Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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b + p. (1.50)
Vamos mostrar que isso define de fato uma relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia. Em primeiro lugar e´ claro que
(a, b) \u223c (a, b) para qualquer par (a, b) \u2208 S2 = S×S, dado que aqui, para verificar (1.50), basta tomar
qualquer elemento p \u2208 S. Em segundo lugar e´ evidente que se (a, b) \u223c (a\u2032, b\u2032) enta\u2dco (a\u2032, b\u2032) \u223c (a, b).
Finalmente, vamos mostrar que se (a, b) \u223c (c, d) e (c, d) \u223c (e, f) enta\u2dco (a, b) \u223c (e, f). Por hipo´tese
existem p e p\u2032 \u2208 S tais que
a+ d+ p = b + c+ p e c+ f + p\u2032 = d+ e+ p\u2032.
Daqui extra´\u131mos que
(a+ d+ p) + (c+ f + p\u2032) = (b + c+ p) + (d+ e+ p\u2032),
ou seja, que
a+ f + p\u2032\u2032 = b + e+ p\u2032\u2032,
onde p\u2032\u2032 = d + c + p + p\u2032. Essa relac¸a\u2dco diz precisamente que (a, b) \u223c (e, f), completando a prova de
que temos assim uma relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia em S2.
Vamos enta\u2dco considerar agora o conjunto K(S) := S2/ \u223c de todas as classes de equivale\u2c6ncia defi-
nidas acima. Vamos construir em K(S) uma estrutura de grupo Abeliano, cujo produto denotaremos
por +. Dadas duas classes [(a, b)] e [(c, d)] definimos
[(a, b)] + [(c, d)] := [(a+ c, b + d)].
Note-se que por essa definic¸a\u2dco tem-se (verifique!)
[(a, b)] + [(c, d)] = [(c, d)] + [(a, b)]
para todo a, b, c, d \u2208 S.
A primeira coisa a fazer e´ mostrar que essa definic¸a\u2dco independe dos elementos tomados nas classes.
Para isto basta provar que se (a\u2032, b\u2032) \u223c (a, b) enta\u2dco (a+ c, b+ d) \u223c (a\u2032+ c, b\u2032+ d). Se (a\u2032, b\u2032) \u223c (a, b)
enta\u2dco existe p \u2208 S tal que
a + b\u2032 + p = a\u2032 + b + p.
40Alexander Grothendieck (1928-).
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 1 86/1304
Somando-se c+ d a ambos os lados tiramos
(a+ c) + (b\u2032 + d) + p = (a\u2032 + c) + (b + d) + p
que e´ precisamente a afirmativa que (a + c, b + d) \u223c (a\u2032 + c, b\u2032 + d).
E´ igualmente fa´cil verificar que para quaisquer x, y \u2208 S tem-se que (x, x) \u223c (y, y) e que, portanto,
[(x, x)] = [(y, y)]. Vamos provar que ha´ em K(S) um elemento neutro. Este e´ precisamente a classe
e := [(x, x)] com x \u2208 S arbitra´rio. Note-se que, para qualquer par (a, b) \u2208 S2 teremos
[(a, b)] + [(x, x)] = [(a+ x, b + x)] = [(a, b)] ,
pois (a + x+ b) + p = (b+ x + a) + p para qualquer p \u2208 S.
Falta-nos provar a associatividade do produto e a existe\u2c6ncia de uma inversa para cada elemento de
K(S). Para a associatividade, notemos que
[(a, b)] +
(
[(c, d)] + [(e, f)]
)
:= [(a, b)] + [(c+ e, d+ f)] = [(a+ c+ e, b + d+ f)] ,(
[(a, b)] + [(c, d)]
)
+ [(e, f)] := [(a+ c, b + d)] + [(e, f)] = [(a+ c+ e, b + d+ f)] .
Para provar a existe\u2c6ncia de inversa notemos que para cada par (a, b) \u2208 S2 podemos tomar [(a, b)]\u22121 :=
[(b, a)] pois
[(a, b)] + [(a, b)]\u22121 = [(a, b)] + [(b, a)] = [(a+ b, a + b)] = e .
