Lógica 2016

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UNIDADE I 
Noções de lógica 
SEÇÃO 1 
Proposições e conectivos 
HISTÓRIA 
A história da Lógica começa na Grécia Antiga, por volta do século V antes de Cristo. Os primeiros trabalhos 
sobre Lógica são devidos a Parmênides, a Zenão e ao grupo conhecido como “sofistas”, mas o verdadeiro criador da 
Lógica é, sem dúvida, Aristóteles (384-322 a.C.), pois foi ele quem sistematizou e organizou esse conhecimento, 
elevando-o à categoria de ciência. Em sua obra chamada Organum (que, em tradução livre, significa “ferramenta”), 
Aristóteles estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que dominaram o pensamento ocidental durante dois mil anos e, 
até hoje, são considerados válidos. 
Aristóteles tinha como objetivo a busca da verdade e, nessa busca, procurava caracterizar os instrumentos de 
que se servia a razão. Em outras palavras, Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de 
conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos. Caberia à Lógica, portanto, a 
formulação de leis gerais de encadeamentos de conceitos e juízos que levariam à descoberta de novas verdades. 
Com a obra Análise Matemática da Lógica, de George Boole (1815-1864), e Lógica Formal, de Augustus De 
Morgan (1806-1871), estrutura-se uma teoria algébrica da lógica das proposições, dando início à lógica moderna. Ainda 
nesse período, Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da lógica axiomatizando o cálculo 
sentencial, usando a negação e a implicação com conceitos primitivos. 
Com Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947) inicia-se o período atual da lógica, 
com a obra Principia Mathematica. Ainda nesse período, David Hilbert (1862-1943), Curt Gödel (1906-1978) e Alfred 
Tarski (1902-1983) deram importantes contribuições a esse conhecimento. 
Hoje podemos dizer que a lógica é classificada em: 
 Lógica Clássica: considerada como o núcleo da lógica dedutiva. Três princípios regem a Lógica Clássica: 
o da Identidade, o da Não-contradição e o do Terceiro Excluído, os quais serão estudados mais adiante. 
 Lógica Não-Clássica: caracterizada por não admitir algum ou alguns dos princípios da lógica clássica. 
 
DESAFIO 
Antes de iniciar o estudo sistemático da Lógica, você esta sendo convidado a exercitar o seu raciocínio. Para 
isso use o velho e útil bom senso para resolver os seguintes problemas: 
 1) Dona Rosa, Dona Branca e Dona Violeta passeavam pelo parque quando Dona Rosa diz: 
 Não é curioso que estejamos usando vestidos de cores rosa, branca e violeta embora nenhuma de nós 
use o vestido com a cor do seu próprio nome? 
 É mera coincidência - respondeu a senhora com vestido violeta. 
Qual a cor do vestido de cada uma? 
 
Nesse exemplo, a lógica pode ser útil para descobrir a cor do vestido de cada uma das senhoras. Veja: se Dona 
Rosa não está com o vestido da cor rosa só pode estar vestindo branco ou violeta. Como a resposta a sua pergunta foi 
dada pela senhora de vestido violeta conclui-se que Dona Rosa esta com o vestido branco. Então, Dona Violeta esta de 
vestido rosa e Dona Branca esta de vestido violeta. 
 
2) Sobre as idades de Alex, Bruno e Carlos, sabe-se o seguinte: 
 Bruno é o do meio ou Alex é o mais novo. 
 Alex é o do meio ou Bruno é o mais velho. 
 Carlos é o mais velho ou Bruno é o mais velho. 
 Bruno é o do meio ou Carlos é o do meio. 
Com base nesses dados, quem é o mais novo e o mais velho? 
Tente você encontrar a resposta e, se não conseguir, veja a solução ao final dessa unidade. 
Depois de resolver esses problemas, você será capaz de resolver problemas mais complexos. Essa é uma forma 
de “despertar” o raciocínio lógico. 
 2 
1.1 Proposição 
É todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. As proposições 
podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas. 
 
EXEMPLO 
 Veja os exemplos que você pode classificar em verdadeiro ou falso: 
 1) A Terra gira em torno do Sol. 
 2) 5 é um número natural. 
 3) 7 = 13 
 4) 
2a b a b  
 
 
Observe que as proposições dos exemplos 1 e 2 são verdadeiras, enquanto que as do exemplo 3 e 4 são falsas. 
Observe também que as proposições dos exemplos acima são sentenças declarativas, pois só elas podem ser 
classificadas em verdadeiras ou falsas. 
A propriedade fundamental de uma proposição de ser VERDADEIRA ou FALSA é denominada valor lógico da 
proposição. 
Assim, você pode perceber que a proposição “O mercúrio é mais pesado que a água” tem valor lógico verdadeiro, 
enquanto a proposição “O Sol gira em torno da Terra” tem valor lógico falso. 
Veja outros tipos de sentenças: 
- Interrogativas: 
Será que Marcos vai ao teatro? 
Quantos candidatos foram reprovados no último concurso vestibular? 
- Exclamativas: 
Que maravilha! 
Feliz Páscoa! 
- Imperativas: 
Abra a janela. 
Não falte ao trabalho. 
Estas sentenças interrogativas, exclamativas e imperativas expressam também significados, mas não é possível 
dizer se são verdadeiras ou falsas. Logo, tais sentenças não são proposições. 
Mais precisamente, uma proposição é sempre uma sentença declarativa, na qual são válidos os seguintes 
princípios: 
 O Princípio da identidade, o qual garante que uma proposição é igual a si mesma. 
 O Princípio da não contradição, o qual afirma que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao 
mesmo tempo. 
 O Princípio do terceiro excluído, o qual afirma que toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, 
verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. 
 
PARA RELETIR 
 Lembre: toda proposição é verdadeira ou falsa. A partir dessa afirmação você pode classificar a sentença 
3 8x 
 
como uma proposição? 
 
1.2 Proposição Simples e Composta 
As proposições podem ser classificadas em Simples ou Atômicas e Compostas ou Moleculares. 
Chama-se Proposição Simples aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si 
mesma. É designada por letra minúscula do alfabeto latino: p, q, r, s, etc. 
EXEMPLO 
1) Considere a proposição p: O homem é mortal. 
Observe que p é uma proposição simples cujo valor lógico é verdadeiro, o qual se representa simbolicamente 
por v(p) = V. 
 3 
2) Seja a proposição q: 4 + 5 = 8. 
Observe que q é uma proposição simples cujo valor lógico é falso, o qual se representa simbolicamente por v(q) 
= F. 
 
Chama-se Proposição Composta aquela formada por duas ou mais proposições. É designada por letra 
maiúscula do alfabeto latino: P, Q, R, S, etc. 
EXEMPLO 
 1) P: A Matemática é uma ciência exata e a Aritmética é um ramo da Matemática. 
 2) Q: 
4 2
 ou 
4 2  
. 
 3) R: Se a semana tem sete dias, então Curitiba é capital de Santa Catarina. 
 4) S: 15 é um número primo se, e somente se, o ano não tem dez meses. 
 
