Hidrodinamica de Cilindro

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Programa de Engenharia Oceaˆnica
COPPE / UFRJ
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Escoamento em torno de um Cilindro Circular
SH Sphaier
Julho de 2004
SH Sphaier 2
1 Efeito do Gradiente de Pressa˜o: Separac¸a˜o
Quando estudamos escoamentos potenciais planos, determinamos o campo de velocidades
para o caso de um escoamento retil´ıneo permanente incidindo sobre um c´ırculo. Conclu´ımos
que a velocidade tangencial ao longo do contorno do c´ırculo e´ dada por
vθ = −2U sin θ,
isto e´, ha´ dois pontos de estagnac¸a˜o um para θ = pi, a montante, e o outro para θ = 0, a
juzante. A velocidade ma´xima e´ alcanc¸ada em θ = pi/2 e θ = 3pi/2, e seu valor e´ o dobro
da velocidade do escoamento incidente. Utilizando-se a Equac¸a˜o de Bernoulli, tem-se que a
pressa˜o e´ dada por
pd = pd,∞ +
1
2
(U2 − u2θ)
Nos pontos de estagnac¸a˜o a pressa˜o e´ ma´xima
pd(θ = pi) = pd(θ = 0) = pd,∞ +
1
2
U2
e nos pontos onde a velocidade e´ ma´xima, a pressa˜o e´ mı´nima:
pd(θ = pi/2) = pd(θ = 3pi/2) = pd,∞ +
1
2
(U2 − (2U)2)
= pd,∞ − 3
2
U2
Com o efeito da viscosidade, caracterizado pelo aparecimento da camada limite e de sua sep-
arac¸a˜o junto ao cilindro, o campo de pressa˜o e´ altamente modificado dependendo do nu´mero
de Reynolds.
A figura 4 mostra a distribuic¸a˜o de presso˜es para um escoamento potencial, e as dis-
tribuic¸o˜es de pressa˜o para dois casos de escoamentos reais para dois nu´meros de Reynolds
distintos. Um referente a um escoamento laminar e o outro turbulento.
Estes resultados mostram que uma part´ıcula fluindo pro´xima ao c´ırculo, deslocando-se
de θ = pi para θ = pi/2, ao passar pelo primeiro ponto de estagnac¸a˜o desloca-se, tendo
um gradiente de pressa˜o favora´vel, aumentando assim sua velocidade. Ao passar pelo ponto
θ = pi/2 enfrenta um gradiente de pressa˜o desfavora´vel reduzindo sua velocidade. No caso de
escoamentos potenciais na˜o ha´ perdas e o ganho de energia cine´tica no segundo quadrante e´
usado para vencer o gradiente adverso de pressa˜o no primeiro quadrante.
No caso de escoamentos reais isto na˜o e´ mais poss´ıvel. Os efeitos viscosos por menores que
sejam, sa˜o acentuados na camada limite, e nela a velocidade junto a parede e´ nula. Assim, as
part´ıculas na camada limite na˜o acumulam energia cine´tica no segundo quadrante para vencer
o gradiente adverso do primeiro quadrante. Ha´ a separac¸a˜o do escoamento, transformando a
distribuic¸a˜o ao longo do c´ırculo, no primeiro e quarto quadrantes. As distribuic¸o˜es de pressa˜o
apresentadas na figura 4 mostram as diferenc¸as acentuadas para os treˆs casos.
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Figura 1: Escoamento em torno de um cilindro circular
SH Sphaier 4
As distribuic¸o˜es de pressa˜o mostram claramente que os pontos de mı´nima pressa˜o esta˜o
localizados pro´ximos aos pontos θ = pi/2 e θ = 3pi/2. As regio˜es das esteiras nos escoamentos
reais tornam-se regio˜es de baixa pressa˜o, entretanto, sem que fiquem abaixo da pressa˜o dos
pontos θ = pi/2 e θ = 3pi/2. Nos treˆs casos apresentados, a distribuic¸a˜o de pressa˜o na face
de ataque, pouco se modifica. Enquanto na face de fuga as diferenc¸as sa˜o acentuadas. A
integrac¸a˜o das presso˜es fornecem as forc¸as atuando sobre o c´ırculo. Com as distribuic¸o˜es de
pressa˜o observa-se que no caso de escoamento de fluido inv´ıscito, a forc¸a resultante (devida
a`s presso˜es) e´ nula, enquanto, para fluido real, devido a` separac¸a˜o do escoamento, essa forc¸a
e´ diferente de zero. Na realidade esta contribuic¸a˜o de forc¸a, na˜o somente e´ diferente de zero,
como supera bastante a contribuic¸ao das tenso˜es cisalhantes na camada limite.
