Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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amente que lb(v) = 0 para todo b \u2208 B. Isso, pore´m, trivialmente implica que v = 0, completando a
demonstrac¸a\u2dco.
Notac¸a\u2dco. Para x \u2208 V e l \u2208 V \u2032 e´ muito frequ¨ente, e graficamente conveniente, usar-se a notac¸a\u2dco \u3008l, x\u3009
em lugar de l(x).
Se A e B sa\u2dco espac¸os vetoriais e A \u2282 B enta\u2dco B \u2032 \u2282 A\u2032.
E. 2.9 Exerc´\u131cio. Justifique essa u´ltima afirmativa. 6
\u2022 O Dual Topolo´gico de um Espac¸o Vetorial
Seja V um espac¸o vetorial topolo´gico. O conjunto de todos os funcionais lineares cont´\u131nuos sobre
V e´ dito ser o dual topolo´gico de V . O dual topolo´gico sera´ denotado nestas notas por V \u2020. Note-se que
V \u2020 \u2282 V \u2032.
\u2022 Exemplos de Funcionais Lineares
Exemplo 1. Seja V =
\ufffd
n, sobre o corpo dos complexos. Seja a1, . . . , an um conjunto fixo de
nu´meros complexos. Para qualquer vetor z = (z1, . . . , zn) \u2208 \ufffd n defina-se
l(z) = a1z1 + · · ·+ anzn.
Enta\u2dco l e´ um funcional linear em
\ufffd
n.
E. 2.10 Exerc´\u131cio. Verifique. 6
Em verdade, e´ poss´\u131vel demonstrar a rec´\u131proca: em
\ufffd
n todo funcional linear e´ da forma acima
para algum conjunto {a1, . . . , an}. Essa afirmativa e´ um caso particular de um teorema importante
conhecido como \u201cLema de Riesz\u201d, que sera´ demonstrado no contexto mais geral dos chamados espac¸os
de Hilbert, dos quais
\ufffd
n e´ um exemplo.
Seja P o conjunto de todos os polino\u2c6mios de uma varia´vel real com coeficientes complexos: Pn(t) \u2208 P,
Pn(t) = ant
n + · · ·+ a1t+ a0
com t \u2208 \ufffd , ai \u2208 \ufffd , e´ dito ser um polino\u2c6mio de grau n se an 6= 0. O conjunto P e´ claramente um espac¸o
vetorial sobre os complexos.
Exemplo 2. Para cada t0 \u2208 \ufffd e p \u2208 P,
l(p) = p(t0)
e´ um funcional linear em P.
E. 2.11 Exerc´\u131cio. Verifique. 6
Esse exemplo pode ser generalizado:
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 103/1304
Exemplo 3. Sejam t1, . . . , tn \u2208 \ufffd , distintos, e a1, . . . , an nu´meros complexos. Para todo p \u2208 P,
definamos
l(p) = a1p(t1) + · · ·+ anp(tn).
Enta\u2dco l e´ um funcional linear em P.
E. 2.12 Exerc´\u131cio. Verifique. 6
O u´ltimo exemplo pode ser fortemente generalizado nos dois exemplos que seguem.
Exemplo 3. Seja (a, b) um intervalo finito de \ufffd e h uma func¸a\u2dco complexa integra´vel nesse intervalo
(ou seja,
\u222b b
a
|h(t)|dt \u2264 \u221e). Enta\u2dco,
l(p) =
\u222b b
a
h(t) p(t) dt
esta´ definida para todo p \u2208 P e define um funcional linear em P.
E. 2.13 Exerc´\u131cio. Justifique as duas u´ltimas afirmativas. 6
Exemplo 4. Seja a func¸a\u2dco g(x) = e\u2212x
2
. Enta\u2dco
l(p) =
\u222b \u221e
\u2212\u221e
g(t) p(t) dt.
esta´ definida para todo p \u2208 P e define um funcional linear em P.
