Baixe o app para aproveitar ainda mais
Leia os materiais offline, sem usar a internet. Além de vários outros recursos!
cálculo diferencial e integral i, ii, iii
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
ECDPLUS/Pub/Leiame.txt
---------------------------------------------
- O arquivo que segue anexo foi retirado -
- do site Eletrotel.com.br -
- -
- Obrigado por acessar a Eletrotel ! -
- -
- Esperamos te-lo novamente como visitante -
- o mais rápido possível -
- -
- Para sugestões/críticas, mandar e-mail -
- para admin@eletrotel.com.br -
- -
- http://www.eletrotel.com.br -
- UM CHOQUE DE CONHECIMENTO -
- -
---------------------------------------------
Calc1_2� bim.doc
��
Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras (Polinomiais)
Limite das Funções Racionais Fracionárias
a função não está definida para x = a
Exemplos:
indeterminação
Exemplos:
Limite das Funções Irracionais
Outra maneira:
Substituição de Variável
Limites Envolvendo Infinito
Definições:
Dizemos que um elemento c é finito quando c ( R e dizemos que c é infinito quando c é um dos símbolos +( ou -(.
Obs.: quando valer a frase do limite para b finito ou infinito, diremos que existe o limite e indicaremos por
. Em caso contrário diremos que não existe o limite e escreveremos
.
Seja f definida em um intervalo (c, +(). A afirmação
, significa que a todo ( > 0 corresponde um número positivo N, tal que | f (x) – L | < (
x > N.
Seja f definida em uma vizinhança perfurada de a, a afirmação f (x) se torna infinita quando x tende para a que se escreve:
, significa que para todo número positivo N, corresponde um ( > 0 / f (x) > N sempre que 0 < | x – a | < (.
Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras (Polinomiais)
Exemplos:
Limite das Funções Racionais Fracionárias
Exemplos:
Limite das Funções Transcendentais
Exemplos:
indeterminação
indeterminação
Limites Notáveis
(1o Limite Fundamental)
Demonstração:
Exemplo:
(2o Limite Fundamental)
Exemplos:
* Substituir:
Exemplos:
* Substituir:
Limites Notáveis
Assíntotas Horizontais e Verticais
Assíntota Vertical
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f se for verificada uma das seguintes condições:
Assíntota Horizontal
Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f se uma das condições abaixo for verificada:
Exemplos:
Determinar as assíntotas e fazer um gráfico de
.
5) Derivada das Funções
5.1) Incrementos e Razão Incremental
Seja y = f (x) uma função real de variável real, contínua em um dado intervalo do qual fazem parte os números reais x1 e x2 e esses números são muito próximos entre si, isto é, |x2 – x1| < ( ou x2 – x1 tende a zero.
Nestas condições são aceitas as seguintes definições:
Incremento da variável independente x:
A variável independente x pode variar, aumentar ou diminuir de x1 até x2, variação esta, denominada incremento ou acréscimo da variável x, indicada por: (x = x2 – x1.
Incremento da função y = f (x)
A função ou variável dependente y pode variar de f (x1) até f (x2), variação esta denominada aumento ou acréscimo da função y = f (x), o qual é indicado por: (y = f (x2) – f (x1).
Razão Incremental da y = f (x)
Denomina-se razão incremental da função y = f (x) a razão entre os incrementos (y e (x (
.
Derivada de uma Função y = f (x)
Seja y = f (x) definida e contínua em um dado intervalo real, denomina-se função derivada ou derivada de y = f (x) a função que se obtém através do limite da razão incremental de y = f (x) quando o incremento da variável independente x tende a zero. Tal função é indicada por: y’; f ’ (x);
;
;
.
Se este limite existir e for finito.
Exemplos:
Seja f (x) = x2 determine f ’(x).
indeterminação
Derivada de uma função y = f (x) em um ponto x = x0
Seja y = f (x) contínua em um domínio D e x0 um ponto de acumulação de D. Denomina-se derivada de f (x) no ponto x0 ao limite:
.
Notação:
Exemplos:
Seja f(x) = x3, determinar a derivada de f no ponto que x0 =1.
Seja f (x) = sen x, determinar a derivada de f no ponto que x0 = 0.
para x0 = 0.
Teorema da Existência da Derivada em um Ponto
Existirá a derivada de uma função y = f (x) definida e contínua em um ponto x0 se e somente se as derivadas laterais no ponto de abcissa x0 forem iguais, isto é:
Derivadas Laterais
.
Exemplo:
1) Verificar se existe a derivada de f (x) = |x| em x0 = 0.
Interpretação Geométrica da Derivada
Seja y = f (x) uma função contínua e derivável em um domínio D.
Equação da Reta Tangente à curva y = f (x) no ponto P0 (x0, y0)
Exemplo:
Determinar a equação da reta tangente à curva y = x2 no ponto onde x0 = 2.
Observação:
A derivada de uma função y = f (x) em um ponto é um número que corresponde ao coeficiente angular da reta tangente à curva y = f (x) no ponto x = x0.
Equação da Reta Normal a uma curva y = f (x) no ponto P0 (x0, y0)
onde, m = f ’(x0)
Exemplo:
Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida pela equação y = x3 onde x0 = 1.
Álgebra das Derivadas
Suponha que u = h (x) , y = f (x) e z = g (x) em que:
(Derivada da Soma)
Demonstração:
Exemplo:
y = x2 + ax
y’ = 2x + ax. ln a
Derivada do Produto
Exemplo:
y = x2 . ax
y’ = x2.ax.lna + ax.2x
Derivada do Quociente
Exemplo:
Derivada das Funções Elementares
Exemplos:
f (x) = x5
f ’(x)= 5 . x4
f (x) = x –3
f ’(x)= -3 . x -4
f ’(x) = -5 . x –6
Formulário de Derivadas
y = k ( y’ = 0
y = x ( y’ = 1
y = xn ( y’ = n.x n-1
y = ax ( y’ = ax.lna
y = ln x ( y’ =
y = sen x ( y’ = cos x
y = cos x ( y’ = - sen x
y = tan x ( y’ = sec2 x
y = cot x ( y’ = - cossec2 x
y = sec x ( y’ = sec x . tan x
y = cossec x ( y’ = - cossec x . cot x
Demonstrações
Fórmula 5:
Fórmula 7:
Fórmula 9:
Fórmula 11:
Propriedades
y = k . v ( y’ = k . v’
y = u ( v ( y’ = u’ ( v’
y = u . v ( y’ = u.v’ + v.u’
y =
Derivada das Funções Compostas
Seja a função composta y = h (x) = fog = f (g(x)) sendo g derivável em relação a x e f derivável em relação a g (x). Nessas condições demostra-se que a derivada dessa função
.
