Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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de norma sa\u2dco de fato satisfeitos. 6
\u2022 Invaria\u2c6ncia de Normas Associadas a Produtos Escalares
Se uma norma em um espac¸o vetorial V e´ produzida por um produto escalar, como acima, existe
naturalmente um grupo de transformac¸o\u2dces lineares de V em V que mantem essa norma invariante.
Esse grupo e´ discutido na Sec¸a\u2dco 13.2.3, pa´gina 682. Por exemplo, a chamada norma Euclidiana de \ufffd n,
definida por \u2016x\u2016 = \u221a\u3008x, x\u3009
\ufffd
para x \u2208 \ufffd n, e´ invariante pelo grupo O(n) das matrizes ortogonais, ou
seja, das matrizes R, reais n × n, que satisfazem RTR = \ufffd . Isso significa que \u2016Rx\u2016 = \u2016x\u2016 para toda
R \u2208 O(n). O grupo O(n) e seus amigos sa\u2dco discutidos na Sec¸a\u2dco 13.2.4, pa´gina 684 e seguintes.
\u2022 A Desigualdade Triangular
Talvez a principal importa\u2c6ncia da desigualdade de Minkowski (2.13) seja a seguinte. Vamos supor
que \u3c9 seja um produto escalar. Enta\u2dco podemos definir11 uma me´trica ou dista\u2c6ncia entre dois vetores
a e b por
d\u3c9(a, b) := \u2016a\u2212 b\u2016\u3c9 = \u3c9(a\u2212 b, a\u2212 b)1/2.
Como \u3c9 e´ um produto escalar, segue que d\u3c9(a, b) = 0 se e somente se a = b (por que?). E´ tambe´m
claro que d\u3c9(a, b) = d\u3c9(b, a) (por que?). Fora isso, segue da desigualdade de Minkowski que para
quaisquer vetores a, b e c vale
d\u3c9(a, b) \u2264 d\u3c9(a, c) + d\u3c9(c, b).
Para ver isso, note que
d\u3c9(a, b) = \u3c9(a\u2212 b, a\u2212 b)1/2
= \u3c9((a\u2212 c)\u2212 (b\u2212 c), (a\u2212 c)\u2212 (b\u2212 c))1/2
\u2264 \u3c9(a\u2212 c, a\u2212 c)1/2 + \u3c9(b\u2212 c, b\u2212 c)1/2
= d\u3c9(a, c) + d\u3c9(c, b).
Acima, na passagem da segunda a` terceira linha, usamos a desigualdade de Minkowski com u = a\u2212 b
e v = b\u2212 c.
A desigualdade d\u3c9(a, b) \u2264 d\u3c9(a, c) + d\u3c9(c, b) e´ importante no estudo de propriedades topolo´gicas
de espac¸os vetoriais e e´ denominada desigualdade triangular (pergunta ao estudante: de onde vem esse
nome?).
Note que a desigualdade triangular vale tambe´m se \u3c9 na\u2dco for um produto escalar, mas apenas uma
forma sesquilinear positiva (por que?). Nesse caso e´ tambe´m verdade que d\u3c9(a, b) = d\u3c9(b, a), pore´m,
na\u2dco e´ mais verdade que d\u3c9(a, b) = 0 se e somente se a = b e, por isso, d\u3c9 e´ dita ser uma pseudo-me´trica.
\u2022 Norma e Produto Escalar
11As noc¸o\u2dces de me´trica e de espac¸os me´tricos sera\u2dco discutidas no Cap´\u131tulo 16.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 125/1304
Se um espac¸o vetorial V possuir um produto escalar enta\u2dco, como observamos, e´ poss´\u131vel definir nele
uma norma da seguinte forma: \u2016u\u2016 = \u221a\u3008u, u\u3009, u \u2208 V .
A norma assim definida possui duas propriedades importantes que mencionamos aqui: a identidade
do paralelogramo e a identidade de polarizac¸a\u2dco.
Identidade do paralelogramo: Para todos os vetores u, v \u2208 V vale
\u2016u+ v\u20162 + \u2016u\u2212 v\u20162 = 2\u2016u\u20162 + 2\u2016v\u20162. (2.20)
Prova. Tem-se simplesmente pelas definic¸o\u2dces que
\u2016u+ v\u20162 = \u2016u\u20162 + \u3008u, v\u3009+ \u3008v, u\u3009+ \u2016v\u20162
e
\u2016u\u2212 v\u20162 = \u2016u\u20162 \u2212 \u3008u, v\u3009 \u2212 \u3008v, u\u3009+ \u2016v\u20162.
