Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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Curso de Fisica-Matematica USP-SP


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se e somente se \u3c9(u, v) = 0 para todo u. Aqui a desigualdade de
Cauchy-Schwarz (2.9) e´ trivialmente satisfeita, pois ambos os lados sa\u2dco iguais a zero.
Passemos ao caso \u3c9(v, v) 6= 0. Resta-nos provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz (2.9) para esse
caso. Podemos reescrever o lado direito de (2.12) como
f(x, y) = \u3c9(v, v)
[(
x +
\u3b1
\u3c9(v, v)
)2
+
(
y \u2212 \u3b2
\u3c9(v, v)
)2]
+ \u3c9(u, u)\u2212
(
\u3b12 + \u3b22
\u3c9(v, v)
)
.
E. 2.31 Exerc´\u131cio. Verifique. 6
Da´\u131, constatamos que f(x, y) \u2265 0 para todos x e y \u2208 \ufffd se e somente se
\u3c9(u, u)\u2212
(
\u3b12 + \u3b22
\u3c9(v, v)
)
\u2265 0,
ou seja, se e somente se
\u3c9(u, u)\u3c9(v, v) \u2265 \u3b12 + \u3b22.
O lado direito e´, pore´m, |\u3c9(u, v)|2, e a u´ltima desigualdade significa
|\u3c9(u, v)|2 \u2264 \u3c9(u, u)\u3c9(v, v),
que e´ a desigualdade de Cauchy-Schwarz que quer´\u131amos demonstrar.
Finalmente, se \u3c9 e´ uma forma sesquilinear positiva e na\u2dco-degenerada e um certo vetor u e´ tal que
\u3c9(u, u) = 0, segue pela desigualdade de Cauchy-Schwarz que \u3c9(u, v) = 0 para todo v, o que implica
u = 0, pois \u3c9 e´ na\u2dco-degenerada.
\u2022 A Desigualdade de Minkowski
A desigualdade de Cauchy-Schwarz tem uma consequ¨e\u2c6ncia de certa importa\u2c6ncia, a chamada De-
sigualdade de Minkowski: Se \u3c9 e´ uma forma sesquilinear positiva (em particular, se \u3c9 e´ um produto
escalar) enta\u2dco, para todos os vetores u e v, vale
\u3c9(u\u2212 v, u\u2212 v)1/2 \u2264 \u3c9(u, u)1/2 + \u3c9(v, v)1/2 . (2.13)
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 117/1304
A demonstrac¸a\u2dco e´ simples:
\u3c9(u\u2212 v, u\u2212 v) = \u3c9(u, u)\u2212 \u3c9(u, v)\u2212 \u3c9(v, u) + \u3c9(v, v)
= \u3c9(u, u)\u2212 2Re (\u3c9(u, v)) + \u3c9(v, v)
\u2264 \u3c9(u, u) + 2 |\u3c9(u, v)|+ \u3c9(v, v)
\u2264 \u3c9(u, u) + 2\u3c9(u, u)1/2\u3c9(v, v)1/2 + \u3c9(v, v)
=
[
\u3c9(u, u)1/2 + \u3c9(v, v)1/2
]2
,
que e´ o que se queria demonstrar. Acima, na passagem da terceira para a quarta linha, usamos a
desigualdade de Cauchy-Schwarz.
2.2.3 Produtos Escalares
\u2022 Produtos Internos ou Produtos Escalares
Uma forma sesquilinear positiva \u3c9 e´ dita ser um produto escalar ou produto interno se satisfizer:
6. \u3c9(u, u) = 0 se e somente se u = 0.
A proposic¸a\u2dco seguinte apresenta uma definic¸a\u2dco alternativa de produto escalar.
Proposic¸a\u2dco 2.3 Uma forma sesquilinear positiva e´ um produto escalar se e somente se for na\u2dco-
degenerada. 2
Prova. Se \u3c9 e´ um produto escalar, enta\u2dco se u e´ tal que \u3c9(u, v) = 0 para todo v, vale em particular
(tomando v = u) que \u3c9(u, u) = 0 e, portanto, u = 0. Assim, todo o produto escalar e´ na\u2dco-degenerado.
