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Mecaˆnica - Um Grau de Liberdade SH Sphaier Marc¸o de 2005 1 Movimento Vertical de um Cilindro Infinito Horizon- tal Analisemos o movimento vertical de um cilindro infinito de sec¸a˜o qualquer, flutuando na superf´ıcie livre com seu eixo coincidindo com o eixo Ox, e com simetria em relac¸a˜o ao plano longitudinal. Consideremos que inicialmente se encontra em equil´ıbrio esta´tico. Como trata-se de um corpo infinito podemos desenvolver uma ana´lise bidimensional (figura 1). Utilizando a segunda lei de Newton temos: ms¨ = −P + E0 = 0 (1) onde: s e´ o movimento vertical do corpo, m e´ a massa do corpo por unidade de comprimento, P e´ o peso do corpo por unidade de comprimento, E0 e´ o empuxo por unidade de comprimento. Dando um deslocamento vertical ao corpo, havera´ enta˜o um desequil´ıbrio entre o peso e o empuxo. Caso as u´nicas forc¸as intervenientes fossem o peso P e o empuxo E ter´ıamos P 6= E. O corpo entraria enta˜o em movimento oscilato´rio. A lei de Newton fornece ms¨ = −P + E0 +4E (2) 1 Texto Preliminar, SH Sphaier 2 Figura 1: Forc¸a de Restaurac¸a˜o Vertical Resultante Considerando pequenos movimentos verticais podemos dizer que ∆E = −ρgBs e enta˜o ms¨ = −ρgBs (3) com s(t = 0) = s0, sendo B a boca do cilindro. Assim ter´ıamos a seguinte equac¸a˜o diferencial ordina´ria para resolver. ms¨+ ρgBs = 0 (4) com s(t = 0) = s0 e s˙ = 0. Trata-se de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria a coeficientes constantes de segunda ordem homogeˆnea sujeita a uma condic¸a˜o inicial. A soluc¸a˜o e´ da forma s = s0e iωnt (5) com ωn = √ ρgB/m, frequeˆncia natural, e o corpo permaneceria em movimento harmoˆnico indefinidamente. A experieˆncia dia´ria nos diz entretanto que este movimento tem um decremento com o tempo, e podemos observar o aparecimento de ondas na superf´ıcie livre. Estas ondas propagam-se do corpo para o infinito carregando consigo energia. Lembrando as concluso˜es obtidas no estudo do escoamento devido a um c´ırculo acelerado em um fluido em repouso, sabemos que a pressa˜o dinaˆmica da´ origem a uma forc¸a contra´ria a` acelerac¸a˜o do corpo. Sem nos preocuparmos aqui com o rigor matema´tico, podemos dizer que a pressa˜o da´ origem a uma forc¸a na forma Fhdin = −a33s¨ (6) Texto Preliminar, SH Sphaier 3 A lei de Newton agora fornece ms¨ = −a33s¨− ρgBs (7) ou (m+ a33)s¨+ ρgBs = 0 (8) A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´ semelhante a` soluc¸a˜o do caso anterior, modificando-se somente o valor de ωn ωn = √ ρgB m+ a33 (9) Isto quer dizer, que o decaimento do movimento que observamos em nossa experieˆncia dia´ria, na˜o e´ previsto e por conseguinte a energia dissipada na formac¸a˜o de ondas na˜o esta´ sendo considerada. A expressa˜o acima, representativa da forc¸a hidrodinaˆmica na˜o preve termo responsa´vel pela formac¸a˜o de ondas e consequentemente pelo decaimento do movimento do corpo, o que na˜o representa o caso real. Ocorre que estas forc¸as, devidas a irradiac¸a˜o de ondas, na˜o necessariamente esta˜o em fase com a acelerac¸a˜o do corpo. A forc¸a de irradiac¸a˜o resultante esta´ subdividida em duas parcelas, uma em fase com a acelerac¸a˜o e outra com a velocidade do corpo. Esta segunda parcela e´ responsa´vel pelo constante consumo de energia cine´tica do corpo, transferindo energia para a massa fluida na forma de ondas, que se transmitem para o infinito, provocando assim um decaimento no movimento do