Mecânica de Vibrações - Um Grau de Liberdade

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Mecaˆnica - Um Grau de Liberdade
SH Sphaier
Marc¸o de 2005
1 Movimento Vertical de um Cilindro Infinito Horizon-
tal
Analisemos o movimento vertical de um cilindro infinito de sec¸a˜o qualquer, flutuando na
superf´ıcie livre com seu eixo coincidindo com o eixo Ox, e com simetria em relac¸a˜o ao plano
longitudinal. Consideremos que inicialmente se encontra em equil´ıbrio esta´tico. Como trata-se
de um corpo infinito podemos desenvolver uma ana´lise bidimensional (figura 1).
Utilizando a segunda lei de Newton temos:
ms¨ = −P + E0 = 0 (1)
onde:
s e´ o movimento vertical do corpo,
m e´ a massa do corpo por unidade de comprimento,
P e´ o peso do corpo por unidade de comprimento,
E0 e´ o empuxo por unidade de comprimento.
Dando um deslocamento vertical ao corpo, havera´ enta˜o um desequil´ıbrio entre o peso e o
empuxo. Caso as u´nicas forc¸as intervenientes fossem o peso P e o empuxo E ter´ıamos P 6= E.
O corpo entraria enta˜o em movimento oscilato´rio.
A lei de Newton fornece
ms¨ = −P + E0 +4E (2)
1
Texto Preliminar, SH Sphaier 2
Figura 1: Forc¸a de Restaurac¸a˜o Vertical Resultante
Considerando pequenos movimentos verticais podemos dizer que ∆E = −ρgBs e enta˜o
ms¨ = −ρgBs (3)
com s(t = 0) = s0, sendo B a boca do cilindro.
Assim ter´ıamos a seguinte equac¸a˜o diferencial ordina´ria para resolver.
ms¨+ ρgBs = 0 (4)
com s(t = 0) = s0 e s˙ = 0.
Trata-se de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria a coeficientes constantes de segunda ordem
homogeˆnea sujeita a uma condic¸a˜o inicial. A soluc¸a˜o e´ da forma
s = s0e
iωnt (5)
com ωn =
√
ρgB/m, frequeˆncia natural, e o corpo permaneceria em movimento harmoˆnico
indefinidamente.
A experieˆncia dia´ria nos diz entretanto que este movimento tem um decremento com o tempo,
e podemos observar o aparecimento de ondas na superf´ıcie livre. Estas ondas propagam-se
do corpo para o infinito carregando consigo energia.
Lembrando as concluso˜es obtidas no estudo do escoamento devido a um c´ırculo acelerado em
um fluido em repouso, sabemos que a pressa˜o dinaˆmica da´ origem a uma forc¸a contra´ria a`
acelerac¸a˜o do corpo. Sem nos preocuparmos aqui com o rigor matema´tico, podemos dizer que
a pressa˜o da´ origem a uma forc¸a na forma
Fhdin = −a33s¨ (6)
Texto Preliminar, SH Sphaier 3
A lei de Newton agora fornece
ms¨ = −a33s¨− ρgBs (7)
ou
(m+ a33)s¨+ ρgBs = 0 (8)
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´ semelhante a` soluc¸a˜o do caso anterior, modificando-se somente o
valor de ωn
ωn =
√
ρgB
m+ a33
(9)
Isto quer dizer, que o decaimento do movimento que observamos em nossa experieˆncia dia´ria,
na˜o e´ previsto e por conseguinte a energia dissipada na formac¸a˜o de ondas na˜o esta´ sendo
considerada. A expressa˜o acima, representativa da forc¸a hidrodinaˆmica na˜o preve termo
responsa´vel pela formac¸a˜o de ondas e consequentemente pelo decaimento do movimento do
corpo, o que na˜o representa o caso real.
Ocorre que estas forc¸as, devidas a irradiac¸a˜o de ondas, na˜o necessariamente esta˜o em fase com
a acelerac¸a˜o do corpo. A forc¸a de irradiac¸a˜o resultante esta´ subdividida em duas parcelas,
uma em fase com a acelerac¸a˜o e outra com a velocidade do corpo. Esta segunda parcela e´
responsa´vel pelo constante consumo de energia cine´tica do corpo, transferindo energia para
a massa fluida na forma de ondas, que se transmitem para o infinito, provocando assim um
decaimento no movimento do corpo.
