Curso de Fisica-Matematica USP-SP
1304 pág.

Curso de Fisica-Matematica USP-SP


DisciplinaFísica38.635 materiais930.925 seguidores
Pré-visualização50 páginas
A implica
a existe\u2c6ncia de um produto escalar real \u3b5 dado por \u3b5(u, v) := \u3c3(u, Jv) = \u2212\u3c3(Ju, v) satisfazendo as
hipo´teses da parte B, sendo que, por essa definic¸a\u2dco de \u3b5,
\u3c3(u, Jv) + i\u3c3(u, v) = \u3b5(u, v) + i\u3b5(Ju, v) . (2.32)
Reciprocamente, tambe´m pelo Lema 2.1, pa´gina 133, a existe\u2c6ncia de um produto escalar real \u3b5 sa-
tisfazendo as hipo´teses da parte B implica a existe\u2c6ncia de uma forma simple´tica real \u3c3 dada por
\u3c3(u, v) := \u3b5(Ju, v) = \u2212\u3b5(u, Jv) satisfazendo as hipo´teses da parte A, sendo que, por essa definic¸a\u2dco
de \u3c3, a igualdade (2.32) e´ tambe´m va´lida. Assim, e´ suficiente provarmos, digamos, a parte A.
Prova da parte A. E´ evidente que para quaisquer u, v, w \u2208 V valem
\u3008(u+ v), w\u3009J, \u3c3 = \u3008u, w\u3009J, \u3c3 + \u3008v, w\u3009J, \u3c3 , \u3008u, (v + w)\u3009J, \u3c3 = \u3008u, v\u3009J, \u3c3 + \u3008u, w\u3009J, \u3c3 .
17Em [16] essa u´ltima condic¸a\u2dco na\u2dco e´ mencionada, mas ela e´ necessa´ria.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 136/1304
Ale´m disso,
\u3008v, u\u3009J, \u3c3 = \u3c3(v, Ju) + i\u3c3(v, u) = \u2212\u3c3(Ju, v)\u2212 i\u3c3(u, v) = \u3c3(u, Jv)\u2212 i\u3c3(u, v) = \u3008u, v\u3009J, \u3c3 .
(2.33)
Para x, y \u2208 \ufffd tem-se tambe´m
\u3008u, (x + iy) · v\u3009J, \u3c3 = \u3008u, xv + yJv\u3009J, \u3c3
= \u3008u, xv\u3009J, \u3c3 + \u3008u, yJv\u3009J, \u3c3
= \u3c3(u, xJv) + i\u3c3(u, xv) + \u3c3(u, yJ2v) + i\u3c3(u, yJv)
J2=\u2212 \ufffd
= \u3c3(u, xJv) + i\u3c3(u, xv) + \u3c3(u, \u2212yv) + i\u3c3(u, yJv)
= x
(
\u3c3(u, Jv) + i\u3c3(u, v)
)
+ iy
(
\u3c3(u, Jv) + i\u3c3(u, v)
)
= (x + iy)\u3008u, v\u3009J, \u3c3 .
Pela propriedade (2.33), isso implica tambe´m \u3008(x + iy) · u, v\u3009J, \u3c3 = (x \u2212 iy)\u3008u, v\u3009J, \u3c3, mostrando que
\u3008·, ·\u3009J, \u3c3 e´ uma forma sesquilinear.
Pelas hipo´teses, tem-se \u3008u, u\u3009J, \u3c3 = \u3c3(u, Ju) \u2265 0, mostrando que \u3008·, ·\u3009J, \u3c3 e´ positiva. Se 0 =
\u3008u, v\u3009J, \u3c3 = \u3c3(u, Jv) + i\u3c3(u, v) para todo u, segue que \u3c3(u, v) = 0 para todo u, o que implica que
v = 0, pois \u3c3 e´ na\u2dco-degenerada (pela nossa definic¸a\u2dco de forma simple´tica). Isso mostrou que \u3008·, ·\u3009J, \u3c3
e´ na\u2dco-degenerada. Assim, \u3008·, ·\u3009J, \u3c3 e´ uma forma sesquilinear positiva e na\u2dco-degenerada e pelo Teorema
2.6, pa´gina 114, segue que \u3008u, u\u3009J, \u3c3 = 0 se e somente se u = 0. Isso mostrou que \u3008·, ·\u3009J, \u3c3 e´ um produto
escalar complexo em VJ .