corpo. Ao coeficiente de proporcionalidade entre acelerac¸a˜o e a forc¸a em fase com a acelerac¸a˜o chamamos de coeficiente de massa adicional e, ao coeficiente de proporcionalidade entre ve- locidade e forc¸a em fase com a velocidade, damos o nome de coeficiente de amortecimento. Com esta expressa˜o a equac¸a˜o de movimento do corpo apresenta um termo na˜o conservativo linear, e esta´ intimamente ligado a` energia da onda que, formada pela interac¸a˜o fluido-corpo junto a superf´ıcie livre se irradia para o meio, propagando-se a longas distaˆncias. Fhdin = −a33s¨− b33s˙ (10) onde b33 e´ o coeficiente de amortecimento. A equac¸a˜o de movimento obtida a partir da aplicac¸a˜o da lei de Newton seria agora ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs (11) ou (m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (12) Texto Preliminar, SH Sphaier 4 Esta e´ uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea ordina´ria de segunda ordem a coeficientes con- stantes. Sua soluc¸a˜o e´ da forma exponencial. Este problema corresponde ao de vibrac¸a˜o livre de um sistema amortecido, sujeito a um deslocamento e uma velocidade iniciais. Consideremos agora que incide uma onda monocroma´tica que, como descrito acima, introduz uma forc¸a de excitac¸a˜o perio´dica. Fexc = F0e iωt = (F0,R + i F0,I)e iωt (13) onde F0 e´ a amplitude da forc¸a ω e´ a frequeˆncia de oscilac¸a˜o. A lei de Newton fornece enta˜o a seguinte equac¸a˜o de movimento ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs+ Fexc (14) ou (m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = F0e iωt (15) A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ a soma da soluc¸a˜o homogeˆnea, que corresponderia ao movimento apo´s um impulso inicial, mais a soluc¸a˜o particular que seria regida pela carac- ter´ıstica da forc¸a de excitac¸a˜o. Assim, apo´s algum tempo, a soluc¸a˜o homogeˆnea na˜o mais interferiria na soluc¸a˜o do problema, isto e´, apo´s a fase transiente o corpo entraria em um movimento harmoˆnico com frequeˆncia ω s = s¯0e i (ωt+δ) = s0e i (ωt) (16) onde: s¯0 e´ a amplitude do movimento s0 e´ a amplitude complexa δ e´ a fase. Texto Preliminar, SH Sphaier 5 Soluc¸a˜o homogeˆnea A soluc¸a˜o homogeˆnea e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o: (m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (17) e e´ da forma: s = e−b33/[2(m+a33)] t ( a1e t √ (b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33) + a2e−t √ (b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33) ) (18) Para valores de b33 em que (b33/2(m + a33)) 2 − ρ g B/(m + a33) > 0 temos o movimento decrescendo exponencialmente segundo 20. Para pequenos valores de b33 em que (b33/2(m+a33)) 2−ρ g B/(m+a33) < 0 temos um sistema pouco amortecido e o argumento das func¸o˜es exponenciais sera´ imagina´rio. A soluc¸a˜o toma a forma: s = e−b33/[2(m+a33)] t ( a1 cos(t √ ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2) (19) +a2 sin(t √ ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2) ) (20) Se defirmos ω como frequeˆncia da oscilac¸a˜o amortecida: ω = √ ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2 (21) enta˜o teremos s = e−b33/[2(m+a33)] t (a1 cos(ωt) + a2 sin(ωt)) (22) O valor de b33 para o qual (b33/[2(m+ a33)− ρ g B/(m+ a33) = 0 (23) e´ chamado de amortecimento cr´ıtico. b33,c = 2(m+ a33)ωn (24) Definimos como ζ a relac¸a˜o entre o amortecimento b33 e o amortecimento cr´ıtico b33,c, ζ = b33 b33,c (25) Texto Preliminar, SH Sphaier 