Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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Curso de Fisica-Matematica USP-SP


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com o
s´\u131mbolo +. Seja X = A× B. Seja em F (X) = F (A× B) o conjunto R de relac¸o\u2dces dado por
R := {r \u2208 F (X)| r = (a+ a\u2032, b)\u2212 (a, b)\u2212 (a\u2032, b)
ou r = (a, b+ b\u2032)\u2212 (a, b)\u2212 (a, b\u2032), com a, a\u2032 \u2208 A e b, b\u2032 \u2208 B}. (1.37)
Seja R = R(A × B) o subgrupo de F (A × B) gerado por R. Chegamos assim a` definic¸a\u2dco do grupo
Abeliano A\u2297B, o produto tensorial de A e B, que e´ definido como A\u2297 B := F (A×B)/R(A× B).
Notac¸a\u2dco. Para a \u2208 A e b \u2208 B denotaremos por a\u2297 b o elemento de A\u2297B que corresponde (na notac¸a\u2dco
discutida acima) a` func¸a\u2dco \u3b4(a, b).
\u2022 O Produto Tensorial de dois Espac¸os Vetoriais
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 1 82/1304
Sejam U e V dois espac¸os vetoriais (sobre
\ufffd
). Como U e V sa\u2dco dois grupos Abelianos, o grupo
Abeliano U \u2297 V esta´ definido pelo procedimento da u´ltima sub-sec¸a\u2dco. Isso, entretanto, ainda na\u2dco faz
de U \u2297 V um espac¸o vetorial. Para isso tomemos X = U \u2297 V e consideremos o sub-espac¸o de F (X)
definido por
R := {r \u2208 F (U \u2297 V )| r = (\u3b1u)\u2297 v \u2212 u\u2297 (\u3b1v), com \u3b1 \u2208 \ufffd , u \u2208 U, v \u2208 V }. (1.38)
Como antes, seja R = R(U \u2297 V ) o subgrupo gerado por R. Definimos agora um novo grupo Abeliano
U \u2297 \ufffd V como U \u2297 \ufffd V := F (U \u2297 V )/R(U \u2297 V ).
U \u2297 \ufffd V e´ por ora apenas mais um grupo Abeliano, mas podemos adicionar-lhe uma estrutura de
espac¸o vetorial da seguinte forma.
Primeiramente e´ preciso definir o produto de um escalar por um elemento de U\u2297 \ufffd V . Para elementos
da forma u\u2297 \ufffd v com u \u2208 U e v \u2208 V , definimos enta\u2dco o produto \u3b1(u\u2297 \ufffd v), para \u3b1 \u2208 \ufffd por
\u3b1(u\u2297 \ufffd v) := (\u3b1u)\u2297 \ufffd v = u\u2297 \ufffd (\u3b1v).
A u´ltima igualdade segue da definic¸a\u2dco de U \u2297 \ufffd V .
Os demais elementos de U \u2297 \ufffd V sa\u2dco da forma de combinac¸o\u2dces lineares finitas com coeficientes
inteiros de elementos como u\u2297 \ufffd v, ou seja, sa\u2dco da forma
n\u2211
k=1
ck (uk \u2297 \ufffd vk)
para algum n > 0 e ck \u2208 \ufffd . Para os mesmos definimos
\u3b1
(
n\u2211
k=1
ck (uk \u2297 \ufffd vk)
)
:=
n\u2211
k=1
ck \u3b1 (uk \u2297 \ufffd vk)
=
n\u2211
k=1
ck (\u3b1uk) \u2297 \ufffd vk =
n\u2211
k=1
ck uk \u2297 \ufffd (\u3b1vk).
E´ fa´cil constatar que, com essa definic¸a\u2dco, U \u2297 \ufffd V torna-se um espac¸o vetorial (vide a definic¸a\u2dco
formal de espac¸o vetorial a` pa´gina 55), que tambe´m denotaremos por U \u2297 \ufffd V . O assim definido espac¸o
vetorial U \u2297 \ufffd V e´ denominado produto tensorial dos espac¸os vetoriais U e V sobre o corpo \ufffd .