Nas proposições compostas anteriores, as palavras que estão grifadas e, ou, não, se... então, se e somente se são 
usuais na Lógica Matemática e recebem o nome de conectivos. 
 
 Você já sabe determinar o valor lógico de uma proposição simples, que pode ser verdadeira ou falsa. Mas como 
determinar o valor lógico de uma proposição composta? 
Estudando a próxima seção, você terá condições de responder a essa pergunta. 
 
ATIVIDADES DA SEÇÃO 1 
1) Nas sentenças seguintes, assinale as proposições. 
a) Curitiba é a capital do Paraná. 
b) Um quilômetro tem 100 metros. 
c) Será que amanhã irá chover? 
d) 
3 
 
e) Tenha um bom dia. 
2) Agora que você já identificou as proposições, classifique-as em verdadeiras ou falsas. 
 
 
SEÇÃO 2 
Operações lógicas e tabelas-verdade 
Nesta seção, a partir dos conectivos que você já conhece, serão definidas as operações lógicas,visando à 
elaboração de tabelas-verdade. 
2.1 Tabelas-verdade 
O valor lógico, V ou F, de uma proposição composta é determinado pelos valores lógicos das proposições 
simples que a constituem e pela operação do conectivo envolvido. 
Para essa determinação é utilizado um dispositivo denominado tabela-verdade, no qual figuram todos os 
possíveis valores lógicos das proposições simples componentes da proposição composta. Assim, temos: 
 a) Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2
1
 = 2. 
p
V
F 
 b) Para duas proposições simples p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 2
2
 = 4. 
p q
V V
V F
F V
F F 
V e F são os dois valores lógicos que, 
exclusivamente, podem ser atribuídos a p. 
 (V,V), (V,F), (F,V) e (F,F) são os quatro pares 
ordenados de valores lógicos das proposições p e q. 
 4 
 c) Para três proposições simples p, q e r, o número de linhas da tabela-verdade é 2
3
 = 8. 
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
 
ATENÇÃO 
 
2.2 Operações lógicas sobre as proposições 
Você já se deu conta de que quando “pensa”, efetua muitas vezes certas operações sobre proposições, chamadas 
operações lógicas? Essas operações obedecem a regras de um cálculo, denominado cálculo proposicional, semelhante 
ao da aritmética sobre números. Veja, a seguir, as operações lógicas fundamentais. 
 
Negação ( ~ ) ou (

): conectivo “não” 
Dada a proposição “A semana tem sete dias”, podemos formar a sua negação dos seguintes modos: “Não é 
verdade que a semana tem sete dias”, ou então ”É falso que a semana tem sete dias”, ou ainda “A semana não tem sete 
dias”. 
Para uma proposição p, a sua negação, denotada por ~ p, é uma proposição com valor lógico contrário ao valor 
lógico de p. A tabela-verdade para a negação de p é: 
p ~ p
V F
F V 
A proposição ~ (~ p) é equivalente à proposição p. Negar a negação de uma proposição significa fazer uma 
afirmação (regra da dupla negação). 
EXEMPLO 
 1) p: 2 + 2 = 5 
 ~ p: 2 + 2  5 
 Observe que a proposição p é falsa e a sua negação ~ p é verdadeira. 
 2) q: O triângulo retângulo tem um ângulo reto. 
 ~ q: Não é verdade que o triângulo retângulo tem um ângulo reto. 
 Neste caso, a proposição q é verdadeira e a sua negação ~ q é falsa. 
 
Conjunção (  ): conectivo “e” 
Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q” e indicada com a notação 
“p  q”. 
O valor lógico da conjunção de duas proposições p e q é a verdade (V), quando p e q são ambas verdadeiras, e a 
falsidade (F) nos demais casos. Assim, o valor lógico da conjunção de duas proposições é definido pela seguinte tabela-
verdade: 
 (V,V,V), (V,V,F), (V,F,V), (V,F,F), (F,V,V), (F,V,F), 
(F,F,V) e (F,F,F) são os oito ternos ordenados de 
valores lógicos das proposições p, q e r. 
O número de linhas com valores lógicos de uma tabela-verdade de uma proposição composta com n 
proposições simples é: 2
n
. 
 5 
 
p q p  q
V V V
V F F
F V F
F F F 
EXEMPLO 
1) p: O quilômetro tem 1000 metros. 
 q: Paris é a capital da Alemanha. 
 p  q: O quilômetro tem 1000 metros e Paris é a capital da Alemanha. 
Neste exemplo, o valor lógico de p é v(p) = V e de q é v(q) = F. Portanto, o valor lógico da conjunção p  q é 
v(p  q) = F. 
 2) r: 7 + 3 = 10 
 s: (–2) 5 < (–2) 3 
 r  s: 7 + 3 = 10  (–2) 5 < (–2) 3 
Neste exemplo, o valor lógico de r é v(r) = V e de s é v(s) = V. Portanto, o valor lógico da conjunção r  s é v(r 
 s) = V . 
 
Disjunção (  ): conectivo “ou” 
Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q” e indicada com a notação 
“p  q”. 
O valor lógico da disjunção de duas proposições p e q é a falsidade (F), quando p e q são ambas falsas, e a 
verdade (V) nos demais casos. Assim, o valor lógico da disjunção de duas proposições é definido pela seguinte tabela-
verdade: 
 
p q p  q
V V V
V F V
F V V
F F F 
EXEMPLO 
 1) p: Paris é a capital da França. 
 q: (3 + 5)
2
 = 3
2
 + 5
2
 
 p  q: Paris é a capital da França ou (3 + 5)2 = 32 + 52 
Neste exemplo, o valor lógico de p é v(p) = V e de q é v(q) = F. Portanto, o valor lógico da disjunção p  q é 
v(p  q) = V. 
 2) r: 
1
 = 1 
 s: 
4 1
10 5

 
 r  s: 
1
 = 1  
4 1
10 5

 
Neste exemplo, o valor lógico de r é v(r) = F e de s é v(s) = F. Portanto, o valor lógico da disjunção r  s é v(r  
s) = F . 
 
Disjunção Exclusiva ( 

 ) 
Na linguagem comum a palavra ou tem dois sentidos. Assim, por exemplo, considere as duas seguintes 
proposições compostas: 
P: Carlos é médico ou professor. 
Q: Mário é alagoano ou gaúcho. 
Na proposição P diz-se que ou é inclusivo, porque Carlos pode ser médico e também pode ser professor; 
enquanto que na proposição Q diz-se que ou é exclusivo, porque Mário não pode ser alagoano e gaúcho simultaneamente. 
 6 
De um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por p

q, que se lê ou p ou q ou p ou q, mas não ambos, cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou 
q é verdadeira, mas não ambas verdadeiras, e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. 
Assim, o valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade: 
 
p q p  q
V V F
V F V
F V V
F F F 
EXEMPLO 
Sejam as proposições p: Paris é a capital da França e q: Paris é a capital de Portugal. 
Você pode observar que a disjunção entre as proposições p e q, denotada por p 

 q, que se lê ou Paris é a 
capital da França ou Paris é a capital de Portugal, tem valor lógico verdadeiro, pois p é verdadeira e q é falsa. 
 