Sendo u = g (x) e y = f (u),
( Regra da Cadeia
Generalização da Regra da Cadeia para Derivada das Funções Compostas
( Regra da Cadeia
Exemplos:
Regras da Derivada das Funções Compostas
Sejam u e v funções em x, e k, a e n constantes.
y = k ( y’ = 0
y = x ( y’ = 1
y = un ( y’ = n.u n-1.u’
y = au ( y’ = au.lna.u’
y = eu ( y’ = eu . u’
y = ln u ( y’ =
y = sen u ( y’ = cos u . u’
y = cos u ( y’ = - sen u . u’
y = tan u ( y’ = sec2 u . u’
y = cot u ( y’ = - cossec2 u . u’
y = sec u ( y’ = sec u . tan u . u’
y = cossec u ( y’ = - cossec u . cot u . u’
Propriedades
y = k . v ( y’ = k . v’
y = u ( v ( y’ = u’ ( v’
y = u . v ( y’ = u.v’ + v.u’
y =
Derivada das Funções Implícitas
F (x, y) = 0 mas y = f (x)
Exemplos:
Determinar y’ =
:
Derivada das Funções Inversas Trigonométricas
y = arcsen x ( x = sen y
Determinar y’:
x = sen y sen2 y + cos2 y = 1
1 = cos y . y’ cos y =
y’ =
* sen2 y = x2
cos y =
14)
y = arccos x
x = cos y
Derivando implicitamente:
1 = - sen y . y’ ( y’ =
sen2 y = 1 – cos2 y
sen y =
* x = cos y
sen y =
x2 = cos2 y
y’ =
15)
y = arctan x
x = tan y
Derivando implicitamente:
1 = sec2 y . y’ ( y’ =
1 + tan2 y = sec2 y
* x = tan y
x2 = tan2 y
16)
17)
18)
19)
Exemplos:
y = arcsen ( 3x-5 )
y = arctan (x2 – 5)
’ =
arcsen (cos x)
y = arccos (ln x)
Derivada da Função Inversa
Seja y = f (x) derivável e inversível em um dado intervalo real. Se y = f (x) admite sua inversa que indicamos por
, então para determinar a derivada
toma-se simplesmente a expressão :
Exemplos:
Se y = 2x + 1, determinar
:
Se x2 – y2 = 4xy, determinar
ou x’:
x2 – y2 - 4xy = 0
Determinar y’:
2x – 2yy’ – 4(xy’ + y) = 0
2x – 2yy’ – 4xy’ – 4y = 0
y’ (-2y – 4x) = 4y – 2x
y’ =
( x’ =
ou
Determinar x’:
2xx’-2y-4(x+yx’)=0
2xx’-2y-4x-4yx’=0
x’ (2x – 4y) = 2y + 4x
x’ =
Derivada da Função na Forma Paramétrica
Exemplos:
, determinar
:
Derivadas Sucessivas ou Derivadas de Ordem Superior (ordem n ou enésimas).
Seja y = f (x) definida contínua e derivável em um intervalo real. Nessas condições a derivada de y = f (x), indicada por y’;
; f ’(x) é definida por
.
Se este limite existir e for finito teremos então a f ’(x), se esta função f ’(x) for derivável a sua derivada de acordo com a definição poderá ser calculada por
, se este limite existir e for finito teremos uma função indicada por f ’’(x) ou y’’ ou
;sucessivamente teríamos y’’’ ou f ’’’(x) ou
; e y iv ou f iv (x) ou
; e y v ou f v (x) ou
.
y n ou f n (x) ou
.
Exemplos:
Determine a derivada de 5a ordem de f (x) = 5.x5 – 3.x3.
f ’(x) = 25x4 – 9x2
f ’’(x) = 100x3 – 18x
f ’’’(x) = 300x2 - 18
f iv (x) = 600x
f v (x) = 600
Dada f (x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, calcular f ’’(-1) e f vi(15):
f ’(x) = 4x3 – 6x2 + 8x
f ’’(x) = 12x2 – 12x + 8
f ’’(-1) = 12(-1)2 – 12(-1) + 8 = 32 ( f ’’(-1) = 32
f ’’’(x) = 24x - 12
f iv (x) = 24
f v (x) = 0
f vi (x) =0 ( f vi (15) = 0
Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial
Os teoremas de Rolle, de Lagrange, de Cauchy e a regra de L’Hospital são os quatro teoremas fundamentais do cálculo diferencial e são úteis no estudo das funções reais de variável real.
Definições:
Seja y = f (x) definida em um intervalo I, então:
f é crescente em I se f (x1) < f (x2) sempre que x1 < x2
f é decrescente em I se f (x1) ( f (x2) sempre que x1 < x2
Seja y = f (x) uma função definida em um intervalo I e seja c ( I, então:
f (c) é Máximo de f se f (c) ( f (x) ( x ( I
( )
f (c) é Mínimo de f se f (c) ( f (x) ( x ( I
( )
Teoremas:
Seja y = f (x) uma função contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume o seu máximo e o seu mínimo ao menos uma vez em [a, b].
Seja y = f (x) uma função que tem um extremo (máximo ou mínimo) para um valor c, então f ’(c) = 0 ou f ’(c) = (.
Hipótese: c é abcissa de máximo (mínimo) Tese: f ’(c) = 0
( f ’(c)
Demonstração:
Se c é máximo ( f (c) ( f (x) ( x ( I
( f ’(c) =
f ’(c) = 0
Teorema de Rolle
Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. derivável no intervalo (a, b) se f (a) = f (b) = 0, então existe pelo menos um ponto x ( (a, b) / f ’(c) = 0.
Para f (a) = f (b) = k o teorema também é válido.
Teorema de Lagrange ( Teorema do valor Mínimo - T.V.M. )
Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b) então
= tan (.
Exemplos:
Verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio e em caso afirmativo determinar os valores de c.
f (x) = x2 [0, 2]
( Contínua em [a, b] ?
Todo polinômio é contínuo. OK!
( Derivável?
Sim. OK!
f ’(x) = 2x ( ( c
* f (b) = f (2) = 4
* f (a) = f (0) = 0
* f ’(x) = 2x
* f ’(c) = 2c
(
f (x) =
[-2, 2]
( Contínua em [-2, 2] ?
OK!
( Derivável?
Não.
f (x) =
( T.V.M. não se aplica pois não se verifica essa hipótese.
Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então:
Se f ’(x) > 0 ( x ( (a, b) ( f é crescente em (a, b)
Se f ’(x) < 0 ( x
( (a, b) ( f é decrescente em (a, b)
f ’(x) > 0 (crescente f ’(x) < 0 ( decrescente
Demonstração:
Hipótese: f é contínua em [a, b] Tese: f é crescente em (a, b)
derivável em (a, b)
f ’(x) > 0 ( x ( (a, b)
* Pelo T.V.M. ( c ( (a, b) /
* f ’(x) > 0 ( x ( (a, b) ( f ’(c) > 0
b > a ( b – a > 0 ( f (b) – f (a) > 0 ( f (b) > f (a) ( f é crescente
Hipótese: f é contínua em [a, b] Tese: f é decrescente em (a, b)
derivável em (a, b)
f ’(x) < 0 ( x ( (a, b)
* ( c ( (a, b) /
* f ’(x) < 0 ( x ( (a, b) ( f ’(c) < 0
b > a ( f (b) – f (a) < 0 ( f (b) < f (a) ( f é decrescente
y = f (x) ( Para saber se uma função é crescente ou decrescente deve-se analisar o sinal da derivada da equação.
