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Resumo II Unidade - Parte 1

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Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
1 
 
I. Transformações Lineares: 
 Transformações lineares são simplesmente funções onde “pegamos” um vetor e 
transformamos em outro vetor. 
 O modo mais comum de representar uma transformação é: 
Sejam „V‟ e „W‟ espaços vetoriais: 
 ; que significa que a transformação linear T “pega” um vetor de V e “transforma” em um 
vetor de W. 
 O espaço anterior à seta (no caso V) é chamado de domínio ou conjunto de partida. O 
posterior (no caso W) é chamado contra-domínio ou conjunto de chegada. Particularmente para o 
caso em que W = V, chamamos T de Operador Linear. 
Obs.: Em , „ ‟ é sempre um vetor do conjunto de partida. Já os vetores e (que 
são apenas diferentes modos de escrever o mesmo vetor, já que são iguais) são vetores do 
conjunto de chegada. 
Obs².: Durante todo o resumo, usaremos V para designar o conjunto de partida e W para o de 
chegada. 
 Nem toda transformação é dita linear. Para que isso seja verdade, ela deve obedecer 
algumas condições: 
 Condições: 
1) O transformado de um vetor nulo de V é sempre o vetor nulo de W: 
 . 
2) A soma dos transformados é o transformado da soma: 
Sejam então: 
 . 
3) O transformado de um produto entre um vetor e um escalar é o produto do escalar com 
o transformado do vetor (é como se o escalar „saísse‟ da transformação): 
Seja e : 
 . 
II. Núcleo de uma Transformação Linear: 
 É o subconjunto formado por vetores do conjunto de partida tais que seus transformados 
são iguais ao vetor nulo do conjunto de chegada. Ou seja: 
  (isso se lê: “O núcleo da transformação T é o conjunto de 
vetores de V tais que os transformados destes vetores são iguais ao vetor nulo de W”). 
Obs.: O núcleo de uma transformação é um subespaço do conjunto de partida. Portanto 
podemos achar uma base do núcleo e sua dimensão. 
Obs².: O núcleo sempre contém pelo menos um vetor, já que o transformado do vetor nulo de V é 
sempre o vetor nulo de W (condição 1). 
Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
2 
 
Obs³.: Quando o núcleo contém APENAS o vetor nulo de V, não podemos achar uma base e, 
consequentemente, a dimensão é zero. Dizemos que a transformação é então INJETORA (ou 
injetiva) e e . 
 Para achar o núcleo de uma transformação basta: 
 Passo-a-passo: 
1) Igualar a transformação ao vetor nulo do conjunto de chegada; 
2) Resolver o sistema que irá surgir; 
3) Caso seja pedido base e/ou dimensão, usar o mesmo passo-a-passo da I unidade. 
III. Imagem de uma Transformação Linear: 
 É um subconjunto formado por vetores do conjunto de chegada que contém todos os 
vetores (do conjunto de chegada) que estão associados a pelo menos um vetor do conjunto de 
partida. Ou seja: 
  (isso se lê: “A imagem da transformação T é o 
conjunto de vetores de W tais que são o „resultado‟ da transformação de algum vetor de V”). 
Obs.: A imagem de uma transformação é um subespaço do conjunto de chegada. Portanto 
podemos achar uma base e a dimensão. 
Obs².: A imagem contém pelo menos um vetor (o vetor nulo de W), que está sempre associado a 
um vetor (o vetor nulo de V) (condição 1). 
Obs³.: Se , então dizemos que a transformação é SOBREJETORA (ou sobrejetiva). 
Neste caso, . 
Para achar a imagem de uma transformação basta: 
 Passo-a-passo: 
1) Achar uma base do conjunto de partida; 
2) Dizer que a imagem vai ser gerada pelos transformados dos vetores da base 
encontrada; 
3) Caso seja pedido base e/ou dimensão, achar o conjunto LI dos geradores e calcular a 
dimensão. 
IV. Teorema do núcleo-imagem: 
 Analisando o conjunto de partida, o núcleo e a imagem, suas dimensões se relacionam 
por: 
 . 
 Para o caso de T ser injetora: 
1) Se pegamos vetores LI, seus transformados serão LI também. 
2) Vetores de uma base de V são transformados em vetores de uma base de W. 
Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
3 
 
Obs.: Quando T for injetora e sobrejetora, chamamos de BIJETORA (ou bijetiva) e dizemos que 
T é um caso de ISOMORFISMO. 
Ex.: Dados 
 
 
 e W 
 
 e seja 
 definida por: 
 
 
 
 
a) Prove que T é transformação linear. 
b) Determine base de e diga se T é injetiva. 
c) Calcule . 
d) Determine base de e diga se T é sobrejetiva. 
 
A) Para provar que T é uma transformação linear temos que testar as três condições 
necessárias: 
 
i) 
 
 
 ; 
 
 
 
 
Primeira condição OK. 
 
ii) Escolhendo dois vetores de V: 
 
 
 e 
 
 
  
 
 
 
 
Chamando , e : 
 
 
 
 
 
 
Separadamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segunda condição OK. 
 
iii) Sendo e 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
4 
 
Terceira condição OK. 
 
Como as três condições são satisfeitas, T é uma transformação linear. 
 
B) Seguindo o passo-a-passo para achar o núcleo: 
 
i) Igualar a transformação ao vetor nulo do conjunto de chegada: 
 
 
ii) Resolver o sistema: 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
iii) Achar a base: 
Forma geral: 
 
 
 
Colocando „b‟ em evidência: 
 
 
 
 , como 
 
 
 é não nulo, 
 
 
 é uma base de Ker(T). 
 
Como , T não é injetiva. 
 
C) Pelo teorema do núcleo-imagem: 
 
O conjunto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é a base canônica de V, então . 
 
 
D) Os transformados da base de V são geradores da Im(T), usando a base do item anterior: 
 
 
 
 , 
 
 
 e 
 
 
 
Como , dois desses vetores formam uma base de Im(T): 
 é uma base de Im(T) (os dois vetores são LI). 
 
Como , . 
Co , T não é sobrejetiva.

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