Ao coeficiente de proporcionalidade entre acelerac¸a˜o e a forc¸a em fase com a acelerac¸a˜o
chamamos de coeficiente de massa adicional e, ao coeficiente de proporcionalidade entre ve-
locidade e forc¸a em fase com a velocidade, damos o nome de coeficiente de amortecimento.
Com esta expressa˜o a equac¸a˜o de movimento do corpo apresenta um termo na˜o conservativo
linear, e esta´ intimamente ligado a` energia da onda que, formada pela interac¸a˜o fluido-corpo
junto a superf´ıcie livre se irradia para o meio, propagando-se a longas distaˆncias.
Fhdin = −a33s¨− b33s˙ (10)
onde b33 e´ o coeficiente de amortecimento.
A equac¸a˜o de movimento obtida a partir da aplicac¸a˜o da lei de Newton seria agora
ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs (11)
ou
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (12)
Texto Preliminar, SH Sphaier 4
Esta e´ uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea ordina´ria de segunda ordem a coeficientes con-
stantes. Sua soluc¸a˜o e´ da forma exponencial. Este problema corresponde ao de vibrac¸a˜o livre
de um sistema amortecido, sujeito a um deslocamento e uma velocidade iniciais.
Consideremos agora que incide uma onda monocroma´tica que, como descrito acima, introduz
uma forc¸a de excitac¸a˜o perio´dica.
Fexc = F0e
iωt = (F0,R + i F0,I)e
iωt (13)
onde
F0 e´ a amplitude da forc¸a
ω e´ a frequeˆncia de oscilac¸a˜o.
A lei de Newton fornece enta˜o a seguinte equac¸a˜o de movimento
ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs+ Fexc (14)
ou
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = F0e
iωt (15)
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ a soma da soluc¸a˜o homogeˆnea, que corresponderia ao
movimento apo´s um impulso inicial, mais a soluc¸a˜o particular que seria regida pela carac-
ter´ıstica da forc¸a de excitac¸a˜o. Assim, apo´s algum tempo, a soluc¸a˜o homogeˆnea na˜o mais
interferiria na soluc¸a˜o do problema, isto e´, apo´s a fase transiente o corpo entraria em um
movimento harmoˆnico com frequeˆncia ω
s = s¯0e
i (ωt+δ) = s0e
i (ωt) (16)
onde:
s¯0 e´ a amplitude do movimento
s0 e´ a amplitude complexa
δ e´ a fase.
Texto Preliminar, SH Sphaier 5
Soluc¸a˜o homogeˆnea
A soluc¸a˜o homogeˆnea e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o:
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (17)
e e´ da forma:
s = e−b33/[2(m+a33)] t
(
a1e
t
√
(b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33) + a2e−t
√
(b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33)
)
(18)
Para valores de b33 em que (b33/2(m + a33))
2 − ρ g B/(m + a33) > 0 temos o movimento
decrescendo exponencialmente segundo 20.
Para pequenos valores de b33 em que (b33/2(m+a33))
2−ρ g B/(m+a33) < 0 temos um sistema
pouco amortecido e o argumento das func¸o˜es exponenciais sera´ imagina´rio. A soluc¸a˜o toma
a forma:
s = e−b33/[2(m+a33)] t
(
a1 cos(t
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2) (19)
+a2 sin(t
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2)
)
(20)
Se defirmos ω como frequeˆncia da oscilac¸a˜o amortecida:
ω =
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2 (21)
enta˜o teremos
s = e−b33/[2(m+a33)] t (a1 cos(ωt) + a2 sin(ωt)) (22)
O valor de b33 para o qual
(b33/[2(m+ a33)− ρ g B/(m+ a33) = 0 (23)
e´ chamado de amortecimento cr´ıtico.
b33,c = 2(m+ a33)ωn (24)
Definimos como ζ a relac¸a˜o entre o amortecimento b33 e o amortecimento cr´ıtico b33,c,
ζ =
b33
b33,c
(25)
Texto Preliminar, SH Sphaier 6
Observemos que substituindo (9), (25) e (24) em (12) obtemos
s¨+ 2ζωns˙+ ω
2
ns = 0 (26)
Este e´ um formato compacto da uma equac¸a˜o diferencial que vimos acima. Trata-se de uma
equac¸a˜o ordina´ria a coeficientes constantes. Embora seja totalmente equivalente ao caso visto
acima, vamos aqui desenvolver novamente sua soluc¸a˜o, que e´ da forma
s = aeλt (27)
Substituindo esta expressa˜o em (26) obtemos, para a determinac¸a˜o de λ, a seguinte equac¸a˜o
do segundo grau:
λ2 + 2ζωnλ+ ω
2
n = 0 (28)
Assim, temos duas soluc¸o˜es na forma:
λ = −ζωn ± i
√
1− ζ2ωn (29)
Introduzindo estas duas soluc¸o˜es em (27) obtemos a equac¸a˜o (20).