\u2022 O Produto Tensorial de dois Mo´dulos sobre uma A´lgebra Associativa
Vamos aqui a uma definic¸a\u2dco que nos sera´ importante. Sejam M e N dois bimo´dulos sobre uma
a´lgebra associativa A, ambos supostos serem espac¸os vetoriais sobre o corpo dos complexos. Conforme a
sub-sec¸a\u2dco anterior podemos definir o espac¸o vetorial M\u2297 \ufffd N . Entretanto, em muitos casos e´ necessa´rio
definir um outro tipo de produto tensorial entre M e N .
Para tal seja X = M \u2297 \ufffd N e definamos em F (X) o conjunto de relac¸o\u2dces
R := {r \u2208 F (X)| r = (ma)\u2297 \ufffd n\u2212m\u2297 \ufffd (an), com a \u2208 A, m \u2208M, n \u2208 N}. (1.39)
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 1 83/1304
Definamos enta\u2dco R = R(M \u2297 \ufffd N) como o subgrupo gerado por R e o produto tensorial
M \u2297A N := F (M \u2297 \ufffd N)/R(M \u2297 \ufffd N). (1.40)
Podemos fazer de M \u2297A N um mo´dulo, digamos a` direita, sobre A tomando o produto
a · (m\u2297A n) := (ma)\u2297A n = m\u2297A (an). (1.41)
Faremos uso frequ¨ente desse produto tensorial adiante. O mais importante para no´s sera´ a identi-
dade (ma)\u2297A n = m\u2297A (an) va´lida em todo M \u2297A N para todo a \u2208 A.
1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitra´rios
Aqui apresentaremos as definic¸o\u2dces de produtos diretos e somas diretas de colec¸o\u2dces arbitra´rias de grupos
(na\u2dco necessariamente Abelianos) e de espac¸os vetoriais.
\u2022 Produto Direto e Soma Direta de Colec¸o\u2dces Arbitra´rias de Grupos
Seja J um conjunto arbitra´rio de \u131´ndices e G := {Gi, i \u2208 J} uma colec¸a\u2dco de grupos. Seja
o produto Cartesiano \ufffd := ×i\u2208J Gi. Podemos fazer de \ufffd um grupo definindo o produto de dois
elementos \ufffd 3 g = ×a\u2208J ga, \ufffd 3 h = ×b\u2208J hb como g · h = ×a\u2208J (gaha). Com essa estrutura \ufffd e´ dito
ser o produto direto dos grupos Gi, i \u2208 J e sera´ denotado por \ufffd p =
\u220f
i\u2208J
Gi.
\ufffd p possui um subgrupo importante, aquele formado por elementos ×a\u2208J ga \u2208 \ufffd p onde apenas um
nu´mero finito de ga\u2019s e´ distinto da identidade ea do respectivo grupo Ga. Esse subgrupo e´ dito ser a
soma direta dos Gi\u2019s , i \u2208 J e e´ denotado por \ufffd s =
\u2295
i\u2208J
Gi.
\u2022 Soma Direta de Colec¸o\u2dces Arbitra´rias de Espac¸os Vetoriais
Se {Vi, i \u2208 J} e´ uma colec¸a\u2dco de espac¸os vetoriais que, em particular, sa\u2dco grupos Abelianos, cai
definida, pelo apresentado na sub-sec¸a\u2dco anterior, a soma direta \ufffd s :=
\u2295
i\u2208J Vi, definida primeiramente
como grupo Abeliano. \ufffd s pode ser feito um espac¸o vetorial definindo-se, para um escalar gene´rico \u3b1 \u2208 \ufffd ,
\u3b1 · (×a\u2208J va) := ×a\u2208J (\u3b1va), (1.42)
para todo ×a\u2208J va \u2208 \ufffd s.
