Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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a expressa\u2dco
det(\u3bb \ufffd \u2212 A) = det
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\u3bb\u2212 A11 \u2212A12 · · · \u2212A1n
\u2212A21 \u3bb\u2212 A22 · · · \u2212A2n
...
...
. . .
...
\u2212An1 · · · · · · \u3bb\u2212 Ann
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
define, como facilmente se constata pelos me´todos usuais e bem conhecidos de ca´lculo de determinantes,
um polino\u2c6mio de grau n na varia´vel \u3bb, com coeficientes complexos, os quais dependem dos elementos de
matriz Aij de A. Esse polino\u2c6mio e´ denominado polino\u2c6mio caracter´\u131stico de A e desempenha um papel
muito importante no estudo de propriedades de matrizes. O leitor podera´ encontrar na Sec¸a\u2dco 3.9.1,
pa´gina 215, uma expressa\u2dco mais expl´\u131cita para o polino\u2c6mio caracter´\u131stico em termos dos elementos de
matriz Aij de A (vide (3.90), pa´gina 216), mas por ora na\u2dco precisaremos de maiores detalhes sobre esse
polino\u2c6mio.
Denotaremos por vezes por pA o polino\u2c6mio caracter´\u131stico de uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n). Como
todo polino\u2c6mio complexo de grau n, pA possui n ra´\u131zes, na\u2dco necessariamente distintas no plano com-
plexo (teorema fundamental da a´lgebra). As ra´\u131zes do polino\u2c6mio caracter´\u131stico pA sa\u2dco denominadas
autovalores da matriz A. Assim, o espectro de uma matriz A coincide com o conjunto de seus auto-
valores. O estudo de autovalores de matrizes e´ de grande importa\u2c6ncia na A´lgebra Linear e em suas
aplicac¸o\u2dces a` Teoria das Equac¸o\u2dces Diferenciais, a` Geometria, a` Teoria dos Sistemas Dina\u2c6micos e a` F´\u131sica,
especialmente a` F´\u131sica Qua\u2c6ntica.
Seja A \u2208 Mat ( \ufffd , n) uma matriz e sejam \u3b11, . . . , \u3b1r, 1 \u2264 r \u2264 n, seus autovalores distintos, cada
qual com multiplicidade a1, . . . , ar, respectivamente, ou seja, cada \u3b1i e´ uma raiz de ordem ai \u2208 \ufffd do
polino\u2c6mio caracter´\u131stico de A:
q(\u3bb) = det(\u3bb \ufffd \u2212 A) =
r\u220f
i=1
(\u3bb\u2212 \u3b1i)ai .
A quantidade ai e´ um nu´mero inteiro positivo e e´ denominado multiplicidade alge´brica do autovalor \u3b1i.
Note-se que como o nu´mero de ra´\u131zes de pA (contando as multiplicidades) e´ exatamente igual a seu
grau, segue facilmente que a seguinte relac¸a\u2dco e´ va´lida:
r\u2211
i=1
ai = n , (3.13)
ou seja, a soma das multiplicidades alge´bricas dos autovalores de uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n) e´ n.
Uma consequ¨e\u2c6ncia elementar disso e´ a seguinte proposic¸a\u2dco u´til:
Proposic¸a\u2dco 3.2 Seja A \u2208 Mat ( \ufffd , n) uma matriz e sejam \u3b11, . . . , \u3b1r, 1 \u2264 r \u2264 n, seus autovalores
distintos, cada qual com multiplicidade alge´brica a1, . . . , ar, respectivamente. Enta\u2dco
det(A) =
r\u220f
k=1
(\u3b1k)
ak . (3.14)
2
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 3 149/1304
Prova. Por definic¸a\u2dco, o polino\u2c6mio caracter´\u131stico de A e´ q(\u3bb) = det(\u3bb \ufffd \u2212A) = \u220frk=1(\u3bb\u2212\u3b1k)ak . Tomando
\u3bb = 0 e usando (3.13), teremos que det(\u2212A) = (\u22121)n\u220frk=1(\u3b1k)ak . Pore´m, det(\u2212A) = (\u22121)n det(A) e
a proposic¸a\u2dco esta´ demonstrada.