Isso mostrou que K(S) tem uma estrutura de grupo Abeliano. Este e´ o chamado grupo de Grothen-
dieck associado ao semi-grupo Abeliano S.
Como de costume, denotaremos [(a, b)]\u22121 por \u2212[(a, b)]. Assim, \u2212[(a, b)] = [(b, a)].
E. 1.85 Exerc´\u131cio. Seja o mono´ide Abeliano \ufffd dos nu´meros naturais contendo o 0 com a soma usual.
Mostre que K( \ufffd ) ' \ufffd . 6
O exerc´\u131cio acima indica a possibilidade de se definir os nu´meros inteiros a partir dos naturais.
Os inteiros seriam, por definic¸a\u2dco, o grupo de Grothendieck do mono´ide Abeliano dos naturais com a
operac¸a\u2dco de soma usual.
E. 1.86 Exerc´\u131cio. Seja o mono´ide Abeliano \ufffd 1 dos nu´meros naturais maiores ou iguais a 1 com o
produto dado pela multiplicac¸a\u2dco usual. Mostre que K( \ufffd 1) ' \ufffd +, o grupo dos racionais positivos (sem o
zero) com o produto dado pela multiplicac¸a\u2dco usual. 6
O exerc´\u131cio acima indica a possibilidade de se definir os nu´meros racionais positivos a partir dos
naturais. Os racionais seriam, por definic¸a\u2dco, o grupo de Grothendieck do mono´ide Abeliano dos naturais
com a operac¸a\u2dco de produto usual.
Para cada elemento a de um mono´ide Abeliano M podemos associar um elemento de K(M) por
M 3 a 7\u2192 [a] := [(a, 0)] \u2208 K(M). E´ fa´cil ver que todo elemento [(a, b)] de K(M) pode ser escrito da
forma [(a, b)] = [a]\u2212[b] e que [a]\u2212[b] = [a\u2032]\u2212[b\u2032] se e somente se existir p \u2208M com a+b\u2032+p = a\u2032+b+p.
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1.6.2 Grupo´ides
Um grupo´ide e´ definido da seguinte forma. E´ dado um conjunto C e um subconjunto C0 \u2282 C, o qual
e´ a imagem de duas func¸o\u2dces una´rias p e c (chamadas de \u201cpartida\u201d e \u201cchegada\u201d), ou seja, p : C \u2192 C0,
c : C \u2192 C0. Os elementos de C0 sa\u2dco pontos fixos de p e de c, ou seja,
c(\u3b1) = \u3b1 e p(\u3b1) = \u3b1
para todo \u3b1 \u2208 C0 (aqui denotaremos os elementos de C por letras gregas).
Define-se em C × C um subconjunto (ou seja, uma relac¸a\u2dco em C), que denotaremos por RC , da
seguinte forma:
RC := {(\u3b1, \u3b2) \u2208 C2| p(\u3b1) = c(\u3b2)}.
E´ tambe´m dada uma func¸a\u2dco bina´ria RC \u2192 C, que denotaremos por \u201c·\u201d e que denominaremos
\u201cproduto\u201d, a qual satisfaz as seguintes hipo´teses:
1. Associatividade: \u3b1 · (\u3b2 · \u3b3) = (\u3b1 · \u3b2) · \u3b3 sempre que os produtos estejam definidos, ou seja, se
(\u3b2, \u3b3), (\u3b1, \u3b2 · \u3b3), (\u3b1, \u3b2) e (\u3b1 · \u3b2, \u3b3) forem todos elementos de RC
2. Para todo (\u3b1, \u3b2) \u2208 RC temos p(\u3b1 · \u3b2) = p(\u3b2).
3. Para todo (\u3b1, \u3b2) \u2208 RC temos c(\u3b1 · \u3b2) = c(\u3b1).
4. Para todo \u3b1 \u2208 C temos \u3b1 · p(\u3b1) = \u3b1.
5. Para todo \u3b1 \u2208 C temos c(\u3b1) · \u3b1 = \u3b1.
Fora isso, existe para cada \u3b1 \u2208 C uma assim chamada inversa bilateral \u3b1\u22121 \u2208 C a qual satisfaz
\u3b1 · \u3b1\u22121 = c(\u3b1) e \u3b1\u22121 · \u3b1 = p(\u3b1). Note que, por essa definic¸a\u2dco, tem-se que, para todo \u3b10 \u2208 C0,
\u3b10 · \u3b1\u221210 = \u3b1\u221210 · \u3b10 = \u3b10.