Como vimos no caso do escoamento de Couette e Poisseuille, a superposic¸a˜o de um gradi-
ente de pressa˜o desfavora´vel ao efeito viscoso, aparece um retorno no escoamento. Observemos
que no caso da camada limite temos o efeito viscoso causando a reduc¸a˜o da velocidade, e uma
distribuic¸a˜o de pressa˜o que so´ dependera´ da situac¸a˜o externa a` camada limite. Se esta dis-
tribuic¸a˜o de pressa˜o externa a` camada limite gerar um gradiente de pressa˜o desfavora´vel no
sentido da camada limite podera´ haver uma inversa˜o do escoamento. Lembrando que, ao
longo do comprimento a camada limite vai engrossando e o aˆngulo que o perfil de velocidades
faz com a parede aumenta, e´ poss´ıvel que, sujeito a um gradiente adverso, o escoamento
alcance uma situac¸a˜o em que haja um retorno do escoamento. Isto quer dizer que havera´
um ponto de estagnac¸a˜o, e consequentemente um linha diviso´ria de duas regio˜es, uma em
que o escoamento tem que avanc¸ar e outra em que ha´ um retorno. Assim, o escoamento que
tem que avanc¸ar e´ obrigado a deixar a parede. A esta situac¸a˜o chamamos de separac¸a˜o do
escoamento. Devemos lembrar que um escoamento viscoso com alto nu´mero de Reynolds em
torno de um corpo, estara´ sujeito a separac¸a˜o, caso haja um gradiente de pressa˜o adverso.
No ponto onde a separac¸a˜o do escoamento ocorre a tensa˜o cisalhante e´ nula, e as ve-
locidades normal e tangencial a` parede sa˜o nulas. Considerando um sistema de refereˆncia
localizado na regia˜o de separac¸a˜o temos:
1
ρ
∂p
∂x
= ν(
∂2vx
∂x2
+
∂2vx
∂y2
)
e por outro lado admitindo que a pressa˜o fora da camada limite e´ regida pela caracter´ıstica
potencial do escoamento, temos portanto pela Equac¸a˜o de Euler
1
ρ
∂p
∂x
= U(x)
∂U
∂x
ν(
∂2vx
∂x2
+
∂2vx
∂y2
) = U(x)
∂U
∂x
As figuras 2 e 3 mostram a influeˆncia do gradiente de pressa˜o na separac¸a˜o da camada
limite.
SH Sphaier 5
Figura 2: Influeˆncia do Gradiente de Pressa˜o na Separac¸a˜oI
A seguir sa˜o mostradas as figuras 4, 5 e 6, que mostram os regimes de separac¸a˜o de acordo
com o nu´mero de Reynolds, o processo em que um vo´rtice lateral invade o outro lado do
cilindro forc¸ando a separac¸a˜o alternada, o nu´mero de Strouhal e o coeficiente de arrasto para
um cilindro circular.
As figuras 8 e 9 mostram a fotos com a evoluc¸a˜o do escoamento e sua separac¸a˜o, em torno
de um cilindro circular com o tempo.
2 Influeˆncia do Nu´mero de Reynolds no Regime do Es-
coamento
Quando um cilindro circular encontra-se submetido a um escoamento retil´ıneo unidire-
cional ha´ efetivamente o aparecimento de uma reac¸a˜o na direc¸a˜o do escoamento fruto da
diferenc¸a de presso˜es em torno do cilindro motivada pelo desprendimento de vo´rtices. Uma
pequena contribuic¸a˜o adicional existe por causa do atrito.
O desprendimento de vo´rtices tem sua origem na separac¸a˜o do escoamento na camada
limite, cujo comportamento e´ func¸a˜o do nu´mero de Reynolds. O nu´mero de Reynolds carac-
teriza a relac¸a˜o de predominaˆncia de forc¸as viscosas ou inerciais. Obtido atrave´s de estudos
de semelhanc¸a entre modelos reduzido e proto´tipo, pela ana´lise dimensional, ou normalizac¸a˜o
dos termos da equac¸a˜o de Navier-Stokes, pode-se dizer que quanto maior o seu valor maior a
importaˆncia das forc¸as ine´rciais. Contrariamente a`s forc¸as viscosas, que teˆm um cara´ter or-
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Figura 3: Influeˆncia do Gradiente de Pressa˜o na Separac¸a˜o II
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Figura 4: Escoamento em torno de um cilindro circular: Regimes
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Figura 5: Mecanismo de Separac¸a˜o alternada
Figura 6: Nu´mero de Strouhal
SH Sphaier 9
Figura 7: Coeficiente de Arrasto
denador forc¸ando o fluido a escoar em laˆminas, as forc¸as inerciais garantem a possibilidade de
transfereˆncia de quantidade de movimento no sentido transversal a`s laˆminas fluidas de forma
desordenada. Para valores de Re muito baixos, menores que 5 o escoamento e´ extremamente
viscoso e governado pela forc¸as de pressa˜o e as forc¸as viscosas. O regime do escoamento e´
conhecido por escoamento lento ou como conhecidoem ingles creeping flow.
