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Noção intuitiva (par ordenado) Par ordenado é um conjunto formado por dois números reais, x e y, no qual necessariamente x é o primeiro elemento e y é o segundo. Representamos por (x, y). Plano cartesiano O plano cartesiano é um sistema que permite representar os pares ordenados. Dizemos que o ponto P tem coordenadas (Xp,Yp), em que Xp é a abscissa e Yp é a ordenada. Assim, o eixo dos x é o eixo das abscissas e o eixo dos y é o das ordenadas. A origem é o ponto (0,0). Exemplo Marque os pontos A(-1, 3), B(0, -2), C(3/2, 4), D( ), E( ) e F( ). Definição (produto cartesiano) O produto cartesiano dos conjuntos não vazios A e B é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) no qual x A e y B. Representamos por A B. Exemplo Se A = {1, 2, 3} e B = {2,3}, A B = {(1, 2), (1, 3), (2,2), (2,3), (3, 2), (3, 3)}. Definição (relação) Uma relação entre os conjuntos não vazios A e B é qualquer subconjunto do produto cartesiano A B. Definição (função) Uma função f de A em B é uma relação que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B. Exemplo Proposição (teste da reta vertical) Uma curva no plano xy é o gráfico de alguma função se, e somente se, qualquer reta vertical intersecta a curva no máximo uma vez. Exemplo Notação Se f de A em B é uma função que associa x de A com y de B, escrevemos: f: A B tal que y = f(x) Definição (domínio, imagem e contradomínio) Seja f: A B tal que y = f(x). O conjunto A é chamado de domínio de f. O conjunto B é chamado de contradomínio de f. O conjunto dos y é chamado de imagem de f. Exemplo Definição (raiz de uma função) Dizemos que x é uma raiz de f se f(x) = 0. Exemplo A raiz da função dada por f(x) = 2x + 2 é x = – 1. Observação: As raízes reais de uma função são os valores de x em que o gráfico corta o eixo dos x. Exemplo As raízes dessa função são x = 1 e x = 3 Função Composta Definição: Sejam as funções f e g tais que: g: A → B e f: B → C. Definimos a composta de f com g e denotamos por fog (lê- se f “bola” g), à função dada por (fog)(x) = f(g(x)). A função h(x) = f(g(x)) é então denominada função composta de f com g, aplicada em x. Exemplos: 1) Dadas as funções ƒ(x) = 2x – 3 e g(x) = x² + 2, calcular: a) fog(x) = f(g(x)) = ƒ(x² + 2) = 2(x² + 2) – 3 = 2x² + 4 – 3 = 2x² + 1. b) gof(x) = g(ƒ(x)) = g(2x – 3) = (2x – 3)² + 2 = 4x² – 12x + 9 + 2 = = 4x² – 12x + 11. c) fof(x) = ƒ(ƒ(x)) = ƒ(2x – 3) = 2(2x – 3) – 3 = 4x – 6 – 3 = 4x – 9. Exercícios: 1) Sendo f(x) = x2 - 1 e g(x) = x + 2, então o conjunto solução da equação f(g(x)) = 0 é: a) {1, 3} b) {-1, -3} c) {1, -3} d) {-1, 3} e) { } 2) Dada as funções ( ) 5 ( ) 3 2f x x e g x x , calcule : a) ))3((gf b) ))1(( fg c) ))1(())0(( fggf 3) Sendo ( ) ² 2f x x , determine o valor de x para que ( ) ( 1)f x f x . 4) Sendo f e g funções de R em R, tais que f(x) = 3x - 1 e g(x) = x2, o valor de f(g(f(1))) é: a) 1 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 5) Se ( ) 3 1 ( ) 2 1f x x e fog x x , determine ( )g x . Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora Função Sobrejetora Uma função ƒ: A em B é sobrejetora quando, para todo y pertencente a B, existe um x pertencente a A tal que ƒ(x) = y. Obs: Quando ƒ: A em B é sobrejetora, ocorre Im(ƒ) = B. Exemplo: Função Injetora Uma função ƒ: A em B é injetora quando, para todo x1 e x2 pertencentes a A, x1 ≠ x2; então ƒ(x1) ≠ ƒ(x2). Exemplo: Função Bijetora Uma função ƒ: A em B é bijetora quando ƒ é sobrejetora e injetora. Exemplo: Função Inversa Dada a função ƒ: A em B, chama-se função inversa de ƒ, indicada por ƒ -1(x), a função ƒ -1 : B em A que associa cada y de B ao elemento x de A, tal que y = ƒ(x). OBS.: 1) Apenas as funções bijetoras admitem função inversa. 2) Regra Prática para obtenção de uma Função Inversa: •Trocar ƒ(x) ou a função que está representada por y. •Trocar x por y e y por x. •Isolar y para representá-lo como função de x. •Trocar y por ƒ -1 (x). Exemplo: 1) Obter a função inversa da função ƒ(x) = 3x – 2. ƒ(x) = 3x – 2 y = 3x – 2 x = 3y – 2 3y = x + 2 y = (x + 2)/3 ƒ -1 (x) = (x + 2)/3 Exercícios: 1) Dada as funções ( ) 5 ( ) 3 2f x x e g x x , calcule : )()( 11 xfxg . 