Condicional (  ): conectivo “se ... então” 
Chama-se condicional de duas proposições p e q a proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico 
é a falsidade (F), quando p é verdadeira e q é falsa, e a verdade (V) nos demais casos. 
Indica-se com a notação “p  q”, que pode ser lida como: 
 se p então q 
 p é condição suficiente para q 
 q é condição necessária para p 
Na condicional p  q, p é o antecedente e q é o consequente. 
O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade: 
 
p p  q
V V
V F
F V
F F V
q
V
F
V
 
EXEMPLO 
 1) p: 11 é um número ímpar. 
 q: 
7
 é um número racional. 
 p  q: Se 11 é um número ímpar, então 
7
 é um número racional. 
Neste exemplo, o valor lógico de p é v(p) = V e de q é v(q) = F. Portanto, o valor lógico da condicional p  q é 
v(p  q) = F. 
 2) r: O pentágono tem seis lados. 
 s: O ano tem dez meses. 
 r  s: Se o pentágono tem seis lados, então o ano tem dez meses. 
Neste exemplo, o valor lógico de r é v(r) = F e de s é v(s) = F. Portanto, o valor lógico da condicional r  s é 
v(r  s) = V . 
 
Uma condicional p  q não afirma que o consequente q se deduz ou é consequência do antecedente p. O que uma 
condicional afirma é unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do consequente, de acordo 
com a tabela-verdade da condicional. 
 
Bicondicional (  ): conectivo “se e somente se” 
Chama-se bicondicional de duas proposições p e q a proposição representada por “p se e somente se q”, cujo 
valor lógico é a verdade (V), quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos. 
Indica-se com a notação “p  q”, que pode ser lida também como: 
 7 
 pé condição necessária e suficiente para q 
 q é condição necessária e suficiente para p 
 q se e somente se p 
O valor lógico da bicondicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade: 
 
p q p  q
V V V
V F F
F V F
F F V 
EXEMPLO 
 1) p: Florianópolis é a capital do Paraná. 
 q: O Sol é uma estrela. 
 p  q: Florianópolis é a capital do Paraná se, e somente se, o Sol é uma estrela. 
Neste exemplo, o valor lógico de p é v(p) = F e de q é v(q) = V. Portanto, o valor lógico da bicondicional p  q 
é v(p  q) = F. 
 2) r: 3
2
 = 6 
 s: 18 é um número primo. 
 r  s: 32 = 6 se, e somente se, 18 é um número primo. 
Neste exemplo, o valor lógico de r é v(r) = F e de s é v(s) = F. Portanto, o valor lógico da bicondicional r  s é 
v(r  s) = V. 
 
2.3 Construção de tabelas-verdade 
Nos exemplos anteriores, você estudou as proposições compostas constituídas somente por duas proposições 
simples unidas por um único conectivo. Entretanto, você pode construir proposições compostas com duas ou mais 
proposições simples combinadas pelos conectivos lógicos: 
 
 
Assim, é possível construir proposições compostas, tais como: 
 P(p, q) = ~ p  (p  q) 
 Q(p, q) = (p  ~ q)  q 
 R(p, q, r) = (p  ~ q  r)  ~ (q  (p  ~ r)) 
Então, com o emprego das tabelas-verdade das operações lógicas fundamentais que você já conhece e que são: 
~ p, p  q, p  q, p 

 q, p  q 
é possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposição composta dada, tabela-verdade esta que 
mostrará exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira (V) ou falsa (F), admitindo-se, como é 
sabido, que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes. 
Para a construção da tabela-verdade de uma proposição composta você deve obedecer à ordem de precedência 
para os conectivos, que é a seguinte (do mais fraco para o mais forte): 
1º) ~ (negação) 
2º)  e  (conjunção e disjunção) 
3º)  (condicional) 
4º)  (bicondicional) 
Para modificar essa prioridade são utilizados parênteses ou colchetes. Assim, a proposição composta p  ~ r  
q  ~ r é uma condicional. Esta mesma proposição, escrita da forma 
Negação ~
Conjunção 
Disjunção 
Condicional 
Bicondicional 
 8 
p  (~ r  q  ~ r), que difere da anterior somente pela colocação de parênteses, é uma disjunção. 
EXEMPLO 
Construir a tabela-verdade das seguintes proposições: 
1) P (p, q) = ~(p  q)  q  p 
Para a construção da tabela-verdade da proposição dada observe inicialmente que ela é constituída de duas 
componentes simples. Logo, conforme já foi visto, a tabela-verdade terá 2
2
 = 4 linhas com valores lógicos. Veja, então, 
como representar as duas colunas com os valores lógicos possíveis para as proposições simples p e q. 
 
p q
V V
V F
F V
F F 
Em seguida, verifique que as operações lógicas que aparecem na proposição composta são: a negação (~), a 
conjunção (), a disjunção () e a bicondicional (). 
Para a construção da tabela-verdade você deve obedecer à ordem de precedência já estabelecida para os 
conectivos (que é do mais fraco para o mais forte) e, assim, embora o mais fraco seja a negação, comece representando a 
conjunção, pois esta operação está indicada, na proposição dada, entre parênteses. Lembre, conforme você já estudou no 
início desta seção, que a conjunção é verdadeira somente quando p e q são ambas verdadeiras e isso ocorre somente na 
primeira linha de valores lógicos, nas demais, o valor lógico é falso. Indica-se, então, a 3ª coluna da tabela-verdade. 
 
p q p  q
V V
V F
F V
F F 
Na sequência, a próxima operação a ser representada é a negação de p  q, indicada na quarta coluna na tabela-
verdade. 
 
