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Trabalho 3

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T3 – Análise de estruturas II – ENG 1204 – 2012.2 
Renan Salvate Campos – 0811859 
Objetivo 
Descrever os procedimentos para a determinação das envoltórias de uma ponte exemplo 
utilizando um trem-tipo rodoviário pré-determinado. 
Ponte 
 
Seção Transversal 
Viga Girder Pilar retangular Veículo de Projeto 
 
Carga Estacionária Material 
80 kN/m 
 
Concreto 
𝐸 = 2,5 ∙ 107
𝑘𝑁
𝑚2
 
𝜈 = 0,2 
𝛼 = 0,00001 /º𝐶 
 
 
 
 
2 
 
Esforços internos da carga permanente 
 
Cortante 
 
Momento 
 
Ponte com carga móvel 
Esforços mínimos e máximos com cargas móveis 
Cortante (Q) 
 
3 
 
 
Momento (M) 
 
Determinação dos esforços na seção A (meio do 2º vão, x=32m) 
 
Cálculo das áreas 
Q 1 2 3 4 5 6 I min I max 
A 0,140 -0,7551 2,8211 -0,805 0,3539 0,0039 -2,3333 3,1366 
 
M 1 2 3 4 5 I min I max 
A -1,348 62,342 -4,4994 2,8916 -0,0064 -3,9855 48,0281 
 
(Memória de cálculo ao final) 
 
 
4 
 
Cortantes máximos e mínimos 
(𝑄𝐴)𝑚𝑖𝑛 = 360 ∙ (−0,4114 − 0,3493 − 0,2894 − 0,2325) + 12 ∙ (𝐴2 + 𝐴4 + 𝐴6) + 4 ∙ (𝐼𝑚𝑖𝑛) 
(𝑄𝐴)𝑚𝑖𝑛 = 360 ∙ (−1,2826) + 12 ∙ (−2,9112 − 0,805 + 0,0039) + 4 ∙ (−2,3333) 
(𝑄𝐴)𝑚𝑖𝑛 = 360 ∙ (−1,2826) + 12 ∙ (−3,2173) + 4 ∙ (−2,3333) 
(𝑄𝐴)𝑚𝑖𝑛 = −509,6770 
(Ftool = -493,3) Aproximado 
 
(𝑄𝐴)𝑚𝑎𝑥 = 360 ∗ (0,5886 + 0,5252 + 0,4613 + 0,3978) + 12 ∗ (𝐴1 + 𝐴3 + 𝐴5) + 4 ∗ (𝐼𝑚𝑎𝑥) 
(𝑄𝐴)𝑚𝑖𝑛 = 360 ∗ (1,9729) + 12 ∗ (0,1400 + 5,9577 + 0,3539) + 4 ∗ (3,1366) 
(𝑄𝐴)𝑚𝑖𝑛 = 360 ∗ (1,9729) + 12 ∗ (6,425) + 4 ∗ (3,1366) 
(𝑄𝐴)𝑚𝑖𝑛 = 800,2096 
(Ftool = 759,2) Aproximado 
 
Momentos máximos e mínimos 
(𝑀𝐴)𝑚𝑖𝑛 = 360 ∗ (−0,5025 − 0,5196 − 0,5046 − 0,4637) + 12 ∗ (𝐴1 + 𝐴3 + 𝐴5) + 4 ∗ (𝐼𝑚𝑖𝑛) 
(𝑀𝐴)𝑚𝑖𝑛 = 360 ∗ (−1,9904) + 12 ∗ (−1,348 − 4,4994 − 0,0064) + 4 ∗ (−3,9855) 
(𝑀𝐴)𝑚𝑖𝑛 = 360 ∗ (−1,2826) + 12 ∗ (−5,8538) + 4 ∗ (−3,9855) 
(𝑀𝐴)𝑚𝑖𝑛 = −547,9240 
(Ftool = -806,7) Possível Erro 
 
(𝑀𝐴)𝑚𝑎𝑥 = 360 ∗ (5,0342 + 6,0106 + 5,0670 + 4,2023) + 12 ∗ (𝐴2 + 𝐴4) + 4 ∗ (𝐼𝑚𝑎𝑥) 
(𝑀𝐴)𝑚𝑖𝑛 = 360 ∗ (20,3141) + 12 ∗ (62,342 + 2,8916) + 4 ∗ (48,0281) 
(𝑀𝐴)𝑚𝑖𝑛 = 360 ∗ (20,3141) + 12 ∗ (65,2336) + 4 ∗ (3,1366) 
(𝑀)𝑚𝑖𝑛 = 8108,426 
(Ftool = 8155,9) Aproximado 
Cálculo das envoltórias 
 