Estes ingredientes definem um grupo´ide. Note-se que um grupo´ide na\u2dco necessariamente contem um
\u201celemento neutro\u201d (vide exemplos).
Exemplo. Caminhos. Este exemplo e´ um proto´tipo da definic¸a\u2dco de grupo´ide acima, ou seja, aquela
possivelmente foi criada tendo o mesmo como exemplo-guia.
Seja I o intervalo fechado [0, 1] e vamos considerar o conjunto C de todas as func¸o\u2dces cont´\u131nuas de
I em um espac¸o topolo´gico Hausdorff qualquer (por exemplo \ufffd 2). Um elemento \u3b3 de C e´ uma curva
orientada cont´\u131nua em \ufffd 2 que tem um ponto de partida \u3b3(0) e um ponto de chegada \u3b3(1).
Podemos introduzir uma relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia em C da seguinte forma: duas curvas \u3b1 e \u3b2 \u2208 C
sa\u2dco equivalentes (\u3b1 \u223c \u3b2) se existir uma bijec¸a\u2dco cont´\u131nua b : I \u2192 I com b(0) = 0, b(1) = 1, tal que
\u3b1 = \u3b2 \u25e6 b. Vamos denominar por C as classes de equivale\u2c6ncia de C pela relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia acima:
C := C/ \u223c.
O conjunto C0 e´ o subconjunto de C formado pelas classes de equivale\u2c6ncia de curvas constantes:
[\u3b1] \u2208 C0 \u21d0\u21d2 \u3b1(t) = \u3b1(t\u2032), \u2200t, t\u2032 \u2208 I.
Definimos as func¸o\u2dces una´rias p e c da seguinte forma: p([\u3b3]) e´ a classe de equivale\u2c6ncia da curva
constante que a todo t \u2208 I associa o ponto \u3b3(0) de \ufffd 2, o ponto de partida de \u3b3; c([\u3b3]) e´ a classe de
equivale\u2c6ncia da curva constante que a todo t \u2208 I associa o ponto \u3b3(1) de \ufffd 2, o ponto de chegada de \u3b3.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 1 88/1304
Dados dois elementos em C queremos agora definir o seu produto. A ide´ia a ser seguida e´ que o
produto de duas curvas e´ definido apenas quando o ponto de chegada da primeira coincide com o ponto
de partida da segunda e resulta em uma curva u´nica unindo o ponto de partida da primeira com o
ponto de chegada da u´ltima. Matematicamente isso e´ feito definindo-se o produto [\u3b2] · [\u3b1] como sendo
a classe de equivale\u2c6ncia da curva \u3b2 \u2217 \u3b1 definida pela composic¸a\u2dco
\u3b2 \u2217 \u3b1(t) :=
{
\u3b1(2t), para 0 \u2264 t \u2264 1/2
\u3b2(2t\u2212 1), para 1/2 < t \u2264 1 .
Claramente \u3b2 \u2217 \u3b1 so´ e´ um elemento de C (ou seja, uma curva cont´\u131nua) se \u3b1(1) = \u3b2(0).
Por fim a inversa bilateral de [\u3b1] e´ definida como sendo a classe [\u3b1\u22121], onde \u3b1\u22121(t) = \u3b1(1\u2212 t).
Deixamos para o leitor como exerc´\u131cio mostrar que a estrutura definida acima e´ a de um grupo´ide.
Notemos que para a composic¸a\u2dco \u2217 acima na\u2dco vale a associatividade: (\u3b1 \u2217 \u3b2) \u2217 \u3b3 6= \u3b1 \u2217 (\u3b2 \u2217 \u3b3), se
ambos os lados estiverem definidos (por que?). No entanto, as curvas (\u3b1 \u2217 \u3b2) \u2217 \u3b3 e \u3b1 \u2217 (\u3b2 \u2217 \u3b3) sa\u2dco
equivalentes no sentido da definic¸a\u2dco