6 Observemos que substituindo (9), (25) e (24) em (12) obtemos s¨+ 2ζωns˙+ ω 2 ns = 0 (26) Este e´ um formato compacto da uma equac¸a˜o diferencial que vimos acima. Trata-se de uma equac¸a˜o ordina´ria a coeficientes constantes. Embora seja totalmente equivalente ao caso visto acima, vamos aqui desenvolver novamente sua soluc¸a˜o, que e´ da forma s = aeλt (27) Substituindo esta expressa˜o em (26) obtemos, para a determinac¸a˜o de λ, a seguinte equac¸a˜o do segundo grau: λ2 + 2ζωnλ+ ω 2 n = 0 (28) Assim, temos duas soluc¸o˜es na forma: λ = −ζωn ± i √ 1− ζ2ωn (29) Introduzindo estas duas soluc¸o˜es em (27) obtemos a equac¸a˜o (20). Observemos que o crescimento ou decaimento do deslocamento, isto e´, o crescimento ou decaimento de s ao longo do tempo, depende do fator ζ, relac¸a˜o entre o amortecimento do sistema e o amortecimento cr´ıtico. Cabe entretanto, conceituar amortecimento cr´ıtico. Antes pore´m observemos o comportamento da soluc¸a˜o para valores de ζ positivo, nulo e negativo. Iniciemos abordando o caso em que ζ = 0.s¨+ ω2ns = 0 (30) Esta equac¸a˜o tem soluc¸a˜o na forma s = a1e iωnt + a2e −iωnt (31) Assim vemos que o corpo vai oscilar indefinidamente harmonicamente na chamada frequ¨eˆncia natural. Caso ζ < 0, o movimento aumentara´ indefinidamente com o tempo. Trata-se de um sistema com amortecimento negativo causando uma amplificac¸a˜o do movimento. Caso ζ > 0, o termo exponencial atuara´ forc¸ando o decaimento do movimento. Para o caso do amortecimento positivo, isto e´, ζ positivo, devemos distinguir treˆs casos. O primeiro em que ζ < 1. O termo exponencial atuara´ como uma modulac¸a˜o da amplitude do movimento. Esta modulac¸a˜o impo˜e um decaimento do movimento. O corpo oscila com a frequeˆncia ω = √ 1− ζ2ωn (32) Texto Preliminar, SH Sphaier 7 Figura 2: Decremento Logar´ıtmico Texto Preliminar, SH Sphaier 8 A figura 2 mostra este comportamento. Para o caso em que ζ > 1 o sistema e´ fortemente amortecido. Na˜o ha´ oscilac¸a˜o. A soluc¸a˜o toma a forma s = a1e ( −ζ+ √ ζ2−1 ) ωnt + a2e ( −ζ− √ ζ2−1 ) ωnt (33) No caso em que ζ = 1 a expressa˜o (29) torna-se λ = −ωn (34) isto e´, a expressa˜o (27) fornece uma u´nica soluc¸a˜o. s = ae−ωt (35) Temos que providenciar uma segunda soluc¸a˜o. Como sabido do ca´lculo diferencial a soluc¸a˜o homogeˆnea torna-se enta˜o: s = (a1 + a2t)e −ωt (36) Observemos que, de forma geral, em um sistema massa-mola-amortecedor, podemos medir a massa do corpo e o efeito de mola aplicando-se uma forc¸a e medindo-se a elongac¸a˜o da mola. Conhecidos estes dois termos da equac¸a˜o diferencial do movimento, falta-nos determinar o amortecimento do sistema. Atrave´s de uma experieˆncia e, determinando-se o logaritmo natu- ral da relac¸a˜o entre duas amplitudes sucessivas, e´ poss´ıvel extrair-se o valor do amortecimento. No caso de um corpo oscilando na superf´ıcie, podemos medir os efeitos de restaurac¸a˜o ou calcula´-los atrave´s das linhas do corpo. Podemos determinar a massa do corpo, compondo a massa de cada uma de suas partes, e calcular a massa adicional e o coeficiente de amortec- imento de ondas atrave´s de me´todos matema´ticos. Na abordagem aqui encaminhada, na˜o fazemos nenhuma menc¸a˜o a efeitos viscosos, que por efeitos locais, podem ser importantes. Nestes casos, embora possamos determinar o amortecimento devido a formac¸a˜o de ondas, e´ fundamental o teste do decremento logar´ıtmico para a determinac¸a˜o precisa dos efeitos viscosos. Poder-se-ia perguntar