Desconsiderando-se o caso de escoamento lento, com Re < 5, existe uma significativa
diferenc¸a entre os regimes para nu´meros de Reynolds superiores e inferiores a 40 ∼ 50. Esta
diferenc¸a reside no fato de na˜o haver desprendimento de vo´rtices para 5 < Re < 40 ∼ 50 e
haver um desprendimento alternado de vo´rtices para Re > 40 ∼ 50. Este desprendimento se
da´ de forma alternada fazendo com que a aparec¸a uma forc¸a transversal alternada, excitando
oscilac¸o˜es transversais no caso de estruturas cil´ındricas circulares flex´ıveis, como e´ o caso de
risers, linhas de trasmissa˜o, estruturas esbeltas, etc. Mesmo na direc¸a˜o do escoamento ha´
uma componente da forc¸a de arraste com cara´ter oscilato´rio com uma frequeˆncia igual ao
dobro da frequeˆncia da oscilac¸a˜o transversal. Tratando-se de uma estrutura flex´ıvel, quando
a frequeˆncia de desprendimento iguala-se a uma frequeˆncia natural da estrutura, esta esta´
sujeita a um amplificac¸a˜o da vibrac¸a˜o.
A figura 4 retirada do livro de Blevins mostra os diversos regimes para diferentes nu´meros
de Reynolds. E´ conveniente fazermos algumas observac¸o˜es sobre estas figuras para aumen-
tarmos nossa compreensa˜o do fenoˆmeno.
Re0 < Re < Re1 Distingui-se os seguintes regimes:
• Re < Re0 em que Re0 ≈ 5 e´ o limite de ”creeping flow”. Neste regime observa-se que o
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Figura 8: Evoluc¸a˜o do escoamento em torno de um cilindro circular I
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Figura 9: Evoluc¸a˜o do escoamento em torno de um cilindro circular II
SH Sphaier 12
escoamento na˜o apresenta nenhuma regia˜o recirculac¸a˜o.
• Para nu´meros de Reynolds na faixa Re0 < Re < Re1 em que Re1 ≈ 40 dois vo´rtices
aparecem na regia˜o a juzante. Este regime circulato´rio e´ esta´vel e na˜o ha´ liberac¸a˜o de
vo´rtices.
• Faixa de nu´meros de Reynolds entre Re1 < Re < Re2 em que Re2 ≈ 200. Ha´ o
desprendimento dos vo´rtices de forma alternada, mas a esteira permanece com compor-
tamento laminar.
Deve-se salientar a observac¸a˜o feita por Gerrard em trabalho no Journal of Fluid Me-
chanics em 1966.
Inicialmente vamos discutir a questa˜o da instabilidade da linha diviso´ria entre os dois
vo´rtices ”agarrados”ao cilindro manter uma forma em linha reta.
Para nu´meros de Reynolds ate´ 40, a linha de separac¸a˜o entre os dois vo´rtices tem veloci-
dade igual a zero junto ao corpo, varia´vel ao longo da linha retornando a zero no ponto
onde a linha encontra a linha envolvendo os dois vo´rtices. Se fizermos cortes transversais
a esta linha veremos que a velocidade varia ao longo destas linhas tranversais. Isto e´,
observamos um escoamento com perfil do tipo ”shear flow”(perfil com cisalhamento).
Em presenc¸a de viscosidade esta formac¸a˜o tende a estimular a formac¸a˜o de pequenos
vo´rtices que, como consequeˆncia, tendem a desestabilizar a manutenc¸a˜o deste perfil de
escoamento. Enquanto o nu´mero de Reynolds permanece baixo, as forc¸as viscosas dom-
inando as forc¸as inerciais mante´m este quadro. A medida que o nu´mero de Reynolds
cresce este quadro tende a desestabilizar e a linha diviso´ria perde seu cara´ter reto ondula
e um vo´rtice tende a invadir o outro lado. Isto se da´ para nu´mero de Reynolds entre 40
e 50.
Uma vez discutida esta questa˜o, observemos a figura 5 apresentada por Gerrard. Gerrard
observou que a medida que um vo´rtice invade a regia˜o ocupada pelo outro vo´rtice ele
tranmite vo´rticidade em treˆs trajeto´rias. Podemos observar que o fluxo de vorticidade
que a separac¸a˜o da camada limite fornece ao vo´rtice superior tende a ser interrompido
pela injec¸a˜o de vorticidade que o vo´rtice inferior realiza nas direc¸o˜es b e c. Uma vez
interrompido o fornecimento de vorticidade, o vo´rtice flui atrave´s do escoamento, mas a
separac¸a˜o da camada limite continua desprendendo vorticidade para o meio. Um novo
vo´rtice vai se formando na parte superior e de forma similar ao que foi exposto acima,
vai invadindo a regia˜o inferior ate´ forc¸ar a liberac¸a˜o do vo´rtice inferior e um novo ciclo
se inicia.
• Faixa de nu´meros de Reynolds entre Re2 < Re < Re3 em que Re2 ≈ 3×105. A camada
limite junto ao corpo e´ laminar, existe o desprendimento alternado de vo´rtices, mas o
regime da esteira e´ turbulento.
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• Faixa de nu´meros de Reynolds entre Re3 < Re < Re4 em que Re4 ≈ 3× 106. Esta e´ a
fase de transic¸a˜o do escoamento na camada limite, passando de laminar a turbulento.
O desprendimento dos vo´rtices e´ desordenado e a esteira e´ turbulenta.
• Faixa de nu´meros de Reynolds entre Re4 < Re A camada limite junto ao corpo e´
turbulenta e volta a existir o desprendimento alternado de vo´rtices. Naturalmente o
regime da esteira e´ turbulento.
