Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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Curso de Fisica-Matematica USP-SP


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vi+1, . . . , vn) = 0
para todo i, ou seja, se um dos argumentos e´ o vetor nulo a forma se anula.
E. 2.20 Exerc´\u131cio. Prove isso. Sugesta\u2dco: o que acontece se escolhermos \u3b1 = \u3b2 = 0? 6
Um fato importante e´ o seguinte: o conjunto de todas as n-formas lineares em um espac¸o vetorial
V sobre um corpo K e´ igualmente um espac¸o vetorial sobre K. Para tal procede-se da seguinte forma:
para duas n-formas lineares \u3c91 e \u3c92 e dois escalares \u3b11, \u3b12 \u2208 K define-se a combinac¸a\u2dco linear \u3b11\u3c91+\u3b12\u3c92
como sendo a n-forma linear que a toda n-upla de vetores v1, . . . , vn \u2208 V associa
(\u3b11\u3c91 + \u3b12\u3c92)(v1, . . . , vn) = \u3b11\u3c91(v1, . . . , vn) + \u3b12\u3c92(v1, . . . , vn).
E. 2.21 Exerc´\u131cio. Complete os detalhes da prova que o conjunto de todas as n-formas lineares em um
espac¸o vetorial V sobre um corpo K forma um espac¸o vetorial sobre K. 6
\u2022 Formas Bilineares
De particular interesse e´ o caso n = 2, em cujo caso as formas sa\u2dco denominadas formas bilineares:
uma forma bilinear e´ uma func¸a\u2dco \u3c9 : V 2 \u2192 K que seja linear em cada um dos seus dois argumentos,
ou seja, para todo \u3b1, \u3b2 \u2208 K, todos u, v, w \u2208 V , valem
\u3c9(u, (\u3b1v + \u3b2w)) = \u3b1\u3c9(u, v) + \u3b2\u3c9(u, w),
\u3c9((\u3b1u+ \u3b2v), w) = \u3b1\u3c9(u, w) + \u3b2\u3c9(v, w).
4Tambe´m chamada n-forma linear ou simplesmente n-forma.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 109/1304
Um exemplo ba´sico importante e´ o seguinte. Seja V = \ufffd n o espac¸o vetorial (sobre o corpo dos
reais) formado por n-uplas de nu´meros reais: V = {x = (x1, . . . , xn), xi \u2208 \ufffd }. Uma forma bilinear
em V e´ dada por
\u3008x, y\u3009 \ufffd =
n\u2211
k=1
xkyk. (2.6)
Outro exemplo e´
\u3c9A(x, y) = \u3008x, Ay\u3009 \ufffd ,
onde A e´ uma matriz n× n real qualquer.
\u2022 Formas Bilineares Na\u2dco-Degeneradas
Uma forma bilinear \u3c9 e´ dita ser uma forma bilinear na\u2dco-degenerada se satisfizer a seguinte condic¸a\u2dco:
se para todo vetor v valer \u3c9(v, u) = 0, enta\u2dco u = 0.
\u2022 Formas Bilineares Na\u2dco-Singulares
Seja V um espac¸o vetorial e \u3c9 uma forma bilinear em V . Para u \u2208 V fixo a aplicac¸a\u2dco lu(v) = \u3c9(u, v)
e´ um funcional linear em V , ou seja, um elemento do espac¸o dual V \u2032. Se a aplicac¸a\u2dco l : V \u2192 V \u2032 que
associa cada u \u2208 V ao funcional linear lu acima for um isomorfismo de espac¸os vetoriais a forma bilinear
\u3c9 e´ dita ser uma forma bilinear na\u2dco-singular.
Ha´ va´rios outros tipos de formas multilineares que sa\u2dco importantes, como por exemplo as chamadas
formas multilineares alternantes e, dentre estas as formas simple´ticas.