Exemplos:
Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento e os pontos de máximo e mínimo, se existir, das funções:
f (x) = x3 – 2x2 + x + 2
f ’(x) = 3x2 – 4x + 1
3x2 – 4x + 1= 0
Intervalo de crescimento
Intervalo de decrescimento
y = x3 – 2x2 + x + 2
Para x = 1/3 ( y = ?
máximo
Para x = 1 ( y = ?
y = 1 – 2 + 1 + 2
y = 2
(1, 2) mínimo
Intervalo de crescimento
Intervalo de decrescimento
máximo
mínimo
f (x) = x3 – 3x – 2
f ’(x) = 3x2 – 3
3x2 – 3 = 0
x2 = 1
x = ( 1
Intervalo de crescimento
Intervalo de decrescimento
máximo
mínimo
f (x) = x3 – 6x2 + 12x + 4
f ’(x) = 3x2 – 12x + 12
3x2 – 12x + 12 = 0 ((3)
x2 – 4x + 4 = 0
* 1 raiz, 1 único sinal (ou positivo ou negativo)
* x = 2 não é máximo nem mínimo, f é sempre crescente
Seja y = f (x), uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então:
i) Se f ’’(x) > 0 ( x ( (a, b) ( f tem a concavidade para cima em (a, b)
ii) Se f ’’(x) < 0 ( x ( (a, b) ( f tem a concavidade para baixo em (a,b)
f ’’
Exemplo:
f (x) = x3 – 6x2 + 12x + 4
f ’(x) = 3x2 – 12x + 12
3x2 – 12x + 12 = 0 ((3)
x2 – 4x + 4 = 0
* 1 raiz, 1 único sinal (ou positivo ou negativo)
* x = 2 não é máximo nem mínimo, f é sempre crescente
* Estudo do sentido da concavidade
f ’’(x) = 6x – 12
6x – 12 = 0
x = 2
(2, 12) Ponto de inflexão
Para x = 0, y = 4
Critério da Segunda Derivada para Determinar os pontos Críticos (Máximo e Mínimo)
Se y = f (x) admite derivada Segunda nos pontos críticos e supondo que f seja contínua no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo.
Seja x0 abcissa de um ponto crítico, isto é, f ’(x0) = 0; se f ’’(x0) > 0, então o gráfico de f tem a concavidade para cima, então f (x0) é um Mínimo local de f; se f ‘’(x0) < 0, então o gráfico de f tem a concavidade para baixo, logo x0 é ponto de Máximo local de f.
Resumindo:
Exemplos:
Determinar os pontos críticos (máximo e mínimo) das funções:
f (x) = x3 – 4x
f ’(x) = 3x2 – 4 = 0
f ’’(x) = 6x
f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 4
f ’(x) = 3x2 – 12x + 9
3x2 – 12x + 9 = 0 ((3)
x2 – 4x + 3 = 0
f ’’(x) = 6x – 12
f ’’(1) = 6 – 12 = -6 < 0 ( x = 1 é Máximo
f ’’(3) = 18 – 12 > 0 ( x = 3 é Mínimo
f (x) = -x3 + 6x2 - 12x + 4
f ’(x) = -3x2 + 12x – 12 (((-3))
x2 - 4x + 4 = 0
x = 2
f ’’(x) = -6x + 12
f ’’(2) = 0 ( não tem máximo nem mínimo
x = 2 ( é ponto de inflexão.
Problemas de Aplicação de Máximos e Mínimos
Determinar as dimensões de um retângulo de perímetro 20 e que a área seja máxima:
P = 20
2x + 2y = 20
x + y = 10
y = 10 - x
A = x . y
A = x (10 – x)
A = 10x – x2
Derivando a área:
A’ = 10 – 2x
10 – 2x = 0
x = 5
A’’ = -2
-2 < 0 ( Máximo x = 5 ( y = 5 Quadrado
Desejamos fabricar uma caixa com uma folha quadrada de lado “a” cortando quadrados de lado “x” desconhecido nos quatro cantos da folha. Determinar o valor de “x” a fim de que a caixa tenha volume máximo.
Deseja-se fabricar um recipiente de forma cilíndrica por meio de uma folha metálica de superfície S. Calcular a relação que deve existir entre a altura “h” e o raio “r” para que o volume seja máximo. Supõe-se não haver perda alguma de metal, que sua espessura permanece constante e que não há tampa.
* S = ( r 2 + 2 ( r h
h =
* V = ( r 2 h
V = ( r 2
* S = 3 ( r2
3 ( r2 = ( r 2 + 2 ( r h,
fazendo as simplificações:
h = r
( )
a
(z+2)�
-2�
1�
3�
0�
-4�
0�
�
(z-1)�
1�
1�
1�
-2�
0�
�
�
�
�
1�
2�
0�
�
�
�
z2 + 2z = 0
� EMBED Equation.3 ���
(t+1)�
1�
1�
0�
0�
1�
0�
�
�
�
1�
-1�
1�
0�
�
�
( t + 1 ) . ( t2 - t + 1 )
y
x
(a+()
(a-()
a
0
( )
O
Assíntota
Vertical
x
y
a
y = f (x)
x = a (A.V.)
y = f (x)
� EMBED Equation.3 ���
x = a (A.V.)
� EMBED Equation.3 ���
y = b (A.H.)
� EMBED Equation.3 ���
y = c (A.H.)
Assíntota
Horizontal
x
y
-(
-1/2
Assíntota
Vertical
x
y
2
Assíntota
Horizontal
� EMBED Equation.3 ���
Para x=0 ( y = -1/2
� EMBED Equation.3 ���
y
2
x
2
Indeterminação
x3 - 1�
x-1�
�
-x3 + x2�
x2 +x +1�
�
x2 - 1�
�
�
-x2 + x�
�
�
x - 1�
�
�
-x + 1�
�
�
0�
�
�
(
f (x0+(x)
f (x0)
(x
y
x
tangente
(
x0+(x
x0
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� ( Equação da reta tangente
Equação da reta normal
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Equação da reta tangente
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
A derivada da soma ou da diferença é a soma ou a diferença das derivadas.
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y = arcsen
u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y = arccos u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y = arctan u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y = arccot u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y = arcsec u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y = arccosec u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y
f (x2)
f (x1)
x1 x2 x
y
f (x1)
f (x2)
x1 x2 x
c x
y
f (c)
c x
y
f (c)
f ’(c1)=0
f ’(c2)=0
f ’(c3)=0
c1 c2 c3
b
a
a b
a b
crescente x1 decrescente x2 crescente x3 decrescente x4
f ’
+ - + -
mínimo
mínimo
máximo
máximo
+ - +
1/3
máx
mín
1
Sinal contrário de x2
+ - +
máx
1/3
-1
mín
+ - +
1
-1
mín
máx
+ + + + + + + + + + + + + + + + +
2
+ -
x0
Ponto de Inflexão ( f ’’(x0) = 0
+ + + + + + + + + + + + + + + + +
2
- +
2
Ponto de Inflexão
12
Ponto de Inflexão
4
0
2
� EMBED Equation.3 ���
y
x
a - 2x
x
a
x
h
h
r
( r2
2( r
2º Bimestre Versão: 1.0 Data: 04/05/99 página: � PAGE �1�
_1005055545.unknown
_1005394873.unknown
_1005478220.unknown
_1005486432.unknown
_1005737213.unknown
_1005739685.unknown
_1005739992.unknown
_1005743703.unknown
_1005744009.unknown
_1006000620.unknown
_1006000726.unknown
_1006001344.unknown
_1005997582.unknown
_1005743766.unknown
_1005740010.unknown
_1005740353.unknown
_1005743576.unknown
_1005740002.unknown
_1005739767.unknown
_1005739983.unknown
_1005739743.unknown
_1005739004.unknown
_1005739270.unknown
_1005739652.unknown
_1005739244.unknown
_1005738797.unknown
_1005738855.unknown
_1005737296.unknown
_1005571667.unknown
_1005636281.unknown
_1005736471.unknown
_1005737118.unknown
_1005637976.unknown
_1005635948.unknown
_1005636083.unknown
_1005634974.unknown
_1005634985.unknown
_1005571753.unknown
_1005486840.unknown
_1005487059.unknown
_1005487086.unknown
_1005486928.unknown
_1005486641.unknown
_1005486760.unknown
_1005486529.unknown
_1005480187.unknown
_1005484710.unknown
_1005485505.unknown
_1005485584.unknown
_1005485630.unknown
_1005485516.unknown