Somando-se ambas tem-se o resultado.
E. 2.37 Exerc´\u131cio. Por que essa relac¸a\u2dco e´ chamada \u201cidentidade do paralelogramo\u201d? 6
Identidade de polarizac¸a\u2dco: Para todos os vetores u, v de um espac¸o vetorial complexo V vale
\u3008u, v\u3009 = 1
4
3\u2211
n=0
i\u2212n\u2016u+ inv\u20162 , (2.21)
\u3008u, v\u3009 = 1
4
3\u2211
n=0
in\u2016u+ i\u2212nv\u20162 , (2.22)
ou seja,
4\u3008u, v\u3009 = \u2016u+ v\u20162 \u2212 \u2016u\u2212 v\u20162 \u2212 i\u2016u+ iv\u20162 + i\u2016u\u2212 iv\u20162 .
Prova. Exerc´\u131cio. Expanda o lado direito e verifique a igualdade.
E. 2.38 Exerc´\u131cio. Por que essa relac¸a\u2dco e´ chamada \u201cidentidade de polarizac¸a\u2dco\u201d? 6
Notemos que, com a definic¸a\u2dco dada acima de norma associada a um produto escalar, a desigualdade
de Cauchy-Schwarz fica
|\u3008u, v\u3009| \u2264 \u2016u\u2016\u2016v\u2016.
\u2022 A Identidade de Polarizac¸a\u2dco
A identidade de polarizac¸a\u2dco mencionada acima e´ um caso especial de uma outra ligeiramente mais
geral, tambe´m denominada identidade de polarizac¸a\u2dco. Seja A um operador linear em um espac¸o vetorial
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V sobre os complexos e sejam u e v elementos de seu dom\u131´nio. Enta\u2dco vale que
\u3008u, Av\u3009 = 1
4
3\u2211
n=0
i\u2212n\u3008(u+ inv), A(u+ inv)\u3009 , (2.23)
\u3008u, Av\u3009 = 1
4
3\u2211
n=0
in\u3008(u+ i\u2212nv), A(u+ i\u2212nv)\u3009 , (2.24)
E. 2.39 Exerc´\u131cio. Mostre isso. Sugesta\u2dco: expanda o lado direito das igualdades acima e constate as
igualdades. 6
Tomando-se A como o operador identidade reobtem-se as identidades (2.21)-(2.22).
A relac¸a\u2dco (2.23) mostra que se para um operador linear A conhecermos todas as quantidades
\u3008\u3c8, A\u3c8\u3009 para todos os vetores \u3c8 \u2208 V , enta\u2dco conhecemos tambe´m todas as quantidades \u3008u, Av\u3009 para
todos u, v \u2208 V .
Para a f´\u131sica qua\u2c6ntica a identidade de polarizac¸a\u2dco (2.23) diz que se A for um observa´vel (operador
auto-adjunto), enta\u2dco o conhecimento de todos os valores esperados de A, ou seja, das quantidades
\u3008\u3c8, A\u3c8\u3009 com \u2016\u3c8\u2016 = 1 e dos produtos escalares \u3008u, v\u3009 para vetores com \u2016u\u2016 = \u2016v\u2016 = 1, fixa todas as
probabilidades de transic¸a\u2dco |\u3008u, Av\u3009|2, pois
\u3008u, Av\u3009 = 1
4
3\u2211
n=0
i\u2212n\u3008\u3c8n, A\u3c8n\u3009 (2 + in\u3008u, v\u3009+ i\u2212n\u3008v, u\u3009), (2.25)
onde
\u3c8n =
1
\u2016u+ inv\u2016(u+ i
nv) =
1\u221a
2 + in\u3008u, v\u3009+ i\u2212n\u3008v, u\u3009(u+ i
nv).
