Curso de Fisica-Matematica USP-SP
1304 pág.

Curso de Fisica-Matematica USP-SP


DisciplinaFísica38.790 materiais948.055 seguidores
Pré-visualização50 páginas
propriedade, mas ha´ dentre elas func¸o\u2dces bijetoras de \ufffd em \ufffd . Func¸o\u2dces com tais
caracter´\u131sticas um tanto patolo´gicas podem ser constru´\u131das com o uso das assim chamadas bases de
Hamel da reta real. Detalhemos.
Seja o espac¸o vetorial V dos nu´meros reais sob o corpo dos racionais. Como consideramos pa´ginas
acima, esse espac¸o vetorial tem dimensa\u2dco alge´brica infinita, mas existe uma base H \u2282 \ufffd de V , na\u2dco-
conta´vel, denominada base de Hamel, tal que todo elemento x de \ufffd pode ser escrito como combinac¸a\u2dco
linear finita (u´nica!) por racionais de elementos de H, ou seja, para todo x \u2208 \ufffd existe um n (que
depende de x), racionais r1, . . . , rn (que dependem de x) e elementos h1, . . . , hn de H (que tambe´m
dependem de x) tais que x pode ser escrita (de forma u´nica!) como x = r1h1 + · · ·+ rnhn. Denomina-
remos essa expressa\u2dco a decomposic¸a\u2dco de x em H.
Notemos que se x e y sa\u2dco nu´meros reais e x = r1h1 + · · ·+ rnhn e y = r\u20321h\u20321 + · · ·+ r\u2032mh\u2032m sa\u2dco suas
decomposic¸o\u2dces em H, enta\u2dco a decomposic¸a\u2dco de x + y e´ r1h1 + · · ·+ rnhn + r\u20321h\u20321 + · · ·+ r\u2032mh\u2032m.
Vamos definir uma func¸a\u2dco f : \ufffd \u2192 \ufffd , da seguinte forma. Primeiramente fixamos seus valores
nos elementos de H tomando, para cada h \u2208 H, f(h) := fh \u2208 \ufffd , onde os nu´meros fh sa\u2dco escolhidos
arbitrariamente. Em segundo lugar, para qualquer x \u2208 \ufffd , e cuja decomposic¸a\u2dco em H seja x =
r1h1 + · · ·+ rnhn, definimos f(x) := r1f(h1) + · · ·+ rnf(hn) = r1fh1 + · · ·+ rnfhn. Assim, se x e y sa\u2dco
nu´meros reais e x = r1h1 + · · ·+ rnhn e y = r\u20321h\u20321 + · · ·+ r\u2032mh\u2032m sa\u2dco suas decomposic¸o\u2dces em H, teremos
f(x + y) = r1fh1 + · · ·+ rnfhn + r\u20321fh\u20321 + · · ·+ r\u2032mfh\u2032m = f(x) + f(y).
O leitor pode convencer-se que ha´, para cada base de Hamel H, infinitas func¸o\u2dces desse tipo (devido
a` arbitrariedade da escolha dos fh\u2019s) e que todas sa\u2dco descont´\u131nuas, exceto se escolhermos fh = ch para
todo h \u2208 H, com uma constante c fixa.
Espertamente, podemos tomar f como uma bijec¸a\u2dco de H em H, ou seja, podemos escolher3 fh \u2208 H
para todo h \u2208 H e de modo que para todo h \u2208 H exista um g \u2208 H u´nico tal que fg = h. Uma situac¸a\u2dco
trivial dessas e´ aquela na qual f e´ a identidade quando restrita a H: fh = h para todo h \u2208 H, mas
outras escolhas sa\u2dco tambe´m poss´\u131veis. Se f for uma bijec¸a\u2dco de H em H, e´ fa´cil de se ver que imagem
3Que tal e´ poss´\u131vel e´ garantido pelo axioma da escolha \u2212\u2192 Exerc´\u131cio.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 100/1304
de f no dom\u131´nio \ufffd e´ toda a reta real \ufffd (mostre isso)!