_1005485323.unknown
_1005485473.unknown
_1005484780.unknown
_1005480709.unknown
_1005484203.unknown
_1005484351.unknown
_1005484165.unknown
_1005480443.unknown
_1005480522.unknown
_1005480192.unknown
_1005480394.unknown
_1005479331.unknown
_1005479500.unknown
_1005479731.unknown
_1005480118.unknown
_1005479390.unknown
_1005479181.unknown
_1005479255.unknown
_1005478481.unknown
_1005478725.unknown
_1005478840.unknown
_1005478566.unknown
_1005478282.unknown
_1005401689.unknown
_1005476649.unknown
_1005477483.unknown
_1005477621.unknown
_1005477989.unknown
_1005477643.unknown
_1005477512.unknown
_1005476765.unknown
_1005477436.unknown
_1005477178.unknown
_1005476726.unknown
_1005401938.unknown
_1005402207.unknown
_1005476568.unknown
_1005402162.unknown
_1005401798.unknown
_1005401904.unknown
_1005401763.unknown
_1005397535.unknown
_1005401114.unknown
_1005401562.unknown
_1005401617.unknown
_1005401172.unknown
_1005397723.unknown
_1005397737.unknown
_1005397573.unknown
_1005397203.unknown
_1005397308.unknown
_1005397336.unknown
_1005397218.unknown
_1005396442.unknown
_1005396678.unknown
_1005395550.unknown
_1005388623.unknown
_1005391709.unknown
_1005393785.unknown
_1005394584.unknown
_1005394862.unknown
_1005391944.unknown
_1005392196.unknown
_1005393081.unknown
_1005391731.unknown
_1005390054.unknown
_1005390729.unknown
_1005390868.unknown
_1005390228.unknown
_1005390079.unknown
_1005389256.unknown
_1005390028.unknown
_1005389190.unknown
_1005060155.unknown
_1005061120.unknown
_1005141623.unknown
_1005141638.unknown
_1005141782.unknown
_1005141152.unknown
_1005060819.unknown
_1005060884.unknown
_1005060739.unknown
_1005057557.unknown
_1005059234.unknown
_1005059552.unknown
_1005059207.unknown
_1005056226.unknown
_1005057087.unknown
_1005056054.unknown
_1004963594.unknown
_1005047401.unknown
_1005050026.unknown
_1005053738.unknown
_1005054560.unknown
_1005055394.unknown
_1005055467.unknown
_1005055303.unknown
_1005055351.unknown
_1005054851.unknown
_1005054360.unknown
_1005054398.unknown
_1005054345.unknown
_1005053456.unknown
_1005053707.unknown
_1005050968.unknown
_1005048449.unknown
_1005049379.unknown
_1005049981.unknown
_1005048951.unknown
_1005048177.unknown
_1005048335.unknown
_1005047816.unknown
_1004965875.unknown
_1004967549.unknown
_1004968591.unknown
_1004968765.unknown
_1005047227.unknown
_1004968084.unknown
_1004966309.unknown
_1004967493.unknown
_1004965935.unknown
_1004964234.unknown
_1004965364.unknown
_1004965705.unknown
_1004964285.unknown
_1004964200.unknown
_1004964222.unknown
_1004963643.unknown
_1004856176.unknown
_1004858664.unknown
_1004860664.unknown
_1004861869.unknown
_1004861957.unknown
_1004960998.unknown
_1004860712.unknown
_1004861742.unknown
_1004859370.unknown
_1004859806.unknown
_1004859905.unknown
_1004859967.unknown
_1004859403.unknown
_1004858678.unknown
_1004857842.unknown
_1004858537.unknown
_1004858651.unknown
_1004857980.unknown
_1004856842.unknown
_1004857567.unknown
_1004857661.unknown
_1004857701.unknown
_1004857047.unknown
_1004857123.unknown
_1004856919.unknown
_1004856611.unknown
_1004856791.unknown
_1004856823.unknown
_1004856679.unknown
_1004856482.unknown
_1004856490.unknown
_1004856332.unknown
_1004271390.unknown
_1004440799.unknown
_1004442198.unknown
_1004855873.unknown
_1004856058.unknown
_1004856108.unknown
_1004855942.unknown
_1004442353.unknown
_1004855821.unknown
_1004442246.unknown
_1004441948.unknown
_1004442053.unknown
_1004442118.unknown
_1004441968.unknown
_1004441147.unknown
_1004441767.unknown
_1004441000.unknown
_1004354552.unknown
_1004355851.unknown
_1004440263.unknown
_1004440379.unknown
_1004440252.unknown
_1004354817.unknown
_1004355596.unknown
_1004354772.unknown
_1004271912.unknown
_1004272059.unknown
_1004354458.unknown
_1004272006.unknown
_1004271757.unknown
_1004271801.unknown
_1004271685.unknown
_1003908711.unknown
_1003911663.unknown
_1004271123.unknown
_1004271198.unknown
_1004271369.unknown
_1004271159.unknown
_1004270828.unknown
_1004270985.unknown
_1003911778.unknown
_1003910946.unknown
_1003911516.unknown
_1003911588.unknown
_1003911264.unknown
_1003909510.unknown
_1003910157.unknown
_1003909338.unknown
_1003909205.unknown
_1002543880.unknown
_1003908300.unknown
_1003908476.unknown
_1003908705.unknown
_1003908414.unknown
_1003908138.unknown
_1003908200.unknown
_1002544221.unknown
_1002544231.unknown
_1002543419.unknown
_1002543707.unknown
_1002543765.unknown
_1002543663.unknown
_1002543002.unknown
_1002543363.unknown
_1002542404.unknown
_1002541833.doc
Calc2_4� bim.doc
��
Integral Definida
Seja y = f(x) contínua em [a, b]
+ + +
a b
- -
O intervalo ab é chamado de limite de integração onde a é limite inferior e b é limite superior.
Teorema Fundamental do Cálculo
Propriedades das Funções Definidas
P1)
P2)
P3)
P4)
P5)
Exemplos:
Determinar a área limitada pela curva
e pelo eixo x.
0 5
Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x – x2 e y = 2x.
- Pontos de interseção - Área
Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva x = 4 – y2
ou
Determinar a área limitada pelas curvas y2 = 4ax; x + y = 3a; y = 0; primeiro quadrante e “a” positivo.
- Pontos de interseção - Área
Volume Gerado pela Revolução de Áreas Planas
Seja y = f (x) contínua em [a, b].
a b
(
Seja x = f (y); y = c e y = d e o eixo y.
(
Exemplos
Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y = x2, x = 2 e o eixo x.
Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y2 = 2.x, eixo x e x = 2.
Seja y1 = f1 (x) e y2 = f2 (x) no intervalo [a, b].
Exemplo:
Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 = 2x e y = x.
- Pontos de interseção - Volume
Comprimento de Arcos de Curvas
Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].
y P2
Li
(yi y = f (x)
P1
a b x
(xi
Seja x = f (y) y = a e y = b.
Exemplos:
Determinar o comprimento do arco da curva
�� EMBED Equation.3 entre os pontos P1 (8, 4) e P2 (27, 9).
Calcular o comprimento de uma circunferência de raio r.
Área de Superfície de Revolução
Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].
ou
( Superfície gerada pela revolução do eixo x.
Seja x = f (y).
( Superfície gerada pela revolução em torno do eixo y.
Exemplo:
Determinar a área da superfície obtida pela revolução da curva
, entre x = 1 e x = 4 em torno do eixo x.
