Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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existe pelo menos uma aplicac¸a\u2dco linear injetiva de V em V \u2032. Chamemos esta aplicac¸a\u2dco de \u3c61. Ana-
logamente, existe pelo menos uma aplicac¸a\u2dco linear injetiva \u3c62 de V
\u2032 em (V \u2032)\u2032. A composic¸a\u2dco \u3c62 \u25e6 \u3c61
fornece uma aplicac¸a\u2dco linear injetiva de V em (V \u2032)\u2032. Como \u3c61 e \u3c62 dependem de escolhas de base, a
composic¸a\u2dco \u3c62 \u25e6 \u3c61 tambe´m depende, na\u2dco sendo, assim, natural.
Ao contra´rio do que ocorre na relac¸a\u2dco entre V e V \u2032, podemos sempre encontrar uma aplicac¸a\u2dco
linear injetiva de V em (V \u2032)\u2032 que e´ natural: independente de base. Vamos denota´-la por \u3bb. Definimos
\u3bb : V \u2192 (V \u2032)\u2032 da seguinte forma: para x \u2208 V , \u3bb(x) e´ o elemento de (V \u2032)\u2032 que associa a cada l \u2208 V \u2032 o
valor l(x):
\u3bb(x)(l) = l(x).
E. 2.18 Exerc´\u131cio. Mostre que \u3bb : V \u2192 (V \u2032)\u2032 e´ linear. 6
E. 2.19 Exerc´\u131cio. Mostre que \u3bb : V \u2192 (V \u2032)\u2032 e´ injetora. Sugesta\u2dco: use o Teorema 2.4, enunciado e
demonstrado na pa´gina 101. 6
E´ transparente pela definic¸a\u2dco de \u3bb que a mesma e´ independente de bases e, portanto, \u201cnatural\u201d. A
relac¸a\u2dco entre x \u2208 V e um elemento de (V \u2032)\u2032 mostrada acima e´ ta\u2dco direta que quase poder´\u131amos dizer que
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 106/1304
V e´ um subconjunto de (V \u2032)\u2032: V \u2282 (V \u2032)\u2032. Alguns autores, abusando um pouco da linguagem, chegam
mesmo a escrever uma tal relac¸a\u2dco de inclusa\u2dco. Mais correta, no entanto e´ a relac¸a\u2dco \u3bb(V ) \u2282 (V \u2032)\u2032.
Poder´\u131amos nesse momento nos perguntar: quando podemos eventualmente ter \u3bb(V ) = (V \u2032)\u2032? Para
o caso de espac¸os vetoriais sobre o corpo dos reais ou dos complexos resposta e´ simples e um tanto
surpreendente e se expressa no seguinte teorema.
Teorema 2.5 Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo dos reais ou dos complexos. Enta\u2dco \u3bb(V ) = (V \u2032)\u2032
se e somente se V e´ um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita. 2
Este teorema revela uma importante distinc¸a\u2dco entre espac¸os de dimensa\u2dco finita e infinita. Em
dimensa\u2dco finita todos os funcionais lineares do dual alge´brico de V \u2032 sa\u2dco da forma \u3bb(x) para algum
vetor x. Em dimensa\u2dco infinita, pore´m, ha´ certamente elementos em (V \u2032)\u2032 que na\u2dco sa\u2dco dessa forma.
Assim, ao tomarmos duais duplos em dimensa\u2dco infinita sempre obtemos espac¸os vetoriais \u201cmaiores\u201d, o
que na\u2dco ocorre em dimensa\u2dco finita.
Prova. Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo K =
\ufffd
ou \ufffd .
Caso de dimensa\u2dco finita. Vamos em primeiro lugar supor que V e´ de dimensa\u2dco finita e denotemos
por dim V sua dimensa\u2dco. Seja tambe´m B = {b1, . . . , bn} uma base de V . E´ claro que o nu´mero de
elementos de B e´ n = dim V .
E´ fa´cil mostrar que o conjunto {\u3bb(b1), . . . , \u3bb(bn)} e´ linearmente independente em (V \u2032)\u2032. De fato, se
existirem escalares \u3b1i tais que
\u3b11\u3bb(b1) + · · ·+ \u3b1n\u3bb(bn) = 0
ou seja,
\u3bb(\u3b11b1 + · · ·+ \u3b1nbn) = 0
ter´\u131amos para todo l \u2208 V \u2032
\u3bb(w)(l) = l(w) = 0
onde w = \u3b11b1 + · · ·+ \u3b11bn. Isso, pore´m, implica w = 0 (pelo Teorema 2.4, pa´gina 101), o que implica
\u3b11 = · · · = \u3b1n = 0.
