Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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a` direita (G/H)r, a qual age
transitivamente em (G/H)r (vide definic¸a\u2dco a` pa´gina 64). Isso faz de (G/H)r um espac¸o homoge\u2c6neo de
G (vide definic¸a\u2dco a` pa´gina 64).
Seja G um grupo, H um sub-grupo de G e seja o coset a` direita (G/H)r, definido acima. Defina
\u3b2 : G× (G/H)r \u2192 (G/H)r tal que G× (G/H)r 3 (g, [f ]r) 7\u2192 \u3b2g([f ]r) := [fg]r \u2208 (G/H)r .
Enta\u2dco, \u3b2 define uma ac¸a\u2dco a` direita de G sobre (G/H)r. De fato, tem-se que
1. Para cada g \u2208 G, \u3b2g : (G/H)r \u2192 (G/H)r e´ bijetora, pois se existem f1, f2 \u2208 G tais que
[f1g]r = [f2g]r, enta\u2dco f1g \u223cr f2g, ou seja, (f1g)(f2g)\u22121 \u2208 H, ou seja, f1(f2)\u22121 \u2208 H. Isso
estabelece que f1 \u223cr f2, ou seja, que [f1]r = [f2]r, provando que \u3b2g : (G/H)r \u2192 (G/H)r e´
injetora. Note-se que \u3b2g : (G/H)r \u2192 (G/H)r e´ sobrejetora, pois \u3b2g(f [g\u22121]r) = [f ]r e variando f
em G, [f ]r varre todo (G/H)r.
2. Para a identidade e \u2208 G, \u3b2e([f ]r) = [fe]r = [f ]r para todo f \u2208 G, provando que \u3b2e : (G/H)r \u2192
(G/H)r e´ a aplicac¸a\u2dco identidade.
3. Para todos g, h \u2208 G vale \u3b2g(\u3b2h([f ]r)) = \u3b2g([fh]r) = [fhg]r = \u3b2hg([f ]r) para qualquer f \u2208 G.
Isso provou que \u3b2 : G× (G/H)r \u2192 (G/H)r e´ uma ac¸a\u2dco a` direita de G em (G/H)r.
Na\u2dco e´ dif´\u131cil ver que a ac¸a\u2dco \u3b2 age transitivamente em (G/H)r. De fato, se e e´ a unidade de G,
enta\u2dco \u3b1g([e]r) = [g]r e variando g por todo G a imagem [g]r varre todo (G/H)r.
*
Os cosets (G/H)l e (G/H)r podem ser identificados e transformados em grupos se uma certa
hipo´tese for feita sobre o sub-grupo H e sua relac¸a\u2dco com G. Esse e´ nosso assunto na Sec¸a\u2dco 1.3.2.
1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente
\u2022 Sub-Grupos Normais
Seja G um grupo. Um subgrupo N de G e´ dito ser um subgrupo normal se gng\u22121 \u2208 N para todo
g \u2208 G e todo n \u2208 N . Se N e´ um sub-grupo normal de G denotamos esse fato escrevendo N \ufffd G.
Observe que todo sub-grupo de um grupo Abeliano G e´ normal.
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E. 1.71 Exerc´\u131cio. Sejam G e H dois grupos e \u3d5 : G\u2192 H um homomorfismo. Mostre que Ran (\u3d5) :=
{\u3d5(g)| g \u2208 G} e´ um sub-grupo de H. 6
E. 1.72 Exerc´\u131cio importante. Sejam G e H dois grupos e \u3d5 : G \u2192 H um homomorfismo. Seja eH a
unidade de H. Mostre que Ker (\u3d5) := {g \u2208 G| \u3d5(g) = eH} e´ um sub-grupo normal de G. 6
Nota sobre a nomenclatura dos dois exerc´\u131cios acima. O s´\u131mbolo Ran prove´m da palavra inglesa \u201crange\u201d (\u201calcance\u201d, em portugue\u2c6s) e e´
frequ¨entemente empregado como sino\u2c6nimo da imagem de uma func¸a\u2dco ou aplicac¸a\u2dco. O s´\u131mbolo Ker provem do ingle\u2c6s \u201ckernel\u201d (\u201cnu´cleo\u201d ou
\u201ccaroc¸o\u201d, em portugue\u2c6s).