p q p  q ~ (p  q)
V V V
V F F
F V F
F F F 
Observe que você precisa ainda representar, na tabela-verdade, a disjunção e a bicondicional. Como a disjunção 
é mais fraca que a bicondicinal, ela será a próxima a ser representada na tabela-verdade. Lembre que a disjunção é falsa 
somente quando as proposições envolvidas são também falsas. Compare então, linha por linha, os valores lógicos 
contidos na quarta e na segunda coluna, após esta comparação você conseguirá construir a quinta coluna da tabela-
verdade: 
p q p  q ~ (p  q) ~ (p  q)  q
V V V F
V F F V
F V F V
F F F V 
Finalize sua construção com a bicondicional, que é verdadeira quando ambas as proposições são verdadeiras ou 
ambas as proposições são falsas. Analise linha por linha os valores lógicos da quinta e da primeira coluna e terá então a 
sexta e última coluna da tabela-verdade, a qual contém os valores lógicos V e F da proposição dada. 
p q p  q ~ (p  q) ~ (p  q)  q ~ (p  q)  q  p
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V 
 9 
2) P (p, q) = p  q  p  q 
A proposição dada é constituída por duas componentes simples e nela figuram os conectivos da conjunção (), 
da condicional () e da disjunção (). Assim, a tabela-verdade desta proposição terá quatro linhas de valores lógicos e as 
operações lógicas serão representadas na seguinte ordem: conjunção (comparando linha por linha os valores lógicos das 
duas primeiras colunas), disjunção (comparando linha por linha os valores lógicos das duas primeiras colunas também) e 
condicional (comparando linha por linha os valores lógicos da terceira e quarta colunas), em último lugar, por ser o 
conectivo mais forte que figura na proposição dada. Acompanhe: 
 
p q p  q p  q p  q  p  q
V V
V F
F V
F F 
3) P (p, q, r) = ~ [p  (p  q)  r] 
Esta proposição, que é a negação de uma condicional, é formada por três componentes simples indicadas por p, 
q e r. Assim, ao construir uma tabela-verdade com 2
3
 = 8 linhas de valores lógicos, você terá a seguinte representação: 
Nesta mesma representação, é possível adicionar mais quatro colunas de valores lógicos para indicar, na ordem 
apresentada, a disjunção entre p e q representada entre parênteses, a disjunção entre p  q e r, a condicional entre p e (p  
q)  r, finalizando com a negação de [p  (p  q)  r]. 
Ou seja, você estará determinando o valor lógico da proposição composta dada: 
p q r p  q (p  q)  r p  (p  q)  r ~ [p  (p  q)  r]
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
 
Acompanhe outro exemplo da construção da tabela-verdade de uma proposição composta. 
 
4) P (p, q, r) = p  ~ r  q  ~ r 
Esta proposição, que é a uma condicional, é formada por três componentes simples indicadas por p, q e r. Sua 
tabela-verdade terá, então, 2
3
 = 8 linhas de valores lógicos. 
A seguir, perceba que são necessários mais quatro colunas de valores lógicos para indicar, na ordem 
apresentada, a negação da proposição r, a disjunção p  ~ r, a conjunção q  ~ r e, por último, a condicional p  ~ r  q 
 ~ r . 
Assim, você terá a seguinte representação 
p q r ~ r p  ~ r q  ~ r p  ~ r  q  ~ r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
 
 
Agora, aceite o desafio e construa sozinho(a) a tabela-verdade das proposições: 
 
 10 
5) q  ~ q  p 
 
p q
 
Se, na última coluna, obteve os valores F, F, F e V, você acertou. Caso contrário, não desanime e tente outra 
vez. 
6) (p  r)  (p  q) 
 
p q r
 
Se, na última coluna, obteve os valores V, F, V, F, V, V, F e F, você acertou. Caso contrário, não desanime e 
tente outra vez. 
 
2.4 Tautologia, contradição e contingência 
 Considerando os resultados obtidos na tabela-verdade, dos exemplos anteriores, de proposições compostas, 
você pode classificá-las de três formas: tautologia, contradição e contingência.Tautologia 
É toda proposição composta cuja última coluna de sua tabela-verdade contém somente V, isto é, é verdadeira 
para quaisquer valores lógicos de suas componentes. As tautologias são também chamadas de proposições válidas ou 
proposições logicamente verdadeiras. 
Contradição 
É toda proposição composta cuja última coluna de sua tabela-verdade contém somente F, isto é, é falsa para 
quaisquer valores lógicos de suas componentes. 
A negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, é uma contradição, e vice-versa. 
As contradições são também chamadas de proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas. 
Contingência 
É toda proposição composta que não é tautológica nem contradição, ou seja, na última coluna de sua tabela-
verdade figuram as letras V e F, cada uma pelo menos uma vez. 
 
Analisando as tabelas-verdade construídas no item anterior, você pode perceber que: 
 A proposição do exemplo 2 é uma ....................................................................... 
 A proposição do exemplo 3 é uma ....................................................................... 
 Nos demais exemplos, as proposições são ........................................................... 
 
ATIVIDADES DA SEÇÃO 2 
1) Em cada item a seguir, dê o valor lógico de cada uma das proposições simples e, em seguida, o valor lógico da 
proposição composta conectada com o sinal de uma operação lógica. 
a) p: Pitágoras era grego. 
q: Leonel Brizola era brasileiro. 
p  q: Pitágoras era grego e Leonel Brizola era brasileiro. 
b) p: 3 + 4 = 9. 
q: 2
0
 = 1. 
p  q: 3 + 4 = 9 ou 20 = 1 
 11 
c) p: O mês de dezembro tem 31 dias. 
q: Todo número primo é ímpar. 
p  q: Se o mês de dezembro tem 31 dias, então todo número primo é ímpar. 
d) p: Paris fica na Europa. 
q: log 5 25 = 5 
p  q: Paris fica na Europa se e somente se q: log 5 25 = 5 
2) Sejam as proposições: 
p: O rato entrou no buraco. 
q: O gato seguiu o rato. 
Forme sentenças na linguagem natural, que corresponde às proposições seguintes: 
a) ~ p 
b) ~ q 
c) ~ p  q 
d) ~ p  ~ q 
e) p  q 
f) ~ (p  q) 
3) Sabendo que o avesso de uma meia é o lado contrário ao que se vê, responda: 
a) O que é o avesso do avesso do avesso da meia? 
b) O que é o avesso do avesso do avesso do avesso da meia? 
4) Sabendo que p: “As vendas de geladeira estão aumentando” e q: “Os preços das geladeiras estão diminuindo”, escreva, 
na linguagem simbólica, as seguintes sentenças: 
a) Não é verdade que as vendas de geladeira estão aumentando e os preços das geladeiras estão diminuindo. 
b) As vendas de geladeira não estão aumentando ou os preços das geladeiras não estão diminuindo. 
5) Sejam as proposições: 
 p: Pelé é argentino. 
 q: 0,333... é um número irracional. 
 Determine o valor lógico de: 
 a) p  q 
 b) p  q 
 c) p  q 
 d) p  q 
6) Considerando p: 5 > 4, q: 2 < 8, r: 3 > 7 e s: 6 > 9, dê o valor lógico (verdadeiro ou falso) às sentenças: 
 a) p  q 
 b) r  q 
 c) p  r 
 d) p  r 
 e) r  s 
 f) r  s 
 g) p  s 
 h) p  q 
7) Construa a tabela-verdade e determine quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas ou contingentes: 
 a) ~ (p  q)  ~ (p  q) 
 b) ~ (p  r  ~ q  r) 
 c) (p  q)  (q  r)  (p  r) 
 d) [p  (q  r) ]  p 
8) Sabendo que os valores lógicos das proposições “p” e “q” são, respectivamente, F e V, determine o valor lógico (V ou 
F) das proposições seguintes: 
a) [p  (~ q  q]  ~ [(p  ~ q)  (q  ~ p)] 
b) ~ [(p  ~ q)  ~ p]  [(~ q  p)  (p  ~ q)] 
9) Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: 
 12 
 a) (p  q)  ~ r, sabendo que v(p) = v(r) = V 
 b) (p  q)  (p  r), sabendo que v(p) = v(r) = F 
 c) (p  ~ q)  (~ p  r), sabendo que v(q) = F e v(r) = V 
 d) (p  q)  (p  ~ r), sabendo que v(p) = v(r) = F 
 