3 Forc¸a de Arrasto e Transversal
A partir de um certo nu´mero de Reynolds observa-se a separac¸a˜o da camada limite com
uma liberac¸a˜o alternada de vo´rtices e distribuic¸a˜o de presso˜es flutuante em torno de um valor
me´dio. A integrac¸a˜o das presso˜es fornece as forc¸as longitudinal (in-line) e transversal atuando
no cilindro. Consequentemente a forc¸a longitudinal tem um valor me´dio diferente de zero em
torno do qual ha´ uma flutuac¸a˜o da forc¸a. Ja´ a forc¸a transversal tem valor me´dio nulo e em
torno dele oscila.
Atrave´s de procedimentos experimentais as forc¸as sa˜o medidas e usando os princ´ıpios
da ana´lise dimensional pode-se identificar os principais paraˆmetros intervenientes que carac-
terizam o fenoˆmeno e determinar os grupos adimensionais a serem utilizados para conduzir
as experieˆncias. Assim, testando-se um cilindro liso de sec¸a˜o circular com comprimento L,
diaˆmetro D em um fluido com densidade ρ e viscosidade dinaˆmica µ escoando com velocidade
U , as forc¸as, func¸o˜es dos paraˆmetros acima descritos, sa˜o dadas por:
FD,L = fD,L(L,D, ρ, µ, U)
e sa˜o escritas na forma adimensional:
CD,L =
FD,L
0.5ρDU2
= gD,L(
ρUD
µ
,L/D)gD,L(Re, L/D)
Utilizando estas concluso˜es, conduz-se a experimentac¸a˜o para obtenc¸a˜o das forc¸as hidrodinaˆmicas
de arrasto fD e transversal, ou de sustentac¸a˜o (lift) fL. Com o desprendimento alternado de
vo´rtices observa-se uma flutuac¸a˜o nas forc¸as, que dependera´ do paraˆmetro L/D, e as forc¸as
sa˜o enta˜o escritas na forma:
FD =
ρ
2
DU |U |(CD + CˆD sin(2ωs + ψs))
FL =
ρ
2
DU |U |(CˆL sin(ωs + φs))
onde:
CD - Coeficiente de arrasto me´dio func¸a˜o do nu´mero de Reynolds.
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CˆD - Amplitude do coeficiente de arrasto oscilato´rio func¸a˜o do nu´mero de Reynolds.
CˆD - Amplitude do coeficiente de sustentac¸a˜o func¸a˜o do nu´mero de Reynolds.
ωs - Frequeˆncia de desprendimento de vo´rtices nu´mero de Reynolds.
A frequeˆncia de desprendimento depende da forma do corpo e do escoamento, isto e´, da
forma do corpo e do nu´mero de Reynolds. Define-se como nu´mero de Strouhal a relac¸a˜o
adimensional:
St =
ωsD
2piU
O nu´mero de Strouhal St e´ enta˜o obtido experimentalmente para cilindros circulares em
func¸a˜o do nu´mero de Reynolds. A figura 5 apresenta resultados experimentais que indicam
uma pequena variac¸a˜o do nu´mero de Strouhal em func¸a˜o do nu´mero de Reynolds Re para o
regime subcr´ıtico. No regime cr´ıtico ha´ uma dispersa˜o dos valores enquanto para o regime
poscr´ıtico o nu´mero de Strouhal volta a variar pouco com o nu´mero de Reynolds.
A figura 7 apresenta a curva de CD em func¸a˜o do Nu´mero de Reynolds para o caso de um
cilindro r´ıgido. Observa-se claramente a brusca variac¸a˜o na regia˜o de transic¸a˜o do escoamento.
Enquanto para a forc¸a me´dia in-line os resultados apresentados na figura 7 sa˜o ampla-
menter aceitos e na˜o apresentam aspectos de dispersa˜o, o mesmo na˜o ocorre com os resultados
para a forc¸a transversal. Esta dispersa˜o fica bem caracterizada pela figura 10 compiladapor
Pantazopoulos de diversas publicac¸o˜es. Pode-se extrair as seguintes principais concluso˜es:
Re < 104
O rms (valor me´dio quadra´tico) do coeficiente de sustentac¸a˜o, CL,rms varia entre 0.4 e
0.6
104 < Re < 105
Acima de 104 ha´ um acre´scimo considera´vel no valor de CL,rms chegando a valores entre
0.4 e 1.3
em torno do regime cr´ıtico 105 < Re < 106
No regime cr´ıtico a liberac¸a˜o de vo´rtices e´ desordenada tendo como consequeˆncia que
a forc¸a transversal se torna pequena. O valor me´dio quadra´tico do coeficiente de sus-
tentac¸a˜o tem seus valores na faixa 0.05 < CL,rms < 0.3
106 < Re
Os poucos resultados experimentais apresentados nesta faixa indicam CL,rms > 0.4
Posteriormente Pantazopoulis separa os resultados obtidos em tunel de vento e em tanque
com a´gua.