\u2022 Exemplos
Vamos primeiramente estudar o caso de espac¸os de dimensa\u2dco finita. Vale a seguinte proposic¸a\u2dco:
Proposic¸a\u2dco 2.7 Um espac¸o vetorial real V de dimensa\u2dco finita admite uma estrutura complexa (na\u2dco
necessariamente u´nica) se e somente se tiver dimensa\u2dco par. 2
Prova. Se J e´ um operador linear agindo no espac¸o vetorial real de dimensa\u2dco finita V , podemos
representa´-lo como uma matriz. Se J2 = \u2212 \ufffd enta\u2dco, tomando-se o determinante de ambos os lados,
temos (det(J))2 = (\u22121)n, onde n e´ a dimensa\u2dco de V . Como o lado esquerdo e´ positivo, n tem que
ser par. Reciprocamente, vamos supor que V tenha dimensa\u2dco par, digamos 2m. Desejamos mostrar
que existe um operador linear agindo em V satisfazendo J 2 = \u2212 \ufffd . Uma poss´\u131vel escolha e´ a seguinte.
Como V tem dimensa\u2dco par podemos encontrar dois subespac¸os V1 e V2, ambos de dimensa\u2dco m, com
V = V1 \u2295 V2. Como V1 e V2 te\u2c6m a mesma dimensa\u2dco, sa\u2dco isomorfos, e existe um operador linear
A : V1 \u2192 V2 que e´ bijetivo (o Exemplo 2.9, abaixo, deixara´ isso mais claro. Um tal operador na\u2dco e´
necessariamente u´nico, mas isso na\u2dco representa um problema). Todo elemento v \u2208 V pode ser escrito
da forma v = v1 \u2295 v2 com v1 \u2208 V1 e v2 \u2208 V2. Podemos definir Jv = J(v1 \u2295 v2) := (\u2212Av2)\u2295 (Av1). E´
trivial, enta\u2dco, verificar que J2 = \u2212 \ufffd , como desejado.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 137/1304
Exemplo 2.9 Seja V um espac¸o vetorial real de dimensa\u2dco 2m. Em alguma base, podemos representar
v \u2208 V na forma de um vetor-coluna:
v =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
v1
...
vm
vm+1
...
v2m
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
. Defina-se, enta\u2dco, Jv :=
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\u2212vm+1
...
\u2212v2m
v1
...
vm
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
, (2.34)
ou seja, em forma matricial, na mesma base,
J =
( \ufffd
m \u2212 \ufffd m
\ufffd m
\ufffd
m
)
sendo
\ufffd
m e \ufffd m matrizes m×m. E´ elementar verificar que J2 = \u2212 \ufffd 2m, como desejado.
A escolha de J indicada acima dependeu de uma particular decomposic¸a\u2dco de V em dois sub-
espac¸os de dimensa\u2dco m. Ha´ va´rias outras decomposic¸o\u2dces poss´\u131veis, que fornecem outros operadores J
e, portanto, outras estruturas complexas. Permanecendo no exemplo acima, e´ fa´cil ver que, se x, y \u2208 \ufffd ,
enta\u2dco o produto por escalares complexos fica
(x+ iy) ·
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
v1
...
vm
vm+1
...
v2m
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
:= (x+ yJ)
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
v1
...
vm
vm+1
...
v2m
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
=
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
xv1 \u2212 yvm+1
...
xvm \u2212 yv2m
xvm+1 + yv1
...
xv2m + yvm
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
. (2.35)
Seguindo ainda o exemplo de (2.34) e (2.35) para V = \ufffd 2m, vamos ilustrar a Proposic¸a\u2dco 2.6 e
produto escalar complexo para ( \ufffd 2m)J . Adotemos para \u3b5 o produto escalar usual:
\u3b5(u, v) :=
2m\u2211
k=1
ukvk = u1v1 + · · ·+ u2mv2m .
Temos que
\u3b5(Ju, v) = \u2212um+1v1 \u2212 · · · \u2212 u2mvm + u1vm+1 + · · ·+ umv2m
e que
\u3b5(u, Jv) = \u2212u1vm+1 \u2212 · · · \u2212 umv2m + umv1 + · · ·+ u2mvm
Logo \u3b5(Ju, v) = \u2212\u3b5(u, Jv) e podemos aplicar a Proposic¸a\u2dco 2.6, obtendo em ( \ufffd 2m)J o produto escalar
\u3008u, v\u3009J, \u3b5 = \u3b5(u, v) + i\u3b5(Ju, v)
=
(
u1v1 + · · ·+ u2mv2m
)
+ i
(
\u2212 um+1v1 \u2212 · · · \u2212 u2mvm + u1vm+1 + · · ·+ umv2m
)
= u1(v1 + ivm+1) + · · ·+ um(vm + iv2m) + um+1(vm+1 \u2212 iv1) + · · ·u2m(v2m \u2212 ivm)
= (u1 + ium+1)(v1 + ivm+1) + · · ·+ (um + iu2m)(vm + iv2m) .
