Curso de Fisica-Matematica USP-SP
1304 pág.

Curso de Fisica-Matematica USP-SP


DisciplinaFísica38.826 materiais951.220 seguidores
Pré-visualização50 páginas
Mat ( \ufffd , n) e \u3b1, \u3b2 \u2208 \ufffd . Enta\u2dco
Tr(\u3b1A+ \u3b2B) = \u3b1Tr(A) + \u3b2Tr(B) .
2
Prova. A prova e´ imediata por (3.17).
E´ curioso notar que a linearidade do trac¸o vista acima e´ evidente por (3.17), mas na\u2dco e´ nem
um pouco evidente pela definic¸a\u2dco do trac¸o de uma matriz como soma de seus autovalores, pois os
autovalores individuais de \u3b1A+ \u3b2B na\u2dco sa\u2dco em geral combinac¸o\u2dces lineares dos autovalores de A e de
B, especialmente no caso em que A e B na\u2dco comutam.
Proposic¸a\u2dco 3.8 (A Propriedade C\u131´clica do Trac¸o) Sejam A, B \u2208 Mat ( \ufffd , n). Enta\u2dco
Tr(AB) = Tr(BA) .
2
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 3 155/1304
Prova. Pelo que vimos acima, tem-se
Tr(AB) =
n\u2211
i=1
(AB)ii =
n\u2211
i=1
(
n\u2211
j=1
AijBji
)
=
n\u2211
j=1
(
n\u2211
i=1
BjiAij
)
=
n\u2211
j=1
(BA)jj = Tr(BA) .
Na segunda e quarta igualdades usamos a regra de produto de matrizes. Na terceira igualdade apenas
trocamos a ordem das somas.
Novamente vale aqui o comenta´rio que a propriedade c´\u131clica expressa na Proposic¸a\u2dco 3.8 na\u2dco e´
nada evidente pela definic¸a\u2dco do trac¸o de uma matriz como soma de seus autovalores. Os autovalores
individuais de produto de matrizes AB na\u2dco sa\u2dco em geral iguais aos do produto BA.
Mais adiante, demonstraremos uma outra propriedade importante do trac¸o que o relaciona com
o determinante, a saber, provaremos que para qualquer matriz A, real ou complexa, n × n, tem-se
det
(
eA
)
= eTr(A). Vide Proposic¸a\u2dco 4.7, pa´gina 234.
3.3 Polino\u2c6mios de Matrizes
\u2022 Polino\u2c6mios de Matrizes
Seja p um polino\u2c6mio de grau m:
p(x) = amx
m + · · ·+ a1x + a0
com x \u2208 \ufffd , aj \u2208 \ufffd e am 6= 0. Para uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n) definimos o polino\u2c6mio matricial p(A)
por
p(A) = amA
m + · · ·+ a1A+ a0 \ufffd .
Obviamente p(A) e´ tambe´m uma matriz n× n com entradas complexas.
Se as ra´\u131zes do polino\u2c6mio p forem \u3b11, . . . , \u3b1r, com multiplicidades m1, . . . , mr, respectivamente,
enta\u2dco
p(x) = am
r\u220f
j=1
(x\u2212 \u3b1j)mj ,
para todo x \u2208 \ufffd . E´ fa´cil provar, enta\u2dco, que
p(A) = am
r\u220f
j=1
(A\u2212 \u3b1j \ufffd )mj .
E. 3.9 Exerc´\u131cio. Justifique isso. 6
E. 3.10 Exerc´\u131cio. Mostre que se D = diag (d1, . . . , dn) e q e´ um polino\u2c6mio enta\u2dco
q(D) = diag (q(d1), . . . , q(dn)) .
6
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 3 156/1304
E. 3.11 Exerc´\u131cio. Suponha que A = P\u22121DP , onde D = diag (d1, . . . , dn). Se q e´ um polino\u2c6mio
mostre que
q(A) = P\u22121q(D)P = P\u22121diag (q(d1), . . . , q(dn))P .