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Figura 10: Coeficientes de forc¸a transversal em um cilindro em escoamento retil´ıneo; Resul-
tados reunidos por Pantazopoulis
Figura 11: Coeficientes de forc¸as em um cilindro obtidos por Schewe
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Ao lado deste conjunto de dados reunidos por Pantazopoulis destaca-se o trabalho con-
duzido por Schewe. Os resultados por ele apresentados esta˜o reunidos nos gra´ficos da figura
11. que dizem respeito a`s variac¸o˜es de CD, St e CL,rms em func¸a˜o do nu´mero de Reynolds.
Destes resultados pode-se observar que para Re = 2 × 105 os coeficientes de arrasto e de
sustentac¸a˜o valem CD = 1.1 e CL,rms ≈ 0.33. Quando o nu´mero de Reynolds alcanc¸a o valor
Re ≈ 4 × 104 ambos coeficientes sofrem um aumento: CL,rms ≈ 0.38 e CD = 1.25. Com
o aumento do nu´mero de Reynolds o coefiente de arrasto diminui suavemente ate´ o limite
da transic¸a˜o. O coeficiente de sustentac¸a˜o tambe´m apresenta um decre´scimo pore´m mais
acentuado. Em toda esta faixa de nu´mero de Re o nu´mero de Strouhal St permanece igual
a 0.2. No limite do regime cr´ıtico o nu´mero de Strouhal tem um salto para 0.33. Para este
Re a sustentac¸a˜o e´ dada por um valor me´dio distinto de zero e uma contribuic¸a˜o oscilato´ria.
Um pequeno aumento no nu´mero de Reynolds faz com que o nu´mero de Strouhal salte para
0.5 e que a forc¸a de sustentac¸a˜o volte a oscilar em torno de zero. O valor me´dio da forc¸a
de sustentac¸a˜o diferente de zero no in´ıcio da transic¸a˜o tem sua explicac¸a˜o com base no fato
de a camada limite de somente um dos lados entrar na transic¸a˜o. Na faixa de transic¸a˜o
os coeficientes de sustentac¸a˜o e de arrasto situam-se em torno de 0.2 e 0.3 respectivamente.
Nesta faixa o nu´mero de Strouhal cai desde ≈ 0.5 ate´ 0.4. Apo´s a transic¸a˜o o coeficiente de
sustentac¸a˜o cresce ate´ se situar em torno de 0.5. O nu´mero de Strouhal cresce linearmente
com o logaritmo do nu´mero de Reynolds ate´ 0.3 para Re = 7× 106. O coeficiente de arrasto
chega a 0.55.
4 Escoamento Retil´ıneo Oscilato´rio
Esta sec¸a˜o concentra-se no estudo do escoamento em torno de um cilindro circular. Dos
cap´ıtulos anteriores pode-se dizer que a forc¸a exercida por um escoamento potencial plano
acelerado sobre um cilindro circular e´ dada por:
f = CMρ
piD2
4
u˙ = (1 + 1)ρ
piD2
4
u˙ = (1 + CAD)ρ
piD2
4
u˙ = 2ρ
piD2
4
u˙ (1)
onde: ρ e´ a massa espec´ıfica, D e´ o diaˆmetro do cilindro, u˙ e´ a acelerac¸a˜o das part´ıculas fluidas
devida a`s ondas, no centro da sec¸a˜o e |CM | e´ o coeficiente de ine´rcia, e CAD e´ o coeficiente de
massa adicional, neste caso igual a 1. Para um escoamento uniforme com velocidade incidente
constante a forc¸a e´ dada por
f = CD
ρ
2
Du|u| (2)
onde o coeficiente CD e´ o coeficiente de arrasto e e´ uma func¸a˜o do nu´mero de Reynolds, u e´
a velocidade das part´ıculas fluidas e |u| e´ o seu mo´dulo.
Admitindo-se poss´ıvel a superposic¸a˜o desses dois efeitos no caso de um escoamento real
com velocidade varia´vel, pode-se esperar que a forc¸a seja expressa pela soma das duas ex-
presso˜es, pore´m com alterac¸a˜o dos valores do coeficiente CAD devido aos efeitos viscosos:
f = fI + fD (3)
SH Sphaier 17
Observando-se os efeitos de camada limite e seu descolamento, as caracter´ısticas do es-
coamento potencial ficam consideravelmente modificadas. Pore´m, o efeito da forma do corpo
continua causando perturbac¸o˜es na massa fluida fora da regia˜o da camada limite. Da mesma
forma que anteriormente, ira´ provocar sobre o corpo presso˜es hidrodinaˆmicas responsa´veis
por uma forc¸a resultante diferente de zero. Neste caso, entretanto, essas presso˜es sofrera˜o
efeitos da viscosidade e do descolamento da camada limite. Esta interac¸a˜o de efeitos pode ser
considerada fazendo CM depender do nu´mero de Reynolds Re, de tal forma que
f = CM(Re)ρ
piD2
4
u˙+ CD(Re)
ρ
2
Du|u| (4)
Para a determinac¸a˜o dos valores de CM e CD, para o ca´lculo das forc¸as devidas a`s ondas,
outros paraˆmetros devem ser considerados, os quais representam a rugosidade da superf´ıcie
do cilindro e o movimento oscilato´rio das part´ıculas fluidas.
