ıneo; Resul-
tados reunidos por Pantazopoulis
Figura 11: Coeficientes de forc¸as em um cilindro obtidos por Schewe
SH Sphaier 16
Ao lado deste conjunto de dados reunidos por Pantazopoulis destaca-se o trabalho con-
duzido por Schewe. Os resultados por ele apresentados esta˜o reunidos nos gra´ficos da figura
11. que dizem respeito a`s variac¸o˜es de CD, St e CL,rms em func¸a˜o do nu´mero de Reynolds.
Destes resultados pode-se observar que para Re = 2 × 105 os coeficientes de arrasto e de
sustentac¸a˜o valem CD = 1.1 e CL,rms ≈ 0.33. Quando o nu´mero de Reynolds alcanc¸a o valor
Re ≈ 4 × 104 ambos coeficientes sofrem um aumento: CL,rms ≈ 0.38 e CD = 1.25. Com
o aumento do nu´mero de Reynolds o coefiente de arrasto diminui suavemente ate´ o limite
da transic¸a˜o. O coeficiente de sustentac¸a˜o tambe´m apresenta um decre´scimo pore´m mais
acentuado. Em toda esta faixa de nu´mero de Re o nu´mero de Strouhal St permanece igual
a 0.2. No limite do regime cr´ıtico o nu´mero de Strouhal tem um salto para 0.33. Para este
Re a sustentac¸a˜o e´ dada por um valor me´dio distinto de zero e uma contribuic¸a˜o oscilato´ria.
Um pequeno aumento no nu´mero de Reynolds faz com que o nu´mero de Strouhal salte para
0.5 e que a forc¸a de sustentac¸a˜o volte a oscilar em torno de zero. O valor me´dio da forc¸a
de sustentac¸a˜o diferente de zero no in´ıcio da transic¸a˜o tem sua explicac¸a˜o com base no fato
de a camada limite de somente um dos lados entrar na transic¸a˜o. Na faixa de transic¸a˜o
os coeficientes de sustentac¸a˜o e de arrasto situam-se em torno de 0.2 e 0.3 respectivamente.
Nesta faixa o nu´mero de Strouhal cai desde ≈ 0.5 ate´ 0.4. Apo´s a transic¸a˜o o coeficiente de
sustentac¸a˜o cresce ate´ se situar em torno de 0.5. O nu´mero de Strouhal cresce linearmente
com o logaritmo do nu´mero de Reynolds ate´ 0.3 para Re = 7× 106. O coeficiente de arrasto
chega a 0.55.
4 Escoamento Retil´ıneo Oscilato´rio
Esta sec¸a˜o concentra-se no estudo do escoamento em torno de um cilindro circular. Dos
cap´ıtulos anteriores pode-se dizer que a forc¸a exercida por um escoamento potencial plano
acelerado sobre um cilindro circular e´ dada por:
f = CMρ
piD2
4
u˙ = (1 + 1)ρ
piD2
4
u˙ = (1 + CAD)ρ
piD2
4
u˙ = 2ρ
piD2
4
u˙ (1)
onde: ρ e´ a massa espec´ıfica, D e´ o diaˆmetro do cilindro, u˙ e´ a acelerac¸a˜o das part´ıculas fluidas
devida a`s ondas, no centro da sec¸a˜o e |CM | e´ o coeficiente de ine´rcia, e CAD e´ o coeficiente de
massa adicional, neste caso igual a 1. Para um escoamento uniforme com velocidade incidente
constante a forc¸a e´ dada por
f = CD
ρ
2
Du|u| (2)
onde o coeficiente CD e´ o coeficiente de arrasto e e´ uma func¸a˜o do nu´mero de Reynolds, u e´
a velocidade das part´ıculas fluidas e |u| e´ o seu mo´dulo.