Observemos que o crescimento ou decaimento do deslocamento, isto e´, o crescimento ou
decaimento de s ao longo do tempo, depende do fator ζ, relac¸a˜o entre o amortecimento do
sistema e o amortecimento cr´ıtico. Cabe entretanto, conceituar amortecimento cr´ıtico. Antes
pore´m observemos o comportamento da soluc¸a˜o para valores de ζ positivo, nulo e negativo.
Iniciemos abordando o caso em que ζ = 0.s¨+ ω2ns = 0 (30)
Esta equac¸a˜o tem soluc¸a˜o na forma
s = a1e
iωnt + a2e
−iωnt (31)
Assim vemos que o corpo vai oscilar indefinidamente harmonicamente na chamada frequ¨eˆncia
natural.
Caso ζ < 0, o movimento aumentara´ indefinidamente com o tempo. Trata-se de um sistema
com amortecimento negativo causando uma amplificac¸a˜o do movimento. Caso ζ > 0, o termo
exponencial atuara´ forc¸ando o decaimento do movimento.
Para o caso do amortecimento positivo, isto e´, ζ positivo, devemos distinguir treˆs casos. O
primeiro em que ζ < 1. O termo exponencial atuara´ como uma modulac¸a˜o da amplitude
do movimento. Esta modulac¸a˜o impo˜e um decaimento do movimento. O corpo oscila com a
frequeˆncia
ω =
√
1− ζ2ωn (32)
Texto Preliminar, SH Sphaier 7
Figura 2: Decremento Logar´ıtmico
Texto Preliminar, SH Sphaier 8
A figura 2 mostra este comportamento.
Para o caso em que ζ > 1 o sistema e´ fortemente amortecido. Na˜o ha´ oscilac¸a˜o. A soluc¸a˜o
toma a forma
s = a1e
(
−ζ+
√
ζ2−1
)
ωnt + a2e
(
−ζ−
√
ζ2−1
)
ωnt (33)
No caso em que ζ = 1 a expressa˜o (29) torna-se
λ = −ωn (34)
isto e´, a expressa˜o (27) fornece uma u´nica soluc¸a˜o.
s = ae−ωt (35)
Temos que providenciar uma segunda soluc¸a˜o. Como sabido do ca´lculo diferencial a soluc¸a˜o
homogeˆnea torna-se enta˜o:
s = (a1 + a2t)e
−ωt (36)
Observemos que, de forma geral, em um sistema massa-mola-amortecedor, podemos medir a
massa do corpo e o efeito de mola aplicando-se uma forc¸a e medindo-se a elongac¸a˜o da mola.
Conhecidos estes dois termos da equac¸a˜o diferencial do movimento, falta-nos determinar o
amortecimento do sistema. Atrave´s de uma experieˆncia e, determinando-se o logaritmo natu-
ral da relac¸a˜o entre duas amplitudes sucessivas, e´ poss´ıvel extrair-se o valor do amortecimento.
No caso de um corpo oscilando na superf´ıcie, podemos medir os efeitos de restaurac¸a˜o ou
calcula´-los atrave´s das linhas do corpo. Podemos determinar a massa do corpo, compondo a
massa de cada uma de suas partes, e calcular a massa adicional e o coeficiente de amortec-
imento de ondas atrave´s de me´todos matema´ticos. Na abordagem aqui encaminhada, na˜o
fazemos nenhuma menc¸a˜o a efeitos viscosos, que por efeitos locais, podem ser importantes.
Nestes casos, embora possamos determinar o amortecimento devido a formac¸a˜o de ondas,
e´ fundamental o teste do decremento logar´ıtmico para a determinac¸a˜o precisa dos efeitos
viscosos. Poder-se-ia perguntar enta˜o se sempre ter´ıamos que fazer o teste. Em termos
absolutos sempre seria necessa´rio, entretanto devemos inicialmente verificar se os efeitos vis-
cosos sa˜o importantes ou na˜o, e se os me´todos de ca´lculo das propriedades hidrodinaˆmicas,
massa adicional e amortecimento, para formas semelhantes levam a bons resultados ou na˜o.
