Curso de Fisica-Matematica USP-SP
1304 pág.

Curso de Fisica-Matematica USP-SP


DisciplinaFísica38.677 materiais937.962 seguidores
Pré-visualização50 páginas
acima e de tal forma que para o produto \u201c·\u201d definido nas classes
C vale a associatividade [\u3b1] · ([\u3b2] · [\u3b3]) = ([\u3b1] · [\u3b2]) · [\u3b3], se ambos os lados estiverem definidos (por
que?). Essa e´ a raza\u2dco de termos feito a construc¸a\u2dco nas classes C e na\u2dco diretamente em C. Esse fato
ja´ deve ser familiar ao leitor que conhec¸a o conceito de grupo de homotopia de espac¸os topolo´gicos.
O grupo´ide apresentado acima e o grupo de homotopia sa\u2dco, alia´s, fortemente aparentados e ao leitor
sugere-se pensar sobre qual a conexa\u2dco entre ambos.
Exemplo. Relac¸o\u2dces de equivale\u2c6ncia. Seja K um conjunto no qual haja uma relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia
R \u2282 K ×K. Tomamos C = R e C0 = {(x, x), x \u2208 K} \u2282 R. Definimos
1. p((x, y)) := (x, x), \u2200x, y \u2208 K com x \u223c y.
2. c((x, y)) := (y, y), \u2200x, y \u2208 K com x \u223c y.
3. Produto: (x, y) · (y, z) := (x, z), \u2200x, y, z \u2208 K com x \u223c y \u223c z.
4. Inversa bilateral: (x, y)\u22121 := (y, x).
E´ fa´cil de se verificar (fac¸a-o) que a estrutura assim definida e´ a de um grupo´ide.
1.6.3 Quate´rnions
Vamos nesta sec¸a\u2dco tratar brevemente de um tipo de a´lgebra que possui algumas aplicac¸o\u2dces interessantes
na teoria de grupos e outros lugares, a chamada a´lgebra dos quate´rnions.
Dado um espac¸o vetorial como \ufffd 2 ha´ va´rias maneiras de definir no mesmo um produto de modo a
fazer do mesmo uma a´lgebra. Por exemplo, podemos definir em \ufffd 2 o produto
(x1, x2) · (y1, y2) = (x1y1, x2y2), (1.51)
que e´ associativo e comutativo, como tambe´m o produto
(x1, x2) · (y1, y2) = (x1y1 \u2212 x2y2, x1y2 + x2y2), (1.52)
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 1 89/1304
que e´ igualmente associativo e comutativo (Exerc´\u131cio. Verifique).
O produto (1.51) faz de \ufffd 2 uma a´lgebra isomorfa a \ufffd \u2297 \ufffd , ou seja, a duas co´pias da a´lgebra usual
dos nu´meros reais. O produto (1.52) faz de \ufffd 2 uma a´lgebra isomorfa a` dos nu´meros complexos
\ufffd
. (Em
verdade, os nu´meros complexos sa\u2dco definidos como sendo a a´lgebra \ufffd 2 com o produto (1.52)!).
Em \ufffd 3 podemos definir igualmente va´rios tipos de produtos, tais como o produto
(x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = (x1y1, x2y2, x3y3), (1.53)
que e´ igualmente associativo e comutativo; o produto
(x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = (x1y1, x2y2 \u2212 x3y3, x2y3 + x3y2), (1.54)
tambe´m associativo e comutativo ou ainda um produto como
(x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = (x2y3 \u2212 x3y2, x3y1 \u2212 x1y3, x1y2 \u2212 x2y1), (1.55)
que na\u2dco e´ nem associativo nem comutativo. O produto (1.53) faz de \ufffd 3 uma a´lgebra isomorfa a
\ufffd \u2297 \ufffd \u2297 \ufffd (tre\u2c6s co´pias da a´lgebra dos reais). O produto (1.54) faz de \ufffd 3 uma a´lgebra isomorfa a \ufffd \u2297 \ufffd
e o produto (1.55) e´ o bem conhecido produto vetorial.
