Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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Curso de Fisica-Matematica USP-SP


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as propriedades definidoras de um espac¸o vetorial listadas
a` pa´gina 55. 6
E. 1.96 Exerc´\u131cio. No exerc´\u131cio anterior ha´ outros produtos do escalar \u3b1 pelo vetor x que podem ser
considerados:
\u3b1 · x = (Re(\u3b1)e0 + Im(\u3b1)e2) · x,
ou
\u3b1 · x = (Re(\u3b1)e0 + Im(\u3b1)e3) · x,
ou mesmo
\u3b1 · x = x · (Re(\u3b1)e0 + Im(\u3b1)e1)
etc. Mostre que todos esses seis produtos de escalares \u3b1 \u2208 \ufffd por vetores x \u2208 \ufffd 4 fazem de \ufffd 4 um espac¸o
vetorial sobre o corpo dos complexos. 6
\u2022 \ufffd e´ um anel de divisa\u2dco
E´ fa´cil ver que a a´lgebra dos quate´rnions e´ um anel de divisa\u2dco (vide pa´gina 61), ou seja, todo
x \u2208 \ufffd 4, x 6= 0, tem uma inversa em relac¸a\u2dco ao produto quaternio\u2c6nico. Do isomorfismo M definido em
(1.60) acima ve\u2c6-se que
det(M(x)) = det (M(x0 + ix1, x2 + ix3)) = (x0)
2 + (x1)
2 + (x2)
2 + (x3)
2
e, portanto, M(x) tem uma matriz inversa sempre que x 6= 0.
De fato, definindo-se para x = x0e0 + x1e1 + x2e2 + x3e3 \u2208 \ufffd 4 o conjugado quaternio\u2c6nico
x = x0e0 \u2212 x1e1 \u2212 x2e2 \u2212 x3e3
e do fato facilmente constata´vel que43
x · x = (x0)2 + (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 \u2208 \ufffd
e´ fa´cil ver que para x 6= 0 tem-se
x\u22121 =
(
1
x · x
)
x \u2208 \ufffd 4,
ou seja x\u22121 · x = x · x\u22121 = e0.
E. 1.97 Exerc´\u131cio. Verifique. 6
43Com um abuso de linguagem identificamos aqui ((x0)
2+(x1)
2+(x2)
2+(x3)
2)e0 \u2208 \ufffd 4 com (x0)2+(x1)2+(x2)2+(x3)2 \u2208
\ufffd
.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 1 93/1304
Note que por \ufffd ser um anel de divisa\u2dco, \ufffd na\u2dco tem divisores de zero: x · y = 0 se e somente se x = 0
ou y = 0.
\u2022 Norma Quaternio\u2c6nica
Em uma a´lgebra A uma func¸a\u2dco N : A\u2192 \ufffd + que satisfac¸a
N(a · b) = N(a)N(b)
para todo a, b \u2208 A e N(a) = 0 \u21d0\u21d2 a = 0 e´ dita ser uma norma alge´brica.
Em \ufffd e
\ufffd
tem-se a norma alge´brica N(z) = |z|, o mo´dulo ou valor absoluto de z. \ufffd tambe´m possui
uma norma alge´brica. Para x \u2208 \ufffd 4 a expressa\u2dco
N(x) = x · x
define44 uma norma alge´brica em \ufffd .
E. 1.98 Exerc´\u131cio. Verifique que a mesma satisfaz N(x · y) = N(x)N(y). 6
Ha´ um teorema devido a Hurwitz45 que afirma que ha´ apenas quatro a´lgebras que sa\u2dco a´lgebras de
divisa\u2dco46 e possuem uma norma alge´brica: \ufffd ,
\ufffd
, \ufffd e a chamada a´lgebra dos octo\u2c6nions, da qual na\u2dco
falaremos aqui. Esta u´ltima, por sinal, na\u2dco e´ associativa.
A a´lgebra \ufffd possui va´rias outras propriedades interessantes, mas vamos encerrar aqui nossa ex-
posic¸a\u2dco introduto´ria. O leitor interessado podera´ encontrar mais sobre \ufffd nos bons livros de a´lgebra,
especialmente nos mais antigos.
44Vide nota de rodape´ 43, pa´gina 92.
45Adolf Hurwitz (1859-1919).
46Vide definic¸a\u2dco a` pa´gina 61
Cap´\u131tulo 2
Espac¸os Vetoriais
Conteu´do
2.1 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.1.1 Sub-Espac¸os e Espac¸os Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.1.2 Bases Alge´bricas de um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.1.3 O Dual Alge´brico de um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.2 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em Espac¸os Veto-
riais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2.1 Formas Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2.2 Formas Sesquilineares e as Desigualdades de Cauchy-Schwarz e Minkowski . . 113
2.2.3 Produtos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.3 Normas em Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.4 Formas Bilineares e Sesquilineares em Espac¸os de Dimensa\u2dco Finita . . . 128
2.5 Estruturas Complexas sobre Espac¸os Vetoriais Reais . . . . . . . . . . . . 132
noc¸a\u2dco de espac¸o vetorial que introduzimos na Sec¸a\u2dco 1.2.3, pa´gina 55, e´ da maior importa\u2c6ncia
na F´\u131sica e na Matema´tica. Neste cap´\u131tulo vamos desenvolve\u2c6-la com mais detalhe. Particular
atenc¸a\u2dco sera´ dada a`s noc¸o\u2dces de forma multilinear, forma sesquilinear, produto escalar e norma
em espac¸os vetoriais.