\u2022 Formas Alternantes
Uma n-forma linear \u3c9 em um espac¸o vetorial V sobre um corpo K e´ dita ser uma forma alternante
(ou uma forma anti-sime´trica) se satisfizer
\u3c9 (v1, . . . , vi\u22121, vi, vi+1, vi+2, . . . , vn) = \u2212\u3c9 (v1, . . . , vi\u22121, vi+1, vi, vi+2, . . . , vn) (2.7)
para todos os vetores v1, . . . , vn \u2208 V e todo i = 1, . . . , n \u2212 1. Em palavras, quando trocamos de
lugar dois argumentos vizinhos quaisquer a forma troca de sinal.
Deve ser bem claro que essa definic¸a\u2dco equivale a` seguinte afirmac¸a\u2dco: se \u3c9 e´ uma n-forma linear
alternante, enta\u2dco para todo pi \u2208 Sn, o grupo de permutac¸o\u2dces de n elementos, vale
\u3c9
(
vpi(1), . . . , vpi(n)
)
= (sinalpi) \u3c9 (v1, . . . , vn) , (2.8)
para todos os vetores v1, . . . , vn \u2208 V , onde sinalpi e´ o sinal da permutac¸a\u2dco pi (definido a` pa´gina 671).
E. 2.22 Exerc´\u131cio. Esta´ claro? 6
Nomenclatura. Se \u3c9 e´ n-forma linear alternante, n e´ dito ser o grau de \u3c9.
O conjunto de todas as n-formas lineares alternantes em um espac¸o vetorial V sobre um corpo K e´
igualmente um espac¸o vetorial sobre K: para duas n-formas lineares alternantes \u3c91 e \u3c92 e dois escalares
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 110/1304
\u3b11, \u3b12 \u2208 K define-se a combinac¸a\u2dco linear \u3b11\u3c91 + \u3b12\u3c92 como sendo a n-forma linear que a toda n-upla
de vetores v1, . . . , vn \u2208 V associa
(\u3b11\u3c91 + \u3b12\u3c92)(v1, . . . , vn) = \u3b11\u3c91(v1, . . . , vn) + \u3b12\u3c92(v1, . . . , vn).
E´ fa´cil constatar que a n-forma linear assim definida e´ tambe´m alternante.
E. 2.23 Exerc´\u131cio. Complete os detalhes da prova que o conjunto de todas as n-formas lineares alter-
nantes em um espac¸o vetorial V sobre um corpo K forma um espac¸o vetorial sobre K. 6
\u2022 Formas Simple´ticas
Formas bilineares alternantes na\u2dco-degeneradas sa\u2dco denominadas formas simple´ticas5. Formas sim-
ple´ticas sa\u2dco importantes em algumas a´reas da F´\u131sica, como por exemplo na meca\u2c6nica cla´ssica e no
estudo de me´todos de quantizac¸a\u2dco.
Assim, uma forma simple´tica em um espac¸o vetorial V sobre um corpo K e´ uma forma bilinear
para a qual
\u3c9(u, v) = \u2212\u3c9(v, u)
para todos os vetores u, v \u2208 V e tal que se \u3c9(u, v) = 0 para todo v, enta\u2dco u = 0.
Um exemplo ba´sico importante no caso do espac¸o vetorial V = \ufffd n e que, como veremos na Sec¸a\u2dco
2.4, e´ o caso geral e´ o seguinte:
\u3c9A(x, y) = \u3008x, Ay\u3009 \ufffd ,
onde A e´ uma matriz n× n real anti-sime´trica, ou seja, que satisfaz AT = \u2212A, o que equivale a dizer
que seus elementos de matriz satisfazem Aij = \u2212Aji. Fora isso, pela condic¸a\u2dco de na\u2dco-degeneresce\u2c6ncia
A tem que ser invert´\u131vel, pois se \u3008x, Ay\u3009 \ufffd = 0 para todo y, enta\u2dco \u3008ATx, y\u3009 \ufffd = 0 para todo y, o
que so´ e´ poss´\u131vel se ATx = 0. Isso implicaria que det(A) = det(AT ) = 0. Uma consequ¨e\u2c6ncia do
fato de A ter de ser invert´\u131vel e´ que n tem que ser par. De fato, a condic¸a\u2dco AT = \u2212A diz que
det(A) = det(\u2212AT ) = (\u22121)n det(AT ) = (\u22121)n det(A). Portanto, se n e´ \u131´mpar ter´\u131amos det(A) = 0.
