Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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Curso de Fisica-Matematica USP-SP


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soma, mas na\u2dco
e´ um mono´ide.
4. O conjunto \ufffd + = {x \u2208 \ufffd , x \u2265 0} e´ um mono´ide Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de soma mas
na\u2dco um grupo.
5. O conjunto dos nu´meros inteiros \ufffd e´ um grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco usual de soma
de nu´meros inteiros. Esse grupo e´ comummente denotado por ( \ufffd , +), para lembrar o conjunto
considerado (no caso, \ufffd ) e a operac¸a\u2dco considerada nesse conjunto (no caso, +) .
6. O conjunto dos nu´meros racionais \ufffd e´ um grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco usual de soma
de nu´meros racionais. Esse grupo e´ comummente denotado por ( \ufffd , +).
7. O conjunto \ufffd \ {0} = {r \u2208 \ufffd , r 6= 0} e´ um grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco usual de
produto de nu´meros racionais. Esse grupo e´ comummente denotado por ( \ufffd , ·).
8. O conjunto dos nu´meros reais \ufffd e´ um grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco usual de soma de
nu´meros reais. Esse grupo e´ comummente denotado por ( \ufffd , +).
9. O conjunto dos nu´meros complexos
\ufffd
e´ um grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco usual de soma
de nu´meros complexos. Esse grupo e´ comummente denotado por (
\ufffd
, +).
10. O conjunto \ufffd \ {0} = {x \u2208 \ufffd , x 6= 0} e´ um grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco usual de
produto de nu´meros reais. Esse grupo e´ comummente denotado por ( \ufffd , ·).
11. O conjunto
\ufffd \ {0} = {z \u2208 \ufffd , z 6= 0} e´ um grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco usual de
produto de nu´meros complexos. Esse grupo e´ comummente denotado por (
\ufffd
, ·).
12. Mat(
\ufffd
, n), o conjunto das matrizes complexas n× n com o produto usual de matrizes e´ apenas
um mono´ide.
13. Mat(
\ufffd
, n), o conjunto das matrizes complexas n× n e´ um grupo em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de soma
de matrizes.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 1 49/1304
14. O conjunto GL( \ufffd , n) de todas as matrizes reais n× n com determinante na\u2dco-nulo (e, portanto,
invert´\u131veis) e´ um grupo em relac¸a\u2dco a operac¸a\u2dco de produto usual de matrizes. GL( \ufffd , n) e´ na\u2dco-
Abeliano.
15. O conjunto GL(
\ufffd
, n) de todas as matrizes complexas n × n com determinante na\u2dco-nulo (e,
portanto, invert´\u131veis) e´ um grupo em relac¸a\u2dco a operac¸a\u2dco de produto usual de matrizes. GL(
\ufffd
, n)
e´ na\u2dco-Abeliano.
16. Seja X um conjunto na\u2dco-vazio. Enta\u2dco
\ufffd
(X) e´ um grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de
diferenc¸a sime´trica A4B, A, B \u2208 X, definida em (1.2), pa´gina 22. De fato, o Exerc´\u131cio E. 1.1,
pa´gina 22, garante associatividade e comutatividade, o elemento neutro e´ o conjunto vazio \u2205 e
para todo A \u2208 \ufffd (X) tem-se A\u22121 = A. Verifique!
17. Outro exemplo importante e´ o seguinte. Seja C um conjunto na\u2dco-vazio e tomemos S = CC , o
conjunto de todas as func¸o\u2dces de C em C. Enta\u2dco, S e´ um mono´ide com o produto formado pela
composic¸a\u2dco de func¸o\u2dces: f \u25e6 g, e onde o elemento neutro e´ a func¸a\u2dco identidade id(s) = s, \u2200s \u2208 C.
O sub-conjunto de CC formado pelas func¸o\u2dces bijetoras e´ um grupo na\u2dco-Abeliano, onde o produto
e´ a composic¸a\u2dco de func¸o\u2dces, o elemento neutro e´ a func¸a\u2dco identidade e o elemento inverso de uma
func¸a\u2dco f : C \u2192 C e´ a func¸a\u2dco inversa f\u22121. Esse grupo e´ denominado grupo de permutac¸o\u2dces do
conjunto C e denotado por Perm(C).
E. 1.37 Exerc´\u131cio. Em caso de du´vida, prove todas as afirmac¸o\u2dces acima. 6
\u2022 Sub-grupos
Seja G um grupo em relac¸a\u2dco a uma operac¸a\u2dco \u201c·\u201d e cujo elemento neutro seja e. Um subconjunto
H de G e´ dito ser um sub-grupo de G se for tambe´m por si so´ um grupo em relac¸a\u2dco a` mesma operac¸a\u2dco,
ou seja, se
1. e \u2208 H,
2. h1 · h2 \u2208 H para todos h1 \u2208 H e h2 \u2208 H,
3. h\u22121 \u2208 H para todo h \u2208 H.
Todo grupo G sempre possui pelo menos dois sub-grupos: o pro´prio G e o conjunto {e} formado
apenas pelo elemento neutro de G.
E´ fa´cil verificar que ( \ufffd , +) e ( \ufffd , +) sa\u2dco sub-grupos de ( \ufffd , +). E´ fa´cil ver que SL( \ufffd , n), o
conjunto de todas as matrizes reais n× n com determinante igual a 1, e´ um sub-grupo de GL( \ufffd , n).
Idem para SL(
\ufffd
, n) em relac¸a\u2dco a GL(
\ufffd
, n).
