Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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caso p \u2265 1. Mostre que essa norma viola
a identidade do paralelogramo para todo p 6= 2. Para tal considere os vetores u = (1, 0, 0, . . . , 0) e
v = (0, 1, 0, . . . , 0). A norma \u2016 · \u2016p sera´ discutida com mais detalhe no Cap´\u131tulo 16. 6
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 128/1304
2.4 Formas Bilineares e Sesquilineares em Espac¸os de Di-
mensa\u2dco Finita
E´ poss´\u131vel estabelecer a forma geral de uma forma bilinear ou sesquilinear em certos espac¸os vetoriais,
como os espac¸os de dimensa\u2dco finita \ufffd n ou
\ufffd
n. E´ o que discutiremos nesta sec¸a\u2dco.
Faremos uso do chamado Teorema da Representac¸a\u2dco de Riesz, que afirma o seguinte.
Teorema 2.8 (Teorema da Representac¸a\u2dco de Riesz) Seja l um funcional linear cont´\u131nuo em um
espac¸o de Hilbert H (com um produto escalar \u3008·, ·\u3009
H
). Enta\u2dco existe \u3c6 \u2208 H, u´nico, tal que
l(x) = \u3008\u3c6, x\u3009
H
, \u2200x \u2208 H.
2
A demonstrac¸a\u2dco desse importante teorema pode ser encontrada na Sec¸a\u2dco 25.3.1, pa´gina 1110. No-
temos que esse teorema se aplica aos espac¸os vetoriais \ufffd n ou
\ufffd
n, pois os mesmos sa\u2dco espac¸os de Hilbert
em relac¸a\u2dco aos produtos escalares \u3008·, ·\u3009 \ufffd e \u3008·, ·\u3009 \ufffd , respectivamente, definidos em (2.6) e (2.14) (pa´ginas
109 e 119).
\u2022 Continuidade
Vamos provar a seguinte afirmac¸a\u2dco: toda forma bilinear em \ufffd n e´ cont´\u131nua (em ambas as varia´veis),
o mesmo valendo para formas bilineares ou sesquilineares em
\ufffd
n.
Vamos provar a afirmac¸a\u2dco para as formas sesquilineares em
\ufffd
n. Os outros casos sa\u2dco ide\u2c6nticos. Seja
\u3c9 uma forma sesquilinear em
\ufffd
n. Para vetores x, y \u2208 \ufffd n, y 6= 0, escrevemos
\u3c9(x, y) = \u2016y\u2016\u3c9(x, y/\u2016y\u2016), (2.26)
onde \u2016y\u2016 = \u221a\u3008y, y\u3009 \ufffd . Notemos enta\u2dco que se v e´ um vetor de norma igual a 1 e {b1, . . . , bn} e´ uma
base ortonormal em
\ufffd n enta\u2dco v = v1b1 + · · ·+ vnbn com |vj| \u2264 1. Assim,
\u3c9(x, v) = v1\u3c9(x, b1) + · · ·+ vn\u3c9(x, bn)
e, portanto,
|\u3c9(x, v)| \u2264 |\u3c9(x, b1)|+ · · ·+ |\u3c9(x, bn)|
Para cada x fixo o lado direito e´ uma constante Kx e na\u2dco depende de v. Aplicando isso a (2.26),
teremos
|\u3c9(x, y)| \u2264 \u2016y\u2016Kx.
Isso mostra que
lim
y\u21920
|\u3c9(x, y)| = 0
para todo x fixo. Como \u3c9(x, y) e´ linear na segunda varia´vel, segue que
lim
y\u2192y0
\u3c9(x, y) = \u3c9(x, y0)
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para todo y0 \u2208 \ufffd n, provando a continuidade de \u3c9 na segunda varia´vel. A prova para a primeira varia´vel
e´ ide\u2c6ntica. Os casos em que \u3c9 e´ bilinear em \ufffd n ou em
\ufffd
n e´ ana´logo.
\u2022 Formas Sesquilineares em \ufffd n
Seja \u3c9 uma forma sesquilinear em
\ufffd
n. Enta\u2dco, pelo que acabamos de ver, para cada x \u2208 \ufffd n
lx :
\ufffd n \u2192 \ufffd , lx(y) = \u3c9(x, y)
e´ um funcional linear e cont´\u131nuo. Pelo Teorema da Representac¸a\u2dco de Riesz existe um u´nico vetor
\u3b7x \u2208 \ufffd n tal que lx(y) = \u3008\u3b7x, y\u3009 \ufffd para todo y \u2208 \ufffd n, ou seja,
\u3c9(x, y) = \u3008\u3b7x, y\u3009 \ufffd .