Admitindo-se poss´ıvel a superposic¸a˜o desses dois efeitos no caso de um escoamento real
com velocidade varia´vel, pode-se esperar que a forc¸a seja expressa pela soma das duas ex-
presso˜es, pore´m com alterac¸a˜o dos valores do coeficiente CAD devido aos efeitos viscosos:
f = fI + fD (3)
SH Sphaier 17
Observando-se os efeitos de camada limite e seu descolamento, as caracter´ısticas do es-
coamento potencial ficam consideravelmente modificadas. Pore´m, o efeito da forma do corpo
continua causando perturbac¸o˜es na massa fluida fora da regia˜o da camada limite. Da mesma
forma que anteriormente, ira´ provocar sobre o corpo presso˜es hidrodinaˆmicas responsa´veis
por uma forc¸a resultante diferente de zero. Neste caso, entretanto, essas presso˜es sofrera˜o
efeitos da viscosidade e do descolamento da camada limite. Esta interac¸a˜o de efeitos pode ser
considerada fazendo CM depender do nu´mero de Reynolds Re, de tal forma que
f = CM(Re)ρ
piD2
4
u˙+ CD(Re)
ρ
2
Du|u| (4)
Para a determinac¸a˜o dos valores de CM e CD, para o ca´lculo das forc¸as devidas a`s ondas,
outros paraˆmetros devem ser considerados, os quais representam a rugosidade da superf´ıcie
do cilindro e o movimento oscilato´rio das part´ıculas fluidas.
A expressa˜o acima pode ser aplicada tambe´m para o caso de tubos flex´ıveis, considerando
as velocidades e acelerac¸o˜es locais do tubo v e v˙:
f = CMρ
piD2
4
u˙+ (CM − 1)ρpiD
2
4
v˙ + CD
ρ
2
D(u− v)|u− v| (5)
Esta abordagem foi proposta em 1950 por Morison et al. para o ca´lculo da forc¸a por
unidade de comprimento atuante em um pilar cil´ındrico vertical em ondas, perpendicular ao
eixo do cilindro:
f = CD
ρ
2
Du|u|+ CMρpiD
2
4
u˙ (6)
onde:
ρ - Massa espec´ıfica
D - Diaˆmetro do Pilar
u - Velocidade das part´ıculas fluidas devida a`s ondas, no centro da sec¸a˜o
u˙ - Acelerac¸a˜o das part´ıculas fluidas devida a`s ondas, no centro da sec¸a˜o
|u| - Mo´dulo da velocidade
Desde a apresentac¸a˜o da fo´rmula de Morison muitos esforc¸os veˆm sendo desenvolvidos no
sentido de se definir esquemas que permitam avaliar valores dos coeficientes CM e CD, para
se poder determinar as forc¸as de onda com seguranc¸a.
No desenvolvimento original, os resultados obtidos pela fo´rmula de Morison foram com-
parados com resultados obtidos experimentalmente para um cilindro vertical, posicionado
desde o fundo ate´ a superf´ıcie livre, ultrapassando a crista da onda. O perfil da onda no
cilindro, e a forc¸a da onda, foram registrados simultaneamente durante as experieˆncias. As
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velocidades e as acelerac¸o˜es das part´ıculas foram avaliadas atrave´s da teoria linear de ondas
de gravidade, ou teoria de Airy. Na determinac¸a˜o dos valores dos coeficientes CM e CD, os
valores da forc¸a em fase com a acelerac¸a˜o foram medidos para velocidades nulas, e os valores
da forc¸a em fase com a velocidade para acelerac¸a˜o nula.
Keulegan e Carpenter conduziram algumas experieˆncias para o ca´lculo de forc¸as de onda,
atuando em um cilindro, em 1958. O cilindro de teste foi colocado horizontalmente abaixo
da superf´ıcie livre numa posic¸a˜o correspondente a um nodo de uma onda estaciona´ria, de
comprimento de onda suficientemente grande em comparac¸a˜o com a profundidade. As ex-
perieˆncias foram conduzidas para nu´meros de Reynolds variando entre 4 × 103 e 3 × 104,
tendo como base a velocidade ma´xima da ”corrente”senoidal gerada, uma vez que d < L.
Nessas experieˆncias na˜o foi observada nenhuma correlac¸a˜o entre os valores de CM e CD com o
nu´mero de Reynolds. Foi determinada, entretanto, a dependeˆncia de CM e CD com o per´ıodo
de oscilac¸a˜o. Os valores me´dios de CM e CD sa˜o func¸o˜es do nu´mero de Keulegan-Carpenter,
KC, definido por
KC =
UmT
D
(7)
onde:
Um - e´ a velocidade ma´xima da corrente,
T - e´ o per´ıodo da corrente e
D - e´ o diaˆmetro do cilindro.
Conve´m aqui salientar que a experieˆncia mostra a dependeˆncia dos resultados na relac¸a˜o
entre a trajeto´ria das part´ıculas fluidas e o diaˆmetro do cilindro, e na˜o somente com o per´ıodo