Ale´m disso, uma tal f , bijetora enquanto func¸a\u2dco de H em H, e´ igualmente bijetora como func¸a\u2dco
de \ufffd em \ufffd . Mostremos isso. Sejam x e y \u2208 \ufffd com decomposic¸o\u2dces x = r1h1 + · · · + rnhn e y =
s1g1 + · · · + smgm com rj, sk \u2208 \ufffd e hj, gk \u2208 H e suponhamos que f(x) = f(y). Isso significa que
r1fh1 + · · ·+ rnfhn = s1fg1 + · · ·+ smfgm. Como cada fhj e cada fgk e´ elemento de H, essa igualdade
so´ e´ poss´\u131vel se m = n, se fhj = fgpi(j) e se rj = spi(j) para todo j = 1, . . . , n, onde pi e´ um elemento do
grupo de permutac¸o\u2dces de n elementos (ou seja, e´ uma bijec¸a\u2dco de {1, . . . , n} em si mesmo). Como f e´
uma bijec¸a\u2dco de H em si mesmo, segue que hj = gpi(j) para todo j = 1, . . . , n. Assim,
x =
n\u2211
j=1
rjhj =
n\u2211
j=1
spi(j)gpi(j) =
n\u2211
j=1
sjgj = y,
e, portanto, f : \ufffd \u2192 \ufffd e´ bijetora.
Uma func¸a\u2dco que satisfac¸a f(x + y) = f(x) + f(y) para todo x, y \u2208 \ufffd e f : \ufffd \u2192 \ufffd representa um
endomorfismo do grupo ( \ufffd , +). O que aprendemos no u´ltimo para´grafo pode ser expresso na linguagem
da teoria de grupos como a afirmac¸a\u2dco que existem automorfismos de ( \ufffd , +) que na\u2dco sa\u2dco cont´\u131nuos.
Esse fato ilustra algumas situac¸o\u2dces patolo´gicas que sa\u2dco por vezes encontradas ou mencionadas no
estudo de grupos cont´\u131nuos. Com o uso de func¸o\u2dces f desse tipo e´ poss´\u131vel, por exemplo, construir
sub-grupos uniparame´tricos na\u2dco-cont´\u131nuos de um grupo de Lie dado ou representac¸o\u2dces na\u2dco-cont´\u131nuas
de tais sub-grupos.
Assim, por exemplo, se A e´ uma matriz real n× n antisime´trica, enta\u2dco O(t) = exp(tA), t \u2208 \ufffd e´ um
subgrupo uniparame´trico cont´\u131nuo de SO(n), pois O(0) = \ufffd e O(t)O(t\u2032) = O(t+t\u2032) para todos t, t\u2032 \u2208 \ufffd ,
sendo os elementos de matriz de O(t) func¸o\u2dces cont´\u131nuas de t. Se agora definirmos P (t) = exp(f(t)A),
t \u2208 \ufffd , para uma func¸a\u2dco f : \ufffd \u2192 \ufffd , patolo´gica como acima (ou seja, satisfazendo f(x+y) = f(x)+f(y)
para todo x, y \u2208 \ufffd , bijetora mas descont´\u131nua), ainda teremos P (0) = \ufffd e P (t)P (t\u2032) = P (t + t\u2032) para
todos t, t\u2032 \u2208 \ufffd , mas os elementos de matriz de P (t) na\u2dco sa\u2dco func¸o\u2dces cont´\u131nuas de t.
\u2022 Bases Topolo´gicas em Espac¸os Vetoriais
Nota para os estudantes mais avanc¸ados.
O conceito de base alge´brica na\u2dco deve ser confundido com o de base topolo´gica, conceito esse per-
tencente ao contexto dos espac¸os vetoriais topolo´gicos:
Uma base topolo´gica em um espac¸o vetorial topolo´gico V e´ um conjunto B = {bi, i \u2208 I} de vetores
linearmente independentes tais que span (B) e´ um conjunto denso em V , ou seja, o fecho de span (B)
e´ V .