Seja A a func¸a\u2dco que a cada x \u2208 \ufffd n associa o (u´nico!) vetor \u3b7x com a propriedade acima: A(x) = \u3b7x.
Tem-se,
\u3c9(x, y) = \u3008A(x), y\u3009 \ufffd . (2.27)
Afirmamos que A e´ um operador linear, ou seja, A(\u3b11x1 + \u3b12x2) = \u3b11A(x1) + \u3b12A(x2) para todos
os nu´meros complexos \u3b11 e \u3b12 e todos os vetores x1 e x2. De fato, por (2.27),
\u3008A(\u3b11x1 + \u3b12x2), y\u3009 \ufffd = \u3c9(\u3b11x1 + \u3b12x2, y)
= \u3b11\u3c9(x1, y) + \u3b12\u3c9(x2, y)
= \u3b11\u3008A(x1), y\u3009 \ufffd + \u3b12\u3008A(x2), y\u3009 \ufffd
= \u3008\u3b11A(x1) + \u3b12A(x2), y\u3009 \ufffd .
Assim, para todo y \u2208 \ufffd n tem-se
\u3008 [A(\u3b11x1 + \u3b12x2)\u2212 \u3b11A(x1)\u2212 \u3b12A(x2)] , y\u3009 \ufffd = 0 ,
o que implica
A(\u3b11x1 + \u3b12x2) = \u3b11A(x1) + \u3b12A(x2),
que e´ o que quer´\u131amos provar. Assim, A e´ em verdade um operador linear. Resumimos esses fatos no
seguinte teorema:
Teorema 2.9 Para toda forma sesquilinear \u3c9 em
\ufffd
n existe uma matriz n× n complexa A\u3c9 tal que
\u3c9(x, y) = \u3008A\u3c9 x, y\u3009 \ufffd
para todos x, y \u2208 \ufffd n. 2
Esse teorema estabelece assim a forma geral das formas sesquilineares em
\ufffd
n.
\u2022 Formas Bilineares em \ufffd n
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Seja \u3c9 uma forma bilinear em \ufffd n. Enta\u2dco, para cada x \u2208 \ufffd n
lx : \ufffd
n \u2192 \ufffd : lx(y) = \u3c9(x, y)
e´ um funcional linear e cont´\u131nuo. Pelo Teorema da Representac¸a\u2dco de Riesz existe um u´nico vetor
\u3b7x \u2208 \ufffd n tal que lx(y) = \u3008\u3b7x, y\u3009 \ufffd , ou seja,
\u3c9(x, y) = \u3008\u3b7x, y\u3009 \ufffd .
Seja A a func¸a\u2dco que a cada x \u2208 \ufffd n associa o (u´nico!) vetor \u3b7x com a propriedade acima: A(x) = \u3b7x.
De maneira ana´loga ao que fizemos acima podemos provar que A e´ um operador linear, ou seja, uma
matriz n× n real e \u3c9(x, y) = \u3008Ax, y\u3009 \ufffd .
Resumimos esses fatos no seguinte teorema:
Teorema 2.10 Para toda forma bilinear \u3c9 em \ufffd n existe uma matriz n× n real A\u3c9 tal que
\u3c9(x, y) = \u3008A\u3c9 x, y\u3009 \ufffd
para todos x, y \u2208 \ufffd n. 2
Esse teorema estabelece assim a forma geral das formas bilineares em \ufffd n.
\u2022 Formas Bilineares em \ufffd n
Seja \u3c9 uma forma bilinear em
\ufffd
n. Enta\u2dco
\u3c9s(x, y) = \u3c9(x, y)
define uma forma sesquilinear em
\ufffd n, onde x = (x1, . . . , xn) para x = (x1, . . . , xn) \u2208 \ufffd n. Pelo que
provamos acima, portanto, existe uma matriz complexa A\u3c9 tal que
\u3c9s(x, y) = \u3008A\u3c9 x, y\u3009 \ufffd .
para todos x, y \u2208 \ufffd n, ou seja,
\u3c9(x, y) = \u3008A\u3c9 x, y\u3009 \ufffd ,
para todos x, y \u2208 \ufffd n.
Note que isso tambe´m diz que
\u3c9(x, y) = \u3008A\u3c9 x, y\u3009 \ufffd ,
onde A\u3c9 e´ o complexo conjugado da matriz A\u3c9.