UNIDADE II 
Implicação lógica, equivalência lógica e álgebra das proposições 
SEÇÃO 1 
Implicação lógica e equivalência lógica 
 
Nesta seção você vai estudar a implicação lógica e a equivalência lógica, que não são operações lógicas, mas 
sim uma forma de relacionar duas proposições. 
 
1.1 Implicação lógica 
Uma proposição P implica logicamente uma proposição Q quando nas tabelas-verdade de P e Q não ocorre V e 
F em nenhuma linha, isto é, quando não se tem simultaneamente P verdadeira e Q falsa. Indica-se que a proposição P 
implica logicamente a proposição Q com a notação P  Q. 
Você também pode verificar se uma proposição P implica uma proposição Q, utilizando o seguinte teorema. 
TEOREMA 1. A proposição P (p, q, r, ...) implica logicamente a proposição Q (p, q, r, ...), isto é: 
P (p, q, r, ...)  Q (p, q, r, ...) se, e somente se, a condicional 
P (p, q, r, ...)  Q (p, q, r, ...) (1) é tautológica. 
DEMONSTRAÇAO 
Se P (p, q, r, ...) implica logicamente a proposição Q (p, q, r, ...), então não ocorre que os valores lógicos 
simultâneos dessas duas proposições sejam respectivamente V e F e, por conseguinte, a última coluna da condicional (1) 
encerra somente a letra V, isto é, essa condicional é tautológica. 
Reciprocamente, se a condicional (1) é tautológica, isto é, se a última coluna da tabela-verdade encerra somente 
a letra V, então não ocorre que os valores lógicos simultâneos das proposições P (p, q, r, ...) e Q (p, q, r, ...) sejam 
respectivamente V e F e, por conseguinte, a primeira proposição implica logicamente a segunda. 
Portanto, a toda implicação lógica corresponde uma condicional tautológica e vice-versa. 
ATENÇÃO 
Os símbolos  e  são distintos. O 1º () é de operação lógica (condicional) e o 2º () é de relação estabelecendo que 
a condicional P  Q é tautológica. 
 
EXEMPLO 
1) Verifique se a proposição (p  q)  p implica logicamente a proposição simples q. 
Você pode indicar as duas proposições em uma mesma tabela-verdade, obtendo: p q p  q (p  q)  p q
V V
V F
F V
F F
1ª proposição 2ª proposição
 
Analisando linha por linha as duas proposições dadas, observe que em nenhuma linha ocorreu V para a primeira 
e F para a segunda proposição; logo, subsiste a implicação lógica entre a primeira e a segunda proposição, e podemos 
escrever: 
 (p  q)  p  q 
 
2) Verifique se a proposição (p  q)  ~ q implica logicamente a proposição ~ p. 
 13 
Outra maneira de se verificar se ocorre ou não a implicação lógica, além da utilizada no exemplo anterior, é 
verificar se a condicional correspondente entre as duas proposições dadas é tautológica, ou seja, se (p  q)  ~ q  ~ p é 
tautológica. 
p q ~ q p  q (p  q)  ~ q ~ p (p  q)  ~ q  ~ p
V V F V
V F V F
F V F V
F F V V 
Como a condicional é tautológica, subsiste a implicação lógica entre as duas proposições, ou seja, 
(p  q)  ~ q  ~ p 
 
3) Construa a tabela-verdade da condicional “(p  q)  (q  r)  (p  r)”. 
A tabela-verdade dessa condicional é: 
p q r p  q q  r p  r (p  q)  (q  r) (p  q)  (q  r)  (p  r)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
 
A tabela construída mostra que a condicional entre (p  q)  (q  r) e p  r é tautológica. Então, podemos 
afirmar que a primeira proposição implica logicamente a segunda, ou seja, (p  q)  (q  r)  (p  r) 
 
1.2 Equivalência lógica 
Uma proposição P é equivalente a uma proposição Q quando P e Q têm tabelas-verdade iguais, isto é, quando P 
e Q têm sempre o mesmo valor lógico. Indica-se que a proposição P é equivalente a Q, com a notação P  Q. Em 
particular, se as proposições são ambas tautologias ou ambas contradições, então são equivalentes. 
Você também pode verificar se duas proposições são equivalentes,utilizando o seguinte teorema. 
TEOREMA 2. A proposição P (p, q, r, ...) é equivalente a proposição Q (p, q, r, ...), isto é: 
P (p, q, r, ...)  Q (p, q, r, ...) se, e somente se, a bicondicional 
P (p, q, r, ...)  Q (p, q, r, ...) (1) é tautológica. 
DEMONSTRAÇÃO 
Se as proposições P (p, q, r, ...) e Q (p, q, r, ...) são equivalentes, então elas têm tabelas-verdade iguais e, 
portanto, o valor lógico da bicondicional (1) é sempre verdade, isto é, essa bicondicional é tautológica. 
Reciprocamente, se a bicondicional (1) é tautológica, então a última coluna da sua tabela-verdade contém 
somente a letra V e, por conseguinte, os valores lógicos de P e Q são ambos V ou ambos F, isto é, essas duas proposições 
são equivalentes. 
Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautológica e vice-versa. 
ATENÇÃO 
Os símbolos  e  são distintos. O 1º () é de operação lógica (bicondicional) e o 2º () indica que duas proposições 
são equivalentes. 
 
