Curso de Fisica-Matematica USP-SP
1304 pág.

Curso de Fisica-Matematica USP-SP


DisciplinaFísica40.006 materiais1.052.325 seguidores
Pré-visualização50 páginas
. . , un), v = (v1, . . . , vn) e onde A e´ uma matriz n× n invert´\u131vel. \u25ca
Exemplo 2.3 Exemplo de uma forma sesquilinear Hermitiana que na\u2dco e´ positiva. Seja V =
\ufffd n e seja
\u3c9 dado por
\u3c9(u, v) = \u3008u, Av\u3009 \ufffd =
n\u2211
k, l=1
ukAklvl ,
onde A e´ uma matriz n × n auto-adjunta, ou seja, seus elementos de matriz satisfazem Akl = Alk.
A assim definida \u3c9 e´ uma forma sesquilinear Hermitiana, mas em geral pode na\u2dco ser positiva. Um
caso concreto e´ o seguinte. Tomemos V =
\ufffd
2 e A =
(
0 \u2212i
i 0
)
. Enta\u2dco, e´ fa´cil ver que \u3c9(u, u) =
\u3008u, Au\u3009 \ufffd = i(u1u2 \u2212 u1u2) = \u22122Im(u1u2), que pode ser negativo ou mesmo nulo. Assim, essa \u3c9 na\u2dco e´
positiva. E´ fa´cil ver, pore´m, que essa \u3c9 e´ na\u2dco-degenerada (mostre isso!). \u25ca
Exemplo 2.4 Exemplo de uma forma sesquilinear que na\u2dco e´ Hermitiana. Seja V =
\ufffd
n e seja dado
por
\u3c9(u, v) = \u3008u, Av\u3009 \ufffd =
n\u2211
k, l=1
ukAklvl,
onde A e´ uma matriz n× n que na\u2dco e´ auto-adjunta, ou seja, Akl 6= Alk para pelo menos um elemento
de matriz Akl. A assim definida \u3c9 e´ uma forma sesquilinear, mas em geral pode na\u2dco ser Hermitiana.
Um caso concreto e´ o seguinte. Tomemos V =
\ufffd
2 e A =
(
0 1
0 0
)
. Enta\u2dco, e´ fa´cil ver que
\u3c9(u, v) = \u3008u, Av\u3009 \ufffd = u1v2 ,
enquanto que \u3c9(v, u) = v1u2. Logo, \u3c9(u, v) e \u3c9(v, u) podem ser distintos e \u3c9 na\u2dco e´ Hermitiana. Fora
isso, essa \u3c9 tambe´m na\u2dco e´ positiva e e´ degenerada (mostre isso!). \u25ca
Exemplo 2.5 Exemplo de uma forma sesquilinear positiva mas que na\u2dco e´ um produto escalar. Seja
V =
\ufffd n e seja \u3c9 dado por
\u3c9(u, v) = \u3008Au, Av\u3009 \ufffd
onde A e´ uma matriz n× n na\u2dco-invert´\u131vel. Enta\u2dco, existe u0 na\u2dco-nulo tal que Au0 = 0. Da´\u131, segue que
\u3c9(u0, v) = \u3008Au0, Av\u3009 \ufffd = 0 para todo v e, portanto, \u3c9 e´ degenerada e \u3c9(u0, u0) = 0.