\u2022 Algumas Propriedades Ba´sicas de Formas Lineares Alternantes
E´ evidente pela definic¸a\u2dco que se \u3c9 e´ uma n-forma alternante enta\u2dco \u3c9 (v1, . . . , vn) = 0 caso haja
vi = vj para algum par i 6= j. Em particular, para formas simple´ticas \u3c9(u, u) = 0 para todo u \u2208 V .
E. 2.24 Exerc´\u131cio. A propriedade mencionada no u´ltimo para´grafo e´ equivalente a` definic¸a\u2dco de forma
linear alternante: se \u3c9 e´ uma n-forma linear e \u3c9 (v1, . . . , vn) = 0 sempre que vi = vj para algum par i 6= j,
enta\u2dco \u3c9 e´ alternante. Prove isso. Sugesta\u2dco: para i 6= j defina a forma bilinear \u3c9ij(vi, vj) := \u3c9 (v1, . . . , vn)
onde todos os vetores v1, . . . , vn esta\u2dco fixos exceto vi e vj. Usando agora que \u3c9ij(x + y, x + y) = 0,
mostre que \u3c9ij(vi, vj) = \u2212\u3c9ij(vj, vi) para todo vi e vj. A afirmac¸a\u2dco principal segue disso (por que?). 6
A seguinte proposic¸a\u2dco sobre formas lineares alternantes e´ importante:
5Do grego symplektiko´s: que serve para ligar, tranc¸ado, enlac¸ado.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 111/1304
Proposic¸a\u2dco 2.2 Se \u3c9 e´ uma n-forma linear alternante e v1, . . . , vn sa\u2dco vetores linearmente dependentes,
enta\u2dco
\u3c9 (v1, . . . , vn) = 0.
2
E. 2.25 Exerc´\u131cio. Prove isso. 6
\u2022 Formas Alternantes Maximais
A Proposic¸a\u2dco 2.2 tem uma consequ¨e\u2c6ncia imediata: se V e´ um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco n e \u3c9 e´
uma forma linear alternante de ordem m > n, enta\u2dco \u3c9 = 0.
E. 2.26 Exerc´\u131cio. Por que\u2c6? 6
Assim, em um espac¸o de dimensa\u2dco n o grau ma´ximo de uma forma alternante e´ n. Formas alternan-
tes de grau ma´ximo sa\u2dco ditas formas alternantes maximais. Vamos mais adiante estudar como sa\u2dco essas
formas maximais, mas antes, precisamos discutir alguns fatos importantes sobre formas alternantes em
espac¸os de dimensa\u2dco finita.
Em um espac¸o vetorial V de dimensa\u2dco n o espac¸o vetorial das formas alternantes maximais e´
unidimensional. Para ver isso notemos o seguinte. Seja {b1, . . . , bn} uma base em V . Sejam agora \u3c91
e \u3c92 duas formas alternantes maximais em V e seja x1, . . . , xn uma n-upla de vetores de V . Como
{b1, . . . , bn} e´ uma base, podemos sempre escrever
xi =
n\u2211
j=1
\u3b1ijbj,
para todo i = 1, . . . , n. Assim,
\u3c91(x1, . . . , xn) =
n\u2211
j1=1
· · ·
n\u2211
jn=1
\u3b11j1 · · ·\u3b1njn \u3c91(bj1 , . . . , bjn)
e, analogamente,
\u3c92(x1, . . . , xn) =
n\u2211
j1=1
· · ·
n\u2211
jn=1
\u3b11j1 · · ·\u3b1njn \u3c92(bj1, . . . , bjn).
Ocorre que \u3c91(bj1, . . . , bjn) e´ zero caso ocorram dois