Essa proposic¸a\u2dco diz que o determinante de uma matriz e´ o produto de seus autovalores, incluindo
a multiplicidade alge´brica.
\u2022 Matrizes Similares. Transformac¸o\u2dces de Similaridade
Duas matrizes A \u2208 Mat ( \ufffd , n) e B \u2208 Mat ( \ufffd , n) sa\u2dco ditas matrizes similares se existir uma matriz
invert´\u131vel P \u2208 Mat ( \ufffd , n) tal que P\u22121AP = B.
Para uma matriz invert´\u131vel P \u2208 Mat ( \ufffd , n) fixa, a transformac¸a\u2dco que leva cada matriz A \u2208
Mat (
\ufffd
, n) a` matriz P\u22121AP e´ denominada transformac¸a\u2dco de similaridade.
Sabemos que o determinante e´ invariante por transformac¸o\u2dces de similaridade, pois para toda matriz
A vale det(A) = det(P\u22121AP ).
O determinante na\u2dco e´ o u´nico objeto associado a uma matriz que e´ invariante por transformac¸o\u2dces
de similaridade. O polino\u2c6mio caracter´\u131stico e, portanto, o conjunto de seus autovalores (incluindo as
multiplicidades), tambe´m o e´. Isso pode ser visto da seguinte forma.
Sejam A e B duas matrizes similares com B = P\u22121AP para algum P . O polino\u2c6mio caracter´\u131stico
de A e´ pA(\u3bb) = det(\u3bb \ufffd \u2212 A) e o de B e´ pB(\u3bb) = det(\u3bb \ufffd \u2212 B). Pela invaria\u2c6ncia do determinante vale
pA(\u3bb) = det(\u3bb \ufffd \u2212A) = det(P\u22121(\u3bb \ufffd \u2212A)P ) = det(\u3bb \ufffd \u2212P\u22121AP ) = det(\u3bb \ufffd \u2212B) = pB(\u3bb) . (3.15)
Assim, A e B te\u2c6m o mesmo polino\u2c6mio caracter´\u131stico e, portanto, seus autovalores sa\u2dco iguais, incluindo
suas multiplicidades.
\u2022 Comenta´rio sobre Matrizes Bijetoras
Em parte do que segue estaremos implicitamente usando a seguinte proposic¸a\u2dco:
Proposic¸a\u2dco 3.3 Uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n) e´ bijetora (ou seja, e´ invert´\u131vel) se e somente se Av = 0
valer apenas para v = 0. 2
Prova. Se A e´ bijetora, enta\u2dco existe A\u22121. Logo, aplicando-se A\u22121 a` esquerda na igualdade Av = 0,
obtem-se v = 0. Vamos agora provar a rec´\u131proca: vamos supor que Av = 0 vale apenas para v = 0 e
provar que A e´ injetora e sobrejetora e, portanto, bijetora.
Prova-se que A e´ injetora por absurdo. Se A na\u2dco e´ injetora, enta\u2dco, existem vetores x e y com x 6= y
mas com Ax = Ay. Como A e´ linear, isso implica A(x\u2212 y) = 0. Pela hipo´tese que Av = 0 vale apenas
para v = 0, segue que x = y, uma contradic¸a\u2dco.
Para provarmos que A e´ sobrejetora procedemos da seguinte forma. Seja {e1, . . . , en} uma base
em
\ufffd
n. Vamos primeiramente mostrar que {Ae1, . . . , Aen} e´ um conjunto linearmente independente
de vetores em
\ufffd
n (e, portanto, uma base em
\ufffd
n). Suponhamos que assim na\u2dco o seja e que existam
nu´meros complexos \u3b11, . . . , \u3b1n, na\u2dco todos nulos, tais que \u3b11Ae1 + · · ·+ \u3b1nAen = 0. Pela linearidade
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de A, segue que A (\u3b11e1 + · · ·+ \u3b1nen) = 0. Novamente, pela hipo´tese que Av = 0 vale apenas para
v = 0, segue que \u3b11e1 + · · ·+ \u3b1nen = 0. Isso, pore´m, diz que os vetores {e1, . . . , en} sa\u2dco linearmente
dependentes, o que e´ absurdo.