A expressa˜o acima pode ser aplicada tambe´m para o caso de tubos flex´ıveis, considerando
as velocidades e acelerac¸o˜es locais do tubo v e v˙:
f = CMρ
piD2
4
u˙+ (CM − 1)ρpiD
2
4
v˙ + CD
ρ
2
D(u− v)|u− v| (5)
Esta abordagem foi proposta em 1950 por Morison et al. para o ca´lculo da forc¸a por
unidade de comprimento atuante em um pilar cil´ındrico vertical em ondas, perpendicular ao
eixo do cilindro:
f = CD
ρ
2
Du|u|+ CMρpiD
2
4
u˙ (6)
onde:
ρ - Massa espec´ıfica
D - Diaˆmetro do Pilar
u - Velocidade das part´ıculas fluidas devida a`s ondas, no centro da sec¸a˜o
u˙ - Acelerac¸a˜o das part´ıculas fluidas devida a`s ondas, no centro da sec¸a˜o
|u| - Mo´dulo da velocidade
Desde a apresentac¸a˜o da fo´rmula de Morison muitos esforc¸os veˆm sendo desenvolvidos no
sentido de se definir esquemas que permitam avaliar valores dos coeficientes CM e CD, para
se poder determinar as forc¸as de onda com seguranc¸a.
No desenvolvimento original, os resultados obtidos pela fo´rmula de Morison foram com-
parados com resultados obtidos experimentalmente para um cilindro vertical, posicionado
desde o fundo ate´ a superf´ıcie livre, ultrapassando a crista da onda. O perfil da onda no
cilindro, e a forc¸a da onda, foram registrados simultaneamente durante as experieˆncias. As
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velocidades e as acelerac¸o˜es das part´ıculas foram avaliadas atrave´s da teoria linear de ondas
de gravidade, ou teoria de Airy. Na determinac¸a˜o dos valores dos coeficientes CM e CD, os
valores da forc¸a em fase com a acelerac¸a˜o foram medidos para velocidades nulas, e os valores
da forc¸a em fase com a velocidade para acelerac¸a˜o nula.
Keulegan e Carpenter conduziram algumas experieˆncias para o ca´lculo de forc¸as de onda,
atuando em um cilindro, em 1958. O cilindro de teste foi colocado horizontalmente abaixo
da superf´ıcie livre numa posic¸a˜o correspondente a um nodo de uma onda estaciona´ria, de
comprimento de onda suficientemente grande em comparac¸a˜o com a profundidade. As ex-
perieˆncias foram conduzidas para nu´meros de Reynolds variando entre 4 × 103 e 3 × 104,
tendo como base a velocidade ma´xima da ”corrente”senoidal gerada, uma vez que d < L.
Nessas experieˆncias na˜o foi observada nenhuma correlac¸a˜o entre os valores de CM e CD com o
nu´mero de Reynolds. Foi determinada, entretanto, a dependeˆncia de CM e CD com o per´ıodo
de oscilac¸a˜o. Os valores me´dios de CM e CD sa˜o func¸o˜es do nu´mero de Keulegan-Carpenter,
KC, definido por
KC =
UmT
D
(7)
onde:
Um - e´ a velocidade ma´xima da corrente,
T - e´ o per´ıodo da corrente e
D - e´ o diaˆmetro do cilindro.
Conve´m aqui salientar que a experieˆncia mostra a dependeˆncia dos resultados na relac¸a˜o
entre a trajeto´ria das part´ıculas fluidas e o diaˆmetro do cilindro, e na˜o somente com o per´ıododa oscilac¸a˜o. O numerador do nu´mero de Keulegan-Carpenter expressa o deslocamento das
part´ıculas fluidas no regime oscilato´rio. Lembrando do escoamento retilineo na˜o oscilato´rio in-
cidindo sobre um cilindro, dizemos que o fluxo incide sobre o cilindro, desenvolve-se a camada
limite, ha´ enta˜o a separac¸a˜o da camada limite e o consequente desprendimento alternado de
vo´rtices. Admitindo que o fluxo e´ oscilato´rio o escoamento que retorna sobre o cilindro na˜o
e´ mais retilineo uniforme, pore´m esta´ contaminado por vo´rtices. Se a trajeto´ria oscilato´ria
das part´ıculas e´ longa em relac¸a˜o ao diaˆmetro (grande relac¸a˜o amplitude do escoamento /
diaˆmetro sem a presenc¸a do cilindro), havera´ um comportamento similar ao do escoamento
retil´ıneo pore´m com oscilac¸o˜es que provocara´ uma liberac¸a˜o de vo´rtices alterada, que na˜o
necessariamente respeite o nu´mero de Strouhal, podendo gerar forc¸as que oscilam em uma
combinac¸a˜o de frequeˆncias, pore´m obedecendo um comportamento regular ao longo das diver-
sas oscilac¸o˜es. Este comportamento pode ser bastante alterado se a oscilac¸a˜o do escoamento
se da´ com uma trajeto´ria pequena (pequena relac¸a˜o amplitude do escoamento / diaˆmetro sem
a presenc¸a do cilindro), o comportamento da forc¸a lateral devera´ ser bastante irregular.