2) O gráfico de uma função de 1º. Grau passa pelos pontos (-3, 4) e (3, 0). Determine 1(2)f .3) Seja 2 3 ( ) 5 x f x , determine o valor de x, sabendo que 1 7( ) 2 f x . 4) Classifique cada uma das funções como sobrejetora, injetora ou bijetora: FUNÇÃO PAR Uma função f é considerada par quando f(– x) = f(x), qualquer que seja o valor de x Є D(f). Exemplo Estudaremos a forma pela qual se constitui a função f(x) = x² – 1, representada no gráfico cartesiano. Note que na função, temos: f(–1) = (–1)² – 1 = 1 – 1 = 0 f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0 f(–2) = (–2)² –1 = 4 – 1 = 3 f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3 FUNÇÃO ÍMPAR Uma função f é considerada ímpar quando f(–x) = – f(x), qualquer que seja o valor de x Є D(f). Exemplo Analisaremos a função f(x) = 2x, de acordo com o gráfico. Nessa função, temos que: f(–2) = – 4; f(2) = 4. f(–2) = 2 * (–2) = – 4 f(2) = 2 * 2 = 4 FUNÇÃO AFIM - RESUMO Definição: Uma função é chamada de função Afim se sua sentença for dada por f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais com a 0, onde x é a variável independente e y = f(x) é a variável que dependente de x. Gráfico da função Afim: O gráfico de uma função Afim f(x) = ax + b é a reta que passa pelo ponto (0, b) e corta o eixo X no ponto 0, a b . A função será crescente se a > 0 e decrescente se a < 0. OBSERVAÇÕES: 1) A constante a é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y correspondente a um aumento do valor de x; 2) A constante b é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, o ponto de intersecção da reta com o eixo Y; 3) Se uma reta é paralela ao eixo Y, ela não representa uma função. - ZERO DA FUNÇÃO: é o valor de x para qual a função se anula: f(x) = 0 ax +b = 0 x = a b ; Exemplo. Analisar a função f(x) = – x + 2. - A função é decrescente, pois a < 0; - Coeficiente angular é a = -1; - Coeficiente linear é b = 2; - Zero da função é 2, pois – x + 2 = 0 => -x = - 2.(-1) => x = 2. f(x) < 0 {x R | x > 2} f(x) = 0 {x R | x = 2} f(x) > 0 {x R | x < 2} Caso Particular: A função é constante, pois a = 0, com isso, não há inclinação; - Coeficiente angular é 0, pois a = 0; - Coeficiente linear é b = 4; - Não temos Zero da função: FUNÇÃO QUADRÁTICA – RESUMO Dados os números reais a e b, com a 0, chama-se função quadrática a função IRIR:f , definida por: y = ax2 + bx + c ou f(x) = ax2 + bx + c. Zeros (ou raízes) de uma função quadrática: Denominam-se zeros de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em termos de representação gráfica, são as abscissas dospontos onde a parábola corta o eixo X. Para encontrar esses zeros, resolve-se a equação f(x) = 0. Isto é, ax2 + bx + c = 0 que nada mais é que resolver a equação do 2º grau, utilizando a fórmula resolutiva: a b x 2 , onde ac4b2 . Se Δ > 0 a equação tem duas raízes reais diferentes; Se Δ = 0 a equação tem única raiz real ou duas raízes idênticas (iguais). Se Δ < 0 a equação não tem raízes reais. Gráfico da função quadrática: O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é um subconjunto dos números reais. Ou seja, D(f) = IR e Im(f) IR. Concavidade: O sinal de a (coeficiente de x2) determina a concavidade da parábola. Assim: i) Se a > 0, a concavidade é voltada para cima. ii) Se a < 0 (a negativo), a concavidade é voltada para baixo. Vértice da Parábola: Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. A esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por V(xv,yv) onde: a4 y e a2 b x vv . Observação: De acordo com o valor de a na função f(x) = ax2 + bx + c, as ordenadas do vértice recebem as denominações de valor máximo ou valor mínimo. Este conceito é importante na resolução de exercícios onde os resultados são os maiores ou os menores possíveis. PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA PROGRESSÃO ARITMÉTICA – PA Uma progressão aritmética (P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante O número é chamado de razão da PA. EXEMPLOS São exemplos de PA: (5, 10, 15, 20, 25,) é uma PA de razão r = 5 (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 (2, 2, 2, 2, 2, ...) é uma PA de razão r = 0 NOTAÇÃO PA ( a1, a2, a3, a4, ...., an) Onde: a1= primeiro termo r = razão n = número de termos (se for uma PA finita ) an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25) a1 = 5 r = 4 n = 6 an = a6 = 25 CLASSIFICAÇÃO 1) Quanto a razão a) crescente: r >0 b) decrescente: r <0 c) constante: r = 0 2) Quanto ao número de termos a) finita ou limitada b) infinita ou ilimitada PROPRIEDADES P1:Três termos consecutivos Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor. Exemplo: Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos: seja a PA ( a1, a2, a3 ) temos que: Exemplo1:Determine x para que a sequência ( 3, x+3, 15) seja uma PA X+3 = ( 3 + 15) / 2 => x+3 =9 => x= 6 ( 3, 6+3 , 15) => (3, 9 , 15) Exemplo2: Determinar x para que a seqüência (3+x,5x,2x+11) seja PA resolvendo essa equação obtém-se x=2 P2: Termo Médio Numa PA qualquer de número impar de termos, o termo do meio(médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último termo. Exemplo: Consideremos a PA (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último. Representação genérica de uma PA de três termos Para a resolução de certos problemas (envolvendo soma ou produto dos termos da PA). É de grande utilidade representar uma PA nas seguinte forma: (x-r ,x, x+r) onde “r” e a razão da PA. Exemplo Determinar a PA crescente de três termos, sabendo que a soma desses termos é 3 e que o produto vale –8 Soma dos termos x-r + x + x+r = 3 => 3x=3 => x = 1 Produto dos termos 24 2 2820 ,...,12 2 168 ,8 2 124 12 2 213 2 31 2 aa a 2 )112()3( 5 xx x (1- r).(1).(1+r) = -8 => 1-r2 = - 8 => 1+8 = r2 => r2 = 9 r = +3 ou -3 como a PA é crescente temos que r = 3 resposta (-2,1,4) P3: Termos Equidistantes A soma de dois termo equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos. Exemplo: Consideremos a PA (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31). TERMO GERAL DA PA an = a1 + (n-1)r, para n EXEMPLO Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...). Resolução: a1=3 a2=9 r = a2 - a1 = 9 – 3 = 6 a4 = a1 + (4 -1)r => a4 = a1 + 3r =>a4 = 3 + 3.6 => a4 = 3+18 a4 = 21 SOMA DOS TERMOS DA PA EXEMPLO Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA(2, 6, 10,...). Resolução: a1 = 2 r = a2 – a1 = 6 – 2 = 4 Para podemos achar a soma devemos determinar o an(ou seja, a50): a50 = a1 + 49r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198 Aplicando a fórmula temos: S50 = (a1+an).n/2 = (2+198).50/2 = 200.25=5000 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer sequência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão. Exemplos: (1,2,4,8,16, ... ) PG de razão 2 (5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1 (100,50,25, ... ) PG de razão 1/2 (2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3 TERMO GERAL DA PG EXEMPLOS: a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo, ou seja, a10, vem pela fórmula: a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024 b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG? Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí vem: 320 = 20.q4. Então q4 =16 e portanto q = 2. *N Representação genérica de uma PG de três termos Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: (x/q, x, xq), onde q é a razão da PG. PROPRIEDADES PRINCIPAIS P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior. Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G) Temos então: B² = A . C ; C² = B . D ; etc. P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante. Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G) Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D² SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos: Observe que neste caso a1 = 1. SOMA DOS INFINITOS TERMOS DA PG Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100. Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem: Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50. JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS JUROS Juro é o aluguel que pagamos pelo tempo em que determinada quantia fica emprestada a nós. Também, é o pagamento que recebemos – igualmente ao caso anterior – quando emprestamos certa quantia a alguém. Marcela contraiu empréstimo no banco popular e pagará juros de 12% a.a sobre o capital inicial. Paulo emprestou R$ 2 000,00 a seu amigo João por tempo indeterminado, sob a condição de que ele lhe pague juros de 5% a.m. a.d → ao dia - a.m → aomês - a.b → ao bimestre - a.t → ao trimestre - a.s → ao semestre - a.a → ao ano JUROS SIMPLES Os sumérios, povo que viveu na região da Mesopotâmia, já utilizava ideias sobre juros simples e compostos, assim como, crédito. Nessa época – 2100 a.C – esse povo fazia seus registros em tábuas de argila, onde das mais de 50 000 encontradas, 400 eram totalmente voltadas à matemática. O cálculo dos juros simples é sempre feito sobre o capital inicial a certa taxa e, claro, determinado período de tempo. Vamos utilizar as seguintes representações: Juros (J) - Capital (c) - Taxa (i) - Período (t) Podemos calcular os juros simples utilizando a fórmula J = c . i . t EXEMPLOS: Diogo contraiu um empréstimo de R$ 1 730,00 a uma taxa de juros simples de 38% a.a. Sabendo que o empréstimo foi pago após 10 meses, qual o valor dos juros pagos por Diogo? c = R$ 1730,00 i = 38% a.a t = 10 meses Observe que a taxa foi dada ao ano, mas o período em que o empréstimo foi quitado é dado em meses. Temos então que fazer a conversão. Basta dividir a taxa pelo número de meses que tem um ano (12). 38% : 12 = 3,166% (valor aproximado) Ou seja 38% a.a = 3,166% a.m Observação: o valor da taxa deverá estar escrito em decimal para ser substituído na fórmula. 3,166 : 100 = 0,03166 Vamos substituir os valores na fórmula J = c . i . t J = 1730 . 0,03166 . 10 J = R$ 547,72 Conclusão: Diogo pagou R$ 547,72 de juros sob as condições expostas no problema acima. Caso queira encontrar o montante (M) – Capital inicial (c) mais juros (j) – poderá utilizar a fórmula: M = c + j M = 1730,00 + 547,72 M = R$ 2277,72 É possível também encontrar o capital, a taxa ou o tempo utilizando a fórmula de juros simples. Na sequência darei um exemplo de como encontrar a taxa a partir dos dados descritos na questão. No empréstimo de R$ 780,00 por um período de 7 meses, Roberta pagou R$ 351,00 de juros. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada nesse empréstimo? J = R$ 351,00 c = R$ 780,00 i = ? t = 7 meses J = c . i . t 351 = 780 . i . 7 351 = 5460i i = 351/5460 i = 0,06428...(dízima não periódica) Para escrevermos a taxa em porcentagem, multiplicamos esse resultado por cem. i = 0,06428... x 100 = 6,43% (arredondamento) i = 6,43 JUROS COMPOSTOS Diferente dos juros simples, o juro composto é calculado sobre o montante obtido no período anterior. Somente no primeiro período é que os juros são calculados sobre o capital inicial. Através da fórmula abaixo, poderemos calcular o montante adquirido ao longo do tempo em que certa quantia fica submetida ao regime de juros compostos. Montante(M)-Capital(C)-Taxa (i) - Período de tempo (t) M = C . (1 + i)t Para encontrar somente juros basta subtrairmos o capital inicial do montante encontrado. Vejam a fórmula: J = M – C EXEMPLOS: ●Um capital de R$ 640,00 foi aplicado durante três meses a uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Quantos reais de juros rendeu essa aplicação? M = ? C = 640,00 i = 2% = 0,02 t = 3 meses Lembrete: a taxa, para ser substituída na fórmula, deverá estar escrita em números decimais. M = C . (1 + i)t M = 640 . (1 + 0,02)3 M = 640 . (1,02)3 M = 640 . 1,061208 M = R$ 679,17 J = M – C J = 679,17 – 640,00 J = R$ 39,17 Conclusão: Esta aplicação rendeu R$ 39,17 de juros. ● Um capital de R$ 5000,00, aplicado a uma taxa de juros compostos de 4% a.m por um período de cinco meses renderá quanto de juros? M = ? C = 5000,00 i = 4% a.m = 0,04 t = 5 meses M = C . (1 + i)t M = 5000 . (1 + 0,04)5 M = 5000 . (1,04)5 M = 5000 . 