Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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sobre C. Se I e´ um conjunto finito, f e´ dita ser uma operac¸a\u2dco finita´ria sobre C.
Um conjunto R \u2282 CI e´ dito ser uma relac¸a\u2dco em C. Se I e´ um conjunto finito, R e´ dito ser uma
relac¸a\u2dco finita´ria em C.
\u2022 Func¸o\u2dces Finita´rias
Sejam C e I dois conjuntos e consideremos func¸o\u2dces f : CI \u2192 C. Se I e´ um conjunto finito
f : CI \u2192 C e´ dita ser uma func¸a\u2dco finita´ria sobre C ou operac¸a\u2dco finita´ria sobre C. Sem perda de
generalidade consideraremos aqui func¸o\u2dces finita´rias do tipo f : Cn \u2192 C para algum n \u2208 \ufffd . Se f e´ uma
func¸a\u2dco finita´ria para um dado n, f e´ dita ser uma func¸a\u2dco n-a´ria sobre C. Um exemplo de uma func¸a\u2dco
na\u2dco finita´ria seria uma func¸a\u2dco do tipo f : C \ufffd \u2192 C que a cada sequ¨e\u2c6ncia em C associa um elemento de
C.
Func¸o\u2dces 2-a´rias sera\u2dco chamadas aqui de func¸o\u2dces bina´rias e func¸o\u2dces 1-a´rias sa\u2dco chamadas de func¸o\u2dces
una´rias.
Por vezes iremos falar tambe´m de func¸o\u2dces 0-a´rias sobre C, que consistem em func¸o\u2dces f : {\u2205} \u2192 C.
Uma tal func¸a\u2dco tem por imagem simplesmente um elemento fixo de C. Exemplos de func¸o\u2dces 0-a´rias
sobre \ufffd seriam f(\u2205) = 1 ou f(\u2205) = 0 ou f(\u2205) = \u221a2. Frequ¨entemente denotamos tais func¸o\u2dces pelo
elemento de C por ela associado. Nos tre\u2c6s exemplos acima, poder´\u131amos denotar as func¸o\u2dces por 1, 0 ou\u221a
2, respectivamente.
\u2022 Relac¸o\u2dces Finita´rias
Ha´ uma nomenclatura ana´loga para o caso de relac¸o\u2dces. Sejam C e I dois conjuntos e consideremos
relac¸o\u2dces R \u2282 CI . Se I e´ um conjunto finito R e´ dita ser uma relac¸a\u2dco finita´ria sobre C. Sem perda
de generalidade consideraremos aqui relac¸o\u2dces finita´rias do tipo R \u2282 Cn para algum n \u2208 \ufffd . Se R e´
uma relac¸a\u2dco finita´ria para um dado n, R e´ dita ser uma relac¸a\u2dco n-a´ria sobre C. Para o caso n = 1 as
relac¸o\u2dces sa\u2dco tambe´m chamadas de una´rias e para o caso n = 2 sa\u2dco ditas bina´rias. Relac¸o\u2dces bina´rias
foram estudadas a` pa´gina 23.
\u2022 Estruturas
Seja C um conjunto, F uma colec¸a\u2dco de operac¸o\u2dces (na\u2dco necessariamente finita´rias) sobre C e seja
R uma colec¸a\u2dco de relac¸o\u2dces (na\u2dco necessariamente finita´rias) em C. A tripla \u3008C, F, R\u3009 e´ dita ser uma
estrutura sobre C. Note-se que tanto F quanto R podem ser vazias.
Dado que operac¸o\u2dces sobre um conjunto C tambe´m sa\u2dco relac¸o\u2dces sobre C, a definic¸a\u2dco de estrutura
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acima poderia ser simplificada. E´ pore´m conveniente mante\u2c6-la como esta´, pois func¸o\u2dces sa\u2dco de im-
porta\u2c6ncia especial.
Uma estrutura \u3008C, F\u3009 e´ dita ser uma estrutura alge´brica e uma estrutura \u3008C, R\u3009 e´ dita ser uma
estrutura relacional.