Centro de Gravidade de Áreas Planas
Momento
Momento de uma área “A” em relação ao eixo x é por definição o produto da área pela distância até o eixo x.
Momento em relação ao eixo y é o produto da área pela distância do centro de gravidade até o eixo y.
Seja (x, y) as coordenadas do centro de gravidade de uma região plana “A”, então:
Mx = A . y
My = A . x
Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].
Para My, temos:
Se Mx = A .
e My = A .
. Coordenadas do centro de gravidade de A (x, y)
Se y = f (x); x = a; x = b; eixo x.
Exemplo:
Determinar as coordenadas do centro de gravidade da região limitada pelas curvas y = 6x – x2 e o eixo x.
Cálculo da área
Cálculo de Mx
Cálculo de My
Determinação do CG
Seja x = f (y), y = c, y = d e eixo y.
Exemplos:
Determinar as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x no 1o quadrante.
CG (1,06; 3,04)
Determinar as coordenadas do CG da região limitada pelas curvas y2 = x, x + y = 2 e y = 0 no primeiro quadrante.
Pontos de inflexão
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Integral Imprópria de Primeira Espécie
A integral definida
é imprópria de primeira espécie se pelo menos um dos limites de integração for infinito:
Se “a” for -(:
Se “ b” for (:
Integral Imprópria de Segunda Espécie
A integral definida
é imprópria de 2a espécie se f(x) for descontínua para algum x pertencente a [a, b].
Se f é descontínua em x = a.
Se f é descontínua em x = b.
Se f for decrescente em x = c e c ( (a, b).
Obs.: Se o limite nas integrais impróprias for finito diremos que a integral é convergente, se for infinito a integral imprópria é dita divergente.
Exemplos:
Verificar se as integrais impróprias são convergentes ou divergentes:
Curvas em Coordenadas Polares
y
y
( x = (.cos (
y = (.sen ( 0 x x
y
x2+y2=r2
((.cos()2+((.sen()2=r2
x (2(cos2(+sen2()=r2
(2 = r2
( = r
Cardióides
Rosáceas
São rosáceas com n folhas, onde n é igual a:
Exemplos:
Espiral
Áreas em Coordenadas Polares
Exemplos:
Determinar a área de um círculo de raio r.
Determinar a área da cardióide de equação
.
Calcular a área da rosácea de equação
.
( 3 folhas
A1
A1 A = 6.A1
Determinar a área da rosácea
( 8 folhas
A1 A = 16 A1
Determinar a área entre as curvas
, conforme figura
Determinar a área entre os círculos
.
A1 A = 2.A1
x
y
-2
0
y
x
y = 2x
2
a
A1
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y = 5x – x2
5
3
� EMBED Equation.3 ���
-2
y
� EMBED Equation.3 ���
3a
y = 0
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
f (xi)
Volume gerado pela revolução
da região limitada por y = f (x),
x = a, x = b, e o eixo x,
em torno do eixo x.
� EMBED Equation.3 ���
c
d
f(y)
x
y
x = f (y)
x
y
Volume gerado pela rotação em torno do eixo x.
y
a
2
x = 2
y = x2
x
y
� EMBED Equation.3 ���
x = 2
x
� EMBED Equation.3 ���
b
x
y
y1 = f1 (x)
y2 = f2 (x)
x
y
2
y = x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
0
� EMBED Equation.3 ���
b
a
L
x
y
y
x
r
r
-r
-r
y
x
r
� EMBED Equation.3 ���
0
� EMBED Equation.3 ���
xi
a
b
yi = f (xi)
Li
y
x
y = f (x)
y
Li
x
b
yi
a
xi = f (yi)
x = f (y)
y
y
x
x
y
x
b
a
xi
(xi
f (xi)
f (xi / 2)
y
x
3
6
0
CG
c
d
yi
f (yi)
(yi
Ponto de interseção
� EMBED Equation.3 ���
x
y
x3
4x
2
y2 = x
x + y = 2
2
2
1
-� EMBED Equation.3 ��� b
a � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� 0 c � EMBED Equation.3 ���
a a+( b
a b-( b
a c-( c c+( b
(
P(x, y)
2a
a
2a
a
a
2a
2a
a
a
2a
A1
a
a
a
a
A1
a
1
A1
a
e(
((
(
( = f(()
(
(/2
0
A1
a
2a
A1
a
1
2
2
4
4º Bimestre Versão: 1.0 Data: 04/10/99 página: � PAGE �23�
_1003836620.unknown
_1003845893.unknown
_1003849372.unknown
_1003850288.unknown
_1003850305.unknown
_1003850431.unknown
_1003850624.unknown
_1003850853.unknown
_1003850955.unknown
_1003850720.unknown
_1003850435.unknown
_1003850330.unknown
_1003850337.unknown
_1003850323.unknown
_1003850293.unknown
_1003850022.unknown
_1003850029.unknown
_1003850119.unknown
_1003850025.unknown
_1003849500.unknown
_1003850015.unknown
_1003850019.unknown
_1003847358.unknown
_1003848773.unknown
_1003848987.unknown
_1003849011.unknown
_1003849178.unknown
_1003849355.unknown
_1003849015.unknown
_1003848999.unknown
_1003848875.unknown
_1003848975.unknown
_1003848777.unknown
_1003848706.unknown
_1003848743.unknown
_1003848769.unknown
_1003848716.unknown
_1003848576.unknown
_1003848596.unknown
_1003848211.unknown
_1003847003.unknown
_1003847025.unknown
_1003846507.unknown
_1003839769.unknown
_1003841374.unknown
_1003842850.unknown
_1003843197.unknown
_1003843263.unknown
_1003843811.unknown
_1003845686.unknown
_1003843719.unknown
_1003843231.unknown
_1003843039.unknown
_1003843056.unknown
_1003842861.unknown
_1003842901.unknown
_1003842854.unknown
_1003841391.unknown
_1003841031.unknown
_1003841049.unknown
_1003841080.unknown
_1003841123.unknown
_1003841249.unknown
_1003841077.unknown
_1003841045.unknown
_1003840995.unknown
_1003837041.unknown
_1003837660.unknown
_1003839150.unknown
_1003839181.unknown
_1003839055.unknown
_1003837461.unknown
_1003836647.unknown
_1003785962.unknown
_1003790700.unknown
_1003834344.unknown
_1003834483.unknown
_1003835615.unknown
_1003836234.unknown
_1003836582.unknown
_1003835973.unknown
_1003834567.unknown
_1003834427.unknown
_1003834085.unknown
_1003834173.unknown
_1003792361.unknown
_1003792478.unknown
_1003792514.unknown
_1003793495.unknown
_1003792423.unknown
_1003791160.unknown
_1003791171.unknown
_1003790913.unknown
_1003789132.unknown
_1003789268.unknown
_1003790464.unknown
_1003790582.unknown
_1003790286.unknown
_1003789148.unknown
_1003788677.unknown
_1003788748.unknown
_1003788941.unknown
_1003789075.unknown
_1003789110.unknown
_1003788838.unknown
_1003788696.unknown
_1003786010.unknown
_1003782977.unknown
_1003785186.unknown
_1003785679.unknown
_1003784470.unknown
_1003757248.unknown
_1003759426.unknown
_1003760171.unknown
_1003760220.unknown
_1003781911.unknown
_1003781944.unknown
_1003782171.unknown
_1003760270.unknown
_1003760178.unknown
_1003759783.unknown
_1003759911.unknown
_1003759716.unknown
_1003758944.unknown
_1003759322.unknown
_1003759382.unknown
_1003757402.unknown
_1003663175.unknown
_1003748567.unknown
_1003755141.unknown
_1003755221.unknown
_1003755337.unknown
_1003755861.unknown
_1003757244.unknown
_1003755433.unknown
_1003755300.unknown
_1003755145.unknown
_1003750866.unknown
_1003751161.unknown
_1003750858.unknown
_1003671323.unknown
_1003672432.unknown
_1003672597.unknown
_1003671478.unknown
_1003666858.unknown
_1003588385.unknown
_1003591936.unknown
_1003662046.unknown
_1003662267.unknown
_1003662534.unknown
_1003593239.unknown
_1003591895.unknown
_1003589747.unknown
_1003590546.unknown
_1003590880.unknown
_1003590252.unknown
_1003588550.unknown
_1003583774.unknown
_1003585970.unknown
_1003586773.unknown
_1003588310.unknown
_1003586330.unknown
_1003585884.unknown
_1003583677.unknown
_994515645.unknown
_994516413.unknown
_994516423.unknown
_1002541833.doc
_994515834.unknown
_994509102.unknown
Calc2_3� bim.doc
��
Teorema de Cauchy
Sejam f (x) e g (x) definidas em um intervalo fechado [a, b] e derivável em (a, b). Se g’ (x) for diferente de zero para todo x ( (a, b) então ( pelo menos um número real c ( (a, b) /
.