Reciprocamente, pelo Teorema 2.6, pa´gina 114, se \u3c9 e´ uma forma sesquilinear positiva e na\u2dco-degenerada,
enta\u2dco vale automaticamente que \u3c9(u, u) = 0 se e somente se u = 0
\u2022 Notac¸o\u2dces para produtos escalares
Seguindo a convenc¸a\u2dco, denotaremos frequ¨entemente produtos escalares de dois vetores u e v na\u2dco
por \u3c9(u, v) mas por \u3008u, v\u3009. E´ frequ¨ente tambe´m denotar um produto escalar de dois vetores u e v por
(u, v). Essa notac¸a\u2dco pode causar confusa\u2dco com a de par ordenado e por isso a evitamos. Em textos
de F´\u131sica e´ comum encontrar tambe´m a chamada notac¸a\u2dco de Dirac para produtos escalares: \u3008u|v\u3009. Por
diversas razo\u2dces na\u2dco compartilhamos do entusiasmo de alguns com essa notac¸a\u2dco e tambe´m a evitamos.
\u2022 Detalhando a definic¸a\u2dco de produto escalar
Como o conceito de produto escalar e´ muito importante, vamos detalha´-lo um pouco mais antes de
passarmos a exemplos.
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Um produto escalar ou produto interno em um espac¸o vetorial V sobre o corpo dos complexos e´
uma func¸a\u2dco V × V \u2192 \ufffd , denotada por \u3008u, v\u3009, para u, v \u2208 V , com as seguintes propriedades:
1. O produto escalar e´ linear na segunda varia´vel:
\u3008u, \u3b1v + \u3b2w\u3009 = \u3b1\u3008u, v\u3009+ \u3b2\u3008u, w\u3009
para todos u, v e w \u2208 V e todos \u3b1, \u3b2 \u2208 \ufffd .
2. O produto escalar e´ anti-linear na primeira varia´vel:
\u3008\u3b1u+ \u3b2v, w\u3009 = \u3b1\u3008u, w\u3009+ \u3b2\u3008v, w\u3009
para todos u, v e w \u2208 V e todos \u3b1, \u3b2 \u2208 \ufffd , onde \u3b1 e´ o complexo conjugado de \u3b1 \u2208 \ufffd .
3. Conjugac¸a\u2dco complexa:
\u3008u, v\u3009 = \u3008v, u\u3009
para todos u, v \u2208 V .
4. Para todo u \u2208 V
\u30080, u\u3009 = \u3008u, 0\u3009 = 0.
5. Positividade. Para todo vetor u na\u2dco-nulo
\u3008u, u\u3009 > 0.
Nota. Alguns postulados da definic¸a\u2dco de produto escalar acima sa\u2dco redundantes, pois nem todos sa\u2dco
independentes. No´s os listamos apenas para ressaltar sua releva\u2c6ncia individual. Por exemplo, o item
2 segue de 1 e 3 (por que?). O item 4 segue de 1 e 2 (por que?). Os itens 1, 2 e 5 implicam o item 3
(como veremos no Teorema 2.6). Independentes sa\u2dco apenas 1, 2 e 5 ou 1, 3 e 5.
Para um produto escalar de dois vetores vale a seguinte e important´\u131ssima desigualdade, conhecida
como Desigualdade de Cauchy-Schwarz:
|\u3008u, v\u3009|2 \u2264 |\u3008u, u\u3009||\u3008v, v\u3009|.
A demonstrac¸a\u2dco (mais geral) e´ apresentada no Teorema 2.6, pa´gina 114.
Adverte\u2c6ncia. Em livros de Matema´tica definic¸a\u2dco de produto escalar e´ por vezes apresentada de forma
que se tenha linearidade na segunda varia´vel e anti-linearidade na primeira varia´vel acima. A convenc¸a\u2dco
que adotamos e´ oposta e e´ seguida, felizmente, por 100% dos textos de F´\u131sica.
\u2022 Formas Sesquilineares Positivas e Produtos Escalares
Se V e´ um espac¸o vetorial dotado de uma forma sesquilinear positiva \u3c9, existe uma maneira cano\u2c6nica
de construir a partir de V e \u3c9 um outro espac¸o vetorial dotado de um produto escalar.