6
\u2022 O Polino\u2c6mio M\u131´nimo
Vamos mostrar que para cada matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n) sempre existe pelo menos um polino\u2c6mio p
com a propriedade que p(A) =
\ufffd
.
Para tal notemos primeiramente que Mat (
\ufffd
, n) e´ um espac¸o vetorial complexo de dimensa\u2dco n2.
De fato toda a matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n), cujos elementos de matriz sa\u2dco Aij \u2208 \ufffd pode ser trivialmente
escrita na forma
A =
n\u2211
a=1
n\u2211
b=1
AabE
ab
onde E ab \u2208 Mat ( \ufffd , n) sa\u2dco matrizes cujos elementos de matriz sa\u2dco (E ab)ij = \u3b4i,a\u3b4j,b, ou seja, todos os
elementos de matriz de E ab sa\u2dco nulos, exceto o elemento a, b, que vale 1.
E. 3.12 Exerc´\u131cio. Certo? 6
Assim, vemos que as matrizes {E ab, a = 1, . . . , n, b = 1, . . . , n} formam uma base em Mat ( \ufffd , n),
mostrando que Mat (
\ufffd
, n) e´ um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco n2. Isto posto, temos que concluir que
qualquer conjunto de mais de n2 matrizes na\u2dco-nulas em Mat (
\ufffd
, n) e´ linearmente dependente.
Se uma das matrizes Ak, k = 1, . . . , n2, for nula, digamos Aq =
\ufffd
, enta\u2dco p(x) = xq, tem
a propriedade que p(A) = 0, que e´ o que desejamos provar. Se, por outro lado, as matrizes Ak,
k = 1, . . . , n2, sa\u2dco todas na\u2dco-nulas, enta\u2dco conjunto { \ufffd , A, A2, . . . , An2} e´ linearmente dependente,
pois possui n2 + 1 elementos. Portanto, existem constantes c0, . . . , cn2 , nem todas nulas, tais que
c0 \ufffd + c1A+ c2A
2 + · · ·+ cn2An2 =
\ufffd
.
Como o lado esquerdo e´ um polino\u2c6mio em A, fica provada nossa afirmac¸a\u2dco que toda matriz possui um
polino\u2c6mio que a anula. Chegamos a`s seguintes definic¸o\u2dces:
Definic¸a\u2dco. Polino\u2c6mio Mo\u2c6nico. Um polino\u2c6mio p : \ufffd \u2192 \ufffd de grau n e´ dito ser um polino\u2c6mio mo\u2c6nico
se for da forma
p(x) = xn + an\u22121xn\u22121 + · · ·+ a1x + a0 ,
ou seja, se o coeficiente do mono\u2c6mio de maior grau (no caso, xn) for igual a 1. Note-se que polino\u2c6mios
mo\u2c6nicos nunca sa\u2dco identicamente nulos.
Definic¸a\u2dco. Polino\u2c6mio M\u131´nimo de uma Matriz. Dada uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n), o polino\u2c6mio
m\u131´nimo de A e´ o polino\u2c6mio mo\u2c6nico de menor grau que e´ anulado em A, ou seja, e´ o polino\u2c6mio na\u2dco-nulo
de menor grau da forma
M(x) = xm + am\u22121xm\u22121 + · · ·+ a1x+ a0
para o qual M(A) =
\ufffd
.
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 3 157/1304
As considerac¸o\u2dces acima mostram que um tal polino\u2c6mio sempre existe e que tem grau no ma´ximo
igual a n2. Essa e´, no entanto, uma estimativa exagerada para o grau do polino\u2c6mio m\u131´nimo de uma
matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n) pois, como veremos abaixo, o polino\u2c6mio m\u131´nimo de uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n)
tem, na verdade, grau menor ou igual a n. Isso e´ um corola´rio de um teorema conhecido como Teorema
de Hamilton-Cayley , que demonstraremos abaixo (Teorema 3.2, pa´gina 158).