Carga 
Permanente 
Carga Móvel Envoltórias 
Mínimo Máximo Mínimo Máximo 
Esforços cortantes na seção A 
-77,6 -493,3 759,2 -567,6 678,3 
Momentos fletores na seção A 
6963,7 -806,7 8152,5 6157 15116,2 
5 
 
 
 
Conclusão 
Foi possível ter uma ideia de como as envoltórias podem ser calculadas utilizando a 
superposição dos efeitos das diversas seções. Alguns erros foram identificados, possivelmente 
cometidos pela dificuldade na aproximação dos valores nas seções do programa utilizado, na 
aproximação das áreas por trapézios, aproximação de contas e diferentes valores mostrados 
pelo programa em mesmas situações. 
Cálculo das áreas 
 
Áreas do Cortante Áreas do Momento 
x η A x η A 
0 0 0 0 0 0 
2 0,0079 0,0079 2 -0,0792 -0,0792 
4 0,0145 0,0224 4 -0,1445 -0,2237 
6 0,0182 0,0327 6 -0,1522 -0,2967 
8 0,0178 0,036 8 -0,1785 -0,3307 
10 0,0118 0,0296 10 -0,1196 -0,2981 
12 0 0,0118 12 0 -0,1196 
14 -0,0225 -0,0225 14 0,2203 0,2203 
16 -0,0518 -0,0743 16 0,5212 0,7415 
18 -0,0883 -0,1401 18 0,8101 1,3313 
20 -0,1311 -0,2194 20 1,3859 2,196 
22 -0,1795 -0,3106 22 1,9477 3,3336 
24 -0,2325 -0,412 24 2,5944 4,5421 
26 -0,2894 -0,5219 26 3,325 5,9194 
28 -0,3493 -0,6387 28 4,1386 7,4636 
30 -0,4114 -0,7607 30 5,0342 9,1728 
32 0,5886 0,1772 32 6,0106 11,0448 
34 0,5252 1,1138 34 5,067 11,0776 
6 
 
36 0,4613 0,9865 36 4,2023 9,2693 
38 0,3978 0,8591 38 3,4154 7,6177 
40 0,3554 0,7532 40 2,7055 6,1209 
42 0,275 0,6304 42 2,0715 4,777 
44 0,2174 0,4924 44 1,5124 3,5839 
46 0,1635 0,3809 46 1,0272 2,5396 
48 0,1141 0,2776 48 0,6148 1,642 
50 0,0701 0,1842 50 0,2743 0,8891 
52 0,0323 0,1024 52 0 0,2743 
54 0 0,0323 54 -0,1999 -0,1999 
56 -0,0221 -0,0221 56 -0,3487 -0,5486 
58 -0,0393 -0,0614 58 -0,4476 -0,7963 
60 -0,0506 -0,0899 60 -0,5025 -0,9501 
62 -0,057 -0,1076 62 -0,5198 -1,0223 
64 -0,0589 -0,1159 64 -0,5048 -1,0246 
66 -0,0572 -0,1161 66 -0,4837 -0,9885 
68 -0,0525 -0,1097 68 -0,4028 -0,8865 
70 -0,0455 -0,098 70 -0,3278 -0,7306 
72 -0,037 -0,0825 72 -0,2447 -0,5725 
74 -0,0275 -0,0645 74 -0,1595 -0,4042 
76 -0,0179 -0,0454 76 -0,1596 -0,3191 
78 -0,0087 -0,0266 78 -0,0782 -0,2378 
80 0 -0,0087 80 0 -0,0782 
82 0,0056 0,0056 82 0,0508 0,0508 
84 0,0106 0,0162 84 0,0953 0,1461 
86 0,0143 0,0249 86 0,1278 0,2231 
88 0,0169 0,0312 88 0,1496 0,2774 
90 0,0184 0,0353 90 0,1658 0,3154 
92 0,0191 0,0375 92 0,1626 0,3284 
94 0,0189 0,038 94 0,1534 0,316 
96 0,0181 0,037 96 0,1395 0,2929 
98 0,0167 0,0348 98 0,122 0,2615 
100 0,0149 0,0316 100 0,1022 0,2242 
102 0,0127 0,0276 102 0,0813 0,1835 
104 0,0104 0,0231 104 0,0604 0,1417 
106 0,008 0,0184 106 0,0407 0,1011 
108 0,0057 0,0137 108 0,0235 0,0642 
110 0,0035 0,0092 110 0,01 0,0335 
112 0,0016 0,0051 112 0 0,01 
114 0 0,0016 114 -0,0024 -0,0024 
116 -0,0006 -0,0006 116 -0,0035 -0,0059 
118 -0,0008 -0,0014 118 -0,0023 -0,0058 
120 0 -0,0008 120 0 -0,0023