Seja \u3c9 uma forma sesquilinear positiva em um espac¸o vetorial V . Enta\u2dco, existe um espac¸o vetorial
V\u2dc , um produto escalar \u3c9\u2dc e uma aplicac¸a\u2dco linear sobrejetora E : V \u2192 V\u2dc tais que
\u3c9\u2dc(E(u), E(v)) = \u3c9(u, v)
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e que E(u) = 0 em V\u2dc caso \u3c9(u, u) = 0.
Para a mencionada construc¸a\u2dco, notemos em primeiro lugar que o conjunto de todos os vetores u
com a propriedade que \u3c9(u, u) = 0 formam um sub-espac¸o de V . De fato, se u e v sa\u2dco dois vetores
desse tipo, teremos que
\u3c9(\u3b1u+ \u3b2v, \u3b1u+ \u3b2v) = |\u3b1|2\u3c9(u, u) + \u3b1\u3b2\u3c9(u, v) + \u3b1\u3b2\u3c9(v, u) + |\u3b2|2\u3c9(v, v) = 0,
pois \u3c9(u, u) = \u3c9(v, v) = 0, por hipo´tese, e pois \u3c9(v, u) = \u3c9(u, v) = 0 em func¸a\u2dco da condic¸a\u2dco de
\u3c9 ser positivo (pela desigualdade de Cauchy-Schwarz). Vamos denominar esse sub-espac¸o por Z. O
espac¸o vetorial quociente V\u2dc = V/Z (vide a construc¸a\u2dco da pa´gina 94) tem as propriedades desejadas.
A aplicac¸a\u2dco E : V \u2192 V\u2dc e´ a aplicac¸a\u2dco que associa cada elemento de v de V a` sua classe de equivale\u2c6ncia
[v]: E : V 3 v 7\u2192 [v] \u2208 V\u2dc . Definimos enta\u2dco \u3c9\u2dc por
\u3c9\u2dc([u], [v]) = \u3c9(u, v).
E´ um exerc´\u131cio simples (fac¸a) mostrar que essa definic¸a\u2dco de fato independe dos representantes, no caso
u e v, tomados nas classes [u] e [v].
E. 2.32 Exerc´\u131cio. Mostre que \u3c9\u2dc e´ de fato um produto escalar em V\u2dc . 6
\u2022 Produtos escalares e formas simple´ticas reais
Seja V um espac¸o vetorial complexo dotado de um produto escalar \u3008·, ·\u3009. Enta\u2dco, a expressa\u2dco
\u3c9(u, v) := Im(\u3008u, v\u3009)
u, v \u2208 V , define uma forma simple´tica real em V . As condic¸o\u2dces de antisimetria (\u3c9(u, v) = \u2212\u3c9(v, u))
e de linearidade por combinac¸o\u2dces lineares com escalares reais sa\u2dco elementares de se constatar. Que
\u3c9 e´ na\u2dco-degenerada, segue do fato que se \u3c9(u, v) = 0 para todo u valeria, tomando u = \u2212iv, 0 =
Im(\u3008 \u2212 iv, v\u3009) = \u3008v, v\u3009, o que implica v = 0.
Na Sec¸a\u2dco 2.5, pa´gina 132, veremos que, sob hipo´teses adequadas, toda forma simple´tica real e´ a
parte imagina´ria de um produto escalar em um espac¸o complexo.
2.2.4 Exemplos
Para ilustrar os conceitos apresentados acima, passemos a alguns exemplos.
\u2022 Exemplos de Formas Sesquilineares e Produtos Escalares
Exemplo 2.1 Seja V =
\ufffd n. Um exemplo de produto escalar e´ dado pelo produto escalar usual:
\u3c9(u, v) = \u3008u, v\u3009 \ufffd :=
n\u2211
k=1
ukvk , (2.14)
onde u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn). \u25ca
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Exemplo 2.2 Seja V =
\ufffd
n. Um exemplo de produto escalar e´ dado por
\u3c9(u, v) = \u3008Au, Av\u3009
\ufffd
,
onde u = (u1, .