\u2022 Cosets por subgrupos normais
Nesse contexto, a seguinte proposic¸a\u2dco e´ fundamental.
Proposic¸a\u2dco 1.8 Seja G um grupo e seja N um sub-grupo de G. Enta\u2dco, uma condic¸a\u2dco necessa´ria e
suficiente para que possamos identificar (G/N)l com (G/N)r, ou seja, para que tenhamos [g]l = [g]r
para todo g \u2208 G, e´ que N \ufffdG, ou seja, que N seja um sub-grupo normal de G. 2
Prova. Por definic¸a\u2dco, g\u2032 \u2208 [g]l se e somente existe n \u2208 N tal que g\u22121g\u2032 = n, o que e´ verdade se e
somente se g\u2032g\u22121 = gng\u22121. Mas g\u2032 \u2208 [g]r se e somente se g\u2032g\u22121 \u2208 N . Assim [g]l = [g]r para todo g \u2208 G
se e somente se gng\u22121 \u2208 N para todo g \u2208 G e n \u2208 N , o que e´ verdade se somente se N e´ um subgrupo
normal de G.
Com isso, caso N \ufffdG, definimos [g] := [g]l = [g]r para todo g \u2208 G e definimos o coset de G por N
por G/N := (G/N)l = (G/N)r, ou seja, G/N = {[g], g \u2208 G}.
Adverte\u2c6ncia. O leitor deve ser advertido aqui que, infelizmente, e´ comum na literatura denotar o
coset a` esquerda (G/H)l por G/H, mesmo quando H na\u2dco e´ normal (vide, por exemplo, [119] ou [57],
entre outros). Evitaremos fazer isso, pois isso pode levar a uma confusa\u2dco de conceitos.
\u2022 Ac¸o\u2dces a` direita e a` esquerda sobre o coset por um subgrupo normal
Se H e´ um subgrupo qualquer de G, definimos pa´ginas acima uma ac¸a\u2dco transitiva a` esquerda
\u3b1 : G × (G/H)l \u2192 (G/H)l e uma ac¸a\u2dco transitiva a` direita \u3b2 : G × (G/H)r \u2192 (G/H)r. Fica claro
pela Proposic¸a\u2dco 1.8 que se N \ufffdG, podemos definir tanto
\u3b1 : G× (G/N) \u2192 G/N tal que G× (G/N) 3 (g, [f ]) 7\u2192 \u3b1g([f ]) := [gf ] \u2208 G/N
como uma ac¸a\u2dco a` esquerda de G sobre G/N quanto
\u3b2 : G× (G/N) \u2192 G/N tal que G× (G/N) 3 (g, [f ]) 7\u2192 \u3b2g([f ]) := [fg] \u2208 G/N
como uma ac¸a\u2dco a` direita de G sobre G/N . Ambas as ac¸o\u2dces agem transitivamente.
\u2022 O Grupo Quociente de G por N
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Sub-grupos normais sa\u2dco importantes, pois com eles podemos fazer da colec¸a\u2dco de classes de equi-
vale\u2c6ncia G/N um grupo, denominado grupo quociente de G por N . A construc¸a\u2dco e´ a seguinte.
Seja N \ufffd G. Podemos fazer de G/N um grupo definindo o produto como [g]N [h]N = [gh]N . E´
muito fa´cil ver que, se esta expressa\u2dco esta´ bem definida, ela de fato representa um produto associativo
na colec¸a\u2dco de classes de equivale\u2c6ncia G/N . O elemento neutro seria a classe [e]N , onde e e´ a identidade
de g. Por fim, [g]\u22121N = [g
\u22121]N . O ponto na\u2dco trivial e´ mostrar que a definic¸a\u2dco de produto como
[g]N [h]N = [gh]N faz sentido, ou seja, e´ independente dos elementos tomados nas classes de g e h. Para
isso precisaremos que N seja normal.