2.1 Espac¸os Vetoriais
2.1.1 Sub-Espac¸os e Espac¸os Quocientes
\u2022 Sub-espac¸os
Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto W de V e´ dito ser um sub-espac¸o
de V (sobre o mesmo corpo K) se para todo \u3b1, \u3b2 \u2208 K e todo u, v \u2208 W valer que \u3b1u + \u3b2v \u2208 W . E´
evidente que um sub-espac¸o de um espac¸o vetorial e´ por si so´ um espac¸o vetorial.
\u2022 Quocientes
Se W e´ um sub-espac¸o de um espac¸o vetorial V sobre um corpo K, enta\u2dco e´ poss´\u131vel definir em V
uma relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia EW \u2282 V × V da seguinte forma: dizemos que (u, v) \u2208 V × V pertence a
EW se u\u2212 v \u2208 W .
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E. 2.1 Exerc´\u131cio. Mostre que isso de fato define uma relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia em V . 6
Seguindo a notac¸a\u2dco usual denotaremos tambe´m essa relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia pelo s´\u131mbolo \u223cW :
u \u223cW v se u\u2212 v \u2208 W .
Denotemos por V/W o conjunto das classes de equivale\u2c6ncia de V pela relac¸a\u2dco EW . Denotaremos
por [u] \u2208 V/W a classe de equivale\u2c6ncia que contem o vetor u \u2208 V .
Com esses ingredientes podemos transformar V/W em um espac¸o vetorial sobre K. Isso se da´
definindo em V/W uma soma e um produto por escalares. O vetor nulo sera´ a classe de equivale\u2c6ncia
[0] que conte´m o vetor 0. Como subconjunto de V , a classe [0], alia´s, vem a ser o conjunto W (por
que?).
Se [u] e [v] sa\u2dco as classes de equivale\u2c6ncia que conte\u2c6m os elementos u e v, respectivamente, de V ,
enta\u2dco definimos
[u] + [v] = [u+ v].
E. 2.2 Exerc´\u131cio. Mostre que essa definic¸a\u2dco e´ coerente, no sentido que independe dos representantes (u
e v) escolhidos nas classes. 6
E. 2.3 Exerc´\u131cio. Mostre que essa operac¸a\u2dco de soma e´ comutativa e associativa. 6
E. 2.4 Exerc´\u131cio. Mostre que [u] + [0] = [u] para todo u \u2208 V . 6
Analogamente, a operac¸a\u2dco de multiplicac¸a\u2dco por escalares e´ definida por
\u3b1[u] = [\u3b1u],
para todo u \u2208 V .
E. 2.5 Exerc´\u131cio. Mostre que essa definic¸a\u2dco e´ coerente, no sentido que independe do representante u
escolhido na classe. 6
E. 2.6 Exerc´\u131cio. Mostre que o conjunto V/W e´, portanto, um espac¸o vetorial sobre o corpo K com as
operac¸o\u2dces definidas acima. 6
O espac¸o vetorial V/W assim obtido e´ denominado espac¸o quociente de V por W .
2.1.2 Bases Alge´bricas de um Espac¸o Vetorial
\u2022 Depende\u2c6ncia Linear
Um conjunto finito u1, . . . , un \u2208 V de vetores e´ dito ser linearmente dependente se existir um
conjunto de escalares \u3b11, . . . , \u3b1n \u2208 V , nem todos nulos, tais que
\u3b11u1 + · · ·+ \u3b1nun = 0.
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Um conjunto arbitra´rio de vetores e´ dito ser linearmente independente se na\u2dco possuir nenhum sub-
conjunto finito que seja linearmente dependente.
\u2022 Combinac¸o\u2dces Lineares
Para um conjunto finito de vetores {u1, . . . , un} \u2282 V e de escalares {\u3b11, . . . , \u3b1n} \u2282 K, uma
expressa\u2dco como
\u3b11u1 + · · ·+ \u3b1nun
e´ dita ser uma combinac¸a\u2dco linear dos vetores u1, . . . , un.
\u2022 Varredura Linear
Seja C \u2282 V um conjunto de vetores. A varredura linear (\u201clinear span\u201d) de C, denotado por span (C)
e´ o conjunto de todos os vetores de V que podem ser escritos como uma combinac¸a\u2dco linear finita de
elementos de C.
\u2022 Bases Alge´bricas em Espac¸os Vetoriais
Aqui I designa um conjunto arbitra´rio na\u2dco-vazio de \u131´ndices.
Uma base alge´brica1 em um espac¸o vetorial V e´ um conjunto B = {bi, i \u2208 I} de vetores linearmente
independentes tais que span (B) = V e tais que qualquer vetor u de V pode ser escrito de modo u´nico
como uma combinac¸a\u2dco linear finita de elementos de B.
Se B e´ uma base alge´brica, enta\u2dco para cada u \u2208 V existem univocamente definidos \u3b11, . . . , \u3b1n \u2208 K
e i1, . . . , in \u2208