1,2166529024 M = R$ 6083,26 J = M – C J = 6083,26 – 5000,00 J = R$ 1083,26 Conclusão: esta aplicação renderá R$ 1083,26. ANÁLISE COMBINATÓRIA Podemos determinar a análise combinatória como sendo um conjunto de possibilidade constituído por elementos finitos, a mesma baseia-se em critérios que possibilitam a contagem. Realizamos o seu estudo na lógica matemática, analisando possibilidades e combinações. Acompanhe o exemplo a seguir, para poder compreender melhor o que vêm a ser a análise combinatória. Exemplo: Descubra quantos números com 3 algarismos conseguimos formar com o conjunto numérico {1, 2, 3}. Conjunto de elementos finito: {1, 2, 3} Conjunto de possibilidades de números com 3 algarismos: {123, 132, 213, 231, 312, 321} Resposta Final: Com o conjunto numérico {1, 2, 3}, é possível formar 6 números. A análise combinatória estuda os seguintes conteúdos: Princípio fundamental da contagem Fatorial Permutação simples Permutação com repetição Arranjo simples Combinação simples Confira a seguir uma definição resumida de cada tópico estudo pela análise combinatória. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Determina o número total de possibilidade de um evento ocorrer, pelo produto de m x n. Sendo n e m resultados distintos de um evento experimental. Exemplo: Jeniffer precisa comprar uma saia, a loja em que está possui 3 modelos de saia diferente nas cores: preto, rosa, azul e amarelo. Quantas opções de escolha Jeniffer possuí. Para solucionar essa questão utilizamos o principio fundamental da contagem. m = 3 (Modelos diferentes de saia), n = 4 (Cores que a saia possui) m x n = 3 x 4 = 12 Jeniffer possui 12 possibilidades de escolha. FATORIAL O fatorial de um número qualquer, e representado pelo produto: n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1! Exemplo: Calcule 4! n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1! 4! = 4 . (4 – 1) . (4 – 2) . (4 – 3) 4! = 4 . 3. 2 . 1 4! = 24 PERMUTAÇÃO SIMPLES Na permutação os elementos que compõem o agrupamento mudam de ordem, ou seja, de posição. Determinamos a quantidade possível de permutação dos elementos de um conjunto, com a seguinte expressão: Pn = n! Pn = n . (n-1) . (n-2) . (n-3).....1! Exemplo: Em uma eleição para representante de sala de aula, 3 alunos candidataram-se: Vanessa, Caio e Flávia. Quais são os possíveis resultados dessa eleição? Vanessa (V), Caio (C), Flávia (F) Os possíveis resultados dessa eleição podem ser dados com uma permutação simples, acompanhe: n = 3 (Quantidade de candidatos concorrendo a representante) Pn = n! Pn = 3 . 2 . 1! Pn = 6 Para a eleição de representante, temos 6 possibilidades de resultado, em relação a posição dos candidatos, ou seja, 1º, 2º e 3º lugar. Veja a seguir os possíveis resultados dessa eleição. Resultado 1 Resultado 2 Resultado 3 Resultado 4 Resultado 5 Resultado 6 VCF VFC CVF CFV FCV FVC PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Nessa permutação alguns elementos que compõem o evento experimental são repetidos, quando isso ocorrer devemos aplicar a seguinte fórmula: = permutação com repetição = total de elemetos do evento = Elementos repetidos do evento Exemplo: Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra CASA. A palavra CASA possui: 4 letras (n) e duas vogais que se repetem (n1). n! = 4! n1! = 2! Anagramas da palavra CASA sem repetição CASA ACSA ASCA ASAC SCAA CSAA AASC AACS CAAS SAAC SACA ACAS ARRANJO SIMPLES No arranjo simples a localização de cadaelemento do conjunto forma diferentes agrupamentos, devemos levar em consideração, a ordem de posição do elemento e sua natureza, além disso, devemos saber que ao mudar os elementos de posição isso causa diferenciação entre os agrupamentos. Para saber a quantidade de arranjos possíveis em p agrupamento com n elementos, devemos utilizar a fórmula a seguir: A = Arranjo n = elementos p = Agrupamentos No arranjo a quantidade de agrupamento p, sempre deve ser menor que n, ou seja: Exemplo: Flávia, Maria, Gustavo e Pedro estão participando de uma competição. Para competir precisam fazer agrupamento com apenas 3 participantes. Quais são os agrupamentos possíveis? Quantidade de participantes da competição: n = 4 Quantidade de agrupamentos com apenas 3 participantes: p = 3 É possível organizar 24 agrupamentos para com três participantes em cada. COMBINAÇÃO SIMPLES Na combinação simples, em um agrupamento mudamos somente a ordem dos elementos distintos. Para que isso seja feito podemos recorrer à utilização da fórmula: C = Combinação n = Elementos. p = Agrupamento Sendo sempre: Exemplo: De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinhos Total de bolinhas: n = 10 Quantidade de bolinhas