Logo, {Ae1, . . . , Aen} e´ um conjunto de n vetores linearmente independente em \ufffd n e, portanto, e´
uma base nesse espac¸o. Assim, qualquer x \u2208 \ufffd n pode ser escrito como uma combinac¸a\u2dco linear tal como
x = \u3b21Ae1 + · · ·+ \u3b2nAen = A (\u3b21e1 + · · ·+ \u3b2nen). Isso mostra que x esta´ na imagem de A. Como x e´
arbitra´rio, segue que A e´ sobrejetora.
Um corola´rio evidente e´ o seguinte:
Corola´rio 3.1 Se uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n) na\u2dco e´ bijetora (ou seja, se na\u2dco possui inversa), enta\u2dco
existe um vetor na\u2dco-nulo v tal que Av = 0. 2
\u2022 Autovetores
Seja \u3bb0 um autovalor de uma matriz A. Enta\u2dco \u3bb0 \ufffd \u2212A na\u2dco tem inversa. Logo, como V = \ufffd n e´ um
espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita, existe pelo Corola´rio 3.1 acima pelo menos um vetor na\u2dco-nulo v tal
que (\u3bb0 \ufffd \u2212 A)v = 0, ou seja, Av = \u3bb0v. Chegamos a mais uma importante definic¸a\u2dco:
Definic¸a\u2dco. Um vetor na\u2dco-nulo v e´ dito ser um autovetor de uma matriz A se houver \u3bb0 \u2208 \ufffd tal que
Av = \u3bb0v .
Note-se que se um tal \u3bb0 satisfaz a relac¸a\u2dco acima para algum v 6= 0 enta\u2dco \u3bb0 \ufffd \u2212A na\u2dco tem inversa.
\u3bb0 e´ enta\u2dco um elemento do espectro de A, ou seja, um autovalor. \u3bb0 e´ dito ser o autovalor associado
ao autovetor v.
Uma observac¸a\u2dco importante e´ a seguinte. Sejam v1 e v2 dois autovetores aos quais esta´ associado o
mesmo autovalor, ou seja, Av1 = \u3bb0v1 e Av2 = \u3bb0v2. Enta\u2dco, para quaisquer nu´meros complexos c1 e
c2 o vetor v = c1v1 + c2v2 tambe´m satisfaz Av = \u3bb0v. De fato,
Av = A(c1v1 + c2v2) = c1Av1 + c2Av2 = c1\u3bb0v1 + c2\u3bb0v2 = \u3bb0(c1v1 + c2v2) = \u3bb0v .
A conclusa\u2dco a que se chega e´ que, para cada autovalor \u3b1i de uma matriz A, a colec¸a\u2dco formada pelo
vetor nulo e todos os autovetores de A com autovalor \u3b1i e´ um subespac¸o vetorial. Vamos denotar esse
subespac¸o por E(\u3b1i) ou simplesmente Ei.
Se \u3b1i e \u3b1j sa\u2dco autovalores distintos de A enta\u2dco os sub-espac¸os de autovetores E(\u3b1i) e E(\u3b1j) te\u2c6m
em comum apenas o vetor nulo, ou seja, E(\u3b1i) \u2229 E(\u3b1j) = {0}. Isso e´ fa´cil de provar, pois se w e´ tal
que Aw = \u3b1iw e Aw = \u3b1jw enta\u2dco, subtraindo-se uma relac¸a\u2dco da outra ter´\u131amos 0 = (\u3b1i \u2212 \u3b1j)w, que
implica w = 0, ja´ que \u3b1i 6= \u3b1j.
Essas considerac¸o\u2dces nos levam a mais um conceito importante: o de multiplicidade geome´trica de
um autovalor.
\u2022 A Multiplicidade Geome´trica de um Autovalor
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