Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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Curso de Fisica-Matematica USP-SP


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\u131´ndices jk iguais. Por isso, podemos reescrever
as expresso\u2dces acima da seguinte forma:
\u3c91(x1, . . . , xn) =
\u2211
j\u2208Sn
\u3b11j(1) · · ·\u3b1nj(n) \u3c91(bj(1), . . . , bj(n))
e, analogamente,
\u3c92(x1, . . . , xn) =
\u2211
j\u2208Sn
\u3b11j(1) · · ·\u3b1nj(n) \u3c92(bj(1), . . . , bj(n)) ,
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onde, acima, Sn e´ o conjunto de todas as bijec¸o\u2dces de {1, . . . , n} em si mesmo (o chamado grupo de
permutac¸o\u2dces de n elementos).
E. 2.27 Exerc´\u131cio. Justifique. 6
Como \u3c91 e´ uma forma alternante maximal, tem-se que
\u3c91(bj(1), . . . , bj(n)) = sinal(j)\u3c91(b1, . . . , bn).
Assim,
\u3c91(x1, . . . , xn) =
(\u2211
j\u2208Sn
\u3b11j(1) · · ·\u3b1nj(n) sinal(j)
)
\u3c91(b1, . . . , bn)
e, analogamente,
\u3c92(x1, . . . , xn) =
(\u2211
j\u2208Sn
\u3b11j(1) · · ·\u3b1nj(n) sinal(j)
)
\u3c92(b1, . . . , bn).
Como se ve\u2c6 nessas u´ltimas expresso\u2dces, \u3c91(x1, . . . , xn) e \u3c92(x1, . . . , xn) diferem apenas pelos fatores
\u3c91(b1, . . . , bn) e \u3c92(b1, . . . , bn), respectivamente. Como esses fatores sa\u2dco apenas nu´meros (elementos
do corpo K), sa\u2dco proporcionais um ao outro. Isso prova enta\u2dco que \u3c91(x1, . . . , xn) e \u3c92(x1, . . . , xn)
sa\u2dco proporcionais um ao outro para toda n-upla x1, . . . , xn e isso era o que quer´\u131amos provar.
Com as observac¸o\u2dces acima chegamos ao importante conceito de forma determinante.
\u2022 A Forma Determinante
Como observamos acima, todas as n-formas lineares alternantes maximais de um espac¸o vetorial
V de dimensa\u2dco n sa\u2dco proporcionais umas a`s outras. Assim, o conhecimento de uma forma alternante
maximal determina todas as outras.
A forma determinante6 \u3c9det em um espac¸o vetorial V de dimensa\u2dco n e´ a n-forma linear alternante
maximal tal que \u3c9det(b1, . . . , bn) = 1 no caso em que {b1, . . . , bn} e´ a base cano\u2c6nica de V :
b1 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1
0
0
...
0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , b2 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0
1
0
...
0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , . . . , bn =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0
0
...
0
1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Assim,
\u3c9det(x1, . . . , xn) =
\u2211
j\u2208Sn
\u3b11j(1) · · ·\u3b1nj(n) sinal(j),
onde \u3b1ij e´ a j-e´sima componente do vetor xi na base cano\u2c6nica.
6Tambe´m chamada de forma volume, pois em
\ufffd
3, \u3c9det(x1, x2, x3) e´ igual ao volume do paralelep´\u131pedo descrito pelos
vetores x1, x2, x3.
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Como observamos, todas as outras n-formas lineares alternantes maximais de V sa\u2dco proporcionais
a \u3c9det.
\u2022 Determinante de Matrizes
Sejam x1, . . . , xn vetores, representados na base cano\u2c6nica por vetores-coluna
xi =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed\u3b1i1...
\u3b1in
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
Denotamos por
[[
x1, . . . , xn
]]
a matriz n × n constru´\u131da de forma que sua a-e´sima coluna seja o
vetor-coluna xa, ou seja [[
x1, . . . , xn
]]
=
\uf8eb\uf8ec\uf8ed\u3b111 · · · \u3b1n1... . . . ...