EXEMPLO 
1) Considere as seguintes proposições e suas respectivas tabelas-verdade: 
 a) p  q 
 14 
p q p  q
V V V
V F F
F V V
F F V 
 b) ~ p  q 
p q ~ p ~ p  q
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V 
 c) p  q 
p q p  q
V V V
V F F
F V F
F F V 
 d) (p  q)  (q  p) 
p q p  q q  p (p  q)  (q  p)
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V 
Analisando as tabelas acima, observe que as tabelas-verdade dos itens a) e b) encerram os mesmos valores 
lógicos; logo, essas duas proposições são equivalentes e podemos indicar: 
 p  q  ~ p  q 
O mesmo ocorre para os itens c) e d), ou seja: 
 p  q  (p  q)  (q  p) 
 
 As equivalências lógicas p  q  ~ p  q e p  q  (p  q)  (q  p) são importantes e serão 
muito utilizadas no transcorrer dos seus estudos. 
2) Construa a tabela-verdade da bicondicional (p  ~ q  c)  (p  q), na qual c é uma proposição cujo valor lógico é 
F. 
Como a proposição c só assume o valor lógico F, temos que ela é uma contradição e a tabela-verdade é 
construída com apenas 4 linhas de valores lógicos: p q c ~ q p  ~ q p  ~ q  c p  q (p  ~ q  c)  (p  q)
V V F
V F F
F V F
F F F
1ª proposição 2ª proposição 
 
 
Observe que a bicondicional entre as proposições p  ~ q  c e p  q é tautológica, e as duas proposições têm 
tabelas-verdade iguais. Portanto, as duas proposições são equivalentes e podemos escrever: p  ~ q  c  p  q 
 
 
 15 
3) Verifique se as proposições “x = 2  x > 5” e “~ (x 

 5  x = 2)” são equivalentes. 
Indicando cada uma das componentes simples da proposição dada por uma letra minúscula: p: x = 2 
 q: x > 5 
 ~ q: x 

 5 
Podemos, então, reescrever a proposição dada como: “p  q” e “~ (~ q  p)” 
As tabelas-verdade dessas duas proposições são: 
 
p q ~ q p  q ~ q  p ~ (~ q  p)
V V
V F
F V
F F 
 1ª proposição 2ª proposição 
Como as duas proposições apresentam tabelas-verdade diferentes, as proposições 
“x = 2  x > 5” e “~ (x 

 5  x = 2)” não são equivalentes. 
A seguir, você passará a conhecer algumas equivalências lógicas relacionadas a uma condicional. Dada a 
proposição condicional p  q, temos: 
 1ª) Proposição recíproca: q  p 
 2ª) Proposição contrária: ~ p  ~ q 
 3ª) Proposição contrapositiva: ~ q  ~ p 
As tabelas-verdade dessas 4 condicionais: p  q, q  p, ~ p  ~ q e ~ q  ~ p são: 
p q p  q q  p ~ p ~ q ~ p  ~ q ~ q  ~ p
V V
V F
F V
F F 
 condicional recíproca contrária contrapositiva 
 Observe que: 
 1º) Comparando a condicional p  q e sua contrapositiva ~ q  ~ p você pode verificar que elas são 
equivalentes, isto é: 
 p  q  ~ q  ~ p 
 2ª) Comparando a recíproca q  p e a contrária ~ p  ~ q você pode concluir que elas são equivalentes, isto é: 
 q  p  ~ p  ~ q 
 3ª) Na mesma tabela você verifica que a condicional p  q não é equivalente à sua recíproca qp e nem à sua 
contrária ~ p  ~ q. 
 
EXEMPLO 
1) Seja a condicional relativa a um triângulo T, dada por p  q: Se T é um triângulo equilátero, então T é um triângulo 
isósceles. Determine a recíproca dessa condicional. 
 Resolução: 
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________ 
2) Determine a contrapositiva da condicional: “Se x é menor que zero, então x não é positivo”. 
 Resolução: 
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________ 
 16 
3) Determine: 
 a) A contrapositiva da contrapositiva de p  q. 
 Resolução: 
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
 b) A contrapositiva da recíproca de p  q. 
 Resolução: 
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
 c) A contrapositiva da contrária de p  q. 
 Resolução: 
_________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________ 
 
ATIVIDADES DA SEÇÃO 1 
1) Escreva a proposição recíproca, contrária e contrapositiva de cada uma das seguintes proposições: 
a) Se um número é ímpar, então o seu quadrado é ímpar. 
b) Se ele fosse rico, então ele seria feliz. 
c) Se um quadrilátero é um quadrado, então ele é um retângulo. 
d) Se ela estudou, então passará no concurso. 
2) Determine a proposição recíproca da proposição contrária de ~ p  ~ q. 
3) Verifique se as equivalências e implicações lógicas abaixo são verdadeiras ou não: 
a) (p  q)  ~ p  p  q 
b) (p  q)  r  (p  ~ r)  ~ q 
c) (~ p  q)  ~ q  p 
d) (p  q)  ~ p  ~ q 
 
 
SEÇÃO 2 
Álgebra das proposições 
Nesta seção você vai estudar, inicialmente, algumas propriedades algébricas dos conectivos. Todas as 
demonstrações dessas propriedades podem ser facilmente obtidas utilizando-se as tabelas-verdade. Algumas dessas 
propriedades estão demonstradas nesta seção e outras serão deixadas como exercício para você realizar. 
 
2.1 Propriedades dos conectivos 
 Sejam p, q e r proposições simples quaisquer. Então, temos: 
 2.1.1 Leis comutativas: p  q  q  p (conjunção) 
 p  q  q  p (disjunção) 
Como exercício utilize o que você já aprendeu sobre equivalência lógica e complete as tabelas abaixo que 
demonstram as leis comutativas da conjunção e da disjunção: 
p q p  q q  p 
 
p q p  q q  p 
 
 2.1.2 Leis de idempotência: p  p  p (conjunção) 
 p  p  p (disjunção) 
 2.1.3 Leis associativas: (p  q)  r  p  (q  r) (conjunção) 
 (p  q)  r  p  (q  r) (disjunção) 
As leis de idempotência e as leis associativas também são demonstradas através detabelas-verdade. 
 17 
 2.1.4 Leis distributivas: 
 (i) a conjunção é distributiva em relação à disjunção: p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 
 Acompanhe a demonstração dessa lei na tabela-verdade abaixo: 
 Demonstração: 
p q r q  r p  (q  r) p  q p  r (p  q)  (p  r)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
 
(ii) a disjunção é distributiva em relação à conjunção: p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 
 Para mostrar que você entendeu, faça a demonstração dessa propriedade, completando a tabela abaixo: 
p q r q  r p  (q  r) p  q p  r (p  q)  (p  r)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
 
 
 2.1.5 Leis de De Morgan 
 Estas leis são creditadas a Augustus De Morgan e são ferramentas muito utilizadas para relacionar os conectivos 
 e . 
 
HISTÓRIA 
Augustus De Morgan (1806 – 1871), nasceu na Índia, em 1806, quando seu pai, um tenente-coronel britânico, ali 
trabalhava; faleceu em Londres, em 1871. Foi matemático e lógico, formulando o que ficou conhecido como “leis De 
Morgan” e sua contribuição mais significativa foi Formal Logic, obra na qual definiu uma reformulação da lógica. 
Tinha forte inclinação por quebra-cabeças e adivinhações e, quando lhe perguntavam sua idade, ele respondia: “Eu tinha x 
anos de idade no ano x
2”. Amava enigmas, tanto que reuniu alguns no seu conhecido “Budget of Paradoxes”, editado após 
sua morte. 
 Sejam p e q duas proposições simples quaisquer. Então: 
 a) ~ (p  q)  ~ p  ~ q 
 Demonstração: 
p q ~ p ~ q p  q ~ (p  q) ~ p  ~ q
V V
V F
F V
F F 
 Essa regra afirma que negar que duas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma 
pelo menos é falsa. 
 b) ~ (p  q)  ~ p  ~ q 
 Agora, faça você esta demonstração: 
 18 
p q ~ p ~ q p  q ~ (p  q) ~ p  ~ q
 
Essa regra afirma que negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que 
ambas são falsas. 
A negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção. 
 