Uma base topolo´gica e´ dita ser base topolo´gica completa se na\u2dco possuir nenhum subconjunto pro´prio
que tambe´m seja uma base topolo´gica.
A dimensa\u2dco topolo´gica de um espac¸o vetorial e´ enta\u2dco definida como sendo a cardinalidade das bases
topolo´gicas completas de V .
Para ilustrar como os conceitos de base alge´brica e base topolo´gica sa\u2dco diferentes, consideremos
novamente o seguinte Exemplo 4 acima:
Exemplo 5. V = \ufffd sobre o corpo dos racionais, com a topologia usual sobre \ufffd , tem uma base
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 101/1304
topolo´gica completa de dimensa\u2dco finita: B = {1}. De fato, o conjunto {r · 1, r \u2208 \ufffd } e´ denso em \ufffd .
Esse espac¸o vetorial possui enta\u2dco uma dimensa\u2dco topolo´gica igual a um.
Definic¸a\u2dco. Um espac¸o vetorial topolo´gico sobre o corpo dos reais ou dos complexos e´ dito ser separa´vel
se possuir uma base topolo´gica conta´vel.
2.1.3 O Dual Alge´brico de um Espac¸o Vetorial
Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo K (por exemplo, o corpo
\ufffd
). Uma aplicac¸a\u2dco l : V \u2192 K,
definida sobre todo V , e´ dita ser um funcional linear se
l(\u3b1x+ \u3b2y) = \u3b1l(x) + \u3b2l(y)
para todo x, y \u2208 V e todo \u3b1, \u3b2 \u2208 K.
E. 2.7 Exerc´\u131cio. Mostre que, de acordo com a definic¸a\u2dco acima, vale para qualquer funcional linear l
que l(0) = 0. 6
O conjunto de todos os funcionais lineares de V em K e´ denominado espac¸o dual alge´brico de V e
denotado V \u2032. O conjunto V \u2032 e´ feito um espac¸o vetorial (sobre K), atrave´s da seguinte relac¸a\u2dco:
(\u3b1l + \u3b2m)(x) := l(\u3b1x) +m(\u3b2x),
para todo l e m \u2208 V \u2032 ; \u3b1, \u3b2 \u2208 K e todo x \u2208 V . O vetor nulo de V \u2032 e´ o funcional linear que associa
trivialmente todo vetor de V a zero: l(x) = 0, \u2200x \u2208 V .
O seguinte teorema e´ verdadeiro e sera´ implicitamente usado va´rias vezes no que segue. Sua de-
monstrac¸a\u2dco e´, como veremos, elementar mas instrutiva.
Teorema 2.4 Seja um espac¸o vetorial V sobre um corpo K. Se um vetor v tem a propriedade que
l(v) = 0 para todo l \u2208 V \u2032 enta\u2dco v = 0. 2
Prova. Seja B uma base alge´brica em V . Para cada elemento b \u2208 B podemos associar um funcional
linear lb, definido da seguinte forma. Como todo w \u2208 V pode ser escrito como uma combinac¸a\u2dco linear
finita de elementos de B, podemos sempre escrever
w = wbb + w
\u2032,
onde w\u2032 e´ uma combinac¸a\u2dco linear finita de elementos de B \ {b} e wb \u2208 K. (E´ claro que wb = 0 caso b
na\u2dco comparec¸a na decomposic¸a\u2dco de w em uma soma finita de elementos de B).
Definimos enta\u2dco
lb(w) = wb,
para todo vetor w \u2208 V . E´ um exerc´\u131cio simples mostrar que, para cada b \u2208 B, a aplicac¸a\u2dco lb : V \u2192 K
dada acima e´ um funcional linear.
E. 2.8 Exerc´\u131cio. Mostre isso. 6
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 102/1304
Seja enta\u2dco v um vetor como no enunciado do teorema. Se l(v) = 0 para todo l \u2208 V \u2032, vale obvi-