Regra de L’Hospital
Considere duas funções f (x) e g (x) que para algum intervalo fechado verificam o Teorema de Cauchy. Se para algum número real a do intervalo considerado tivermos f (a) = g (a) = 0, então demonstra-se que:
Exemplos:
OBS.: A regra de L’Hospital poderá ser usada para indeterminações da forma
.
Outras indeterminações:
0 . (
( - (
00
1(
(0
Indeterminação da forma 0 . ( :
agora aplica-se a regra de L’Hospital.
Exemplo:
Indeterminação da forma ( - ( :
agora aplica-se a regra de L’Hospital.
Exemplo:
Indeterminação da forma 00, 1( ou (0 :
(
(
Exemplo:
Estudo da Diferencial
Definição:
Seja y = f (x) uma função definida e contínua para todo x ( [a, b] e derivável para todo x ( (a, b). Nestas condições denomina-se diferencial de y = f (x) que se indica por dy ao produto entre f ‘(x) e o acréscimo da variável independente x, (x.
dy = f ‘(x) . (x dy = f ‘(x) . dx
Exemplos:
y = x2 ( dy = 2x. (x
y = sen x ( dy = cos x. (x
Interpretação da diferencial
y = f (x)
y y = f(x)
Q
f(x + (x) M
P dy (diferencial) (y
f(x) N
(
x
x x + (x
f ‘(x) = tan (
�� EMBED Equation.3
Quando (x ( 0 (y ( dy
(y = f (x + (x) – f (x)
dy = f ‘(x). (x
Exemplo:
A = l 2
(A = A1 – A2 dA = 2l . (l
2 A1 = (2,03)2
2+0,03 A2 = 4
(A = (2,03)2 - 4 dA = 2.2.0,03
(A = 0,1209 dA = 0,12
(A ( dA
OBS.: (x = dx ( quando x é variável independente.
Então : dy = f ‘(x). dx
Aplicações da diferencial
Cálculo de erros
Erro absoluto ( dy
Erro relativo (
Erro percentual (
Exemplos:
Calcular o erro absoluto cometido na avaliação da área de um quadrado cujo lado mediu 15 cm um erro de 0,01 cm:
l = 15 cm
(l = 0,01 cm
A = l 2
(A ( dA
dA = 2l. (l
dA = 2.15.0,01
dA = 0,3 cm2 (erro cometido na área)
Ache o valor aproximado do volume de uma parede cilíndrica de altura 10 dm cujo raio interno mede 5 dm e o externo 5,25 dm.
5,25 r1 = 5
5 r2 = 5,25
(r = 0,25
V = ( . r2 . h
dV = 2 . ( . r . h . (r
10 dV = 2 . ( . 5 . 10 . 0,25
dV = 25 ( dm3
Cálculo de valores aproximados
(y = f (x + (x) – f (x)
f (x + (x) = f (x) + (y
mas, (x ( dy
f (x + (x) ( f (x) + dy
Exemplos:
Calcular o valor aproximado de
.
f (x) =
f (x + (x) =
dy =
Antiderivada (Antidiferencial)
Integral
Definição:
Em vários problemas ocorre de conhecermos a derivada de uma função e desejamos encontrar esta função. Por exemplo:
Exemplos:
Qual a função cuja diferencial é 2x.dx ?
Resposta: y = x2 + c.
Qual a função cuja diferencial é cos x.dx ?
Resposta: y = sen x + c.
Qual a função cuja diferencial é ex.dx ?
Resposta: y = ex + c.
ou seja
Definição:
Uma função g (x) é dita antiderivada ou
integral de uma função f (x) se g‘(x) = f(x)
, onde c é uma constante arbitrária que possa assumir infinitos valores, também chamada constante de integração. Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial.
Exemplo:
Determine a equação da família de curvas sabendo-se que a inclinação da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro da abcissa do ponto considerado. Determine também a curva da família que passa pelo ponto P (1, 3).
Determinar: y = f (x) /
= 2x
dy = 2x.dx
y = x2 + c ( Família de curvas
Passe pelo ponto P (1, 3)
3 = 1 + c
c = 2
y = x2 + 2 Pertence à família e passa pelo ponto P (1, 3).
Propriedades:
P1) Uma integral não se altera quando o fator constante é considerado antes ou depois do sinal da integral.
.
P2) A integral de uma soma de diferenciais é igual à soma das integrais destas diferencias
.
Exemplo:
(c+c1)=c2 ( 2x2 + sen x + c2
Fórmulas:
Exemplos:
Exercícios:
Fórmulas:
2)
Exemplos:
OBS.:
(
Exercícios:
1)
2)
Fórmulas:
Exemplos:
1)
Métodos de Integração
I – Decomposição em Frações Parciais
Integração das funções racionais
, onde o grau de P(x) é menor que o grau de Q(x).
Decomposição em funções parciais
1o Passo:
Fatorar Q(x).
Os fatores de Q(x) são do 1o grau (linear) e distintos;
Os fatores de Q(x) são do 1o grau e repetidos;
Os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintos;
Os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos.
2o Passo:
Se os fatores de Q(x) forem distintos e do 1o grau: Q(x) = (x-a1) (x-a2) ... (x-an)
OBS.: o número de parcelas na decomposição é igual ao número de fatores da fatoração.
3o Passo:
Tirar o mínimo múltiplo comum do 2º membro e eliminar os denominadores.
4o Passo:
Por igualdade de polinômios formar um sistema com n equações e n incógnitas: A1; A2;...;An.
Exemplo:
Decompor em frações parciais
Se os fatores de Q(x) forem do 1o grau e repetidos
Q(x)=(x-a)n
Exemplo:
Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintos
Q(x)=(a1x2+b1x+c1) . (a2x2+b2x+c2). ... . (anx2+bnx+cn)
Exemplo:
Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos
Q(x) =
�� EMBED Equation.3
Exemplo:
Exercícios:
Resolva as integrais:
II – Integração das Potências Trigonométricas
Identidades Trigonométricas
Integrais da forma
i) Se n for ímpar
Exemplos:
ii) Se n for par:
Exemplos:
Integrais da forma:
i) Se n ou m for ímpar:
Suponha m ímpar:
Exemplo:
ii) Se n e m forem pares:
Exemplo:
Integrais da forma
Exemplos:
Integrais da forma
i) Se n for ímpar:
(Integra por partes)
ii) Se n for par:
Exemplos:
Integrais da forma:
i) Se n for par:
�� EMBED Equation.3
Exemplos:
ii) Se m for ímpar:
Exemplo:
iii) Se n for ímpar e m for par:
(Integração por partes)
Exercícios:
1)
III – Integração por Substituição Trigonométrica
Se o integrando contiver qualquer das expressões:
onde a é constante e u é uma função em x.