O que temos de fazer e´ mostrar que se g\u2032 \u223cN g e h\u2032 \u223cN h enta\u2dco g\u2032h\u2032 \u223cN gh, ou seja, precisamos
mostrar que se g\u2032g\u22121 \u2208 N e h\u2032h\u22121 \u2208 N enta\u2dco g\u2032h\u2032(gh)\u22121 \u2208 N . Mas, de fato, tem-se que
g\u2032h\u2032(gh)\u22121 = g\u2032h\u2032h\u22121g\u22121 = (g\u2032g\u22121)[g(h\u2032h\u22121)g\u22121].
Agora, por hipo´tese, h\u2032h\u22121 \u2208 N . Da´\u131, como N e´ normal (e´ aqui que essa hipo´tese entra pela primeira
vez), g(h\u2032h\u22121)g\u22121 \u2208 N . Como, tambe´m pela hipo´tese, g\u2032g\u22121 \u2208 N e N e´ um sub-grupo, conclu´\u131mos que
g\u2032h\u2032(gh)\u22121 \u2208 N , ou seja, g\u2032h\u2032 \u223cN gh. Assim [g]N [h]N = [gh]N esta´ bem definido e faz das classes G/N
um grupo. Esse grupo e´ denominado de grupo quociente de G por N .
A noc¸a\u2dco de grupo quociente e´ muito importante na teoria de grupos e iremos explorar algumas das
aplicac¸o\u2dces nessas notas. Adiante usare\u2c6mo-la para construir a noc¸a\u2dco de produto tensorial e soma direta
de va´rios objetos, tais como grupos, a´lgebras etc. A noc¸a\u2dco de grupo quociente e´ importante por permitir
estudar a relac¸a\u2dco de certos grupos entre si. Mais adiante, por exemplo, mostraremos que o grupo SO(3)
e´ isomorfo ao grupo SU(2)/{ \ufffd , \u2212 \ufffd }, um resultado de direto interesse f´\u131sico na Meca\u2c6nica Qua\u2c6ntica. A
noc¸a\u2dco de grupo quociente e´ tambe´m muito importante em problemas combinato´rios envolvendo grupos,
mas na\u2dco falaremos disso aqui. Para uma discussa\u2dco mais ampla, vide [118], [119] ou [97].
1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores
\u2022 O Centro de um Grupo
Seja G um grupo. O conjunto dos elementos de G que te\u2c6m a propriedade de comutarem com todos
os elementos de G e´ denominado o centro do grupo G e e´ frequ¨entemente denotado por33 Z(G). Em
s´\u131mbolos:
Z(G) := {h \u2208 G| hg = gh para todo g \u2208 G} .
Note que Z(G) nunca e´ um conjunto vazio, pois o elemento neutro de G sempre pertence e Z(G).
Em alguns grupos, pore´m, esse pode ser o u´nico elemento de Z(G). Esse e´ o caso, por exemplo, do
grupo de permutac¸o\u2dces de n elementos (por que?).
E. 1.73 Exerc´\u131cio. Mostre que Z(G) e´ sempre um subgrupo Abeliano de G. 6
E´ elementar constatar que para qualquer grupo G, seu centro Z(G) e´ um subgrupo normal de G.
E´ igualmente elementar constatar que se G e´ Abeliano enta\u2dco Z(G) = G.
33O emprego da letra Z provavelmente provem da palavra alema\u2dc \u201cZentrum\u201d.
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\u2022 Centralizadores e Normalizadores
Seja G um grupo e F um sub-conjunto na\u2dco vazio de G.
Dado um elemento h \u2208 G, denotamos por hFh\u22121 o conjunto de todos os elementos de G que sejam
da forma hfh\u22121 para algum f \u2208 F , ou seja, hFh\u22121 := {hfh\u22121, f \u2208 F}.
O chamado normalizador de F (em G), denotado por N(F, G) (ou simplesmente por N(F ), quando
G e´ subentendido), e´ o conjunto de todos os elementos g \u2208 G tais que gFg\u22121 =