Um caso concreto e´ o seguinte. Tomemos V =
\ufffd 2 e A =
(
1 0
0 0
)
. Note que A na\u2dco e´ invert´\u131vel
(por que?). Aqui temos que \u3c9(u, v) = u1v1. Note que todo vetor da forma u
b =
(
0
u2
)
e´ tal que
Aub = 0 e, portanto \u3c9(ub, v) = 0 para todo v. \u25ca
Na Sec¸a\u2dco 2.4, pa´gina 128, mostraremos como e´ a forma geral de formas bilineares, sesquilineares
e produtos escalares nos espac¸os de dimensa\u2dco finita \ufffd n e
\ufffd
n. Tratemos agora de dois exemplos em
espac¸os vetoriais de dimensa\u2dco infinita.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 121/1304
Exemplo 2.6 Seja V = C([a, b]) o espac¸o vetorial das func¸o\u2dces cont´\u131nuas complexas de um intervalo
fechado [a, b] da reta real (a < b). Seja p uma func¸a\u2dco cont´\u131nua estritamente positiva definida em [a, b],
ou seja, p(x) > 0 para todo x \u2208 [a, b]. Enta\u2dco, a expressa\u2dco
\u3c9(f, g) =
\u222b b
a
f(x)g(x) p(x)dx ,
para func¸o\u2dces f e g de V define um produto escalar em V (justifique!). \u25ca
Exemplo 2.7 Seja V = C([0, 1]) o espac¸o vetorial das func¸o\u2dces cont´\u131nuas complexas de um intervalo
fechado [0, 1] da reta real. Seja p uma func¸a\u2dco tal que p e´ cont´\u131nua e estritamente positiva no intervalo
[0, 1/2) e identicamente nula no intervalo [1/2, 1]. Enta\u2dco, a expressa\u2dco
\u3c9(f, g) =
\u222b 1
0
f(x)g(x) p(x)dx ,
para func¸o\u2dces f e g de V define uma forma sesquilinear positiva em V , que na\u2dco e´ um produto escalar
(justifique!). \u25ca
Exemplo 2.8 Considere o espac¸o vetorial
\ufffd
n e o produto escalar usual: \u3c9(u, v) = \u3008u, v\u3009 \ufffd =\u2211n
i=1 uivi. A desigualdade de Cauchy-Schwarz implica\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
n\u2211
i=1
uivi
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
2
\u2264
(
n\u2211
j=1
|uj|2
)(
n\u2211
k=1
|vk|2
)
. (2.15)
\u25ca
E. 2.33 Exerc´\u131cio. Considere o espac¸o vetorial das func¸o\u2dces cont´\u131nuas no intervalo [0, 1] e o produto
escalar \u3c9(f, g) =
\u222b 1
0
f(x)g(x) dx. Tomando as func¸o\u2dces f(x) = x e g(x) = ex, use a desigualdade de
Cauchy-Schwarz para mostrar que e \u2265 \u221a7. 6
E. 2.34 Exerc´\u131cio. Tente livremente obter outras desigualdades interessantes do mesmo estilo usando
esse me´todo. 6
2.3 Normas em Espac¸os Vetoriais
Aqui trataremos exclusivamente de espac¸os vetoriais sobre o corpo dos complexos.
\u2022 Normas
Uma norma e´ uma func¸a\u2dco V \u2192 \ufffd usualmente denotada por \u2016 · \u2016, com as seguintes propriedades.
1. Para todo v \u2208 V tem-se \u2016v\u2016 \u2265 0.
2. \u2016v\u2016 = 0 se e somente se v for o vetor nulo: v = 0.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 122/1304
3. Para qualquer \u3b1 \u2208 \ufffd e qualquer v \u2208 V tem-se \u2016\u3b1v\u2016 = |\u3b1|\u2016v\u2016.
4. Para quaisquer vetores u e v \u2208 V tem-se \u2016u+ v\u2016 \u2264 \u2016u\u2016+ \u2016v\u2016.
Por 3 e 4, vale que
\u2016\u3b1u+ \u3b2v\u2016 \u2264 |\u3b1|\u2016u\u2016+ |\u3b2|\u2016v\u2016
para quaisquer \u3b1, \u3b2 \u2208 \ufffd e quaisquer vetores u e v \u2208 V .
Nota. As quatro condic¸o\u2dces acima, em verdade, na\u2dco sa\u2dco logicamente independentes e listamo-as devido
a` sua importa\u2c6ncia individual. Assim, por exemplo, a condic¸a\u2dco de positividade 1 segue das condic¸o\u2dces 4
e 3. Isso sera´ mostrado logo abaixo (pa´gina 122) quando falarmos de semi-normas. Note tambe´m que,
pelo item 3 acima, tem-se \u20160\u2016 = 0 (tome \u3b1 = 0).
Nota. A condic¸a\u2dco 4, acima, e´ de particular importa\u2c6ncia e e´ denominada desigualdade triangular.
Um espac¸o vetorial pode ter va´rias normas. Vide exemplos abaixo.
\u2022 Equivale\u2c6ncia entre Normas
Definic¸a\u2dco. Duas normas \u2016 ·\u20161 e \u2016 ·\u20162 em um espac¸o vetorial V sa\u2dco ditas equivalentes se existirem duas
constantes positivas c1 e c2, com 0 < c1 \u2264 c2, tais que
c1\u2016v\u20161 \u2264 \u2016v\u20162 \u2264 c2\u2016v\u20161
para todo vetor v \u2208 V .
E. 2.35 Exerc´\u131cio. Mostre que a relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia entre normas e´ uma relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia.