Da trigonometria temos:
Identidades:
cos 2 ( = 1 – sen 2 (
sec 2 ( = 1 + tan 2 (
tan 2 ( = sec 2 ( – 1
1o Caso:
Substituição:
u = a . sen (
du = a . cos (. d (
2o Caso:
Substituição:
u = a . sec (
du = a . sec ( . tan ( . d (
3o Caso:
Substituição:
u = a . tan (
du = a . sec 2 ( . d (
Resumo:
Exemplos:
Subst.:
Subst.:
Subst.:
IV – Integração por Partes
( Fórmula da Integração por Partes
Exemplos:
�EMBED Equation.3���
(
x
2
(
(
(
�EMBED Equation.3���
a
u
u
�EMBED Equation.3���
a
�EMBED Equation.3���
a
u
x4-3x2+x+2 x2-2
-x4+2x2 x2-1
-x2+x+2
x2 -2
x
x+2 x-4 -x+4 1
6
P (x) Q (x)
r (x) q (x)
Cálculo 3º bimestre Versão:1.0 Data: 14/09/99 Página:� PAGE �11�/� NUMPAGES �1�
_996927503.unknown
_997803022.unknown
_997882392.unknown
_998405123.unknown
_998480983.unknown
_998735895.unknown
_998834144.unknown
_998834274.unknown
_998834317.unknown
_998834337.unknown
_998835140.unknown
_998834275.unknown
_998834271.unknown
_998834272.unknown
_998834185.unknown
_998736198.unknown
_998834103.unknown
_998834115.unknown
_998736270.unknown
_998736390.unknown
_998735968.unknown
_998736068.unknown
_998735925.unknown
_998481627.unknown
_998482540.unknown
_998483135.unknown
_998483796.unknown
_998735850.unknown
_998483756.unknown
_998483105.unknown
_998482017.unknown
_998482444.unknown
_998481697.unknown
_998481419.unknown
_998481568.unknown
_998481031.unknown
_998407026.unknown
_998480466.unknown
_998480655.unknown
_998480718.unknown
_998480612.unknown
_998480214.unknown
_998480385.unknown
_998407110.unknown
_998405128.unknown
_998405130.unknown
_998406933.unknown
_998405129.unknown
_998405125.unknown
_998405127.unknown
_998405124.unknown
_997883767.unknown
_998405113.unknown
_998405118.unknown
_998405121.unknown
_998405122.unknown
_998405120.unknown
_998405116.unknown
_998405117.unknown
_998405115.unknown
_997884602.unknown
_998405108.unknown
_998405111.unknown
_998405112.unknown
_998405110.unknown
_997885141.unknown
_998405085.unknown
_998405101.unknown
_998405083.unknown
_998405081.unknown
_997885110.unknown
_997884477.unknown
_997884567.unknown
_997884373.unknown
_997883264.unknown
_997883459.unknown
_997883737.unknown
_997883399.unknown
_997882992.unknown
_997883184.unknown
_997883176.unknown
_997882593.unknown
_997878798.unknown
_997881289.unknown
_997882106.unknown
_997882296.unknown
_997882345.unknown
_997882164.unknown
_997881398.unknown
_997881939.unknown
_997881345.unknown
_997879390.unknown
_997880404.unknown
_997880524.unknown
_997880789.unknown
_997881253.unknown
_997880808.unknown
_997880637.unknown
_997880477.unknown
_997880001.unknown
_997880351.unknown
_997879870.unknown
_997879938.unknown
_997879597.unknown
_997879253.unknown
_997879257.unknown
_997878935.unknown
_997879162.unknown
_997875804.unknown
_997877199.unknown
_997878268.unknown
_997878443.unknown
_997877212.unknown
_997876612.unknown
_997876652.unknown
_997876235.unknown
_997874794.unknown
_997875461.unknown
_997875732.unknown
_997874872.unknown
_997803141.unknown
_997803189.unknown
_997803023.unknown
_997008596.unknown
_997014650.unknown
_997800124.unknown
_997801362.unknown
_997802912.unknown
_997802930.unknown
_997801790.unknown
_997802155.unknown
_997802512.unknown
_997801837.unknown
_997801782.unknown
_997800397.unknown
_997800656.unknown
_997800142.unknown
_997794938.unknown
_997797695.unknown
_997798008.unknown
_997797261.unknown
_997791033.unknown
_997791960.unknown
_997014651.unknown
_997010506.unknown
_997013084.unknown
_997013094.unknown
_997013101.unknown
_997013112.doc
c
lnsecu
c
lncosu
tanu.du
_997013122.unknown
_997013099.unknown
_997013088.unknown
_997011563.unknown
_997012717.unknown
_997013074.unknown
_997013080.unknown
_997012943.unknown
_997012961.unknown
_997012653.unknown
_997012681.unknown
_997011750.unknown
_997010721.unknown
_997011412.unknown
_997010699.unknown
_997009716.unknown
_997010190.unknown
_997010454.unknown
_997009859.unknown
_997008765.unknown
_997008887.unknown
_997008634.unknown
_996932545.unknown
_996935503.unknown
_997008447.unknown
_997008499.unknown
_997008549.unknown
_997008461.unknown
_996935906.unknown
_997008192.unknown
_996935511.unknown
_996935498.unknown
_996935500.unknown
_996935502.unknown
_996935499.unknown
_996935493.unknown
_996935496.unknown
_996935497.unknown
_996935494.unknown
_996935488.unknown
_996935490.unknown
_996935492.unknown
_996935489.unknown
_996935486.unknown
_996935487.unknown
_996935484.unknown
_996935483.unknown
_996928817.unknown
_996929073.unknown
_996931522.unknown
_996932048.unknown
_996931275.unknown
_996928939.unknown
_996929037.unknown
_996928835.unknown
_996928641.unknown
_996928659.unknown
_996928746.unknown
_996928652.unknown
_996927968.unknown
_996928017.unknown
_996927721.unknown
_996326764.unknown
_996334549.unknown
_996669100.unknown
_996924913.unknown
_996925444.unknown
_996927456.unknown
_996924969.unknown
_996669407.unknown
_996669565.unknown
_996669239.unknown
_996668547.unknown
_996668854.unknown
_996668994.unknown
_996668835.unknown
_996667215.unknown
_996667453.unknown
_996667203.unknown
_996330957.unknown
_996333815.unknown
_996334063.unknown
_996334177.unknown
_996333678.unknown
_996333760.unknown
_996331914.unknown
_996331750.unknown
_996327624.unknown
_996329387.unknown
_996330913.unknown
_996329327.unknown
_996327097.unknown
_996327378.unknown
_996327076.unknown
_995970785.unknown
_995971089.unknown
_996325625.unknown
_996325723.unknown
_996325922.unknown
_996325703.unknown
_996323413.unknown
_996325493.unknown
_996323409.unknown
_995970922.unknown
_995971003.unknown
_995971042.unknown
_995970957.unknown
_995970837.unknown
_995970884.unknown
_995970814.unknown
_995894781.unknown
_995899229.unknown
_995900591.unknown
_995900667.unknown
_995900892.unknown
_995900952.unknown
_995900659.unknown
_995899248.unknown
_995900515.unknown
_995895644.unknown
_995898635.unknown
_995894987.unknown
_995894071.unknown
_995894406.unknown
_995894673.unknown
_995894244.unknown
_995891864.unknown
_995892261.unknown
_995891664.unknown
_993036832.doc
Calc1_1� Bim.doc
��
Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos.
Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados já são por nós conhecidos sendo quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os conceitos anteriores. Então, precisamos escolher o nosso ponto de partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o que vamos explicar e provar em termos do que já foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o conhecimento dos números da adição, da subtração, multiplicação e a divisão por número diferente de
zero.
Sistematização dos Conjuntos Numéricos
Existem diversos processos para introduzir o conceito de número real, entre os quais destacam-se o processo construtivo e o processo axiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido de conceitos primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números naturais N={1,2,3,...}. Define-se depois sobre N duas operações adição e multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o estudo dos números naturais demonstrando as propriedades.
- Conjunto dos Números Naturais (N)
Propriedades:
1 ( N.
( n ( N, (( n+1 (N e n+1 é o sucessor de n.
( m, n ( N se m+1 = n+1 ( m = n.
Seja S ( N com as propriedades:
1 ( S.
( s ( S ( s+1 ( S.
Logo, S = N (Princípio da Indução)
Assim tem-se:
N = {1,2,3,...}
A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto significa que o conjunto N é fechado em relação a adição e a multiplicação.
Exemplo: Sejam a, b ( N
x = a + b e x = a.b
São equações que têm solução em N.
Porém x + a = b ou a.x = b nem sempre tem solução em N.
- Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números naturais para resolver as equações acima. Este conjunto foi sistematizado com a introdução do elemento oposto. Dado um número natural a, existe (-a) tal que a + (-a) = 0. Com isso nós incorporamos o zero.
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de adição, subtração e multiplicação, mas não é em relação a divisão, por esta razão equações da forma a.x = b nem sempre tem solução em Z.
Exemplo:
- Conjunto dos Números Racionais (Q)
Q é um conjunto numérico formado por números da forma
, onde p e q ( Z e q ( 0. Esses números racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou decimais infinitos e periódicos.
Exemplo: 2,3 ; 0,3333... ; 2,2323...
O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, exceto a divisão por 0; porém no conjunto dos números racionais nem sempre é possível resolver a equação x2 = a
Exemplo:
.
Demonstração que
:
O quadrado de um número par é par:
2.n onde n é inteiro.
é PAR.
O quadrado de um número ímpar é ímpar:
é ÍMPAR.
Demonstração por contradição:
Suponha que
m, n ( 0 e m e n não simultaneamente pares, nem ímpares
Se m é par m = 2.k, então:
O que contradiz a hipótese logo
.
Exemplos de números não racionais: 2,3791...;
;(;e.
- Conjunto dos Números Reais (R)
É o conjunto dos números obtidos pela união dos números racionais e irracionais.
- Conjunto dos Números Irracionais (Q’)
É o conjunto dos números tais que a equação
tem sempre solução quando a é um número racional positivo. Os números irracionais na notação decimal corresponde aos decimais infinitos e não periódicos.
Exemplos: 2,37951..., (, e.
Propriedades dos Números Reais:
Lei comutativa da adição
( x, y ( R ( x + y = y + x
Lei comutativa da multiplicação
( x, y ( R ( x . y = y . x
Lei associativa da adição
( x, y, z ( R ( (x + y) + z = x + (y + z)
Lei associativa da multiplicação
( x, y, z ( R ( (x . y) . z = x . (y . z)
Lei da existência do elemento neutro da adição
( o 0 ( R / x + 0 = x : ( x ( R
Lei da existência do elemento neutro da multiplicação
1 ( R / 1 . x = x : ( x ( R
Lei da existência do elemento simétrico (oposto) da adição
( x ( R , ( (-x) ( R / x + (-x) = 0
Lei da existência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação
( x ( R , x ( 0, ( x-1 ( R / x . x-1 = 1
Lei distributiva da multiplicação em relação a adição
( x, y, z ( R ( x (y + z) = x.y + x.z
Lei do fechamento da adição
( x, y ( R ( x + y ( R
Lei do fechamento da multiplicação
( x, y ( R ( x . y ( R
Lei do cancelamento em relação a adição
( x, y, z ( R se x + z = y + z ( x = y
Lei do cancelamento em relação a multiplicação
( x, y, z ( R e z ( 0 se x . z = y . z ( x = y
Lei da tricotomia
( x, y ( R, vale uma e somente uma das afirmações:
x > y ou x < y ou x = y
Obs.: fazendo y = 0, temos:
x > 0 ou x < 0 ou x = 0
Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição
( x, y, z ( R se x + z > y + z ( x > y
Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação
( x, y, z ( R e z > 0 se x > y ( x . z > y . z
Obs.: se z < 0 : x > y ( x . z < y . z
Lei da transitividade
( x, y, z ( R se x > y e y > z ( x > z
Exercícios:
Responda (V) ou (F) e justifique.
Se x é um número positivo ( 5x é um número positivo
Se x < 3 e y > 3 ( x < y
Se x ( y ( -5x ( -5y
Se x2 ( 9 ( x ( 3
Se x ( 2 e y > x ( y > 0
Respostas:
(V) É certo pois se x é positivo, 5 multiplicado por um número positivo (x) sempre terá como resultado um número positivo.]
(V) É verdadeiro porque se x < 3, x é qualquer número menor que 3 e sendo y > 3, y é qualquer número maior que 3. Assim x < y.
(V) Podemos simplificar a equação: -5x ( -5y em x ( y.
(F) É falso pois resolvendo a inequação teremos: x2 ( 9
x2 = 9 x = ( 3 x ( 3 x ( -3
(V) x ( 2 y > x y > 2
x
Representação Geométrica dos Números Reais
Existe uma correspondência bionívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais de tal forma que cada ponto da reta fica determinado por um único número real e todo número real está associado a um único ponto da reta
negativos 0 positivos
Espaço Real Unidimensional
Definições
Conjunto linear
Chama-se conjunto linear qualquer conjunto de números reais ou de seus pontos representativos.
Intervalos
São subconjuntos da reta e podemos considerar os seguintes casos: (sejam a e b números reais tais que a < b)
Intervalo fechado de extremos a e b. [
[ ] {x ( R / a ( x ( b}
a b [a, b]
Intervalo aberto de extremos a e b. ( ou ]
[ ] {x ( R / a < x < b}
a b (a, b) ou ]a, b[
Intervalos reais semi-abertos:
c.1) à esquerda
( ] {x ( R / a < x ( b}
a b (a, b] ou ]a, b]
c.2) à direita
[ ) {x ( R / a ( x < b}
a b [a, b) ou [a, b[
Intervalos reais ilimitados
d.1) (-(, b] ( {x ( R / x ( b}
]
b
d.2) (-(, b) ( {x ( R / x < b}
)
b
d.3) [a, () ( {x ( R / x ( a}
[
a
d.4) (a, () ( {x ( R / x > a}
(
a
Intervalo degenerado
a {x ( R / x = a} = [a, a]
Supremo (limite superior)
Um número real L é supremo de um conjunto linear A se e somente se (() são verificadas as seguintes condições:
L ( x, ( x ( A
Dado L1 < L, então (() ( x ( A / L1 < x < L.Compartilhar
Compartilhar