alga lista exercicios 6

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Lista de exercícios 6
1. Encontre A−1,onde:
(a) A =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1

(c) A =
 1 0 x1 1 x2
2 2 x2

2. Dada a matriz A =
 2 1 −30 2 1
5 1 3
, calcule:
(a) adj A
(b) det A
(c) A−1
3. Verdadeiro ou falso?
(a) Se detA = 1, então A−1 = A
4. Resolva o sistema

x− 2y + z = 1
2x+ y = 3
y − 5z = 4
.
5. Considere as matrizes A =
[
1 2
1 3
]
e B =
[
3 2
2 2
]
, calcule:
(a) A ·B
(b) A−1
(c) B−1
(d) (A ·B)−1
(e) Verifique se (A ·B)−1 = B−1 ·A−1
6. Em cada parte use a informação dada para encontrar A.
(a) A−1 =
[
2 −1
3 5
]
(b) (7A)−1 =
[ −3 7
1 −2
]
(c)
(
5AT
)−1
=
[ −3 −1
5 2
]
(d) (I + 2A)−1 =
[ −1 2
4 5
]
7. Resolva o seguinte sistema:
2x+ y − z = 3
x+ y + z = 1
x− 2y − 3z = 4
8. Ache os valores de k para os quais
∣∣∣∣ k k4 2k
∣∣∣∣ = 0.
9. Considere a matriz B =
 1 1 12 3 4
5 8 9
, determine:
1
(a) detB
(b) adjB
(c) B−1
10. Usando as operações sobre linhas (procedimento para inversão de matrizes utilizando o produto de matrizes
elementares), e seja A =
 1 2 32 5 3
1 0 8
, determine A−1.
11. Usando as operações sobre linhas, e seja A =
 1 6 42 4 −1
−1 2 5
, mostre que A não é invertível.
Respostas
1. (a) A−1 =

−1 −1 4 −2
−3 −4 12 −6
11 14 −43 22
10 14 −41 21

(c) A−1 =
 1 − 2x 1x−1 2x − 1 1− 1x
0 2x2 − 1x2

2. (a) adjA =
 5 −6 75 21 −2
−10 3 4

(b) detA = 45
(c) A−1 =
 19 − 215 7451
9
7
15 − 245− 29 115 445

3. Falso, visto que A−1 = 1detAadjA. Como detA = 1, não é verdade que A
−1 = adjA.
4. S =

x = 3623
y = − 323
z = − 1923
5. (a) A ·B =
[
7 6
9 8
]
(b) A−1 =
[
3 −2
−1 1
]
(c) B−1 =
[
1 −1
−1 32
]
(d) (A ·B)−1 =
[
4 −3
− 92 72
]
(e) B−1A−1 =
[
4 −3
− 92 72
]
. Logo (A ·B)−1 = B−1A−1
6. (a) A =
[
5
13
1
13− 313 213
]
(b) A =
[
2
7 1
1
7
3
7
]
(c) A =
[ − 25 1− 15 35
]
(d) A =
[ − 913 113
2
13 − 613
]
2
7. S=

x = 2
y = −1
z = 0
8. O determinante é zero se k = 0 ou k = 2.
9. (a) detB = −2
(b) adjB =
 −5 −1 12 4 −2
1 −3 1

(c) Como detB 6= 0, então B−1 =
 52 12 − 12−1 −2 1
− 12 32 − 12

10. A−1 =
 −40 16 913 −5 −3
5 −2 −1

11. A não é invertível, visto que há uma linha nula (de zeros) no lado esquerdo deA =
 1 6 4 1 0 00 −8 −9 −2 1 0
0 0 0 −1 1 1
.
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