Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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e´ associativa:
u+ (v + w) = (u+ v) + w
para todos u, v, w \u2208 V ,
(c) Existe um u´nico vetor denotado por 0, denominado vetor nulo, tal que
u+ 0 = u
para todo u \u2208 V ,
(d) A cada u \u2208 V existe associado um u´nico vetor denotado por \u2212u tal que
u+ (\u2212u) = 0.
2. A cada par \u3b1 \u2208 K, u \u2208 V existe associado um vetor denotado por \u3b1 ·u \u2208 V , denominado produto
de u por \u3b1, de forma que
(a) O produto por escalares e´ associativo:
\u3b1 · (\u3b2 · u) = (\u3b1\u3b2) · u,
para todos \u3b1, \u3b2 \u2208 K e u \u2208 V , onde \u3b1\u3b2 e´ o produto de \u3b1 por \u3b2 em K,
(b) 1 · u = u para todo u \u2208 V , onde 1 e´ a unidade de K,
(c) O produto por escalares e´ distributivo em relac¸a\u2dco a` soma de vetores:
\u3b1 · (u+ v) = \u3b1 · u+ \u3b1 · v,
para todo \u3b1 \u2208 K e todos u, v \u2208 V ,
(d) O produto por escalares e´ distributivo em relac¸a\u2dco a` soma de escalares:
(\u3b1 + \u3b2) · u = \u3b1 · u+ \u3b2 · u,
para todos \u3b1, \u3b2 \u2208 K e todo u \u2208 V .
Note-se que espac¸os vetoriais sa\u2dco grupos comutativos em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de soma.
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E. 1.46 Exerc´\u131cio. Mostre usando os postulados acima que 0 ·u = 0 para todo u \u2208 V , onde, permitindo-
nos um certo abuso de linguagem, o 0 do lado esquerdo representa o zero do corpo K e o do lado direito o
vetor nulo de V . 6
Nomenclatura. Os elementos de um corpo sobre os quais um espac¸o vetorial se constitui sa\u2dco
frequ¨entemente denominados escalares.
Notac¸a\u2dco. E´ frequ¨ente omitir-se o s´\u131mbolo \u201c·\u201d de produto por escalares quando nenhuma confusa\u2dco e´
poss´\u131vel.
Anti-exemplo. Tomemos o conjunto dos reais com a operac¸a\u2dco de soma usual, um corpo \ufffd p com p
primo e o produto \ufffd p × \ufffd \u2192 \ufffd , \u3b1 · x, \u3b1 \u2208 \ufffd p e x \u2208 \ufffd dada pelo produto usual em \ufffd . Essa estrutura
na\u2dco forma um espac¸o vetorial. A regra distributiva
(\u3b1+ \u3b2) · x = \u3b1 · x + \u3b2 · x
na\u2dco e´ satisfeita para todo \u3b1, \u3b2 \u2208 \ufffd p. Acima, \u3b1 · x e´ o produto usual em \ufffd .
*
E´ quase desnecessa´rio mencionar o qua\u2dco importantes espac¸os vetoriais sa\u2dco no contexto da F´\u131sica,
onde, pore´m, quase somente espac¸os vetoriais sobre o corpo dos reais ou dos complexos aparecem.
Discutiremos mais aspectos ba´sicos da teoria dos espac¸os vetoriais na Sec¸a\u2dco 2.1, pa´gina 94.
*
1.2.4 Ane´is, A´lgebras e Mo´dulos
\u2022 Ane´is
Um anel e´ um conjunto A dotado de duas operac¸o\u2dces bina´rias denotadas por \u201c+\u201d e \u201c·\u201d e denominadas
soma e produto, respectivamente, tais que A e´ um grupo Abeliano em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de soma e
um semi-grupo em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de produto. Por fim, a operac¸a\u2dco de produto e´ distributiva em
relac¸a\u2dco a` soma: para quaisquer a, b e c \u2208 A valem a · (b+ c) = a · b+ a · c e (a+ b) · c = a · c+ b · c.
Como usual, denotamos por \u2212a a inversa aditiva do elemento a de um anel.
Se 0 e´ o elemento neutro de um anel A em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco de soma, enta\u2dco a · 0 = 0 pois, como
0 = 0 + 0, tem-se pela propriedade distributiva a · 0 = a · 0 + a · 0, que implica 0 = a · 0 \u2212 (a · 0) =
a · 0 + a · 0\u2212 (a · 0) = a · 0.
\u2022 A´lgebras
Uma a´lgebra e´ um espac¸o vetorial V sobre um corpo K dotado de uma operac¸a\u2dco de produto bina´ria
\u201c·\u201d dita produto da a´lgebra, de modo que as seguintes propriedades sa\u2dco satisfeitas
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1. O produto da a´lgebra e´ distributivo em relac¸a\u2dco a soma vetorial: para todos a, b e c \u2208 V valem
a · (b+ c) = a · b+ a · c e (a+ b) · c = a · c+ b · c.
2. O produto por escalares comuta com o produto da a´lgebra e e´ distributivo em relac¸a\u2dco a ele: para
todos a, b \u2208 V e \u3b1 \u2208 K vale
\u3b1(a · b) = (\u3b1a) · b = a · (\u3b1b).
Uma a´lgebra V e´ dita ser uma a´lgebra comutativa ou uma a´lgebra Abeliana26 se para todos a, b \u2208 V
tivermos
a · b = b · a.
Uma a´lgebra V e´ dita ser uma a´lgebra associativa se para todos a, b e c \u2208 V tivermos
a · (b · c) = (a · b) · c.
A´lgebras associativas sa\u2dco ane´is.