Isso claramente diz que dim (V \u2032)\u2032 \u2265 dim V . Afirmamos que a igualdade so´ se da´ se \u3bb(V ) = (V \u2032)\u2032.
De fato, se \u3bb(V ) = (V \u2032)\u2032 enta\u2dco todo elemento de (V \u2032)\u2032 e´ da forma
\u3bb(\u3b11b1 + · · ·+ \u3b1nbn) = \u3b11\u3bb(b1) + · · ·+ \u3b1n\u3bb(bn)
e, portanto {\u3bb(b1), . . . , \u3bb(bn)} e´ uma base em (V \u2032)\u2032 e dim (V \u2032)\u2032 = dim V . Se, por outro lado, \u3bb(V ) e´ um
subconjunto pro´prio de (V \u2032)\u2032, existem elementos v\u2032\u2032 \u2208 (V \u2032)\u2032 tais que v\u2032\u2032 \u2212 \u3b11\u3bb(b1) \u2212 · · · \u2212 \u3b1n\u3bb(bn) 6= 0
para todos \u3b1i \u2208 K. Portanto, {v\u2032\u2032, \u3bb(b1), . . . , \u3bb(bn)} e´ um conjunto de n + 1 vetores linearmente
independentes. Logo dim (V \u2032)\u2032 > n = dim V , pelo Teorema 2.3, pa´gina 97.
Vamos enta\u2dco mostrar que obrigatoriamente tem-se que dim (V \u2032)\u2032 = dim V , provando o teorema.
Como vimos quando discutimos a relac¸a\u2dco entre V e V \u2032 a` pa´gina 103, V \u2032 e´ equivalente ao conjunto
FB de todas as func¸o\u2dces de B em K, enquanto que V e´ equivalente ao conjunto GB formado por todas
as func¸o\u2dces que assumem valores na\u2dco-nulos (no corpo K) apenas para um conjunto finito de B. Como
B tem um nu´mero finito de elementos, sucede GB = FB (por que?). Logo V e V
\u2032 sa\u2dco equivalentes:
existe uma bijec¸a\u2dco linear \u3d51 entre ambos.
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A aplicac¸a\u2dco \u3d51 leva a base B em uma base \u3d51(B) em V
\u2032. Para ver isso, notemos que todo elemento
l \u2208 V \u2032 e´ da forma l = \u3d51(v), para algum v \u2208 V . Como todo v \u2208 V e´ da forma v = \u3b11b1+· · ·+\u3b1nbn, segue
que todo elemento l \u2208 V \u2032 e´ da forma \u3b11\u3d51(b1)+· · ·+\u3b1n\u3d51(bn). Como \u3d51 e´ bijetora, {\u3d51(b1), . . . , \u3d51(bn)}
e´ um conjunto de vetores linearmente independentes pois se existirem escalares \u3b21, . . . , \u3b2n tais que
\u3b21\u3d51(b1) + · · ·+ \u3b2n\u3d51(bn) = 0
ter´\u131amos \u3d51(\u3b21b1 + · · ·+ \u3b2nbn) = 0 o que implica \u3b21b1 + · · ·+ \u3b2nbn = 0, pois \u3d51 e´ bijetora. Isso pore´m
implica \u3b21 = · · · = \u3b2n = 0, pois {b1, . . . , bn} e´ uma base. Assim, \u3d51(B) = {\u3d51(b1), . . . , \u3d51(bn)} e´ uma
base em V \u2032 e, portanto, dim V \u2032 = n = dim V .
Analogamente, tem-se que V \u2032 e (V \u2032)\u2032 sa\u2dco equivalentes e, portanto, existe uma bijec¸a\u2dco linear \u3d52 entre
ambos que leva a base \u3d51(B) em uma base \u3d52 \u25e6 \u3d51(B) em (V \u2032)\u2032. Portanto, dim V \u2032 = dim (V \u2032)\u2032.
Logo dim V = dim V \u2032 = dim (V \u2032)\u2032, como quer´\u131amos provar.