6
Tem-se o seguinte teorema, cuja demonstrac¸a\u2dco pode ser encontrada, por exemplo, em [139]:
Teorema 2.7 Em um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre
\ufffd
ou \ufffd todas as normas sa\u2dco equiva-
lentes. 2
A afirmac¸a\u2dco desse teorema e´ frequ¨entemente falsa em espac¸os de dimensa\u2dco infinita. A importa\u2c6ncia
da noc¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia de normas se manifesta no fato que duas normas equivalentes geram a mesma
topologia me´trica.
\u2022 Semi-Normas
Uma semi-norma e´ uma func¸a\u2dco V \u2192 \ufffd usualmente denotada por \u2016·\u2016, com as seguintes propriedades.
1. Para todo v \u2208 V tem-se \u2016v\u2016 \u2265 0.
2. Para qualquer \u3b1 \u2208 \ufffd e qualquer v \u2208 V tem-se \u2016\u3b1v\u2016 = |\u3b1|\u2016v\u2016.
3. Para quaisquer vetores u e v \u2208 V tem-se \u2016u+ v\u2016 \u2264 \u2016u\u2016+ \u2016v\u2016.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 123/1304
Note-se que, pelo item 2, vale para uma semi-norma que \u20160\u2016 = 0. E´ evidente pelas definic¸o\u2dces que
toda norma e´ uma semi-norma. A diferenc¸a entre norma e semi-norma e´ que para uma semi-norma a
relac¸a\u2dco \u2016v\u2016 = 0 na\u2dco necessariamente implica v = 0.
Para uma semi-norma (ou norma) vale a desigualdade
\u2016a\u2016 \u2265
\u2223\u2223\u2223 \u2016a\u2212 b\u2016 \u2212 \u2016b\u2016 \u2223\u2223\u2223 , (2.16)
para quaisquer a, b \u2208 V . Como faremos uso da mesma no futuro, vamos apresentar sua demonstrac¸a\u2dco
aqui, que e´ uma consequ¨e\u2c6ncia direta da desigualdade triangular.
A desigualdade triangular diz-nos que
\u2016a\u2212 b\u2016 \u2264 \u2016a\u2016+ \u2016b\u2016 (2.17)
e que
\u2016b\u2016 = \u2016a\u2212 (a\u2212 b)\u2016 \u2264 \u2016a\u2016+ \u2016a\u2212 b\u2016. (2.18)
De (2.17) segue que
\u2016a\u2016 \u2265 \u2016a\u2212 b\u2016 \u2212 \u2016b\u2016
e de (2.18) que
\u2016a\u2016 \u2265 \u2212(\u2016a\u2212 b\u2016 \u2212 \u2016b\u2016).
Quando dois nu´meros reais x e y sa\u2dco tais que x \u2265 y e x \u2265 \u2212y enta\u2dco x \u2265 |y|. Assim, as duas u´ltimas
desigualdades dizem que
\u2016a\u2016 \u2265
\u2223\u2223\u2223 \u2016a\u2212 b\u2016 \u2212 \u2016b\u2016 \u2223\u2223\u2223 ,
que e´ o que quer´\u131amos provar.
Essa desigualdade diz, incidentalmente, que \u2016a\u2016 \u2265 0 para todo vetor de V . Isso mostra que o item
1 da definic¸a\u2dco de semi-norma e de norma e´ supe´rfluo.
Note-se tambe´m que se fizermos em (2.16) as substituic¸o\u2dces a\u2192 a\u2212 b, b\u2192 \u2212b, obtemos\u2223\u2223\u2223 \u2016a\u2016 \u2212 \u2016b\u2016 \u2223\u2223\u2223 \u2264 \u2016a\u2212 b\u2016, (2.19)
para quaisquer a, b \u2208 V . Essa forma da desigualdade sera´ empregada algumas vezes nestas notas.
\u2022 Equivale\u2c6ncia entre Semi-Normas
Ha´ uma noc¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia entre semi-normas que e´ ide\u2c6ntica a` de equivale\u2c6ncia entre normas.
\u2022 A Norma Associada a um Produto Escalar
Se \u3c9 e´ um produto escalar em um espac¸o vetorial V existe associada a \u3c9 uma norma \u2016 · \u2016\u3c9 dada
por
\u2016v\u2016\u3c9 = \u3c9(v, v)1/2,
v \u2208 V .
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 124/1304
E. 2.36 Exerc´\u131cio. Mostre que os postulados da definic¸a\u2dco