Nas experieˆncias o nu´mero de Keulegan-Carpenter variava entre 2 e 120. A comparac¸a˜o
de forc¸as me´dias em cilindros calculadas atrave´s da teoria linear indicou uma concordaˆncia
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muito boa, exceto para KC = 15, onde foram verificadas diferenc¸as da ordem de 20%. Este
comportamento esta´ de acordo com o que se espera quando a amplitude da oscilac¸a˜o do
escoamento e´ pequena em relac¸a˜o ao diaˆmetro do cilindro, pequeno nu´mero de Keulegan-
Carpenter, pequeno numerador em relac¸a˜o ao denominador.
Outros trabalhos de interesse foram elaborados atrave´s de experieˆncias de laborato´rios
para nu´meros de Reynolds baixos, apontando para a dependeˆncia dos coeficientes CM e CD
no nu´mero de Keulegan-Carpenter. Como as medic¸o˜es em laborato´rio e no campo estavam
associadas a presenc¸a de ondas os resultados de CM e CD dependiam da teoria de onda
utilizada para representar os campos de velocidade e acelerac¸a˜o. Ale´m disto, na˜o se conseguia
varrer uma faixa significativa de nu´meros de Reynolds e de Keulegan-Carpenter.
Tentando eliminar estes problemas Sarpkaya e va´rios colaboradores desenvolveram ex-
perieˆncias em laborato´rio para cilindros com va´rias rugosidades colocadas em escoamento os-
cilato´rio, utilizando tubos em U, verticais. Nestas experieˆncias foi feita uma ampla variac¸a˜o
dos nu´meros de Reynolds, de 104 a 7 x 105 e de Keulegan-Carpenter, de 0 a 200. Os resulta-
dos obtidos para CM e CD mostram pouca dispersa˜o. CM varia entre 0.7 e 2.1, sendo func¸a˜o
do nu´mero de Reynolds, do nu´mero de Keulegan-Carpenter, e da rugosidade relativa. CD e´
func¸a˜o dos mesmos nu´meros adimensionais, e alcanc¸a valores ate´ 2.1. As forc¸as calculadas
mostram excelente concordaˆncia com medic¸o˜es, a menos de valores compreendidos entre 10 e
20, para o nu´mero de Keulegan-Carpenter.
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Figura 12: Regio˜es de Validade da Formulac¸a˜o de Morison
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Figura 13: Cm e Cd de uma Sec¸a˜o Circular para Baixos Nu´meros de Reynolds em um
Escoamento Oscilato´rio
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Figura 14: Cd de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilato´rio
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Figura 15: Cm de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilato´rio
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Figura 16: Cd de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 60 em um Escoamento Oscilato´rio
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Figura 17: Cm de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 60 em um Escoamento Oscilato´rio
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Figura 18: Cd de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 100 em um Escoamento Oscilato´rio
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Figura 19: Cm de uma Sec¸a˜o Circular para Kc = 100 em um Escoamento Oscilato´rio
A figura mostra um esquema das regio˜es de aplicac¸a˜o da formulac¸a˜o de Morison. As figuras
4 a 19 apresentam alguns resultados experimentais obtidos por Sarpkaya e seus colaboradores
para os coeficientes Cm e CD.
5 Escoamento Incidindo sobre Cilindro com Base Ela´stica
Acima foi dito que o desprendimento de forma alternada provoca uma forc¸a transversal al-
ternada, excitando oscilac¸o˜es transversais no caso de estruturas cil´ındricas circulares flex´ıveis,
como e´ o caso de risers, linhas de trasmissa˜o, estruturas esbeltas, etc. No sentido de se ter
um maior conhecimento do fenoˆmeno e´ interessante relatar a experieˆncia realizada por Feng.
Um cilindro de sec¸a˜o circular com eixo colocado no plano horizontal foi submetido a um
escoamento na direc¸a˜o perpendicular a seu eixo. Uma mola tranversal ao eixo do cilindro
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foi utilizada para liga´-lo ao solo permitindo. A velocidade foi aumentada gradativamente. A
figura 20 mostra um esquema da experieˆncia desenvolvida. Observou-se que a medida que
a velocidade aumentava a frequeˆncia de desprendimento de vo´rtices aumentava mantendo-se
o nu´mero de Strouhal constante em torno de 2. Quando a frequeˆncia de desprendimento
de vo´rtices alcanc¸ava a frequeˆncia natural de vibrac¸a˜o da estrutura esta apresentava uma
amplificac¸a˜o do movimento e mesmo aumentando-se a velocidade do escoamento a frequeˆncia
de desprendimento de vo´rtices deixava de crescer sintonizando-se na frequeˆncia da estrutura.
Conve´m ressaltar que no caso de estruturas r´ıgidas a frequeˆncia de desprendimento continuaria
a aumentar mantendo-se o nu´mero de Strouhal em torno de 2.