Caso de dimensa\u2dco infinita. No caso de dimensa\u2dco infinita desejamos mostrar que sempre ha´ elementos
em (V \u2032)\u2032 que na\u2dco sa\u2dco da forma \u3bb(x) para algum x \u2208 V .
Abaixo K e´ o corpo dos reais ou dos complexos.
Vamos primeiro delinear a estrate´gia a ser seguida. Seja B uma base em V (fixa daqui por diante).
Como sabemos, existe uma aplicac¸a\u2dco linear bijetora \u3c6 : FB \u2192 V \u2032. Uma func¸a\u2dco s : B \u2192 K, s \u2208 FB
e´ dita ser limitada se existir um M > 0 tal que |s(b)| < M para todo b \u2208 B. Seja LB o conjunto de
todas as func¸o\u2dces limitadas de B em K. E´ claro que LB \u2282 FB. Vamos mostrar o seguinte: na\u2dco existe
nenhum vetor na\u2dco-nulo v \u2208 V com a propriedade que
\u3bb(v)(\u3b2) = 0
para todo \u3b2 \u2208 \u3c6(LB). Seja v = \u3b11b1 + · · ·+ \u3b1mbm um tal vetor para o qual \u3bb(v)(\u3b2) = 0. Isso significa
que para todo \u3b2 \u2208 \u3c6(LB)
0 = \u3bb(v)(\u3b2) = \u3b2(v) = \u3b11\u3b2(b1) + · · ·+ \u3b1m\u3b2(bm).
Tomemos funcionais \u3b2i\u2019s da forma
\u3b2i(b) =
{
1, se b = bi
0, de outra forma
para i = 1, . . . , m. Como todo \u3b2i e´ um elemento de \u3c6(LB) (por que?), ter´\u131amos 0 = \u3b2i(v) = \u3b1i para
todo i, o que implica v = 0.
A conclusa\u2dco e´ que nenhum elemento de (V \u2032)\u2032 que seja da forma \u3bb(v) para algum v \u2208 V na\u2dco-nulo
pode anular todos os elementos de \u3c6(LB) \u2282 V \u2032. A estrate´gia que seguiremos sera´ a de exibir um
elemento de (V \u2032)\u2032 que tem precisamente a propriedade de anular todos os elementos de \u3c6(LB). Um tal
elemento na\u2dco pode pertencer, portanto, a \u3bb(V ), o que mostra que \u3bb(V ) e´ um subconjunto pro´prio de
(V \u2032)\u2032 no caso de dimensa\u2dco infinita.
Seja u \u2208 V \u2032 \ \u3c6(LB) e U o sub-espac¸o de V \u2032 gerado por u. Todo elemento l \u2208 V \u2032 pode ser escrito
de modo u´nico na forma
l = au+ y
onde a \u2208 K e y pertence ao sub-espac¸o complementar de U . Definamos \u3b1(l) = a. E´ claro que \u3b1 \u2208 (V \u2032)\u2032
e que \u3b1 aniquila todo elemento de \u3c6(LB), pois estes pertencem ao sub-espac¸o complementar de U (por
que?). Assim, \u3b1 \u2208 (V \u2032)\u2032 mas \u3b1 6\u2208 \u3bb(V ).
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2.2 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em
Espac¸os Vetoriais
2.2.1 Formas Multilineares
Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo K (por exemplo, os reais ou os complexos) e n um nu´mero
inteiro positivo. Uma n-forma multilinear4 em V e´ uma func¸a\u2dco \u3c9 : V n \u2192 K que seja linear em cada um
dos seus argumentos, ou seja, para todo \u3b1, \u3b2 \u2208 K, todos v1, . . . , vn \u2208 V , v\u2032i \u2208 V e todo i = 1, . . . , n
vale
\u3c9 (v1, . . . , vi\u22121, (\u3b1vi + \u3b2v\u2032i), vi+1, . . . , vn) =
\u3b1\u3c9 (v1, . . . , vi\u22121, vi, vi+1, . . . , vn) + \u3b2\u3c9 (v1, . . . , vi\u22121, v\u2032i, vi+1, . . . , vn) (2.5)
O seguinte fato importante e´ consequ¨e\u2c6ncia imediata da definic¸a\u2dco acima: se \u3c9 e´ uma n-forma mul-
tilinear enta\u2dco
\u3c9 (v1, . . . , vi\u22121, 0,