\u3b11n · · · \u3b1nn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
E´ evidente que toda matriz M (n × n) pode ser escrita na forma M =
[[
x1, . . . , xn
]]
para algum
conjunto de vetores x1, . . . , xn que representam suas colunas.
Define-se enta\u2dco o determinante da matriz M como sendo
det(M) := \u3c9det(x1, . . . , xn).
Cremos que o conceito de determinante de matrizes e suas propriedades ba´sicas sejam bem conhe-
cidos do estudante.
2.2.2 Formas Sesquilineares e as Desigualdades de Cauchy-Schwarz e Min-
kowski
\u2022 Formas Sesquilineares. Definic¸o\u2dces
Seja V um espac¸o vetorial complexo. Uma forma sesquilinear7 e´ uma func¸a\u2dco \u3c9 : V × V \u2192 \ufffd que
satisfaz as seguintes propriedades:
1. Linearidade em relac¸a\u2dco a` segunda varia´vel:
\u3c9(u, \u3b1v + \u3b2w) = \u3b1\u3c9(u, v) + \u3b2\u3c9(u, w),
para todos os vetores u, v e w e para todos os nu´meros complexos \u3b1 e \u3b2.
2. Anti-linearidade em relac¸a\u2dco a` primeira varia´vel:
\u3c9(\u3b1u+ \u3b2v, w) = \u3b1\u3c9(u, w) + \u3b2\u3c9(v, w),
7Do radical grego sesqui: um e meio.
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para todos os vetores u, v e w e para todos os nu´meros complexos \u3b1 e \u3b2.
E´ imediato pela definic¸a\u2dco que toda forma sesquilinear \u3c9 se anula no vetor nulo, ou seja,
\u3c9(u, 0) = \u3c9(0, u) = 0,
para todo vetor u.
E. 2.28 Exerc´\u131cio. Prove isso. 6
Uma forma sesquilinear e´ dita ser uma forma sesquilinear Hermitiana se satisfizer:
3. Simetria por conjugac¸a\u2dco complexa:
\u3c9(u, v) = \u3c9(v, u),
para todos os vetores u e v.
Uma forma sesquilinear e´ dita ser uma forma sesquilinear positiva se satisfizer
4. Positividade. Para todo u \u2208 V ,
\u3c9(u, u) \u2265 0.
Abaixo (Teorema 2.6, pa´gina 114) provaremos que toda forma sesquilinear positiva e´ automatica-
mente Hermitiana. La´ provaremos tambe´m que se \u3c9 e´ uma forma sesquilinear positiva enta\u2dco vale
que |\u3c9(u, v)|2 \u2264 \u3c9(u, u)\u3c9(v, v) para todos os vetores u e v. Essa desigualdade e´ conhecida como
Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Uma forma sesquilinear e´ dita ser uma forma sesquilinear na\u2dco-degenerada se satisfizer:
5. Na\u2dco-degeneresce\u2c6ncia. Se um vetor u e´ tal que vale \u3c9(u, v) = 0 para todo vetor v, enta\u2dco u = 0.
Nomenclatura. Uma forma sesquilinear que na\u2dco e´ na\u2dco-degenerada e´ dita ser degenerada.
\u2022 Formas sesquilineares na\u2dco-singulares
Seja V um espac¸o vetorial e \u3c9 uma forma sesquilinear em V . Para u \u2208 V fixo a aplicac¸a\u2dco lu(v) =
\u3c9(u, v) e´ um funcional linear em V , ou seja, um elemento do espac¸o dual V \u2032. Se a aplicac¸a\u2dco anti-linear
l : V \u2192 V \u2032 que associa cada u \u2208 V ao funcional linear lu acima for um anti-isomorfismo8 de espac¸os
vetoriais a forma sesquilinear \u3c9 e´ dita ser uma forma sesquilinear na\u2dco-singular.
\u2022 A Desigualdade de Cauchy-Schwarz
De importa\u2c6ncia fundamental na teoria das formas sesquilineares e´ o seguinte teorema, que apresenta-
nos a importante desigualdade de Cauchy9-Schwarz10.
