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Curso de Cálculo e Equações Difereciais com Aplicações

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∈ Ix \ {x},
onde y = ax+ b e´ a reta tangente ao gra´fico em (x, f(x)).
Para definir localmente coˆncava para baixo num ponto (x, f(x)) basta trocar >
por <.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 147
4
0
2
-2
-6
x
20-2
-4
1-1
Figura: Um func¸a˜o localmente coˆncava para cima em cada ponto do domı´nio
Afirmac¸a˜o 5.1. Suponha uma func¸a˜o f : I → R duas vezes deriva´vel.
• i) Se ∀x ∈ I, f ′′(x) > 0 enta˜o, f e´ localmente coˆncava para cima em cada
um dos pontos de seu gra´fico.
• ii) Se ∀x ∈ I, f ′′(x) < 0 enta˜o f tem localmente coˆncava para baixo em
cada um dos pontos de seu gra´fico.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
Tome um ponto (x, f(x)) do gra´fico. Seja y = ax+ b a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico nesse ponto.
Note que a func¸a˜o
φ(x) := f(x)− (ax+ b)
tem
φ(x) = 0 e φ′(x) = f ′(x)− a = 0.
Ademais
φ′′(x) = f ′′(x) > 0.,
ja´ que supomos que sempre f ′′(x) > 0.
Enta˜o o Crite´rio da Segunda Derivada (Afirmac¸a˜o 2.1, Cap´ıtulo 11) quando apli-
cado a φ diz que φ tem um mı´nimo local em x (local pois φ tem que ser restrita a um
intervalo Ix centrado em x para ter a´ı um ponto de mı´nimo).
Ou seja,
φ(x) > φ(x), ∀x ∈ Ix \ {x},
que significa
f(x) > ax+ b, ∀x ∈ Ix \ {x},
como quer´ıamos provar.
De ii): Ana´logo, bastando usar o Crite´rio da Segunda Derivada para ter um
ma´ximo local.
�
5. CONCAVIDADES DOS GRA´FICOS 148
Na Definic¸a˜o 5.2 a seguir impomos um comportamento global sobre a func¸a˜o: ela
tera´ que ficar por cima (ou por baixo) de todas as retas tangentes a seu gra´fico.
Definic¸a˜o 5.2. Direi que uma func¸a˜o f : I → R e´ coˆncava para cima se para todo
ponto x ∈ I,
f(x) > ax+ b, ∀x ∈ I \ {x}
onde y = ax+ b e´ a reta tangente ao gra´fico em (x, f(x)).
25
15
-5
20
10
x
1-1 0-2
0
5
-3
Figura: Um func¸a˜o que na˜o e´ coˆncava para cima, mas que
e´ localmente localmente coˆncava para cima se x < 0.
Afirmac¸a˜o 5.2. Suponha uma func¸a˜o f : I → R duas vezes deriva´vel.
• i) Se ∀x ∈ I f ′′(x) > 0 enta˜o f e´ coˆncava para cima.
• ii) Se ∀x ∈ I f ′′(x) < 0 enta˜o f e´ coˆncava para baixo.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
Vamos fazer a prova por absurdo.
Pela Afirmac¸a˜o 5.1 sabemos f e´ localmente concava para cima em cada ponto de
seu domı´nio. Ou seja, dado qualquer x ∈ I existe um intervalo Ix centrado nele onde
f(x) > ax+ b, ∀x ∈ Ix \ {x},
para y = ax+ b reta tangente em (x, f(x)).
Portanto, se pensamos esta demonstrac¸a˜o por absurdo, tem que existir6 algum
ponto (x, f(x)) para o qual existe um x0 /∈ Ix tal que
f(x0) ≤ ax0 + b,
para y = ax+ b reta tangente em (x, f(x)).
Sem perda de generalidade suponhamos x0 > x.
Fac¸o agora uma alterac¸a˜o na f , para que a reta tangente a (x, f(x)) seja horizontal.
Defino
φ(x) := f(x)− (ax+ b).
Note que φ(x) = φ′(x) = 0, mas φ′′(x) = f ′′(x) > 0, ∀x ∈ I. Agora temos
φ(x0) ≤ 0.
6Confira um exemplo disso na Figura anterior, com x ∼ −0.5 e x0 ∼ 1
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 149
Caso φ(x0) = 0:
Nesse caso, aplico o Teorema de Rolle a
φ : [x, x0]→ R
e obtenho um ponto ξ ∈ (x, x0) onde φ′(ξ) = 0.
Mas ξ > x e isso contradiz o fato que φ′(x) e´ uma func¸a˜o estritamente crescente
(ja´ que φ′′(x) > 0), que partiu do valor φ′(x) = 0.
Caso φ(x0) < 0:
Pelo que vimos na Afirmac¸a˜o 5.1, perto de x temos φ(x) > 0.
Como φ(x) e´ cont´ınua e φ(x0) < 0 enta˜o o T.V.I. diz que ha´ um ponto xˆ0 ∈ [x, x0]
onde φ(xˆ0) = 0. Portanto com esse novo xˆ0 recaio na situac¸a˜o do Caso φ(xˆ0) = 0 ja´
tratado.
De ii): completamente ana´loga. �
6. Mı´nimos quadrados e a me´dia aritme´tica
Dados x1, . . . , xk pontos na Reta dos Reais, que ponto x minimiza a soma dos
quadrados das distaˆncias a todos eles ?
O interesse pra´tico desta questa˜o e´ que os valores x1, . . . , xk podem ter sido obtidos
apo´s k aferic¸o˜es de um certo dado relevante (o comprimento de um objeto, uma
temperatura, um peso, etc) e o ponto x servira´ para corrigir os prova´veis erros nas
aferic¸o˜es.