\u2022 Tipos de Operac¸o\u2dces e de Relac¸o\u2dces
Ainda um comenta´rio sobre a nomenclatura.
Sejam C e I conjuntos e seja \u3b1 : CI \u2192 C uma operac¸a\u2dco sobre o conjunto C. A cardinalidade de I
e´ dita ser o tipo da operac¸a\u2dco \u3b1. Assim, uma func¸a\u2dco n-a´ria e´ tambe´m dita ser de tipo n. Analogamente,
se R \u2282 CI e´ uma relac¸a\u2dco em C a cardinalidade de I e´ dita ser o tipo da relac¸a\u2dco R.
\u2022 Comenta´rio Sobre a Notac¸a\u2dco
Antes de prosseguirmos, fac¸amos uma observac¸a\u2dco sobre a notac¸a\u2dco que e´ costumeiramente adotada,
especialmente quando se trata de func¸o\u2dces bina´rias.
Dado um conjunto C e uma func¸a\u2dco bina´ria denotada por um s´\u131mbolo \u3c6, a imagem de um par
(a, b) \u2208 C2 e´ comummente denotada por \u3c6(a, b). E´ muito pra´tico, por vezes, usar uma outra notac¸a\u2dco
e denotar \u3c6(a, b) por a \u3c6 b. Essa notac¸a\u2dco e´ denominada mesofixa. Um exemplo claro desse uso esta´
na func¸a\u2dco soma, denotada pelo s´\u131mbolo + :
\ufffd
2 \u2192 \ufffd de dois nu´meros complexos. Denotamos +(z, w)
por z +w. Outro exemplo esta´ na func¸a\u2dco produto · : \ufffd 2 \u2192 \ufffd de dois nu´meros complexos. Denotamos
·(z, w) por z · w.
Essa notac¸a\u2dco sera´ usada adiante para outras func¸o\u2dces bina´rias ale´m das func¸o\u2dces soma e produto de
nu´meros ou matrizes.
Func¸o\u2dces una´rias tambe´m te\u2c6m por vezes uma notac¸a\u2dco especial, frequ¨entemente do tipo exponencial.
Tal e´ o caso da operac¸a\u2dco que associa a cada elemento de um grupo a` sua inversa, g 7\u2192 g\u22121, ou o
caso da operac¸a\u2dco que associa a cada conjunto o seu complementar A 7\u2192 Ac. Ou ainda o caso da
transposic¸a\u2dco de matrizes M 7\u2192 MT , da conjugac¸a\u2dco de nu´meros complexos z 7\u2192 z\u2217 para o que usa-se
tambe´m sabidamente a notac¸a\u2dco z 7\u2192 z.
1.2.1 Semi-grupos, Mono´ides e Grupos
\u2022 Semi-grupos
Um semi-grupo e´ um conjunto na\u2dco-vazio S dotado de uma operac¸a\u2dco bina´ria S × S \u2192 S denotada
por \u201c·\u201d e denominada produto tal que a seguinte propriedade e´ satisfeita.
1. Associatividade. Para todos a, b e c \u2208 S vale (a · b) · c = a · (b · c).
\u2022 Mono´ides
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Um mono´ide e´ um conjunto na\u2dco-vazio M dotado de uma operac¸a\u2dco bina´ria M ×M \u2192M denotada
por \u201c·\u201d e denominada produto tal que as seguintes propriedades sa\u2dco satisfeitas.
1. Associatividade. Para todos a, b e c \u2208 M vale (a · b) · c = a · (b · c).
2. Elemento neutro. Existe um (u´nico!) elemento e \u2208 M , denominado elemento neutro, tal que
g · e = e · g = g para todo g \u2208M .
Observac¸a\u2dco A unicidade do elemento neutro e´ garantida pela observac¸a\u2dco que se houvesse e\u2032 \u2208 M
tal que g · e\u2032 = e\u2032 · g = g para todo g \u2208M ter´\u131amos e\u2032 = e\u2032 · e = e.