EXEMPLO 
1) A negação da proposição “É inteligente e estuda” é, conforme 2.1.5 a): “Não é inteligente ou não estuda”. 
2) A negação da proposição “É médico ou professor” é, conforme 2.1.5 b): “Não é médico e não é professor”. 
As regras de De Morgan mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação, 
ou a conjunção a partir da disjunção e da negação, da seguinte forma: 
 p  q  ~ (~ p  ~ q) 
 p  q  ~ (~ p  ~ q) 
 
 2.1.6 As próximas propriedades se referem à tautologia e à contradição e são chamadas de leis de identidade: 
 Seja t uma tautologia, c uma contradição e p uma proposição simples qualquer. Então: 
 (i) p  t  t 
 (ii) p  c  p 
 (iii) p  t  p 
 (iv) p  c  c 
 Acompanhe as demonstrações dos itens (i) e (ii). 
(i) (ii) 
p t p  t
V V V
F V V 
p c p  c
V F V
F F F 
 Agora faça você, nas tabelas abaixo, as demonstrações dos itens (iii) e (iv). 
(iii) (iv) 
p t p  t
 
p c p  c
 
 
 2.1.7 Negação da Condicional 
Na seção 1 desta unidade, foi provado que p  q  ~ p  q, e a negação desta condicional é: 
~ (p  q)  ~ (~ p  q) 
Aplicando a regra de De Morgan, temos: 
~ (p  q)  ~ ~ p  ~ q, 
ou seja: 
~ (p  q)  p  ~ q 
 
 2.1.8 Negação da Bicondicional 
Na seção 1 desta unidade, foi provado também que p  q  (p  q)  (q  p), e a negação desta 
bicondicional é: 
~ (p  q)  ~ [(p  q)  (q  p)] 
Pela regra de De Morgan: 
~ (p  q)  ~ (p  q)  ~ (q  p) 
E pela negação da condicional, temos ainda: 
 19 
~ (p  q)  (p  ~ q)  (q  ~ p), 
ou seja: 
~ (p  q)  (p  ~ q)  (~ p  q) 
As tabelas-verdade das proposições ~ (p  q), p  ~ q e ~ p  q mostram que também subsistem as seguintes 
equivalências: 
~ (p  q)  p  ~ q  ~ p  q 
 Acompanhe a demonstração: 
p q p  q ~ (p  q) ~ q p  ~ q ~ p ~ p  q
V V
V F
F V
F F 
 
ATIVIDADES DA SEÇÃO 2 
1) Mostre que a condicional p  q não admite as propriedades idempotente, comutativa e associativa. 
2) Mostre que a bicondicional p  q não satisfaz a propriedade idempotente, mas admite a propriedade comutativa e a 
propriedade associativa. 
RESPOSTAS das atividades 
Seção 2 
1) Pela tabela-verdade abaixo verificamos que a proposição p  p não é equivalente a p, portanto, a condicional não 
admite a propriedade idempotente. 
Verificamos também que a proposição p  q não é equivalente a proposição q  p, portanto, a condicional não admite a 
propriedade comutativa. 
p q p  p p  q q  p
V V
V F
F V
F F 
Pela tabela abaixo verificamos que a proposição (p  q)  r não é equivalente a proposição p  (q  r), portanto, a 
condicional não admite a propriedade associativa. 
p q r p  q q  r (p  q)  r p  (q  r)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
 
2) Construindo as tabelas-verdade como foi feito no exercício anterior, você provará que: 
 a proposição p  p não é equivalente a p, portanto, a bicondicional não admite a propriedade idempotente. 
 a proposição p  q é equivalente a proposição q  p, portanto, a condicional admite a propriedade comutativa. 
 a proposição (p q)  r é equivalente a proposição p  (q  r), portanto, a condicional admite a propriedade 
associativa. 
 20 
UNIDADE III 
Quantificadores 
SEÇÃO 1 
Sentenças abertas 
Conforme você já estudou, são chamadas proposições somente as sentenças declarativas, às quais se podem 
associar um, e somente um, dos valores lógicos, V ou F. 
Entretanto, existem sentenças como, por exemplo, “Ele é um bom aluno” em que não há como decidir se ela 
assume valor lógico verdadeiro ou falso; essa é uma sentença aberta. 
 
1.1 Sentenças abertas 
Se uma proposição não pode ser classificada com V ou F, ela é chamada de função proposicional ou sentença 
aberta, a qual é denotada por p(x). 
A sentença p(x): x + 3 = 7 é um exemplo de uma sentença aberta. Dependendo do valor associado a x, ela pode 
se tornar uma proposição verdadeira ou uma proposição falsa. 
Além disso, se p(x) é uma função proposicional num conjunto A, então o conjunto dos elementos 
a A
 com a 
propriedade de que p(a) é verdadeiro, é chamado o conjunto verdade Vp de p(x), ou seja: Vp = {x | x  A, p(x) é 
verdadeiro}. 
 
EXEMPLO 
1) Considere a função proposicional p(x): x + 4 > 3 definida em N, o conjunto dos números naturais. 
 Observe que, substituindo x por qualquer número natural, p(x): x + 4 > 3 é sempre verdadeira. 
 Então, o conjunto verdade dessa função proposicional é: 
 pV x | x N, x 4 3 N    
 
2) Seja p(x): x + 4 > 9. 
 Neste caso, p(x): x + 4 > 9 só é verdadeira se x for maior que 5. 
 Então, o conjunto verdade dessa função proposicional é: 
   pV x | x N, x 4 9 6, 7, 8,...    
 
3) Seja p(x): x + 4 < 1. 
 Observe que não existe nenhum número natural que somado com 4 seja menor que 1. 
 Portanto, o conjunto verdade dessa função proposicional é: 
 pV x | x N, x 4 1   
=  
Você pode observar que no 1º exemplo, p(x) é verdadeira para todo x  N; no 2º exemplo, p(x) é verdadeira 
para alguns x  N; e no 3º exemplo, p(x) não é verdadeira para nenhum x  N. 
Para representar tais expressões usamos os símbolos chamados quantificadores. 
 