Finalizamos com um teorema ba´sico que garante a unicidade do polino\u2c6mio m\u131´nimo e estabelece sua
relac¸a\u2dco com outros polino\u2c6mios que anulam A.
Teorema 3.1 O polino\u2c6mio m\u131´nimo M de uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n) e´ u´nico. Fora isso se P e´ um
polino\u2c6mio na\u2dco-identicamente nulo que tambe´m se anula em A, ou seja, P (A) =
\ufffd
, enta\u2dco P e´ divis´\u131vel
por M , ou seja, existe um polino\u2c6mio F tal que P (x) = F (x)M(x) para todo x \u2208 \ufffd . 2
Demonstrac¸a\u2dco. Dada uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n), o polino\u2c6mio m\u131´nimo de A e´ o polino\u2c6mio de menor
grau da forma
M(x) = xm + am\u22121xm\u22121 + · · ·+ a1x+ a0
para o qual M(A) =
\ufffd
. Vamos supor que haja outro polino\u2c6mio N da forma
N(x) = xm + bm\u22121xm\u22121 + · · ·+ b1x+ b0
para o qual N(A) =
\ufffd
. Subtraindo um do outro ter´\u131amos o polino\u2c6mio
(M \u2212N)(x) = (am\u22121 \u2212 bm\u22121)xm\u22121 + · · ·+ (a1 \u2212 b1)x + (a0 \u2212 b0) ,
que tem grau menor ou igual a m \u2212 1 e para o qual vale (M \u2212 N)(A) = M(A) \u2212 N(A) = \ufffd \u2212 \ufffd = \ufffd .
Como, por hipo´tese, na\u2dco ha´ polino\u2c6mios na\u2dco-nulos com grau menor que o de M que anulam A, isso e´
uma contradic¸a\u2dco, a menos que M = N . Isso prova a unicidade.
Seja P um polino\u2c6mio na\u2dco identicamente nulo para o qual valha P (A) =
\ufffd
. Se p e´ o grau de P ,
deve-se ter p \u2265 m, onde m e´ o grau do polino\u2c6mio m\u131´nimo de A. Logo, pelos bem conhecidos fatos sobre
divisa\u2dco de polino\u2c6mios, podemos encontrar dois polino\u2c6mios F e R, cujos graus sa\u2dco, respectivamente
p\u2212m e r com 0 \u2264 r < m, tais que
P (x) = F (x)M(x) +R(x) ,
para todo x \u2208 \ufffd . Ora, isso diz que
P (A) = F (A)M(A) +R(A) .
Como P (A) =
\ufffd
e M(A) =
\ufffd
, isso implica R(A) =
\ufffd
. Como, pore´m, o grau de R e´ menor que m,
tem-se que R deve ser identicamente nulo. Isso completa a prova.
3.3.1 O Teorema de Hamilton-Cayley
Vamos aqui demonstrar um teorema sobre matrizes que sera´ usado mais adiante de va´rias formas, em
particular no Teorema Espectral, o chamado Teorema de Hamilton2-Cayley3. Esse teorema fornece
2Sir William Rowan Hamilton (1805-1865).
3Arthur Cayley (1821-1895).
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 3 158/1304
tambe´m, como veremos, um me´todo eficiente para o ca´lculo da inversa de matrizes. Cayley e Hamilton
demonstraram casos particulares do teorema para matrizes 2× 2, 3× 3 (Cayley) e 4 × 4 (Hamilton).
A primeira demonstrac¸a\u2dco geral e´ devida a Frobenius4. Cayley, Hamilton e Sylvester5 esta\u2dco entre os
fundadores modernos da teoria das matrizes6.
Teorema 3.2 (Teorema de Hamilton-Cayley) Seja A \u2208 Mat ( \ufffd , n) e seja q(x) = det(x \ufffd \u2212 A) o
polino\u2c6mio caracter´\u131stico de A (e que tem grau n). Enta\u2dco q(A)