Afirmac¸a˜o 6.1. Sejam dados x1, . . . , xk ∈ R pontos. Enta˜o
• i) o ponto de mı´nimo global da func¸a˜o
f(x) := (x− x1)2 + . . .+ (x− xk)2
e´ o ponto
x =
x1 + . . .+ xk
k
,
chamado de me´dia arime´tica dos valores x1, . . . xk.
• ii) sempre vale a desigualdade
k · (x21 + . . .+ x2k) > (x1 + . . .+ xk)2
exceto se x1 = . . . = xk, quando vale enta˜o:
k · (x21 + . . .+ x2k) = (x1 + . . .+ xk)2.
Demonstrac¸a˜o.
Item i)
Trata-se enta˜o de minimizar a func¸a˜o:
y = f(x) := (x− x1)2 + . . .+ (x− xk)2.
que e´ uma para´bola com concavidade para cima, ja´ que:
f(x) = k · x2 − 2 · (x1 + . . . xk) · x+ (x21 + . . .+ x2k).
6. MI´NIMOS QUADRADOS E A ME´DIA ARITME´TICA 150
Portanto seu mı´nimo esta´ onde f ′(x) = 0, ou seja, na ra´ız de:
2k · x− 2 · (x1 + . . . xk) = 0,
ou seja, em
x =
x1 + . . .+ xk
k
que e´ chamada de me´dia aritme´tica dos valores x1, . . . xk.
Item ii)
Note que, por ser uma soma de quadrados,
y = f(x) = (x− x1)2 + . . .+ (x− xk)2 ≥ 0
e se para algum x0 ∈ R temos f(x0) = 0 enta˜o
(x0 − x1)2 + . . .+ (x0 − xk)2 = 0 ⇔ x0 = x1 = . . . = xk.
Portanto, se algum xi e´ diferente de algum outro xj , na lista que demos de x1, . . . , xk,
a equac¸a˜o quadra´tica em x:
y = f(x) = k · x2 − 2 · (x1 + . . . xk) · x+ (x21 + . . .+ x2k) = 0
na˜o tem soluc¸a˜o Real. Ou seja, se seu discriminante e´ negativo. Mas esse discrimi-
nante e´:
(2 · (x1 + . . . xk))2 − 4 · k · (x21 + . . .+ x2k) < 0,
ou seja,
(x1 + . . . xk)
2 < k · (x21 + . . .+ x2k),
como quer´ıamos.
�
6.1. Retas de ajuste.
Agora trato de um problema parecido, mas diferente. Que so´ sera´ considerado no
caso geral na Sec¸a˜o 3 do Cap´ıtulo 34.
Considere o quadrado da distaˆncia vertical de um ponto (x1, y1) a uma reta y =
ax+ b, ou seja:
(ax1 + b− y1)2 ≥ 0
e = 0 exatamente quando (x1, y1) esta´ na reta.
Suponhamos que queremos encontrar a reta pela origem y = ax (na˜o vertical) que
minimiza a soma dos quadrados das distaˆncias verticais ate´ k pontos (x1, y1), . . . (xk, yk)
(na˜o todos os xi iguais a zero).
Denote as retas pela origem por y = ξx para deixar claro que a inco´gnita agora e´
o coeficiente angular ξ.
E fac¸a a func¸a˜o que da´ a soma de quadrados de distaˆncias verticais:
f(ξ) := (ξx1 − y1)2 + . . .+ (ξxk − yk)2.
Note que
f(ξ) = (x21 + . . .+ x
2
k) · ξ2 − 2(x1y1 + . . .+ xkyk)ξ + y21 + . . .+ y2k.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 151
Enta˜o f(ξ) e´ uma para´bola com concavidade para cima, ja´ que
x21 + . . .+ x
2
k > 0
(se esse nu´mero fosse zero todos os pontos tem coordenada x igual a zero).
Portanto se procuramos por um mı´nimo de f basta procurarmos onde f ′(ξ) = 0.
Mas:
f ′(ξ) = 2(x21 + . . .+ x
2
k) · ξ − 2(x1y1 + . . .+ xkyk),
e portanto f ′(ξ) = 0 se da´ em:
ξ =
x1y1 + · · ·+ xkyk
x21 + . . .+ x
2
k
.
Ou seja a reta a ser escolhida e´:
y = (
x1y1 + · · ·+ xkyk
x21 + . . .+ x
2
k
) · x.
O problema interessante em geral e´ quando a reta buscada forma y = ξx+ τ na˜o
precisa passsar pela origem.
Essa reta aproximara´ simultaˆneamente va´rios pontos, que podem ser resultado de
aferic¸o˜es de dados relevantes.
O Cap´ıtulo 34 tratara´ de uma reta que minimiza soma de quadrados de distaˆncias
verticais de pontos xi, yi de interesse na Biologia, e cujo coeficiente angular ξ e´ uni-
versal.
7. Pontos de inflexo˜es dos gra´ficos
Definic¸a˜o 7.1. Seja f cont´ınua em I, intervalo aberto, e duas vezes deriva´vel ao
menos em I \ {x}.
Chamamos x de ponto de inflexa˜o da f se o sinal da f ′′(x) muda em torno de x.
Ou seja, um ponto de inflexa˜o marca a mudanc¸a de concavidade de uma func¸a˜o
(se era para cima, vira para baixo e vice-versa).
Exemplos:
• y = f(x) = x3, que tem f ′′(x) = 6x e ponto de inflexa˜o em x = 0.
• em geral, y = f(x) = x2n+1,