Teorema 2.6 Se \u3c9 e´ uma forma sesquilinear positiva, enta\u2dco e´ tambe´m Hermitiana, ou seja,
\u3c9(u, v) = \u3c9(v, u) ,
8Definido a` pa´gina 67.
9Augustin Louis Cauchy (1789-1857).
10Karl Herman Amandus Schwarz (1843-1921).
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para todos os vetores u e v. Fora isso vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz: para todos os vetores u
e v,
|\u3c9(u, v)|2 \u2264 \u3c9(u, u)\u3c9(v, v). (2.9)
Por fim, se \u3c9 e´ uma forma sesquilinear positiva e na\u2dco-degenerada enta\u2dco \u3c9(u, u) = 0 se e somente se
u = 0. 2
Prova. Faremos uso do fato que, para qualquer nu´mero complexo \u3bb e quaisquer vetores u e v vale, pela
hipo´tese de positividade,
\u3c9(u+ \u3bbv, u+ \u3bbv) \u2265 0.
Escrevendo-se explicitamente o lado esquerdo temos a desigualdade
|\u3bb|2 \u3c9(v, v) + \u3bb\u3c9(u, v) + \u3bb\u3c9(v, u) + \u3c9(u, u) \u2265 0.
E. 2.29 Exerc´\u131cio. Verifique isso. 6
Vamos agora escrever \u3bb na forma \u3bb = x + iy, onde x e´ a parte real de \u3bb e y sua parte imagina´ria.
A u´ltima expressa\u2dco fica
f(x, y) := (x2 + y2)\u3c9(v, v) + (x+ iy)\u3c9(u, v) + (x\u2212 iy)\u3c9(v, u) + \u3c9(u, u) \u2265 0.
E. 2.30 Exerc´\u131cio. Verifique isso. 6
Vamos decompor \u3c9(u, v) e \u3c9(v, u) nas suas partes reais e imagina´rias, escrevendo
\u3c9(u, v) = \u3b1 + i\u3b2 e \u3c9(v, u) = \u3b3 + i\u3b4, (2.10)
onde \u3b1, \u3b2, \u3b3 e \u3b4 \u2208 \ufffd . Ficamos com
f(x, y) = (x2 + y2)\u3c9(v, v)+ (x\u3b1\u2212 y\u3b2)+ i(x\u3b2 + y\u3b1)+ (x\u3b3+ y\u3b4)+ i(x\u3b4\u2212 y\u3b3)+\u3c9(u, u) \u2265 0. (2.11)
Como f(x, y) tem que ser real (e \u2265 0) segue que a parte imagina´ria da expressa\u2dco acima deve ser nula
e, como \u3c9(v, v) e \u3c9(u, u) sa\u2dco reais, devemos ter
0 = (x\u3b2 + y\u3b1) + (x\u3b4 \u2212 y\u3b3) = x(\u3b2 + \u3b4) + y(\u3b1\u2212 \u3b3).
Como isso deve valer para todos x, y \u2208 \ufffd , segue que \u3b2 = \u2212\u3b4 e \u3b1 = \u3b3. Comparando com (2.10), isso
diz que
\u3c9(u, v) = \u3c9(v, u),
provando que \u3c9 e´ Hermitiano.
Com as relac¸o\u2dces \u3b2 = \u2212\u3b4 e \u3b1 = \u3b3 a expressa\u2dco (2.11) fica
f(x, y) = (x2 + y2)\u3c9(v, v) + 2(x\u3b1\u2212 y\u3b2) + \u3c9(u, u). (2.12)
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Vamos agora considerar dois casos: um onde \u3c9(v, v) = 0 e outro onde \u3c9(v, v) 6= 0. No primeiro
f(x, y) = 2(x\u3b1\u2212 y\u3b2) + \u3c9(u, u).
Assim, como \u3c9(u, u) \u2265 0 pela positividade, a condic¸a\u2dco f(x, y) \u2265 0 e´ poss´\u131vel para todos x e y \u2208 \ufffd
se e somente se \u3b1 = \u3b2 = 0, ou seja,