Notac¸a\u2dco. Se A e´ uma a´lgebra associativa, podemos sem ambigu¨idade denotar o produto de dois de seus
elementos a, b \u2208 A simplesmente por por ab. Pela mesma raza\u2dco, em uma a´lgebra associativa produtos
triplos como a(bc) e (ab)c podem ser escritos sem ambigu¨idade como abc.
Devemos dizer que ha´ muitas a´lgebras importantes encontradas na F´\u131sica que na\u2dco sa\u2dco nem comu-
tativas nem associativas. Por exemplo, a a´lgebras do produto vetorial em \ufffd 3 na\u2dco e´ nem comutativa
nem associativa.
\u2022 A´lgebras de Lie
Uma classe especialmente importante de a´lgebras na\u2dco-comutativas e na\u2dco-associativas e´ formada
pelas chamadas a´lgebras de Lie.
Uma a´lgebra L (sobre um corpo K) e´ dita ser uma a´lgebra de Lie27 se seu produto, ale´m das
propriedades 1 e 2 da pa´gina 56, satisfizer
1. Anti-comutatividade. Para todos a, b \u2208 L vale a · b = \u2212b · a.
2. Identidade de Jacobi28. Para todos a, b e c \u2208 L vale
a · (b · c) + c · (a · b) + b · (c · a) = 0. (1.22)
Por razo\u2dces histo´ricas o produto de dois elementos de uma a´lgebra de Lie e´ denotado pelo s´\u131mbolo
[a, b] em lugar de a · b.
26Niels Henrik Abel (1802-1829).
27Marius Sophus Lie (1842-1899).
28Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851).
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Seja A uma a´lgebra associativa. Podemos associar a A uma a´lgebra de Lie definindo o produto
[a, b] = ab \u2212 ba para a, b \u2208 A. A anti-comutatividade e´ o´bvia e a identidade de Jacobi segue do fato
que
[a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]]
= a(bc\u2212 cb)\u2212 (bc\u2212 cb)a+ c(ab\u2212 ba)\u2212 (ab\u2212 ba)c+ b(ca\u2212 ac)\u2212 (ca\u2212 ac)b
= abc\u2212 acb\u2212 bca + cba+ cab\u2212 cba\u2212 abc + bac + bca\u2212 bac\u2212 cab + acb
= 0,
como facilmente se constata.
\u2022 Exemplos Ba´sicos de A´lgebras de Lie
Todos os exemplos aqui exibidos sa\u2dco relevantes na teoria dos grupos de Lie.
E. 1.47 Exerc´\u131cio. Mostre que \ufffd 3 dotado do produto vetorial usual e´ uma a´lgebra de Lie. 6
E. 1.48 Exerc´\u131cio. Mostre que Mat ( \ufffd , n) (ou Mat (
\ufffd
, n)), o conjunto de todas as matrizes n × n
reais (complexas) e´ uma a´lgebra de Lie com relac¸a\u2dco ao produto [A, B] = AB \u2212BA. 6
E. 1.49 Exerc´\u131cio. Mostre que o subconjunto de Mat ( \ufffd , n) (ou de Mat (
\ufffd
, n)) formado pelas matrizes
com trac¸o nulo e´ uma a´lgebra de Lie com relac¸a\u2dco ao produto [A, B] = AB \u2212BA. 6
E. 1.50 Exerc´\u131cio. Mostre que o subconjunto de Mat ( \ufffd , n) (ou de Mat (
\ufffd
, n)) formado pelas matrizes
anti-sime´tricas, ou seja, tais que AT = \u2212A, e´ uma a´lgebra de Lie com relac¸a\u2dco ao produto [A, B] =
AB \u2212 BA. 6
E. 1.51 Exerc´\u131cio. Mostre que o subconjunto de Mat (
\ufffd
, n) formado pelas matrizes anti-autoadjuntas,
ou seja, tais que A\u2217 = \u2212A, e´ uma a´lgebra de Lie (sobre o corpo dos reais!) com relac¸a\u2dco ao produto
[A, B] = AB \u2212 BA. 6
E. 1.52 Exerc´\u131cio. Conclua igualmente que o subconjunto de Mat (
\ufffd
, n) formado pelas matrizes anti-
autoadjuntas, ou seja, tais que A\u2217 = \u2212A, e de trac¸o nulo (Tr(A) = 0) e´ uma a´lgebra de Lie (sobre o corpo
dos reais!) com relac¸a\u2dco ao produto [A, B] = AB \u2212 BA. 6
E. 1.53 Exerc´\u131cio. Fixada uma matriz B \u2208 Mat ( \ufffd , n), mostre que o subconjunto de Mat ( \ufffd , n)
formado pelas matrizes A com a propriedade AB = \u2212BAT e´ uma a´lgebra de Lie real com relac¸a\u2dco ao
produto [A, B] = AB \u2212BA. 6
E. 1.54 Exerc´\u131cio. Fixada uma matriz B \u2208 Mat ( \ufffd , n), mostre que o subconjunto de Mat ( \ufffd , n)
formado pelas matrizes A com a propriedade AB = \u2212BA\u2217 e´ uma a´lgebra de Lie real com relac¸a\u2dco ao
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produto [A, B] = AB \u2212BA. 6
Tratemos agora de exibir um exemplo ba´sico de uma a´lgebra de Lie de dimensa\u2dco infinita.
\u2022 Colchetes de Poisson
Sejam f(p, q) e g(p, q), com f : \ufffd 2 \u2192 \ufffd e g : \ufffd 2 \u2192 \ufffd , duas func¸o\u2dces reais, infinitamente
diferencia´veis, de duas varia´veis reais p e q. Definimos os colchetes de Poisson29 de f e g, denotados
por {f, g}, por
{f, g} := \u2202f
\u2202p
\u2202g
\u2202q
\u2212 \u2202f
\u2202q
\u2202g
\u2202p
.
E´ claro que {f, g} e´