Um caso especial que ira´ nos interessar e´ o seguinte: seja M um bimo´dulo sobre uma a´lgebra
associativa A e tomemos J = \ufffd e Vn = M
\u2297An \u2261 M \u2297A · · · \u2297AM\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
n vezes
. O exposto acima permite definir a
soma direta
\u2295
n\u2208 \ufffd
M\u2297An.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 1 84/1304
1.5.6 Mo´dulos e Derivac¸o\u2dces
Seja A uma a´lgebra sobre
\ufffd
com identidade e e seja M um bimo´dulo sobre A. Uma aplicac¸a\u2dco linear
\u3b4 : A\u2192M e´ dita ser uma derivac¸a\u2dco de A em M se satisfaz a regra de Leibniz39:
\u3b4(ab) = a\u3b4(b) + \u3b4(a)b, (1.43)
para todos a, b \u2208 A.
Vamos a alguns exemplos.
Exemplo 1. Seja A uma a´lgebra sobre
\ufffd
com unidade e e M = A\u2297 \ufffd A com os seguintes produtos
de bimo´dulo:
a · (b\u2297 c) := (ab)\u2297 c, (1.44)
(b\u2297 c) · a := b\u2297 (ca). (1.45)
Deixa-se ao leitor verificar a associatividade dos produtos de bimo´dulo nesse caso. Defina-se
\u3b4(a) := a\u2297 e\u2212 e\u2297 a. (1.46)
Deixa-se ao leitor verificar a validade da regra de Leibniz nesse exemplo. Note-se tambe´m que, por
essa definic¸a\u2dco, \u3b4(e) = 0.
Exemplo 2. Seja A uma a´lgebra sobre
\ufffd
com unidade e e M = A\u2297 \ufffd A com os seguintes produtos
de bimo´dulo:
a · (b\u2297 c) := (ab)\u2297 c, (1.47)
(b\u2297 c) · a := b\u2297 (ca)\u2212 (bc)\u2297 a. (1.48)
Deixa-se ao leitor verificar a associatividade dos produtos de bimo´dulo nesse caso. Defina-se
\u3b4(a) := e\u2297 a. (1.49)
Deixa-se ao leitor verificar a validade da regra de Leibniz nesse exemplo. Note-se tambe´m que, por
essa definic¸a\u2dco, \u3b4(e) = e\u2297 e 6= 0.
Exemplo 3. Exemplo importante de derivac¸o\u2dces pode ser visto em a´lgebras de Lie. Seja A uma
a´lgebra de Lie vista como um bimo´dulo sobre si mesma. Seja z um elemento fixo da a´lgebra e seja a
aplicac¸a\u2dco dz : A \u2192 A dada por dz(a) = [z, a]. E´ fa´cil verificar (fac¸a!) usando a identidade de Jacobi
(1.22) que
dz([a, b]) = [dz(a), b] + [a, dz(b)]
para todo a, b \u2208 A. Assim, tem-se que a cada z \u2208 A e´ associada uma derivac¸a\u2dco dz.
1.6 To´picos Especiais
Esta sec¸a\u2dco e´ formada por alguns assuntos independentes que, embora relevantes, na\u2dco se enquadram na
exposic¸a\u2dco introduto´ria que pretend´\u131amos ter nas sec¸o\u2dces anteriores.
39Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716).
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1.6.1 O Grupo de Grothendieck
Vamos agora descrever uma construc¸a\u2dco que permite obter um grupo Abeliano a partir de um semi-grupo
Abeliano dado. Um grupo constru´\u131do por esse procedimento e´ chamado de grupo de Grothendieck40
associado ao semi-grupo Abeliano em questa\u2dco. Grupos de Grothendieck desempenham um papel im-
portante em va´rias a´reas da Matema´tica, como por exemplo na chamada K-teoria.
Seja um semi-grupo Abeliano S (na\u2dco necessariamente dotado de um elemento neutro) cujo produto
denotamos pelo s´\u131mbolo +.
Consideremos em primeiro lugar o produto Cartesiano S × S e vamos introduzir la´ uma relac¸a\u2dco de
equivale\u2c6ncia da seguinte forma: dois pares (a, b) e (a\u2032, b\u2032) \u2208 S × S sa\u2dco equivalentes, (a, b) \u223c (a\u2032, b\u2032),
se existir pelo menos um elemento p \u2208 S tal que
a + b\u2032 + p = a\u2032 +