Em geral para formas navais, somente o movimento de jogo apresenta efeitos viscosos im-
portantes. Costuma-se desenvolver testes experimentais, acumulando-se informac¸o˜es sobre o
amortecimento na forma de um percentual do amortecimento cr´ıtico do sistema. Isto e´, se o
amortecimento fosse igual ao cr´ıtico este seria dado por (24).
Para a determinac¸a˜o do decremento logar´ıtmico, admitamos que a soluc¸a˜o seja dada por:
s = Se−ζωnt
[
sin
(√
1− ζ2ωnt+ α
)]
(37)
Texto Preliminar, SH Sphaier 9
onde S e α foram obtidos a partir de (20) e das condic¸o˜es de deslocamento s(t = 0) e
velocicades s˙(t = 0) iniciais.
A curva
s = Se−ζωnt (38)
tangencia a curva de resposta do sistema pro´ximo aos ma´ximos. O decremento logar´ıtmico
entre duas oscilac¸o˜es sucessivas e´ expresso por
δl = ln
s1
s2
= ln
e−ζωnt1
e−ζωn(t1+T )
= ln eζωnT = ζωnT (39)
Como o sistema oscila com frequeˆncia
ω = ωn
√
1− ζ2 (40)
o intervalo de tempo entre as duas oscilac¸o˜es sera´
T =
2pi
ωn
√
1− ζ2 (41)
e o decremento (ver figura 2):
δl =
2piζ√
1− ζ2 (42)
Em sistemas pouco amortecidos teremos enta˜o
δl = 2piζ (43)
Soluc¸a˜o Particular
Substituindo (16) em (15) obtemos a amplitude complexa s0 dada por
s0 =
1
ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33F0 (44)
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33
(ρ g B − ω2 (m + a33))2 − (i ω b33)2F0 (45)
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33
(ρ g B − ω2 (m + a33))2 + (ω b33)2F0 (46)
que pode ser escrita em termos do mo´dulo | s0 | e da fase δ por
s0 = (s0,R + i s0,I) e
i ω t = | s0 | e(iω t+ δ) (47)
onde:
Texto Preliminar, SH Sphaier 10
fre
q
/f
re
q
na
tu
ra
l
Amplificação
0
0.
5
1
1.
5
2
2.
5
3
012345678910
ze
ta
=
0.
05
ze
ta
=
0.
10
ze
ta
=
0.
15
ze
ta
=
0.
20
ze
ta
=
0.
25
ze
ta
=
0.
30
ze
ta
=
0.
35
ze
ta
=
0.
50
ze
ta
=
0.
75
ze
ta
=
1.
00
Figura 3: Fator de Amplificac¸a˜o, Func¸a˜o de transfereˆncia, Rao
s0,R e´ a parte real da amplitude complexa,
s0,I e´ a parte imagina´ria.
Multiplicando s0 pelo seu conjugado s
∗
0 obtemos o mo´dulo da soluc¸a˜o:
| s0 |2= s0 · s∗0 (48)
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33(
[ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2
)2 [ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33] | F0 |2 (49)
=
1
[ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2
| F0 |2 (50)
onde
| F0 |2= F0 · F ∗0 (51)
O aˆngulo de fase δ e´ dado por
δ = arctan
F0,R (ρ g B − ω2 (m + a33)) + F0,I (ω b33)
F0,I (ρ g B − ω2 (m + a33)) − F0,R (ω b33) (52)
O comportamento da soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ mostrado nas figuras 3 e 4. Esta
soluc¸a˜o e´ chamada de fator de amplificac¸a˜o, func¸a˜o de transfereˆncia ou RAO (Operador de
Amplitude de Resposta).
Texto Preliminar, SH Sphaier 11
fre
q
/f
re
q
na
tu
ra
l
Angulodefase
0.
5
1
1.
5
2
2.
5
3
3.
5
-1
80
-1
50
-1
20-9
0
-6
0
-3
00
ze
ta
=
0.
05
ze
ta
=
0.
10
ze
ta
=
0.
15
ze
ta
=
0.
20
ze
ta
=
0.
25
ze
ta
=
0.
30
ze
ta
=
0.
35
ze
ta
=
0.
50
ze
ta
=
0.
75
ze
ta
=
1.
00
Figura 4: Aˆngulo de Fase