Resumimos esses fatos no seguinte teorema:
Teorema 2.11 Para toda forma bilinear \u3c9 em
\ufffd
n existe uma matriz n× n complexa A\u3c9 tal que
\u3c9(x, y) = \u3008A\u3c9 x, y\u3009 \ufffd
para todos x, y \u2208 \ufffd n. 2
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Esse teorema estabelece assim a forma geral das formas bilineares em
\ufffd
n.
\u2022 Formas Simple´ticas
Se \u3c9 e´ uma forma bilinear alternante em \ufffd n ou
\ufffd
n, ou seja, \u3c9 e´ bilinear e \u3c9(x, y) = \u2212\u3c9(y, x),
enta\u2dco \u3c9 e´ da forma \u3c9(x, y) = \u3008Ax, y\u3009 \ufffd onde A e´ uma matriz anti-sime´trica, ou seja, AT = \u2212A. De
fato, como \u3008x, y\u3009 \ufffd = \u3008y, x\u3009 \ufffd e como \u3c9(x, y) = \u2212\u3c9(y, x), segue que
\u3008Ax, y\u3009 \ufffd = \u2212\u3008Ay, x\u3009 \ufffd = \u2212\u3008 y, ATx\u3009 \ufffd = \u2212\u3008AT x, y\u3009 \ufffd .
Como isso vale para todo x, y \u2208 \ufffd n (ou \ufffd n), tem-se AT = \u2212A.
Isso determina a forma geral de uma forma bilinear alternante em \ufffd n ou
\ufffd
n.
Se \u3c9 e´ uma forma simple´tica, ou seja, \u3c9 e´ uma forma bilinear alternante na\u2dco-degenerada, enta\u2dco A
tem que ser tambe´m invert´\u131vel. De fato, se \u3008Ax, y\u3009 \ufffd = 0 para todo y, enta\u2dco Ax = 0. Se A e´ invert´\u131vel
isso so´ e´ poss´\u131vel se x = 0.
Uma consequ¨e\u2c6ncia do fato de A ter de ser invert´\u131vel e´ que n tem que ser par. De fato, a condic¸a\u2dco
AT = \u2212A diz que det(A) = det(\u2212AT ) = (\u22121)n det(AT ) = (\u22121)n det(A). Portanto, se n e´ \u131´mpar
ter´\u131amos det(A) = 0.
A conclusa\u2dco e´ que formas simple´ticas so´ ocorrem nos espac¸os de dimensa\u2dco finita \ufffd n ou
\ufffd n se a
dimensa\u2dco n for par, e nesse caso, te\u2c6m a forma \u3c9(x, y) = \u3008Ax, y\u3009
\ufffd
, onde A e´ invert´\u131vel e satisfaz
AT = \u2212A.
\u2022 Formas Sesquilineares Hermitianas em \ufffd n
Se \u3c9 e´ uma forma sesquilinear Hermitiana em
\ufffd
n, tem-se \u3c9(x, y) = \u3c9(y, x). Se A e´ a matriz tal
que \u3008Ax, y\u3009 \ufffd = \u3c9(x, y), enta\u2dco
\u3008Ax, y\u3009 \ufffd = \u3008Ay, x\u3009 \ufffd = \u3008x, Ay\u3009 \ufffd = \u3008A\u2217x, y\u3009 \ufffd ,
onde A\u2217 := AT e´ a adjunta de A. Como a u´ltima relac¸a\u2dco vale para todo x, y \u2208 \ufffd n, tem-se A = A\u2217, ou
seja, A e´ uma matriz auto-adjunta.
Portanto, a forma geral de uma forma sesquilinear Hermitiana em
\ufffd
n e´ \u3008Ax, y\u3009 \ufffd , onde A e´ uma
matriz auto-adjunta.
\u2022 Produtos Escalares em \ufffd n
Se \u3c9 e´ um produto escalar em
\ufffd
n, \u3c9 e´ sesquilinear Hermitiana e \u3c9(x, x) > 0 se x 6= 0. Se A e´ a
matriz tal que \u3008Ax, y\u3009 \ufffd = \u3c9(x, y), enta\u2dco
\u3008Ax, x\u3009 \ufffd > 0 (2.28)
se x 6= 0. Uma consequ¨e\u2c6ncia disso e´ o seguinte: se vi e´ um dos autovetores de A com autovalor \u3bbi,
enta\u2dco \u3bbi > 0. De fato, tomando x = vi em (2.28), teremos
12 0 < \u3008Avi, vi\u3009 \ufffd = \u3bbi\u3008vi, vi\u3009 \ufffd , o que implica
12Lembre-se que os autovalores de uma matriz auto-adjunta sa\u2dco sempre nu´meros reais.
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\u3bbi > 0. Esse fato, em particular, nos