enta˜o se sempre ter´ıamos que fazer o teste. Em termos absolutos sempre seria necessa´rio, entretanto devemos inicialmente verificar se os efeitos vis- cosos sa˜o importantes ou na˜o, e se os me´todos de ca´lculo das propriedades hidrodinaˆmicas, massa adicional e amortecimento, para formas semelhantes levam a bons resultados ou na˜o. Em geral para formas navais, somente o movimento de jogo apresenta efeitos viscosos im- portantes. Costuma-se desenvolver testes experimentais, acumulando-se informac¸o˜es sobre o amortecimento na forma de um percentual do amortecimento cr´ıtico do sistema. Isto e´, se o amortecimento fosse igual ao cr´ıtico este seria dado por (24). Para a determinac¸a˜o do decremento logar´ıtmico, admitamos que a soluc¸a˜o seja dada por: s = Se−ζωnt [ sin (√ 1− ζ2ωnt+ α )] (37) Texto Preliminar, SH Sphaier 9 onde S e α foram obtidos a partir de (20) e das condic¸o˜es de deslocamento s(t = 0) e velocicades s˙(t = 0) iniciais. A curva s = Se−ζωnt (38) tangencia a curva de resposta do sistema pro´ximo aos ma´ximos. O decremento logar´ıtmico entre duas oscilac¸o˜es sucessivas e´ expresso por δl = ln s1 s2 = ln e−ζωnt1 e−ζωn(t1+T ) = ln eζωnT = ζωnT (39) Como o sistema oscila com frequeˆncia ω = ωn √ 1− ζ2 (40) o intervalo de tempo entre as duas oscilac¸o˜es sera´ T = 2pi ωn √ 1− ζ2 (41) e o decremento (ver figura 2): δl = 2piζ√ 1− ζ2 (42) Em sistemas pouco amortecidos teremos enta˜o δl = 2piζ (43) Soluc¸a˜o Particular Substituindo (16) em (15) obtemos a amplitude complexa s0 dada por s0 = 1 ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33F0 (44) = ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33 (ρ g B − ω2 (m + a33))2 − (i ω b33)2F0 (45) = ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33 (ρ g B − ω2 (m + a33))2 + (ω b33)2F0 (46) que pode ser escrita em termos do mo´dulo | s0 | e da fase δ por s0 = (s0,R + i s0,I) e i ω t = | s0 | e(iω t+ δ) (47) onde: Texto Preliminar, SH Sphaier 10 fre q /f re q na tu ra l Amplificação 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 012345678910 ze ta = 0. 05 ze ta = 0. 10 ze ta = 0. 15 ze ta = 0. 20 ze ta = 0. 25 ze ta = 0. 30 ze ta = 0. 35 ze ta = 0. 50 ze ta = 0. 75 ze ta = 1. 00 Figura 3: Fator de Amplificac¸a˜o, Func¸a˜o de transfereˆncia, Rao s0,R e´ a parte real da amplitude complexa, s0,I e´ a parte imagina´ria. Multiplicando s0 pelo seu conjugado s ∗ 0 obtemos o mo´dulo da soluc¸a˜o: | s0 |2= s0 · s∗0 (48) = ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33( [ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2 )2 [ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33] | F0 |2 (49) = 1 [ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2 | F0 |2 (50) onde | F0 |2= F0 · F ∗0 (51) O aˆngulo de fase δ e´ dado por δ = arctan F0,R (ρ g B − ω2 (m + a33)) + F0,I (ω b33) F0,I (ρ g B − ω2 (m + a33)) − F0,R (ω b33) (52) O comportamento da soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ mostrado nas figuras 3 e 4. Esta soluc¸a˜o e´ chamada de fator de amplificac¸a˜o, func¸a˜o de transfereˆncia ou RAO (Operador de Amplitude de Resposta). Texto Preliminar, SH Sphaier 11 fre q /f re q na tu ra l Angulodefase 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 -1 80 -1 50 -1 20-9 0 -6 0 -3 00 ze ta = 0. 05 ze ta = 0. 10 ze ta = 0. 15 ze ta = 0. 20 ze ta = 0. 25 ze ta = 0. 30 ze ta = 0. 35 ze ta = 0. 50 ze ta = 0. 75 ze ta = 1. 00 Figura 4: Aˆngulo de Fase
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