O que se pode enta\u2dco fazer em \ufffd 4? Naturalmente poder-se-ia definir em \ufffd 4 va´rias a´lgebras imitando
o que fizemos acima. Por exemplo, com o produto
(x1, x2, x3, x4) · (y1, y2, y3, y4) = (x1y1, x2y2, x3y3, x4y4), (1.56)
\ufffd
4 torna-se uma a´lgebra associativa e comutativa isomorfa a \ufffd \u2297 \ufffd \u2297 \ufffd \u2297 \ufffd . Com o produto
(x1, x2, x3, x4) · (y1, y2, y3, y4) = (x1y1 \u2212 x2y2, x1y2 + x2y1, x3y3 \u2212 x4y4, x3y4 + x4y3), (1.57)
\ufffd
4 torna-se uma a´lgebra associativa e comutativa isomorfa a
\ufffd \u2297 \ufffd . Com o produto
(x1, x2, x3, x4) · (y1, y2, y3, y4) = (x2y3 \u2212 x3y2, x3y1 \u2212 x1y3, x1y2 \u2212 x2y1, x4y4) (1.58)
\ufffd
4 torna-se uma a´lgebra na\u2dco-associativa e na\u2dco-comutativa isomorfa a \ufffd 3 \u2297 \ufffd , com o produto vetorial
na componente \ufffd 3.
Ha´ tambe´m outros produtos que sa\u2dco meras variantes das listadas acima (ache algumas). Existe,
pore´m, um outro produto na\u2dco trivial, denominado produto quaternio\u2c6nico, que faz de \ufffd 4 uma a´lgebra
associativa mas na\u2dco-comutativa e com unidade. Esse produto foi descoberto por W. R. Hamilton41.
A histo´ria da descoberta desse produto em \ufffd 4, feita em 1843, e´ muito interessante e representou um
marco na histo´ria da A´lgebra. Esse produto e´ o seguinte
(x0, x1, x2, x3) · (y0, y1, y2, y3) =
(x0y0\u2212x1y1\u2212x2y2\u2212x3y3, x0y1+y0x1+x2y3\u2212x3y2, x0y2+y0x2+x3y1\u2212x1y3, x0y3+y0x3+x1y2\u2212x2y1).
(1.59)
41William Rowan Hamilton (1805-1865). W. R. Hamilton foi tambe´m o inventor do chamado formalismo Hamiltoniano
da Meca\u2c6nica Cla´ssica.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 1 90/1304
E. 1.87 Exerc´\u131cio. Mostre que o produto acima e´ associativo. 6
O espac¸o vetorial \ufffd 4 dotado do produto acima e´ denominado a´lgebra dos quate´rnions ou a´lgebra
quaternio\u2c6nica e e´ denotada frequ¨entemente por \ufffd . A a´lgebra \ufffd e´ associativa mas na\u2dco e´ comutativa. \ufffd
tem uma unidade, a saber, o vetor (1, 0, 0, 0) \u2208 \ufffd 4.
E. 1.88 Exerc´\u131cio. Mostre que \ufffd na\u2dco e´ uma a´lgebra comutativa. 6
E. 1.89 Exerc´\u131cio. Mostre que (1, 0, 0, 0) e´ a unidade de \ufffd . 6
Ha´ uma maneira melhor de representar o produto quaternio\u2c6nico que a expressa\u2dco (1.59). Vamos
escrever os vetores da base cano\u2c6nica de \ufffd 4 como
e0 = (1, 0, 0, 0), e1 = (0, 1, 0, 0), e2 = (0, 0, 1, 0), e3 = (0, 0, 0, 1),
de modo que todo x \u2208 \ufffd 4 pode ser escrito na forma x = x0e0 + x1e1 + x2e2 + x3e3. O produto
quaternio\u2c6nico pode enta\u2dco ser definido pelo produto dos elementos da base cano\u2c6nica, que segue as
seguintes regras:
1. e0 e´ a unidade da a´lgebra: x · e0 = e0 · x = x para todo x \u2208 \ufffd 4.
2. (e1)
2 = (e2)
2 = (e3)
2 = \u2212e0.
3. eiej = \u2212ejei para todo i 6= j com i, j = 1, 2, 3.
4. e1e2 = e3, e2e3 = e1 e e3e1 = e2.