A figura 21 mostra os resultados da experieˆncia de Feng indicando a amplificac¸a˜o nos
valores de CD com a variac¸a˜o da velocidade reduzida. A velocidade reduzida e´ dada pela
relac¸a˜o U/(f ·D) onde U e´ a velocidade do escoamento incidente, f e´ a frequeˆncia de oscilac¸a˜o
do cilindro e D e´ o diaˆmetro.
A experieˆncia de Feng, associada a outras similares, destaca algumas questo˜es interessantes
que merecem ser comentadas:
1. O cilindro tem sua oscilac¸a˜o transversal amplificada a medida que a frequeˆncia de de-
sprendimento de vo´rtices iguala-se a sua frequeˆncia de oscilac¸a˜o. A esta ocorreˆncia de
sintonizac¸a˜o da frequeˆncia da´-se o nome de lock-in. Diversas outras expresso˜es sa˜o
utilizadas na literatura. Diz-se, por exemplo, que a frequeˆncia da vibrac¸a˜o do cilin-
dro captura e controla a frequeˆncia de desprendimento de vo´rtices, passando a reger o
fenoˆmeno de desprendimento.
2. As condic¸o˜es de contorno modificam-se junto do cilindro podendo a sequeˆncia de de-
sprendimento ser modificada. Observa-se que a frequeˆncia de desprendimento sintoniza
na frequeˆncia da oscilac¸a˜o, Embora a velocidade incidente possa variar, ha´ uma variac¸a˜o
da frequeˆncia natural pore´m mantendo a frequeˆncia de desprendimento controlada (sin-
tonisada).
3. A frequeˆncia de desprendimento na˜o fica sintonizada em um u´nico valor. O fenoˆmeno se
da´ para uma faixa de velocidades. Uma vez que a frequeˆncia e´ a raiz quadrada da relac¸a˜o
do coeficiente de mola pela soma da massa do corpo mais a massa adicional e a massa
adicional e´ uma integrac¸a˜o de presso˜es que dependem das caracter´ısticas do escoamento,
a frequeˆncia natural na˜o e´ fixa, e sera´ sens´ıvel a` relac¸a˜o entre a massa adicional e a massa
do corpo. E, no caso, a massa adicional depende somente da densidade do fluido, da
forma do corpo e da frequeˆncia da oscilac¸a˜o, que influencia no fenoˆmeno de separac¸a˜o,
e de certa forma da amplitude da oscilac¸a˜o.
4. A frequeˆncia de liberac¸a˜o de vo´rtices sofre a influeˆncia da sintonizac¸a˜o ou na˜o com a da
frequeˆncia natural do cilindro. Para uma estrutura flex´ıvel existe uma se´rie de poss´ıveisfrequeˆncias naturais de vibrac¸a˜o. A cada vez que uma esta´ sintonizada com a frequeˆncia
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de liberac¸a˜o de vo´rtices a estrutura tende a ter o modo de vibrac¸a˜o correspondente
amplificado.
5. Com a sintonizac¸a˜o da vibrac¸a˜o, ha´ tambe´m um acre´scimo do coeficiente de arrasto o
que traz danos estruturais.
6. A sintonizac¸a˜o a frequeˆncia de liberac¸a˜o de vo´rtices na frequeˆncia do movimento transver-
sal, no caso a frequeˆncia natural do sistema, esta´ vinculada a` amplitude do movimento
transversal. Existe um valor mı´nimo para haver sintonia. Existe um valor a partir do
qual a frequeˆncia do movimento na˜o controla a frequeˆncia de liberac¸a˜o de vo´rtices.
Figura 20: Cilindro em uma base ela´stica em um escoamento - esquema
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Figura 21: Cilindro em uma base ela´stica em um escoamento - Resultados
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Figuras Adicionais
Figura 22: Distribuic¸a˜o de pressa˜o um Cilindro Circular em Func¸a˜o do Nu´mero de Reynolds
- Resultados Mostrados no Livro de Faltinsen
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Figura 23: Posic¸a˜o do Ponto de Separac¸a˜o para Distintos Nu´meros de Reynolds - Resultados
Mostrados no Livro de Faltinsen
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Figura 24: Cd para Cilindro Circular - Resultados Mostrados no Livro de Faltinsen
Refereˆncias
[1] Blevins, R.D., Flow Induced Vibration; van Norstrand Reinhold Company, 1977, Livro.
[2] Feng, C.C. The Measurement of Vortex-Induced Effects in Flow Past Stationary and
Oscillating Circulator and D-Section Cylinder, M.Sc. Thesis, University of British Columbia,
1968.
[3] Gerrard, J.H. The Mechanics of the formation region of vortices behind bluff bodies,
J. Fluid Mechanics, 25, 1966.
[4] Keulegan, G.H. e Carpenter L.H., Forces on Cylinders and plates in an oscillating fluid,
J. Research of the National Bureau of Standars, 60, Maio 1958.
[5] Pantazopoulos, M.S., Vortex, Induced Vibration Parameters: Critical review, OMAE;
vol.1 pag 149, 1994.
[6] Schewe, G, On the Force Fluctuations Acting on a Circular Cylinder in Cross-flow from
Subcritical up to transcritical Reynolds Numbers, J. Fluid Mechanics, 133, 1993.