E. 2.14 Exerc´\u131cio. Justifique as duas u´ltimas afirmativas. 6
\u2022 A Relac¸a\u2dco entre V e V \u2032
Vamos aqui discutir o fato que sempre existe uma maneira (na\u2dco-cano\u2c6nica, vide abaixo) de associar
vetores de um espac¸o vetorial V com elementos de seu dual alge´brico V \u2032.
Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo K e B \u2282 V uma base alge´brica em V . Seja FB a colec¸a\u2dco
de todas as func¸o\u2dces de B em K. Afirmamos que existe uma bijec¸a\u2dco de FB sobre V
\u2032, ou seja, esses dois
conjuntos podem ser identificados nesse sentido.
Para tal, seja f \u2208 FB. Definimos uma aplicac¸a\u2dco I : FB \u2192 V \u2032 da seguinte forma. Como todo x \u2208 V
pode ser escrito como uma combinac¸a\u2dco linear finita de elementos de B, digamos, x = \u3b11bi1 + · · ·+\u3b1nbin ,
escrevemos
I(f)(x) = \u3b11f(bi1) + · · ·+ \u3b1nf(bin).
I(f) e´ um funcional linear pois, se escrevemos y = \u3b1n+1bin+1 + · · ·+ \u3b1n+mbin+m , teremos
I(f)(x+ y) = \u3b11f(bi1) + · · ·+ \u3b1n+mf(bin+m)
= \u3b11f(bi1) + · · ·+ \u3b1nf(bin) + \u3b1n+1f(bin+1) + · · ·+ \u3b1n+mf(bin+m)
= I(f)(x) + I(f)(y). (2.2)
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 104/1304
Isso enta\u2dco mostrou que I(f) e´ de fato um elemento de V \u2032 para cada f \u2208 FB. Vamos mostrar o reverso:
que a cada elemento l de V \u2032 ha´ um elemento gl de FB associado e que I(gl) = l. Seja novamente
x = \u3b11bi1 + · · ·+ \u3b1nbin \u2208 V e seja l um elemento de V \u2032. Tem-se
l(x) = \u3b11l(bi1) + · · ·+ \u3b1nl(bin).
Definimos enta\u2dco gl : B \u2192 K por
gl(b) = l(b)
para todo b \u2208 K. Pela definic¸a\u2dco
I(gl)(x) = \u3b11gl(bi1) + · · ·+ \u3b1ngl(bin) = \u3b11l(bi1) + · · ·+ \u3b1nl(bin) = l(x) (2.3)
para todo x \u2208 V . Logo I(gl) = l como quer´\u131amos.
A aplicac¸a\u2dco I : FB \u2192 V \u2032 e´, portanto, uma bijec¸a\u2dco entre esses dois conjuntos. Notemos, pore´m, que
essa bijec¸a\u2dco na\u2dco e´ cano\u2c6nica no sentido que a mesma depende da base adotada. Se trocarmos B por
outra base a bijec¸a\u2dco altera-se.
De posse desses fatos podemos entender a relac¸a\u2dco entre V e V \u2032 da seguinte forma. Seja o subconjunto
GB de FB formado por todas as func¸o\u2dces que assumem valores na\u2dco-nulos (no corpo K) apenas para um
conjunto finito de B, ou seja, para g \u2208 GB existe um conjunto finito Bg = {b1, . . . , bn} \u2282 B tal que g
e´ na\u2dco-nula nos elementos de Bg, mas e´ nula em B \Bg.
Os conjuntos GB e V podem ser identificados no seguinte sentido. Afirmamos que existe uma bijec¸a\u2dco
J : GB \u2192 V . Tal e´ fa´cil de ver se lembrarmos que os elementos de V podem ser escritos como uma
combinac¸a\u2dco linear finita de elementos de B. De fato, para g \u2208 GB definimos
J(g) = g(b1)b1 + · · ·+ g(bn)bn \u2208 V
onde {b1, . . . , bn} = Bg. Reciprocamente, se x \u2208 V e x = \u3b11bi1 + · · ·+ \u3b1nbin , definimos gx \u2208 GB por
gx(bia) = \u3b1a, a = 1, . . . , n
e
gx(b) = 0,
se b 6\u2208 {bi1 , . . . , bin}. E´ fa´cil ver enta\u2dco que
J(gx) = g(bi1)bi1 + · · ·+ g(bin)bin = \u3b11bi1 + · · ·+ \u3b1nbin = x , (2.4)
o que mostra que J e´ bijetora. Notemos novamente que essa bijec¸a\u2dco tambe´m na\u2dco e´ cano\u2c6nica, no sentido
que a mesma depende da base adotada. Se trocarmos B por outra base a bijec¸a\u2dco altera-se.