\u2022 Uma consequ¨e\u2c6ncia da identidade de polarizac¸a\u2dco
A relac¸a\u2dco (2.23) permite-nos facilmente provar a seguinte afirmac¸a\u2dco, frequ¨entemente empregada:
Proposic¸a\u2dco 2.4 Se um operador linear A agindo em um espac¸o vetorial complexo V satisfaz \u3008u, Au\u3009 =
0 para todo vetor u \u2208 V enta\u2dco A = 0. 2
Para matrizes reais em espac¸os vetoriais reais na\u2dco vale uma afirmativa ta\u2dco forte. Por exemplo,
se V = \ufffd n e A for uma matriz anti-sime´trica, ou seja AT = \u2212A, enta\u2dco vale automaticamente que
\u3008x, Ax\u3009
\ufffd
=
\u2211n
a, b=1 xaAabxb = 0, pois Aab = \u2212Aba para todo x \u2208 \ufffd n. Pore´m, A pode ser na\u2dco-nula.
Todavia, para matrizes sime´tricas vale o seguinte:
Proposic¸a\u2dco 2.5 Seja M \u2208 Mat ( \ufffd , n) uma matriz sime´trica (ou seja, tal que M T = M) para a qual
valha que \u3008x, Mx\u3009 \ufffd = 0 para todo x \u2208 \ufffd n. Enta\u2dco M = 0. 2
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Prova. Se M e´ uma matriz sime´trica, e´ fa´cil verificar que para quaisquer vetores u e v \u2208 \ufffd n tem-se
\u3008u, Mv\u3009 \ufffd = 1
4
[\u3008(u+ v), M(u + v)\u3009 \ufffd \u2212 \u3008(u\u2212 v), M(u\u2212 v)\u3009 \ufffd ] .
(Para provar isso expanda o lado direito e use que \u3008u, Mv\u3009 \ufffd = \u3008v, Mu\u3009 \ufffd , pois M e´ sime´trica). Logo,
da hipo´tese sobre M , segue que \u3008u, Mv\u3009 \ufffd = 0 para todos u e v \u2208 \ufffd n e, portanto, M = 0
\u2022 Obtendo Produtos Escalares a Partir de Normas
Nas u´ltimas pa´ginas vimos que podemos obter uma norma a partir de um produto escalar. Podemos
nos perguntar: se uma norma for dada em um espac¸o vetorial, seria poss´\u131vel obter um produto escalar
a partir dessa norma?
A chave para responder isso e´ sugerida pelas identidades do paralelogramo e de polarizac¸a\u2dco, ambas
va´lidas para normas definidas a partir de produtos escalares: Se uma norma satisfaz a identidade do
paralelogramo, ou seja, se
\u2016u+ v\u20162 + \u2016u\u2212 v\u20162 = 2\u2016u\u20162 + 2\u2016v\u20162.
para todos os vetores u, v \u2208 V , enta\u2dco um produto escalar pode ser definido por
\u3008u, v\u3009 = 1
4
3\u2211
n=0
i\u2212n\u2016u+ inv\u20162.
A demonstrac¸a\u2dco que o lado direito define de fato um produto escalar e´ engenhosa, a principal dificuldade
consiste em demonstrar a linearidade do produto escalar (item 1 da definic¸a\u2dco de produto escalar).
Omitiremos a demonstrac¸a\u2dco aqui, que pode ser encontrada, por exemplo na sec¸a\u2dco 16.8 e seguintes da
refere\u2c6ncia [74]. Vide tambe´m [138].
Mencionemos por fim que nem toda norma satisfaz a identidade do paralelogramo e, portanto, nem
sempre e´ poss´\u131vel definir um produto escalar a partir de uma norma.
E. 2.40 Exerc´\u131cio. Seja o espac¸o vetorial V = C([0, 1],
\ufffd
) das func¸o\u2dces cont´\u131nuas do intervalo [0, 1]
assumindo valores complexos e seja a norma \u2016f\u2016\u221e = supx\u2208[0, 1] |f(x)|. Mostre que a identidade do pa-
ralelogramo na\u2dco e´ satisfeita para as func¸o\u2dces f(x) = x e g(x) = 1, x \u2208 [0, 1], que sa\u2dco elementos de V .
6
E. 2.41 Exerc´\u131cio. Seja o espac¸o vetorial V =
\ufffd
n, com n \u2265 2. Para a = (a1, . . . , an) \u2208 \ufffd n a expressa\u2dco
\u2016a\u2016p := [|a1|p + · · ·+ |an|p]1/p, define uma norma em V = \ufffd n,