\u2022 Os Grupos \ufffd n
O bem conhecido algoritmo de Euclides23 afirma que, dado n \u2208 \ufffd , n > 0, enta\u2dco todo nu´mero inteiro
z pode ser escrito de maneira u´nica na forma z = qn+ r, onde q \u2208 \ufffd e r \u2208 {0, 1, . . . , n\u2212 1}.
23Euclides de Alexandria (\u2248 325 A.C, \u2248 265 A.C.).
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O nu´mero r e´ denominado resto da divisa\u2dco de z por n e e´ tambe´m denotado por r = z mod n.
Seja n um inteiro positivo maior ou igual a 2 e seja o conjunto {0, 1, . . . , n \u2212 1}. Vamos definir
uma operac¸a\u2dco bina´ria em {0, 1, . . . , n \u2212 1}, denominada soma e denotada pelo s´\u131mbolo \u201c+\u201d, da
seguinte forma:
\u3b1 + \u3b2 = [\u3b1 + \u3b2] mod n
para todos \u3b1, \u3b2 \u2208 {0, 1, . . . , n\u2212 1}. Acima [\u3b1 + \u3b2] representa a soma usual de nu´meros inteiros em
\ufffd .
E. 1.38 Exerc´\u131cio. Prove que a operac¸a\u2dco de soma definida acima e´ uma operac¸a\u2dco bina´ria de {0, 1, . . . , n\u2212
1} e mostre que a mesma e´ associativa, comutativa e tem 0 como elemento neutro. 6
E. 1.39 Exerc´\u131cio. Para cada a \u2208 {0, 1, . . . , n \u2212 1}, defina a\u22121 = (n \u2212 a) mod n. Mostre que
a\u22121 \u2208 {0, 1, . . . , n\u2212 1} e que a + a\u22121 = 0. 6
Os dois exerc´\u131cios acima provam que {0, 1, . . . , n\u22121} e´ um grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco
de soma definida acima. Esse grupo e´ denominado grupo \ufffd n.
\u2022 \ufffd + estendido
O conjunto \ufffd + = {x \u2208 \ufffd , x \u2265 0} e´ um semi-grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de soma e
em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de produto e vale ainda a propriedade distributiva a(b + c) = ab + ac. \ufffd + e´
tambe´m, sabidamente, um conjunto linearmente ordenado pela relac¸a\u2dco de ordem usual.
Vamos abaixo descrever um outro conjunto linearmente ordenado que conte´m \ufffd + e e´ tambe´m um
semi-grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de soma e em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de produto e vale ainda
a propriedade distributiva.
Definimos um conjunto, que denotaremos por R+, juntando a \ufffd + um conjunto formado por um
elemento, elemento esse que denotaremos provisoriamente por \u3c9, com \u3c9 6\u2208 \ufffd +, para o qual certas
relac¸o\u2dces alge´bricas sera\u2dco definidas. Seja R+ = \ufffd + \u222a {\u3c9} e definimos as operac¸o\u2dces de soma e produto
em R+ da seguinte forma: se a e b sa\u2dco elementos de \ufffd + suas soma e produto sa\u2dco definidos como
usualmente. Fora isso, valem
1. a + \u3c9 = \u3c9 + a = \u3c9, para todo a \u2208 \ufffd +.
2. \u3c9 + \u3c9 = \u3c9.
3. a\u3c9 = \u3c9a = \u3c9, para todo a \u2208 \ufffd +, a 6= 0.
4. 0\u3c9 = \u3c90 = 0.
5. \u3c9\u3c9 = \u3c9.
E. 1.40 Exerc´\u131cio. Verifique que R+ e´ um semi-grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de soma e em
relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de produto definidas acima e que vale ainda a propriedade distributiva. 6
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R+ e´ linearmente ordenado tomando-se em \ufffd + a relac¸a\u2dco de ordem usual e fixando-se a < \u3c9 para
todo a \u2208 \ufffd +.
E´ bastante claro que na definic¸a\u2dco abstrata acima o objeto representado pelo s´\u131mbolo \u3c9 desempenha o
papel formalmente desempenhado por um nu´mero infinito positivo. A construc¸a\u2dco das relac¸o\u2dces alge´bricas
acima prescinde, pore´m, dessa noc¸a\u2dco, pois \u3c9 pode ser qualquer objeto (fora de \ufffd +).
Com um certo abuso de linguagem, e´ costume, substituir o s´\u131mbolo \u3c9 pelo s´\u131mbolo \u221e, dando
a entender que \u3c9 representa algo como um nu´mero infinito positivo. E´ comum tambe´m denotar-se
R+ = [0, \u221e].
E. 1.41 Exerc´\u131cio. Que problemas surgem quando se tenta estender a construc¸a\u2dco acima para o conjunto
\ufffd de todos os reais? 6
1.2.2 Corpos
Um corpo24 e´ um conjunto na\u2dco-vazio C dotado de duas operac¸o\u2dces bina´rias, denotadas por + e ·,
denominadas soma e produto, respectivamente, satisfazendo o seguinte: para \u3b1, \u3b2 e \u3b3 \u2208 C quaisquer,
valem
1. A operac¸a\u2dco de soma tem as seguintes propriedades:
(a) Comutatividade: \u3b1 + \u3b2 = \u3b2 + \u3b1
(b) Associatividade: \u3b1 + (\u3b2 + \u3b3) = (\u3b1 + \u3b2) + \u3b3
(c) Elemento neutro: existe um elemento 0 \u2208 C, chamado de zero, tal que \u3b1+ 0 = \u3b1 para