E. 2.15 Exerc´\u131cio importante. Mostre agora que J\u22121 : V \u2192 Gb e´ linear, ou seja, J\u22121(\u3b1x + \u3b2y) =
\u3b1J\u22121(x) + \u3b2J\u22121(y) para todos x, y \u2208 V e todos \u3b1, \u3b2 \u2208 K. 6
Juntando o discutido acima, conclu´\u131mos que \u3c61 = I \u25e6 J\u22121 e´ uma aplicac¸a\u2dco linear injetora de V em
V \u2032. A mesma, pore´m, na\u2dco e´ \u201cnatural\u201d, pois depende da base alge´brica B escolhida.
Assim, fixada uma base B em V ha´ uma maneira de associar todos os elementos de V com elementos
do seu dual alge´brico. Notemos pore´m que pode haver elementos de V \u2032 aos quais na\u2dco correspondem tais
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identificac¸o\u2dces, ou seja, a imagem de \u3c61 = I \u25e6 J\u22121 e´ tipicamente (especialmente em dimensa\u2dco infinita)
um subconjunto pro´prio de V \u2032.
Exemplo. Seja P o espac¸o vetorial dos polino\u2c6mios em \ufffd definido acima. Seja T = {ti \u2208 \ufffd , i \u2208 \ufffd },
um conjunto conta´vel de pontos distintos da reta real e seja q(t) = q0 + q1t + · · · + qntn, polino\u2c6mio.
Definamos lq \u2208 V \u2032 por
lq(p) = q0p(t0) + q1p(t1) + · · ·+ qnp(tn).
E. 2.16 Exerc´\u131cio. Mostre que a aplicac¸a\u2dco P 3 q \u2192 lq \u2208 V \u2032 e´ linear e injetora. 6
E. 2.17 Exerc´\u131cio. Sera´ que com o conjunto T fixado todo elemento de V \u2032 seria da forma lq para algum
q?. Pense. Inspire-se nos exemplos 3 e 4 da pa´gina 103. O que acontece para conjuntos T diferentes? 6
Comenta´rio. Mais interessante que a relac¸a\u2dco entre V e V \u2032, e´ a relac¸a\u2dco de V com o dual alge´brico de
V \u2032, o chamado bi-dual alge´brico de V e denotado por (V \u2032)\u2032, assunto que discutiremos agora. A raza\u2dco
e´ que, ao contra´rio do que tipicamente ocorre entre V e V \u2032, ha´ sempre uma aplicac¸a\u2dco linear injetora
entre V e (V \u2032)\u2032 que e´ natural, ou seja, independente de escolhas de bases.
Outro interesse na relac¸a\u2dco entre V e (V \u2032)\u2032 reside no fato que a mesma revela-nos, como veremos,
uma profunda distinc¸a\u2dco entre espac¸os vetoriais de dimensa\u2dco finita e infinita.
\u2022 O Bi-dual Alge´brico de um Espac¸o Vetorial
Se V e´ um espac¸o vetorial sobre um corpo K ja´ observamos que V \u2032 e´ tambe´m um espac¸o vetorial
sobre o mesmo corpo. Assim, V \u2032 tem tambe´m seu dual alge´brico que e´ denominado bi-dual alge´brico
de V .
O bi-dual alge´brico de um espac¸o vetorial V e´ o espac¸o (V \u2032)\u2032. Como vimos nas pa´ginas