ATIVIDADES DA SEÇÃO 1 
1) Determinar o conjunto verdade em N (conjunto dos números naturais) de cada uma das seguintes sentenças abertas: 
 a) 7x = 91 b) x
2
 – 7x + 12 = 0 c) x – 1 < 3 
 
 
 
 
2) Determinar o conjunto verdade em A = {1, 3, 4, 6, 8, 9, 10} de cada uma das seguintes sentenças abertas: 
 a) x + 2 A b) x – 2 é primo c) x + 5 é ímpar 
 d) x – 4 é par e) x é divisor de 27 f) |2x - 3| < 3 
 
 
 
 21 
SEÇÃO 2 
Quantificadores 
Você agora vai conhecer os símbolos que, quando aplicados nas sentenças abertas, as transformam em 
proposições. 
 
2.1 Quantificadores 
Primeiramente considere, por exemplo, o conjunto A = {5, 7, 8, 9, 11, 13}. Nesse conjunto, você pode observar 
que: 
 1º) Qualquer que seja o elemento de A, ele é um número natural. 
 2º) Existe elemento de A que é número ímpar. 
 3º) Existe um único elemento de A que é par. 
 4º) Não existe elemento de A que é múltiplo de 6. 
Na lógica e na matemática há símbolos próprios, chamados quantificadores, usados para representar expressões 
do tipo das quatro descritas acima. 
 
2.1.1 Quantificador Universal 
O quantificador universal traduz a idéia de abrangência de uma proposição a todo um conjunto. É denotado pelo 
símbolo  e lido como “para todo” ou “para qualquer” ou para “qualquer que seja”. Se p(x) é uma sentença aberta ou 
função proposicional num conjunto A, escrevemos: 
 x A p(x) 
 ou 
x, p(x)
 
Com relação ao exemplo anterior, você pode utilizar o quantificador universal para escrever o item 1º) da 
seguinte forma:  x  A, x é natural. 
 
2.1.2. Quantificador Existencial 
O quantificador existencial traduz a idéia de existência de condições para a validade de uma proposição em um 
conjunto. É denotado pelo símbolo  e lido como “existe” ou “existe pelo menos um” ou “para algum”. Se p(x) é uma 
sentença aberta ou função proposicional num conjunto A, escrevemos: 
 x A p(x) 
 ou 
x, p(x)
 
Voltando ao exemplo anterior, você pode utilizar o quantificador existencial para escrever o item 2º) da seguinte 
maneira:  x  A, x é ímpar. 
 
2.1.3. Quantificador de existência e unicidade 
O quantificador de existência e unicidade é uma variação do quantificador existencial. Indica a existência de 
apenas um elemento capaz de tornar a proposição verdadeira. É denotado pelo símbolo 
!
 e tem o significado de “existe 
apenas um” ou “existe um único”. 
Voltando ao exemplo inicial, o uso do quantificador de existência e unicidade, no item 3º) permite escrever: ! x 
 A, x é par. 
 
2.1.4 Negação de proposições que contêm quantificadores 
Muitas vezes, você precisa representar, simbolicamente, a negação de uma expressão quantificada. Seja, por 
exemplo, a sentença aberta: p(x): x é um aluno. Então a expressão “todos são alunos” pode ser escrita: x, p(x). 
A negação de “todos são alunos” é “nem todos são alunos” (e não “nenhum é aluno”, como pode parecer à 
primeira vista), ou, simbolicamente: ~x, p(x). 
Mas dizer que “nem todos são alunos” é o mesmo que dizer que “existe alguém que não é aluno”, ou seja, 
“existe um x tal que x não é um aluno”, ou, simbolicamente:  x, ~p(x). 
Concluímos, então, que as expressões: ~ x, p(x) e x, ~ p(x) são equivalentes. 
Da mesma forma, como podemos afirmar que as expressões “não existem alunos” e “todos não são alunos” 
descrevem o mesmo fato, podemos concluir que suas representações simbólicas: ~ x, p(x) e x, ~ p(x) são equivalentes. 
 22 
Voltando ao exemplo inicial e fazendo uso da negação de proposições quantificadas, no item 4º), você pode 
escrever: ~  x  A, x é múltiplo de seis. 
ATENÇÃO 
Em outras palavras, a proposição “Não é verdade que para cada a

A, p(a) é verdadeiro” é equivalente à 
proposição “Existe um a

A tal que p(a) é falso”, ou seja: 
~ ( x A) p(x) ( x A) ~ p(x)    
 
 
Do mesmo modo a proposição “Não é verdadeiro que exista um a

A tal que p(a) seja verdadeiro” é equivalente à 
proposição “Para todo a

A, p(a) é falso”, ou seja: 
~ ( x A) p(x) ( x A) ~ p(x)    
 
 
Essas duas equivalências são conhecidas por segundas regras de negação de De Morgan e afirmam que a 
negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial (seguido de negação) e vice-versa. 
EXEMPLO 
1) A negação da proposição “Todo aluno da turma A é bem comportado” é a proposição “Nem todo aluno da turma A é 
bem comportado”. 
2) A negação da proposição “Existe pelo menos um aluno da turma A que está doente” é a proposição “Nenhum aluno da 
turma A está doente”. 
3) A negação da proposição “Existe um planeta do sistema solar que é habitável” é a proposição “Não existe um planeta 
do sistema solar que é habitável” ou “Todos os planetas do sistema solar não são habitáveis”. 
4) ~ ( x  R) (3x - 5 = 0)  ................................................................................................................... 
5) ~ (x  R) (x2 < 0)  ........................................................................................................................... 
2.1.5. Contra-exemplo 
Quando uma sentença aberta p(x), quantificada com o quantificador universal, não é uma proposição verdadeira, 
significa que existe pelo menos um elemento x para o qual p(x) não é verdadeira. Esse elemento determina um exemplo 
para a não validade da proposição e ele é denominado contra-exemplo. 
EXEMPLO 
 Sendo A = {1, 2, 3, 4}, observe que a proposição ( x  A) ( x + 3 < 6) é falsa, pois 4 + 3 não é menor que 6. 
Logo essa proposição tem valor lógico F, sendo que 4 é um contra-exemplo. A negação dessa proposição é: 
.................................................................................................................... 
ATIVIDADES DA SEÇÃO 2 
1) Determine o valor lógico das seguintes proposições sendo N o conjunto dos números naturais e R o conjunto dos 
números reais: 
 a) 
 x N (x 3 5)   
 
 b) 
 x N (x 5 2)   
 
 c) 
  2x R (x 0)  
 
 d) 
 x N (x 1 4)   
 
 e) 
 x N (x 7 5)   
 
 f) 
  2x R (x 0)  
 
 g) 
 x R (2x 3 0)   
 
 h) 
 x R (3x 4 0)   
 
2) Dê a negação das proposições do exercício anterior. 
3) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, dê um contra-exemplo para cada uma das proposições: 
 a) 
 x A (x 2 8)   
 
 b) 
 x A (x divide 10) 
 
 c) 
  xx A (1 1)  
 
 d) 
 x A (x é par) 
 
 e) 
 x A (x 3 7)   