por saquinho: p = 2 Com 10 bolinhas distintas colocando duas em cada saquinho, é possível fazer 45 combinações. PROBABILIDADE Estudamos probabilidade com a intenção de prevermos as possibilidades de ocorrência de uma determinada situação ou fato. Para determinarmos a razão de probabilidade, utilizamos os conceitos descritos nas linhas a seguir. Experimento aleatório Um experimento é considerado aleatório quando suas ocorrências podem apresentar resultados diferentes. Um exemplo disso acontece ao lançarmos uma moeda que possua faces distintas, sendo uma cara e outra coroa. O resultado desse lançamento é imprevisível, pois não há como saber qual a face que ficará para cima. Espaço amostral O espaço amostral (S) determina as possibilidades possíveis de resultados. No caso do lançamento de uma moeda o conjunto do espaço amostral é dado por: S = {cara, coroa}, isso porque são as duas únicas respostas possíveis para esse experimento aleatório. Evento Na probabilidade a ocorrência de um fato ou situação é chamado de evento. Sendo assim, ao lançarmos uma moeda estamos estabelecendo a ocorrência do evento. Temos então que, qualquer subconjunto do espaço amostral deve ser considerado um evento. Um exemplo pode acontecer ao lançarmos uma moeda três vezes, é obtermos como resultado do evento o seguinte conjunto: E = {Cara, Coroa, Cara} Esse evento é subconjunto do espaço amostral, para representar essa afirmação utilizamos a seguinte notação: Razão de probabilidade A razão de probabilidade é dada pelas possibilidades de um evento ocorrer levando em consideração o seu espaço amostral. Essa razão que é uma fração é igual ao número de elementos do evento (numerador) sobre o número de elementos do espaço amostral (denominador). Considera os seguintes elementos: E é um evento. n(E) é o número de elementos do evento. S é espaço amostral. n(S) é a quantidade de elementos do espaço amostral. A Razão de probabilidade é dada por: Com n(S) ≠ 0 A probabilidade normalmente é representa por um fração, cujo seu valor sempre estará entre 0 e 1, ou seja: 0 ≤ P(E) ≤ 1 Podemos também representar a probabilidade com um número decimal ou em forma de porcentagem (%). Exemplo: Ao lançarmos um dado com seis faces, qual a probabilidade de obtermos um número que seja múltiplo de 3? Resposta: O espaço amostral do lançamento de um dado é representado pelos números: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 O evento é determinado pelas possibilidades de obtermos como resultado do lançamento um número que seja múltiplo de 3. E = {3, 6} n(E) = 2 A Razão de Probabilidade é dada por: A porcentagem referente à probabilidade é: Resposta final: A probabilidade de obtermos um número que seja múltiplo de 3, ao lançar um dado com seis faces é de 33,3% ou 1/3. PROBABILIDA CONDICIONAL Probabilidade condicional é um segundo evento de um espaço amostral que ocorre em um evento depois que já tenha ocorrido o primeiro. E para calcular a probabilidade P(B∩A) basta multiplicar as probabilidades de A e B: P(B∩A) = P(A) . P(B) Exemplo: Em uma sala de aula há seis alunas (Ju, Isa, Gi, Bia, Thayná e Ma) e cada uma tem um dado em mãos. A professora de matemática está fazendo uma experiência que consiste em escolher uma aluna e ela jogar o dado e ver qual foi o resultado obtido. Qual a probabilidade da professora escolher a aluna Bia e ela tirar um número maior que dois no dado? Neste exemplo, vamos considerar o evento A como “escolher a aluna Bia” e o evento B "resultados do dado ( 3,4,5,63,4,5,6) ". Os eventos A e B são independentes, então a probabilidade da interseção é dada por: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=16⋅46=436÷4÷4=19≈0,1 111≈11,11%P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=16⋅46=436 ÷4÷4=19≈0,1111≈11,11% E para calcular a probabilidade P(B∩A) basta multiplicar as probabilidades de A e B: P(B∩A) = P(A) . P(B) Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Exemplo: Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3? A é o evento “múltiplo de 2”. B é o evento “múltiplo de 3”. P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) =
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