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 138/1304
E. 2.43 Exerc´\u131cio. Verifique que \u3008u, \u3bb · v\u3009J, \u3b5 = \u3bb\u3008u, v\u3009J, \u3b5 para todo \u3bb \u2208
\ufffd
. 6
Entendemos, assim, que a estrutura complexa que estudamos consiste nesse caso em identificar
bijetivamente \ufffd 2m e
\ufffd
m por
\ufffd
2m 3
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
v1
...
vm
vm+1
...
v2m
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\u2190\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
v1 + ivm+1
...
vm + iv2m
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \u2208
\ufffd m
e adotar em
\ufffd
m o produto escalar complexo \u3008·, ·\u3009
\ufffd
usual (definido a` pa´gina 17). \u25ca
Vejamos como as ide´ias de acima podem ser generalizadas e de modo a incluir espac¸os de dimensa\u2dco
infinita.
Exemplo 2.10 Se V e´ um espac¸o vetorial real de (dimensa\u2dco finita ou na\u2dco) e´ sempre poss´\u131vel encontrar
um operador linear J satisfazendo J2 = \u2212 \ufffd se V possuir dois subespac¸os V1 e V2 com V = V1 \u2295 V2
e tais que existe A : V1 \u2192 V2, linear e bijetora (em dimensa\u2dco finita isso requer que V1 e V2 tenham a
mesma dimensa\u2dco e, portanto, que V tenha dimensa\u2dco par, como mencionado na Proposic¸a\u2dco 2.7). De
fato, para v \u2208 V da forma v = v1\u2295 v2 com v1 \u2208 V1 e v2 \u2208 V2, definindo Jv := (\u2212A\u22121v2)\u2295 (Av1) e´ fa´cil
constatar que J2 = \u2212 \ufffd .
Para um tal J o produto por um escalar complexo \u3bb = x + iy, com x, y \u2208 \ufffd , fica definido por
\u3bb·(v1\u2295v2) := (x+yJ)(v1\u2295v2) = x(v1\u2295v2)+y
(
(\u2212A\u22121v2)\u2295 (Av1)
)
= (xv1\u2212yA\u22121v2)\u2295(xv2+yAv1) .
Se V e´ um espac¸o de Hilbert real separa´vel com uma base {\u3c6k, k \u2208 \ufffd }, podemos tomar V1 e V2
como os espac¸o gerados por {\u3c6k, k \u2208 \ufffd , k par} e {\u3c6k, k \u2208 \ufffd , k \u131´mpar}, respectivamente. Uma
poss´\u131vel escolha para a bijec¸a\u2dco linear A : V1 \u2192 V2 seria
A
( \u221e\u2211
m=0
a2m\u3c62m
)
=
\u221e\u2211
m=0
a2m\u3c62m+1 ,
para a qual
A\u22121
( \u221e\u2211
m=0
a2m+1\u3c62m+1
)
=
\u221e\u2211
m=0
a2m+1\u3c62m ,
ou seja, em termos de elementos da base, A\u3c62m = \u3c62m+1 e A
\u22121\u3c62m+1 = \u3c62m para todo m \u2265 0. Com
essa definic¸a\u2dco, ter´\u131amos
J
[( \u221e\u2211
m=0
a2m\u3c62m
)
\u2295
( \u221e\u2211
m=0
a2m+1\u3c62m+1
)]
=
[(
\u2212
\u221e\u2211
m=0
a2m+1\u3c62m
)
\u2295
( \u221e\u2211
m=0
a2m\u3c62m+1
)]
.
O produto com escalares complexos \u3bb = x+ iy, com x, y \u2208 \ufffd , fica definido por
(x+ iy) ·
\u221e\u2211
m=0
am\u3c6m =
( \u221e\u2211
m=0
(xa2m \u2212 ya2m+1)\u3c62m
)
\u2295
( \u221e\u2211
m=0
(xa2m+1 + ya2m)\u3c62m+1
)
.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 2 139/1304
Para um tal J o produto por um escalar complexo \u3bb = x + iy com x, y \u2208 \ufffd fica definido por
\u3bb·(v1\u2295v2) := (x+yJ)(v1\u2295v2) = x(v1\u2295v2)+y
(
(\u2212A\u22121v2)\u2295 (Av1)
)
= (xv1\u2212yA\u22121v2)\u2295(xv2+yAv1) .
Para \u3b1, \u3b2 \u2208 V da forma \u3b1 =
\u221e\u2211
m=0
\u3b1m\u3c6m, \u3b2 =
\u221e\u2211
m=0
\u3b2m\u3c6m e \u3b5(\u3b1, \u3b2) :=
\u221e\u2211
m=0
\u3b1m\u3b2m, o produto