E. 1.90 Exerc´\u131cio. Verifique que essas regras reproduzem perfeitamente (1.59). 6
Ale´m de ser de manipulac¸a\u2dco mais simples, essas regras permitem representar a a´lgebra quaternio\u2c6nica
de um modo talvez mais familiar, a saber, em termos de certas matrizes complexas 2× 2.
\u2022 Quate´rnions e A´lgebras de Matrizes 2× 2
Sejam a e b dois nu´meros complexos e seja M(a, b) a matriz
M(a, b) =
(
a b
\u2212b a
)
,
onde z e´ o complexo conjugado de z \u2208 \ufffd . E´ fa´cil de se ver que o conjunto de todas as matrizes dessa
forma e´ uma a´lgebra:
M(a, b)M(c, d) = M(ac\u2212 bd, ad+ bc).
E. 1.91 Exerc´\u131cio. Verifique! 6
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 1 91/1304
Existe um isomorfismo entre a a´lgebra dos quate´rnions e essa a´lgebra de matrizes 2 × 2. Basta
associar (bijetivamente!) a cada qua´drupla (x0, x1, x2, x3) a matriz M(x0 + ix3, x2 + ix1):
x = (x0, x1, x2, x3) \u2190\u2192
(
x0 + ix3 x2 + ix1
\u2212x2 + ix1 x0 \u2212 ix3
)
=: M(x). (1.60)
E´ fa´cil verificar enta\u2dco (fac¸a!) que o produto quaternio\u2c6nico e´ respeitado por essa associac¸a\u2dco:
M(x)M(y) = M(x · y),
onde, acima, x · y e´ o produto quaternio\u2c6nico de x e y \u2208 \ufffd 4.
Note-se que por essa associac¸a\u2dco tem-se
M(x) = M(x0e0 + x1e1 + x2e2 + x3e3) = x0M(e0) + x1M(e1) + x2M(e2) + x3M(e3),
com
M(e0) = \ufffd , M(e1) = i\u3c31, M(e2) = i\u3c32, M(e3) = i\u3c33,
onde
\ufffd =
(
1 0
0 1
)
e
\u3c31 =
(
0 1
1 0
)
, \u3c32 =
(
0 \u2212i
i 0
)
e \u3c33 =
(
1 0
0 \u22121
)
sa\u2dco as chamadas matrizes de Pauli42, que satisfazem
1. (\u3c31)
2 = (\u3c32)
2 = (\u3c33)
2 = \ufffd ,
2. \u3c3i\u3c3j = \u2212\u3c3j\u3c3i para todo i 6= j e
3. \u3c31\u3c32 = i\u3c33, \u3c32\u3c33 = i\u3c31, \u3c33\u3c31 = i\u3c32.
E. 1.92 Exerc´\u131cio. Verifique essas propriedades. 6
\u2022 Sub-a´lgebras Abelianas
\ufffd possui algumas sub-a´lgebras Abelianas.
E. 1.93 Exerc´\u131cio. Mostre que \ufffd 1 := {x \u2208 \ufffd 4, x = x0e0 + x1e1 = (x0, x1, 0, 0)} e´ uma sub-a´lgebra
Abeliana de \ufffd que e´ isomorfa a` a´lgebra
\ufffd
dos complexos. 6
E. 1.94 Exerc´\u131cio. Mostre o mesmo para \ufffd 2 := {x \u2208 \ufffd 4, x = x0e0 + x2e2 = (x0, 0, x2, 0)} e
\ufffd 3 := {x \u2208 \ufffd 4, x = x0e0 + x3e3 = (x0, 0, 0, x3)}. 6
42Wolfgang Pauli (1900-1958).
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 1 92/1304
E. 1.95 Exerc´\u131cio. Sera´ poss´\u131vel fazer de \ufffd 4 um espac¸o vetorial complexo? Seja \u3b1 \u2208 \ufffd e considere para
x \u2208 \ufffd 4 o produto do escalar \u3b1 pelo vetor x definido por
\u3b1 · x = (Re(\u3b1)e0 + Im(\u3b1)e1) · x,
onde o produto do lado direito e´ o o produto quaternio\u2c6nico. Mostre que isso faz de \ufffd 4 um espac¸o vetorial
sobre o corpo dos complexos. Para isto verifique