\u2022 Grupos
Uma das noc¸o\u2dces mais fundamentais de toda a Matema´tica e´ a de grupo. Um grupo e´ um conjunto
na\u2dco-vazio G dotado de uma operac¸a\u2dco bina´ria G×G\u2192 G denotada por \u201c·\u201d e denominada produto e de
uma operac¸a\u2dco una´ria G\u2192 G (bijetora) denominada inversa, denotada pelo expoente \u201c\u22121\u201d, tais que as
seguintes propriedades sa\u2dco satisfeitas.
1. Associatividade. Para todos a, b e c \u2208 G vale (a · b) · c = a · (b · c).
2. Elemento neutro. Existe um (u´nico!) elemento e \u2208 G, denominado elemento neutro, tal que
g · e = e · g = g para todo g \u2208 G.
3. Inversa. Para cada g \u2208 G existe um (u´nico!) elemento h \u2208 G tal que g · h = h · g = e. Esse
elemento e´ denominado a inversa de g e denotado por g\u22121.
Observac¸o\u2dces.
1. A unicidade do elemento neutro e´ garantida pela observac¸a\u2dco que se houvesse e\u2032 tal que g · e\u2032 =
e\u2032 · g = g para todo g \u2208 G ter´\u131amos e\u2032 = e\u2032 · e = e.
2. Analogamente se estabelece a unicidade da inversa, pois se g, h \u2208 G sa\u2dco tais que h · g = g ·h = e,
teremos g\u22121 = g\u22121 · e = g\u22121 · (g · h) = (g\u22121 · g) · h = e · h = h.
3. A func¸a\u2dco G 3 g 7\u2192 g\u22121 \u2208 G, que associa cada elemento de G a` sua inversa, e´ um exemplo de uma
func¸a\u2dco una´ria.
4. Como e · e = e segue que e\u22121 = e.
5. Para todo g \u2208 G vale (g\u22121)\u22121 = g pois, usando a associatividade,
(g\u22121)\u22121 = ( g\u22121)\u22121 · e = (g\u22121)\u22121 · (g\u22121 · g) = ((g\u22121)\u22121 · g\u22121) · g = e · g = g .
Um grupo e´ dito ser comutativo ou Abeliano22 se a ·b = b ·a para todos a, b \u2208 G. Essa nomenclatura
se aplica tambe´m a semi-grupos e mono´ides.
E´ evidente que todo grupo e´ um mono´ide e que todo mono´ide e´ um semi-grupo.
22Niels Henrik Abel (1802-1829).
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Existe uma construc¸a\u2dco cano\u2c6nica devida a Grothendieck, que discutimos a` pa´gina 85, que permite
construir um grupo Abeliano a partir de um semi-grupo Abeliano dado. Essa construc¸a\u2dco e´ importante
em va´rias a´reas da Matema´tica. O leitor interessado podera´ passar sem perda a` discussa\u2dco da pa´gina
85.
\u2022 Exemplos Simples
1. O conjunto S = {1, 2, 3, . . .} e´ um semi-grupo em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de soma usual. O conjunto
M = {0, 1, 2, 3, . . .} e´ um mono´ide em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de soma usual, sendo o elemento
neutro e = 0. O conjunto G = \ufffd = {. . . , \u22122, \u22121, 0, 1, 2, . . .} e´ um grupo em relac¸a\u2dco a`
operac¸a\u2dco de soma usual, sendo o elemento neutro e = 0 e a inversa n\u22121 = \u2212n.
2. \ufffd dotado da operac¸a\u2dco de multiplicac¸a\u2dco usual e´ um mono´ide onde o elemento neutro e´ o nu´mero
1. Na\u2dco e´ um grupo, pois 0 na\u2dco tem inversa multiplicativa.
3. O conjunto {x \u2208 \ufffd , x > 0} e´ um semi-grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de